VU

Propriétés principales de l'hyperbole.

Nous n'aurons pas besoin ^ en nous occupant de Thyperbole , d'entrer dans tous les détails de construction , ainsi que nous l'avons fait lorsque nous nous sommes occupé de l'ellipse; car il est évid^t que nous devons retomber sur les mêmes raisonnaments géométriques , et dès lors il est permis d'abréger , tout ce qui a été dit au sujet de l'ellipse étant bien compris.

Étant donnés une hyperbole A y ses deux asymptotes I et T (fig, 18 ) et son axe traosverse aa supposé prolongé indéfiniment à droite et à gauche des deux sommets a et a 'y ayant mené en chacun des sommets a et a' des tangentes à rhyperbole, on aura deux droites 9 et G' perpendiculaire à l'axe aa'.

Gela posé :

Si l'on considère l'hyperbole A comme la base ou section droite d'un cylindre vertical 2 , nous pourrons couper ce cylindre 2 par un plan P ayant la tangente 8 pour trace horizontale H', et l'on obtiendra pour section une hyperbole Ë ayant la courbe A pour projection horizontale £*•

Nous pouvons prendre sur la droite aa un point cf. et le considérer comme le centre (l'un cercle D, tangent à la courbe A en son sommet a ^ et les deux courbes D, et E seront enveloppées par un cône S, qui sera en général oblique et dont le sommet 9, se projettera horizontalement en un point «.* distinct du centre rf,.

Il sera toujours possible de placer la courbe E sur deux cônes de révolution , ayant chacun pour axe de rotation une droite verticale; et en effet j prenant un point a^ sur l'hyperbole A ou E'^, et menant une tangente en ce point, elle coupera la droite 6 ou H' en un point m ; décrivant de ce point m comme centre et avec ma pour rayon , un cercle 6 , il suffira de mener du point af" deux tangentes au cercle 6 , et œs tangentes couperont l'axe aa' en deux points/ et/ qui seront équidîstants des sommets a et a\ on sorte que L'on aura :fa zszf'a\

EneSei(Jg. 19):

: Quel que soit le point a:^ prissar l'hyperbole A, une construction analogue nous con<jhiîra toiqours à déterminer les mâmes points/ «t/. Si donc nous oonsidérons le point situé à l'infini %ur l'une des branches de la courbe, la tangente en ce point ne

«erd autre qae rasymptote I ou Vy laquelle coupera la droite 0 en un point p^ et décrivant du point p comme centre et avec pa pour rayon un cercle i y les deux tangentM .menées à ce cercle d et du point situé à l'infini , et par conséquent menées à ce cercle i parallèlement à l'asymptote T, couperont Taxe transverse aa'en les foyers/ et/'; et il est évident par Ia)îgr. 19 que Ton a :fa =^fa' (*) .

Gela posé :

Ces deux points ou foyers f et f seront tels que si Ton décrit (Jig. 18):

1* Du point /comme centre et avec fa pour rayon un cercle D ;

2* Du point/ comme centre et avec /a pour rayon un cercle C, les courbes D et E seront enveloppées par un cône S dont le sommet s se projettera orthogonalement en /et les courbes C et E seront enveloppées par un cône S' dont le sommet «' se projettera orthogonalement en /' ( voy. la fig. 18).

On lit de suite sur V épure (1 8) : 1 • que les deux cônes S et S' ont leurs sonunets situés au-dessus du plan horizontal ; 2* que ces deux cônes ont même angle au sommet ; par conséquent toutes les génératrices droites de ces deux cônes feront le même angle a avec le plan horizontal et le même angle X avec une droite verticale.

Par conséquent, si Ton prend un point a; sur Thyperbole E , et si Ton projette sur Taxe vertical du cône S', 1 " le sommet s du cône S en p , et 2* le point x de l'hyperbole E en a;, 9 on voit de suite que l'on aura :

(*) Ayant construit les foyers fei f de l'hyperbole , elieiiâioos kl valeur de la distance de Tun de ces foyers au centre de la courbe.

le dis que FM aura : ôf^l^ (/if. 19 Ml).

Désignons oa par a et ap par d.

Menons par le foyer /" une parallèle à çp et coupant la droite mo en un point m.

Si l'on joint les points a et m par une droite , je dis que cette droite est parallèle à qp.

En effet, on a : fq'=^ fa comme tangentes menées d'un même point extérieur /'au cercle /.

Et comme les droites fm et pq sont parallèles par construction , ainsi que les droites fq et poy il s'ensuit que l'on a: ^^

n^^qf^fa dephis.ona:

Pfo^pfq et ffi-^fi^ Donc les an^l^ ffé et fpo Mmt égaux , par Conséttnent le tf iaitgtè fop est isocèle ; et l'en a :

o/=op Bt fmitqfie î

sf'^mp^ on a : aùm^om donc )t»4foHesilm H fp som parallèles, ee qu'H faUait démolir.

Or op'-«= oa'+ ap'— i a' -J- d* donc o/"»» Va*+b^

et comme Ton a :

il s'ensuit que :

et comme Ton a :

on aura :

flx, — pa?,= constante = K.

ix cosl^i'x, et $x.cosl=px,

{^x^sx)= — -

cosx

s'a: . cofl a = f'a^ et «a?.cosa=^

Ta? —7^ = — ' — — - = constante.

Et comme cela a lieu , quel que soit le point x^, on voit que pour le sommet a on

aura:

^ K.coss

aa =

eos\

Ainsi y Ton peut énoncer le théorème suivant :

Théorème. Dans f hyperbole ^ la différence des rai/ons vecteurs est constante ei elle est égale à l'axe transverse.

Et comme pour un autre point x*^ de Thyperbole E* ou A , on aurait un autre cercle 6' qui conduirait aux mêmes foyers/ eif^ on voit de suite sur la fig. 18 que

l'on a : jy'm rnzf'xf'm.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorèmb. Pour une hyperbole^ la tangente en un de ses points divise en deux parties égales Cangle des deux rayons vecteurs se croisant en ce point.

Ce qui précède nous permet de construire par points une hyperbole.

Construction par points de r hyperbole.

Étant donnés Taxe transverse aa' et les foyers fetf d'une hyperbole {fig. 4 9 ter), on mènera par l'un des sonunets a une droite 9 perpendiculaire à l'axe transverse aa' ; de divers points m, m,... pris sur la droite G, et avec les rayons ma , m'a,... on décrira une suite de cercles i, ^j... tous tangents entre eux et au point a ; des foyers /et y 'on mènera des tangentes à ces cercles i,... lesquelles se couperont respectivement en les points x, x',... qui appartiendront à Tune des branches de l'hyperbole, et les droites mx^ m'x\... seront des tangentes à cette branche en les points a?,xV • •

Les points a;, x\... que nous obtiendrons appartiendront à la demi-branche de gauche de Thyperbole j ainsi qu'à la partie de cette branche qui est située au-dessous de Taxe transverse aa' ; cependant on doit remarquer qu'en faisant croître les rayons des cercles d, . . . depuis zéro, il arrivera que pour un certain rayon r. , le cercle d. sera tel y que les tangentes qui lui seront menées des foyers /et f\ seront parallèles et donneront la direction de Tasymptote à l'axe inférieur de la branche de gauche de l'hyperbole; en prenant un cercle 3/ d'un rayon r/ > r,, les tangentes à ce cercle iront se couper à droite de la tangente 9 et détermineront par leur intersection un point de l'arc supérieur de la branche de droite de l'hyperbole ; pour obtenir les arcs supérieurs de la branche de gauche et inférieur de la branche de droite de l'hyperbole j il faudrait tracer des cercles 3, . . . ayant leurs centres situés sur la partie de la droite 0 qui est au-dessus de l'axe transverse aa\

Déterminons maintenant la longueur r. du rayon du cercle d, pour lequel les tangentes qui lui scMit menées des foyers/et/ se trouvent parallèles entre elles.

Supposons te problème résolu {fig. 19 quater), les tangentes^ ^^/V ^^ cercle d, seront parallèles ; dès lors la corde yy sera un diamètre de ce cercle et ce diamètre tjyf coupera la droite 9 en m, , centre du cercle 3..

Joignant les points/ et m., / et iw., on aura deux triangles /mw. et/am., tous deux rectangles en a.

Les triangles fam, et fyin, seront égaux et superposables , on aura donc :

De même les triangles afm, dfy'm, seront égaux et superposables^ on aura donc :

im)' = /'fwy Or pour que les tangentes^ ^/y' soient parallèles , il faut que les quatre angles

y/m., /w.a, amf, /♦m.y, valent en somme deux angles droits , il faut donc que les deux angles /m.a et am,f

valent en somme un angle droit; en d'autres termes, il faut que l'angle/m./ soit droit.

Pour détermmer le centre m. du cercle J. , on devra donc décrire sur jf'j comme diamètre, un cercle X qui coupera la droite 9 au point m., centre demandé, et m fi sera la longueur du rayon r.. La tangente au point x, , intersection des rayons vecteurs parallèles f», et fx, (ce point s, étant dès lors à l'infini), passe par le centre m. du cercle d,; et il est éfvidentjiue cette tangente ou asymptote passe par le point o , milieu de l'axe transverse aa'^

Ainsi Ton vérifie les résultats déjà coanos , savoir :

1 * Que rhyperbole a deux asymptotes passant par le oentre o de cette couiiie^

^ Que ces asymptotes font des angles égaux avec l'axe transverse aa' de la courbe;

3"" Qœ désignant par a le demi-^xe transverse att et par b la longueur du rayon r, , on a : ^

§ VIIL

L'on peut tracer une série de cercles D ^ D', D", . . . tangents oitre eux et à rhyperbole A et en son sommet a.

On pourra envelopper l'hyperbole E et chacun de ces cercles par un seul cône, et Ton aura ainsi une série de cônes S, S', S",... qui seront tous obliques, excq>té deux qui seront de révolution ; ce seront ceux dont les soHunels se projettent orthogonalement en les foyers/et/ de l'hyperbole A.

Les rayons des cercles D, D', D'\ . . . iront en grandissant , enfin on aura un oercle de rayon infini , et ce cercle ne sera autre que la droite G ; dès lors le cône enveloppant l'hyperbole E et le cercle 6 de rayon infini ne sera autre que le plan P de l'hyperbole E. Mais sur ce plan , qui va jouer ici non-seulement le rôle de surface conique, mais celui encore d'une surface conique appartenant à la série des cônes S, S', S" y... il devra exister un point tout particulier qui sera appelé k jouer le rôle de sommet de cône.

Cherchons ce point.

Si nous déterminons la projection horizontale de ce point sommet , en employant un certain point de l'hyperbole A , elle sera toigours la même pour tout autre point pris sur cette hyperbole.

Or si l'on considère le point situé à l'infini sur l'une des branches de l'hyperbole A , la tangente en ce point sera l'asymptote !', laquelle coupera la droite 0 , considérée comme tangente au sommet a de l'hyperbole, en un point p (fig. 20).

Et si nous décrivons du point p comme centre et av^c pa potur rayon , un cercle j, il coupera la droite 9, considérée comme un cercle de rayon infini et appartenant à la série des cercles D, D", D'V«* en le point r.

Or si Ton unit le point r avec le point situé à YtiAm sur l'hyperbole , il faudra mener par ce point r une parallèle à l'asymptote T, et cette paralfèle coupera évidenuamt l'axe transverse aa' en le point a', second soUfifmet de Iliyperbole A ; ce point ^ sera donc la projecticm horizontale et orthogonale du sommet a. de l'hyperbole E située dans l'espace sur le [dan P; ce sommet a, «^a donc le point

qui y sur le plan.P, doit jouer le rôle de sommet de la mrface conique que ce plan P est appelé à jouer dans la série des cônes S, S', S". . .

Cela posé :

Il est évident que si l'on preqd un point a^ quelconque sur Thyperbole A , si Ton mène en ce point ci/^ une tangente à la courbe , elle coupera la droite 6 en un point m (fig. 20 ) ; et si du point m* comme centre et avec ma pour rayon on décrit un cercle g , lequel coupera la droite 6 en un point y, la droite qui unira les points a^ ely ira passer par le point a', second sommet de Thyperbole donnée A.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème. Étant donnés une hyperbole et ses deux sommets a et a'; ayant mené au premier sommet a une droite 0 perpendiculaire à taxe transverse aa'; si ton unit par une droite le second sommet a' avec un point x^ quelconque- de t hyperbole ^ cette droite coupera la droite B en un point y et la tangente à l'hyperbole en x^ divisera en deux parties égales la droite ay.