IX

Diverses manières de construire la tangente en un point dune hyperbole.

Première construction. Étant donnés une hyperbole et ses asymptotes, son axe transverse et son centre, ainsi que sesfoyersfeify pour construire la tangente en un point x de cette courbe , il suffira (fig, 21 ) de mener les deux rayons vecteurs

fx etfx et de diviser en deux parties égales l'angle /c^'; la bissectrice sera la tangente demandée.

Deuxième construction. Étant donnés une hyperbole , son axe te'ansverse et ainsi ses deux sommets a et a% et aussi ses deux foyers /et/, pour construire la tangente en un point x de cette courbe , on décrira d'un des foyers / comme centre et avec /a pour rayon un cercle D (fig. 22); on unira les points x et /par une droite qui coupera le cercle D en un point y, et l'on mènera en cç point y une tangente au cercle D, laquelle coupera la tangente 9 (menée au sommet a de l'hyperbole) en un point m ; la droite m'x sera la tangente demandée.

Troisième construction. Étant donnés une hyperbole et son axe transverse, et ainsi ses deux sommets a et a', pour construire la tangente en un point x de la courbe ( fig. 23), on mènera d'abord la tangente 0 au prunier sommet a (la droite 9 est perpendiculaire à l'axe transverse), ensuite on unira le point a; et le second sommet a' par une droU6^<|iii eoupera la droite 6 en un point y ; divisant la di^oite ayen' deux parties égales par un point m, la droite mx sera la tangente demandée..

gx.

Étant donnés sur le plan horizontal de projection une hyperbole A , ses sommets a et a\ ses foyers / et /^ et ses asymptotes I et V (fig. 24 ), décrivant d'un des foyers / comme centre , avec^îi pour rayon, un cercle D, et décrivant avec fa' pour rayon un cercle C , si Ton mène par le foyer/ une perpendiculaire à l'axe transverse aaj cette perpendiculaire coupera le cercle D au point y et le cercle C au point y.

Et si l'on mène en les points y et y des tangentes aux cercles D et C , on aura deux droites parallèles entre elles et à l'axe transverse aa\ lesquelles couperont respectivement les tangentes 6 et 9' menées à l'hyperbole donnée A en ses sommets a et Qj en les points m et m'; d'après tout ce qui précède il est évident que la droite mm sera tangente à l'hyperbole A en le point x projetée orthogonalement en le foyer/ ^

Désignant ma par r et m'a par r', on voit de suite que comme ma = a/* et que

m'a' = a'f, on aura : r + r' z=z ad.

Désignons aa' par 2a et désignons par 26 le double de la portion de la tangente 9 comprise entre le sommet a et l'asymptote I.

On aura dès lors : ad=^ 2a et ad= b.

Or b peut avoir trois valeurs différentes comparativement à a; on peut avoir: ' 1*6>a,2*6=a, 3*6<a.

Quel que soit le rapport entre b et a>,. lorsque l'on considérera sur l'hyperbole A le point X qui se projette orthogonalement en son foyer f^ on aura toujours :

Lorsque l'on considérera le point de l'hyperbole situé à l'infini , alors la tangente en ce point ne sera autre que Tasymptote I , et Ton aura :

r='âd=ih et r'ssâW^»* et r'— r=0

Lorsque l'on considérera le pcHut a sommet de l'hyperbole , alors la tangente ^eo ce point ne sera autre que la droite 0 , et l'on aura évidemment :

r=:0 et f' = ^ donc W— r=40 Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

(*) On voit que pour Tellipee la iùmme (r*f-r' ) va en augmentant depuis nne quantité linéaire égale au petit axe jusqu'à l'infini , et que pour l*hyperboIe c'est la difféf0tie€ (r^-^r) qui va en augmentant depuis zéro jusqu'à l'infini.

TnÉORÉxc, Si en un poiné qnelcmque d*une hypetbole on mène une tangente coupotni les tangeiffies 9 et 9' menées œm sommets a et a! .de la cowbe en deux points m et m', m aura toigours : i"" (ma --r. m'a') plus. petit que l'axe transverse .pour tous les points situés entre.le point qui est à l'infini et celui qui se projette ortbogonatement en le foyer ; 2* (ma — m'a' ) ^gale à Caam transverse pour le point qui se projette ortkogonalement en le foyer] S"" (ma — m'a') plus grand que l'axe trxinsverse pour tout point situé entre le sommet et celui qui se projette orthogonalement en le fo^er.