XI

Propriétés principales de ta parabole,

Étant donnés une parabole  (fig. 25), son soBamet a et son axe infini X, nous mènerons au sommet a une perpendiculaire à Taxe X , et nous aurons la tangente 9 en le sommet de la parabole.

Gela pdsé!

Si Ton prend un point d arbitraire sur Taxe X , et que de ce point (/comme centre et avec da pour rayon , on décrive un cercle D ; prenant sur la droite 9 un point m arbitraire, et menant de ce point deux tangentes. Tune au cercle D et le touchant en y , et Tautre à la parabole A et la touchant en :b^, la droite yx!^ ira couper Taxe X eii uft point ^ ; et en vertu de tout ce qui a été (fit précédemment y il est évident que le point ^ sera la projection horizontale du sommet s du cône oblique qui enve^ loppe le cercle D et la parabole E dont A est la projection.

Or si du point jn comme centre et avec ma pour rayon on décrit un cercle 6, il passera évidemment.par le point y, et en ce point y les deux cercles D et 6 se couperont rectangulairement. Pour que les points rf et «* se confondent , il faudra que la droite yx!' soit une tangente au cercle 6.

Si donc {fig. 26) on mène d'un point a^, pris arbitrairement sur la parabole donnée A, deux tangentes au cercle 6, l'une d'elles viendra couper l'axe X au point /, et l'autre ira couper l'axe X en un point que je dis être situé à l'infini , en sorte que la seconde tangente sera parallèle à l'axe X ; nous démontrerons plus tard l'exactitude de cette assertion.

Mais quelle que soit la direction de la seconde tangente , et par conséquent que le seopnd foyer soit situé à l'infini ou non , il nous est démontré que la normale af'q divise en deux parties égales l'angle formé par les deux rayons vecteurs se croisant au point xf" considéré sur la parabole.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

TnéORÈVE. Pour les trois seûHans coniques, etHpse , p$rabôte et h/perMey kk normale et la umgente^en un pmni de la courbe , divisent en demx parties égales T angle ou le supplément de tangle formé par tes deux rayons vecteurs qui se croisent en ce point,