XII

Remarquons que lorsqu'on avait une ellipse oaune hyperbole^on pouvait imiiié* diatement construire les foyers ; car puisqu'il suffit d'employer une tangente quelconque à la courbe donnée pour obtenir le cercle g , il suffit de connaître, à priori y une tangente autre que celle qui répond au sommet de la courbe , pour pouvoir résoudre le problème.

Or, pour Tellipse, on sait que la tangente menée à l'extrémité du petit axe est parallèle au grand axe de TeUipse f or pour l'hyperbole , on sait que l'asymptote est la tangente au point situé à l'infini sur la courbe.

Mais pour la parabole, nous ne connaissons pas, à priori f de point autre que le sommet pour lequel la direction de la tangente soit connue ; nous ne pouvons donc, quant à présent, construire le foyer/ (/^. 26) ^quoique l'existenoe dQ ce foyer se trouve démontrée.

§ xm.

L'existence d'un foyer étant démontrée pour la paraljple,. nous pourrons: 1* {fig. 27) du foyer/ comme centre et mec fa pour rayon^décrire un cercle D j 2*" couper le cylindre vertical 2 ayant la parabole  pour section droite par un plan P ayant la tangente 9 , menée au sommet a de la courbe , pour trace horizontale H'; nous prendrons le plan vertical de projection parallèle à l'axe infini X de la parabole.

Cela posé:

Nous construirons le cône de révolution S ayant son sommet en s^ lequel cône S enveloppe le cercle D et la parabole E , section faite dans le cylindre 2 par le plan P ( cette parabole E se projettera horizontalement et orthogonalement suivant la parabole donnée A). Voy. ïépure {fig. 27).

Cela posé :

Le cône S ayant son sooomet s projeté sar le plan horizonfot en le foyer/ de la parabole A , nous mènerons par ce sommet s un pian horizoatai R qui conpera le plan suivant une droite Q. Dès lors , Q^ sera parpevidioulaiFe à Faxe infini X de la parabole donnée A.

^ 43 — De plus , te fig. 27 noue dit qae le triangle «Vt/" est isocèle , et qu'ainsi Ton a :

t a =a f et que les angles qfVa* et «"ç^a" sont égaux , par conséquent Ton a :

Cela posé :

Preaoûs un point x arbitraire sur Tellipse E , menons par ce point x un plan horizontal ; il coupera la génératrice extrême G du cône S en un point t , et Ton aura la droite $x de l'espace égale à s'^V' ; on pourra donc poser : «a;r= ^T.

La distance xq du point 4; à la droite Q sera une droite perpendiculaire à Q et parallèle au plan vertical de projection , cette distance sera dès lors égale à a:Y-

Je dis que Ton aura toujours y quel que soit le point x considéré sur la parabole E :

IS on «V = a?V En effet i

Les deux triangles ^''aY (invariable) et xVr (variable) sont isocèles , et Ton a :

fV = aY et x''a*^=^a*î^ donc iV=«J? = a7*g

Toutes les génératrice^ du cône S font avec le plan horizontal le même angle a ; on aura donc :

Le plan P fait avec le plan horizontal le même angle «^ la droite xq est une ligne

de plus grande pente de ce plan P, elle fait donc avec le plan horizontal un angle « ;

on a donc :

a:5f.co8a=î?5^ Or

$x^xq donc 'fi?=zl?^

Et cela aura lieu quel que soit le point x pris sur la parabole E. La droite Q^ est dite directrice de la parabole A.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théobème. triant (kmnés une parabole A, son axe infiniX^ son sommet a et son foyer f, affmt nwné une droite Q^ perpendiculaire à F axe X et à une distance du sommet a égale à fa , ^ Ion prend un poim quelconque x^ sur la courbe A, les distances de ce pmnt x^ au wtVBifei à la dibbctbicb Q^ sermt égales.