XVII

Diverses manières de ccnstruire la tangente en un peint d'une parabole,

De ce qai précède on peut déduire trois cqn^tructi(ui9 de la ta&gente ^en un point donné sur une parabole.

Première construcHon. Étant donnés une paral)ole A , son axe infini ^ et son sommet a j et son foyer/, pour construire la tangente^en un point x (fig. S9), on mènera )e rayon vecteur /c, la droite xp parallèle à Taxe X , et Ton divisera Tangle

fxp en deux parties égales par la normale doi^ ; la droite xt perpendioulaire à U normale xd sera la tangente demandée.

Deuxième cùnstructUm. Étant donnés {fig. 30) une parabole A , son axe X , son sommet a , son foyer/, pour construire la tangente en un de ses points x , on décrirai du foyer / comme centre et avec fa pour rayon un cercle D ; on mènera au sommet a une perpendiculaire 9 à Taxe X ( cette droite 9 sera tangente en le sommet a à la parabole A); on unira le foyer /et le point x par une droite coupant le cercle D en un point y ; en ce point y on mènera une tangente au cercle D, laquelle coupera la droite 9 en un point m ; la droite qui unira les points m et a; sera la tangente demandée.

Troisième oonsÉructian. Étant donnés une parabole A , son axe infini X et son sommet a , pour construire la tangente en un de ses points x {fig. 31 ), on mènera la tangente 9 au sommet a; on mènera par l#pdint â^ une droite parallèle à Taxé X, laquelle coi^)era la tangmte 9 en un point z; on prendra le milieu m de la droite az \ et en unissant les points m et « par une droite , on aura la tang^ite demandée.

§ xvni.

Directrices de V ellipse et de la parabole.

La propriété dont jouit la parabole d'avoir un foyer et une directrice , doit con-^ duire à penser que les deux autres sections coniques possèdent des directrices.

Et en effet , en suivant la même marche que pour la parabole , on arrive de suite à démontrer Texistence de ces droites t&rectrices pour TelKpse et Vbyperbole.

Pour C ellipse :

Étant donnée une ellipse A sur le plan horizontal de projection ( fig. 32 ) , ayant

construit les foyecs / et /' et les deux cônes de révolutioti S et S* qui enveloppent Tellipse E de l'espace , M (dfâcun des cercles D et G", en menant par les sommets s et s' des cônes S et S' des plans R et R' horizontaux , ces plans couperont le plan P de Tellipse E suivant les droites K et K', doet les projections K^ et K"^ seront les direcirices de Tellipse A ou E^.

Pour le démontrer, prenons un p(Hiit x arbitraire sur l'ellipse E ; menons par ce point X et dans le plan P une perpendiculaire à la droite K' et coupant cette droite en un point 9'; comme la droite xq' est parallèle au plan vertical de projection , elle se projettera en véritable grandeur en x^'q'"'.

On aura donc :

xq' = x\'*

De plus , en prenant un point quelconque x sur l'ellipse E , on voit que toutes les droites telles que xq' seront des lignes de plus grande pente du plan P et feront donc avec le plan horizontal un angle constant qui sera égal à celui que le plan P

fait avec le plan horizontal , et qui sera dès lors égal à l'angle à^q'^'x^y que nous désignerons par X.

En projetant la droite xqf ew\è plan horizontal , on aura : x/'q"' , et dès lors on aura :

dê^zs îg^. cos X = 5V . 00$ > Cela posé :

Menant par le point x un plan horizontal , il coupera la génératrice extrême du

cône S' en un point i', et Ton aura : <'t'=«'*i'', puisque la droite s'i' est parallèle au

plan vertical de projection ; de plus ^ l'on sait que les droites s'x et s'i' sont égales ,

on a donc :

Toutes les droites 9'x , quel que soit le point x sur l'ellipse E , font le même angle

avec le plan horizontal ^ angle qui est égal à Fangle q'''s'H'''j que nous désignerons par a ; en sorte que projetant la droite s'x sur le plan horizontal , on «ura :

Or en vertu des triangles semblables a'^'ivY'' et ^ Y*'a'''^ m aura ^ quel que soit le point X sur l'eUipse E :

r^=r ^ oonstanle ss & q^x'