SA

De [dus, il est évident, parla figure^ que l'ona : X< aj par conséqoQiEit 1 on a :

flcV>«'V

D'après ce qui précède , on voit que Ton aura :

•!• = Goostante = B .

^Jf C08O

Et l'on aura de plus* V < a?*^'*, car ai Ton prolonge la verticale passant par le point a'*" jusqu'en / sur la droite «'"9'", on a évidemment ; «'"/ < (7'% en vertu de ce

que l'on a: X<<x, Ainsi y l'on aura toujours pour l'ellipse E , B.< 1 , et pour Tellipse A l'on aura :

cos>

'Ce que Ton a fait en considérant le cône S', on peut le répéter pour le cône S , et l'on démontre ainsi que Tellipse A a deux (krectrices K* et K*, perpendiculaires à son grand axe, situées en dehors de la courbe et équidistantes des foyers/ et/' de la courbe.

Pour C hyperbole:

Plaçons l'hyperbole E {fg. 33 ) (située dans un plan P et projetée horizontalement en l'hyperbole A ayant ses foyers en/et/'), et chacun des cercles D et C (décrits

des foyers /et/' conune centre et avec fa et fa pour rayon) sur dçux cônes de révolution S el S' ayaont pour sommets les points s et «'. ^

Gela fait :

Menons par les sommets s et ^ des plans horizontaux R et R' coupant le jtofi P en les droites K et K'.

Si nous prenons un point x sur l'hyperbole E , en menant par ce point x un plan horizontal , lequel coupera la génératrice extrême du cône S en un point î, on aura :

En menant du m^e point x , et dans le plan P, une perpendiculaire à la droite K et la coupant en un point q^ on aura :

xq = x*q^

Les deux triangles «V^*" et (f a;*r étant semblables , on aura ^ quel que soit le point x:

— ^ = constante = L

et L sera plus grand que l'unité , car il est évident que dans le triangle «Va*, l'angler

en < OU 0t est plus petit que l'angle en 9- ou « , ainsi on a : L> 1 .

Toutes les droites sx font avec le plan horizontal le même angle a ; en projetant $x sur le plan horizontal y on aura :

Toutes les perpendiculaires xq font avec le plan horizontal le même angle A ; ea projetant xq sur le plan horizontal , on aura :

xq . cos.> = xV On aura donc, queile que soit la position du point x sur Thyperbole E :

fr" cos>

= Jl4 •

cos X

et Ton voit de suite sur la figure que : L . , sera plus grand que Tunité.

Au lieu de considérer le foyer /et le cône S , on pourra considérer le foyer/' et le cône S' et par suite la droite K', et Ton aura des résultats identiques.

Ainsi, il se trouve démontré que l'hyperbole À a deux directrices K* et K'* perpendiculaires à son axe transverse , équidistantes de ses foyers/ et/' et situées entre ses sommets a et a (*).

' '■■ ■ .... I - Il I. Il ■ ■ .. .1 I I . I II ■ .111 . ■■ ■ .1 yi I. I ■

(*) Étant donnés une section conique A ( ellipse , hyperbole , parabole ) , son axe X ( cet axe X étant le grand axe de Vellipêe, ou l'axe transverse de Vhyperbole^ ou l'axe infini de la parahoîe) et l'un de ses sommets a situé sur l'axe X et le foyer f le plus proche de ce sommet , on peut très-facilement construire la directrice de cette conique A , qui correspond au foyer f.

En effet :

Nous avons vu que la conique A pouvait être regardée comme la projection orthogonale d'une conique E, et qu'en traçant un cercle C ayant le point f pour centre et ayant fa pour rayon , on pouvait envelopper les deux courbes C et E par un cône droit S dont le sommet i se projetait horizontalement en le foyer f.

Nous avons vu que si par le sommet $ du c6ne S on menait on plan horizontal , il coupait le plan de la courbe E suivant une droite K qui , projetée orthogonolament sur le plan horizontal ( qui n'est autre que le plan de la courbe A ) , donnait la directrice de la conique A.

Or, en vertu de ce qui a été dit dans la première partie ( $ Y )» si l'on imcrit dans le cercle C un hexagone dont les trois couples de oétés opposés soient composées de lignes parallèles » le pdU sera le centre f de ce cercle, et sapototre sera à l'infini.

Le plan delà courbe E sera donc coupé par le plan horizontal mené par le somatet $ du cône S suivant une droite K qui, étant consîdéréecomme jiola«W,aura pourpi^e , par rapport à la courbe B, le point en lequel l'axeTjf dece cène S sera coupé par le plan de cette courbe E.

Or la projection R^ de la droite K est la directrice de la conique A ; donc le foyer f sera le pdl€ de la courbe A , R^ étant la polaire.

Pour construire la directrice R^, il suffira donc de mener par le fbyer f une perpendiculaire à l'axe X et coupant la conique A en un point x. Menant en x me tangente t à cette conique A, cette tangente viendra couper l'axe X en un point p, et menant par ce point p une perpendicukiire K^ à Taxe X , on auça la directrice de la conique donnée A,