XX

Des focales des sections coniques.

Lorsque nous avons étudié les propriétés d'une section conique A (ellipse, hyperbole ou parabole), nous avons vu qu'en considérant cette courbe A comme étant là section droite d'un cylindre vertical 2 , et qu'en coupant ce cylindre par un plan P suivant une section conk;ue E ( cpii était une ellipse, ou une hyperbole, ou une parabole , suivant que la courbe donnée A était une ellipse , ou une hyperbole ou une parabole ) , nous avons vu , dis-je , que l'on pouvait envelopper la courbe E

(*) Voyez la note A à la fin de la seconde partie de ce mémoire»

— filet les cercles D et C décrits des foyers / et / de la courbe A comme centres , avec fa et /o^pour rayons ( les points a et cl étant les sommets de la courbe A , ellipse , ou hyperbole) , par deux cônes de révolution et ayant chacun son axe de rotation perpendiculaire au plan horizontal, c'est-à-dire au plan sur lequel se trouvait tracée la courbe A.

Nous avons vu de plus que lorsque la courbe A était une parabole (ce qui établissait que la courbe E était une parabole) , nous avons vu , dis-je , qu'en vertu de ce que la courbe A n'avait qu'un seul foyer/ (l'autre étant situé à Tinfini) , on n'avait que le cercle D décrit du foyer / comme centre et avec fa pour rayon ( le point a étant le sommet de la parabole A) , et que ce cercle D et la parabole E étaient toujours enveloppés par un cône de révolution dont l'axe de révolution était vertical , c'est-à-dire perpendiculaire au plan de la parabole A.

Nous avons vu de plus que les sommets de ces cônes de révolution se projetaient orthogonalement sur le plan delà courbe A, en les foyers de cette courbe k.

Cela étant rappelé :

Si nous nous en rapportons à la construction des sommets s et 5' des cônes de révolution Set S'(/gr. 4, 1 8 et 27), nous devons remarquer que nous avons démontré, en prenant un point arbitraire sur la courbe E , que l'on avait toujours : \'' 9x + s'x :s constante , lorsque la courbe E était une ellipse ; 2* «a? — g*x = constante, lorsque la courbe E était une hjjperbole ; et 3* sx = xq^ lorsque la courbe E était une parabole {sx étant la distance du sommet du cône de révolution S au point x de la parabole E, ^ixq étant la distance de ce même point a: à la droite Q perpendiculaire à l'axe infini de la courbe E ) .

En sorte que les sections coniques n'ont pas toujours leurs foyers situés sur leur plan , puisque tout en démontrant l'existence des foyers/et/' pour l'ellipse ou l'hyperbole A et la propriété dont jouissent les foyers , savoir : que ta somme ou la diffé^ rence den rayons vecteurs est constante , on trouve que pour la section conique £ (ellipse ou hyperbole), les sanunets «et s' des cônes de révolution ( sominets qui sont situés hors du plan P de la courbe E) jouissent, par rapport à la courbe E j des mêmes propriétés dont jouissent les points /et/' (situés sur le plan de la courbe A) par rapport aux divers points de cette courbe A.

Nous sommes donc tout naturellement conduit à penser qu'il doit exister une suite de points hors du plan de la courrbe E qui jouissent des mêmes pri^riétés dont jouissent les foyers F et F^ situés sur le plan de cette courbe E.

Examinons donc si , en effet , il existe une courbe dont les points puissent être considérés comme foyers d'une section conique E j et si cette courbe existe en.çflet , nous lui donnerons le nom de focale de la section conique E.