XXI
Reprenons Tanciennejîgf. 10 ou 12 ; nous construirons la fig. 34, dans laquelle Tellipse donnée E , située sur un plan P perpendiculaire au plan vertical de projection , sera projetée horizontalement en l'ellipse A ou E* ; en sorte que la courbe A sera la projection orthogonale de la courbe E.
Nous pouvons déterminer les foyers/ et/' de la courbe A et construire dès lors les cônes de révolution S et S' qui enveloppent la courbe E avec les cercles D et C (nous n'avons représenté sur la jfîjr. 34 que le cône S).
Cela posé :
Nous pourrons prendre le plan P pour nouveau plan horizontal de projection, la droite V devenant une nouvelle ligne de terre L'T' ; et il est évident que le plan Z perpendiculaire au plan P, et passant par le grand axe ad de l'ellipse E, sera parallèle au plan vertical de projection.
Il est encore évident que ce plan Z coupera l'ellipse E suivant son grand axe adj Tettipse A suivant son grand axe aa', et que ce plan Z contiendra le sommet 9 du cône S et coupera ce cône S suivant ses deux génératrices extrêmes «i et m' ; de plus , ce plan Z coupera le cercle D suivant un diamètre ai.
Nous pourrons ne considérer que les lignes situées dans ce plan Z et examiner leurs relations de position , parce que si l'on fait passer par une droite perpendiculaire au grand axe de l'ellipse E une suite de plans Q', Q", Q'", . . . toutes les projections orthogonales A', A", A'",... de l'ellipse E sur ces divers plans, seront des ellipses ayant leur axe parallèle au petit axe de l'ellipse E qui aura même longueur que ce petit axe.
En sorte que désignant par a et 6 le demi grand axe et le demi petit àxe de l'ellipse E, para', a", a'",.-- les demi grands axes des ellipses A', A", A'",.- les demi-axes de ces ellipses seront :
a' = a . cos a' et 6 pour la courbe A'
a"=a.cos«! et 6 A"
a =a.cosa et o A
etc. etc.
«', «", »",.•• éton* '^ angles que les plans Q', Q", Q'",... font respectivement avec le plan P de la courbe E.
Nous pourrons donc construire de la manière suivante \aifig. 35, qui donne toutes les KgMB flftvées dans le plan Z.
Sur âd{ ou 2a) qui est égal au grand axe de Vdlipse E considéré comme diamètre , nous traçons un cercle d.
Menant du point a une corde aa du cercle dy cette corde (si elle est plus grande que 26 qui est la valeur du petit axe de rdlipse E ) sera le grand axe de l'ellipse A , projection orthogonale de Tellipse E ^ur un plan Q faisant avec le plan de cette
courbe È un angle égal à : a! ad ou a.
L'ellipse A ayant un petit axe égal à celui (26) de la courbe E, nous pourrons construire sur aa' les points /et/', qui seront les foyers delà courbe A.
Prenant fr=:fay nous construirons sur la droite aa' le point r, et élevant par le poinf /une perpendiculaire à la droite aa% cette perpendiculaire sera coupée par la droite rd en un point s qui sera le sommet d'un cône de révolution S passant par TelUpse E.
On pourra donc construire de la même manière autant de points s que Ton voudra ; et l'on doit remarquer que si l'on mène par le point a une parallèle à la droite srd , elle coupera la perpendiculaire menée à la droite aa par le second foyer /' en un point s' qui sera le sommet d'un cône de révolution S' passant aussi par la courbe E.
En sorte que pour chaque corde aa du cercle 3, on construira deux points s et s appartenant à \di focale de l'ellipse E ; et ces points s eis seront des foyers extérieurs et conjugués de la courbe E ( ils seront dits extérieurs , parce qu'ils sont situés hors du plan de la courbe E ; ils sont dits conjugués , parce qu'ils sont les sommets des deux cônes de révolution S et S', qui sont les seuls que Ton puisse construire en considérant séparément chacune des ellipses A , A\.,. projections orthogonales de TellipseE). Parmi toutes les cordes que l'on peut mener du point a dans le cercle d, il y en aura une al qui sera égale au petit axe 26 de l'ellipse E. Cette corde sera alors le grand axe de l'ellipse A, , projection orthogonale de l'ellipse E ; mais cette ellipse A, ayant son petit axe égal à 26^, il s'ensuit que cette courbe A^ ne sera antre qu'un cercle , ou une ellipse dont les axes sont égaux et dont les foyers se confondent en un seul et même point.
Dès lors pour cette courbe A, , les cercles analogues aux cercles D et C construits pour chacune des autres ellipses A, A', A'V- ^ confondront avec cette courbe A. en un seul cercle ; et dès lors le cône de révolution S, , qui passera dans ce cas par l'ellipse E , ne s^ra autre qu'un cylindre de révolution enveloppant à la fois et le cerde A, et l'ellipse E ^ et la constructioii nous dit , en effet, que dans ce cas le sommet «, de ce cône S. est situé à l'infini , car ce point «, n'est autre que le point d'iaterseetion de la droite ctf et de la perpondicutaire menée à la corde al en son milieu y ; w cette perp^idiculaire n'est autre que la droite yo' ( le point a' étant le
milieu de ae/) ; par conséquent iltst, évident que les droites yo' et dl soat parallèles. Si l'on menait dans la courbe $ et par le point a une corde qui fit avec^ un angle
plus grand que lad , on aurait Taxe d'une ellipse A, dont le second axe (perpendiculaire au plan Z) serait égal à 2fr , et dans ce cas le grand axe de Tellipse Â, serait égal à ib et serait perpendiculaire au plan Z et non situé dans ce plan Z , comme cela avait lieu pour les ellipses A , A', A", ... ; dès lors les foyers de cette ellipse ne seraient plus situés sur le plan Z^ et les constructions précédentes ne pourraient plus être exécutées.
Si Ton trace le cercle d en entier, on pourra mener par le point a une corde qui fasse avec ad^ mais en dessous , le même angle a que la corde aa' fait avec ad^ mais en dessus , et il est évident que Ton trouvera deux points *o et sj qui seront situés par rapport à la droite ad ou ay en ordre inverse , mais symétriquement par rapport à c^tte droite xy avec ^les points s et s'; la courbe lieu des points s et s' est donc symétrique par rapport à la droite ad ou xy ; elle passe par les foyers F et F' de Tellipse ; elle est composée de deux branches infinies g et g', Tune l est le lieu des points s... j l'autre l' est le lieu des points «'...; chercfaons maintenant la nature géométrique delà courbe /oca/e $$'.
Si nous considérons un point quelconque s de la courbe ^', on aura les deux rayons vecteurs sa et sd , et Ton voit de suite qu'en vertu des constructions précédentes , ona : «a=«r.
Si donc , qudle que soit la position du point $ sur la courbe H'j on a :
rdssoonslante, on en conclura que l'on a :
sd^ la =s constante , et que dès lors la courbe 1^' est une hyperbole ayant son axe transverse situé sur la droite indéfinie ad et ayant les points a et c^ pour foyers >
Cherchons donc si^ en efiEet , rd est constant. Élevons par le point o, milieu de la corde aa'^ une perpendiculaire à cette corde , et prenons on=:b{b étant le demi petit axe et de l'ellipse E et de sa projection orthogonale A).
Joignons les points /et n; joignons les peints/ et o (o' étant le milieu de ad).
Cela fait , on a :
on=6
ao^sxa
<IO=:<('=a.C08c
Ainsi j Ô7 est constant , quelle que soit la corde asi que Ton considère dans le cercle d.
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
TnÉORàMB. St tan projette orîhogonaUment une ellipse E sur une suUe de plans Q , Q', Q",.-- passant tous par la tangente en l'un des somtneU de cette ellipse E (le sommet conridéré étant C extrémité du grand axe de la courbe E ) , les foyers des diverses ellipses A, A', A",.-- projections orthogonales de la courbe E, seront tous situés sur un cercle 9 ayant pour centre le centre de la courbe E et pour rayon la demi-cUstance existant entre les foyers de cette même courbe E*
Ce cercle d' sera situé dans un plan Z perpendiculaire au plan de C ellipse E et passera par le grand axe de cette courbe.
Gela posé :
Les deux triangles fao et rad étant semblables , on a :
TdCad ixJSîaô' ou:
Td: 2a ::V^a'— 6*:o d'où :
rd= — . V^ a — 6* = 2Ï^a'— 6"= FF a
Ainsi y rd est constant et égal à la distance qui existe entre les foyers F et F' de reUipse E.
Nous pouvons donc affirmer que Thyperbole ^ a pour swnmets \e& foyers F et F' de Tellipse E , et pour foyers les sommets^ a et d de la même courbe E.
Remarquons que la droite /s divise , par construction , en deux parties égales
r angle asd; or cette droite/i est Taxe du cône de révolution S ; nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
THÉORèiiE. Les axes des divers câhes de répoluium qui passent par une ellipse E sont umgents à Chyperbole focale }£ de cette elUpse^ et le sommet de chacun de ces cônes est précisément k pmnt en lequel ta f6Cale ^^ est touchée par l'axe du cône considéré.
Si par les pdnts s et s' sommets des cônes de révolution S et S'^ points qui sont, ainsi que nous l'avons dit plus haut^ des foyers extérieurs et conjugués de Tellipse E (fig. 35), nous menons des plans I et T perpendiculaires au plan Z et aux axes sf et sf des cônes S et S', ces plsms couperont le plan Z suivant les droites si et si', lesquelles seront parallèles, parce que les axes ^^et»/' sont parallèles.
Ces plans I et V couperont donc te plaa de Tellipso E suivant des droites I. et 1/
perpendiculaires au grand axe ad de TeUipse E, et ces droites I, et 1/ passeront res* pectivement par les points i et t".
Or, comme les triangles «ta et s'i'd sont égaux , puisque : 1 * ra est parallèle à ê'd et lui est égale , attendu que nous savons que le quadilatère ms'd est un parallélogramme ; et S* que si est parallèle à s'tj puisque les axes {/et s'f sont parallèles, on en conclut que Ton a : ta = i'd.
Ainsi , les directrices I, et 1/ de Tellipse sont équidistantes des foy^*s F et F de cette courbe E.
Et Ton pourra dire que les directrices équidistantes des foyers F et F' de Tellipse £ sont des directrices conjuguées , tout comme nous avons dit que les foyers s et -s' étaient conjugués.
Or , comme nous savons que pour un point x de Tellipse E on a toujours ^ quel que soit ce point x :
«a?+a'â?=sooDsUinle, (l)
et que si Ton abaisse du point x unç perpendiculaire sur les directrices I, et 1/ coupant I. en q et 1/ en q'j on a :
SX
xq
et
on voit que Ton déduira des équations (2) et (3) :
sx^K.xq et s'âp:=K'.x9' et en vertu de Téquation (4 ) , on aura :
fi-f Vx=: K .lcq+ K'.x^= omslanlc. (4)
Or il est évident que cette équation (i) ne peut exister qu'autant que Ton a :
Ce résultai a lieu en effet, car les triangles soi et s'<H' étant égaux , on a :
-zr = -=z- donc en effet: K=K'
Gela dit:
Bi Ton prend deux points , Tun s sur la branche ( de Fbyperbole focale , et
l'autre $' >snr la seconde branche X àe la m^e courbe , nous voyons que Ton aura toujours , quelle que soit la position du point x sur Fellipse E :
tx-^tlx^ constante ,
lorsque les points s et s' seront des foyers extérieurs et conjugués , lorsque dès lors ces points b et s' seront équidistants du plan de la courbe E. Mais si les points « et s sont arbitrairement pris sur Thyperbole K'> aura-t-on toujours :
«r -|- ^0? = constante ?
C'est ce que nous allons chercher.
En se rappelant les théorèmes de MM. Quetelet et Dandelin , on sait que si Ton inscrit une sphère 0 à un cône de révolution S et à un plan sécant P, le point de contact/ du plan P et de la sphère 0 est le foyer de la section conique E suivant laquelle le plan P coupe le cône S,
On doit aussi se rappeler que la sphère 0 touche le cône S suivant un cercle d , et que si Ton mène du sommet s du cône S une droite à un point x quelconque de la courbe E , cette droite coupera le cercle 3 en un point d , en sorte que la droite sx sera composée de deux parties dx et sd ; la partie dx variera de longueur avec la position du point x sur la courbe E , mais la partie sd sera constante quel que soit le point X de la courbe E ; de plus , joignant le point x avec le foyer/, on sait que l'on a: fx = dx.
Gela dit :
En imaginant l'hyperbole focale H' de l'ellipse E , si l'on prend deux points arbitraires , l'un s sur Tune des branches Ç et l'autre s' sur l'autre branche $', je dis que l'on aura toujours :
m;4- â'â? = constante ,
car désignant par a et d les sommets de la courbe E , nous pourrons inscrire un cercle A dans le triangle tad et un cercle A' dans le triangle s'ad , et l'on sait que A touchera ad en un point F et A' touchera ad en un point F' ; et ces points F et F seront les foyers de l'ellipse E et les sommets de l'hyperbole focale H'.
De plus , le cercle A touchera les côtés sa et sd en les points m et n , et le cercle A' touchera les côté^ s'a et s'd en les points m' et n! ; en sorte que si l'on prend un point X sur l'ellipse E , l'on aura :
$x = xF4-$m et
j'aras^F'+â'm'
On a donc évidaBomNit :
«X -^Txss ( ÏF -f xF) + (Im+ ?m^) = constante , car Ton sait que :
xF 4" x¥ = 00D8taote= ad el que :
9^ "^ » Ml ss; mnsteiiWy
quelle que soit la position du point x sur Tellipse E. (Voyez le Cours de géométrie descriptive j 2* partie.
Ainsi , nous sommes assuré que , quelle que soit la position des points s et s' sur l'hyperbole focale , on aura toujours :
Or, pour construire {fig. 36) la directrice de TeUipse E correspottdaxit au poînt « , il faut mener par ce point $ une normale à Thyperbole focale et venant couper la droite ad en un point %. Ou fera la môme chose pour le point a', et Ton aura le point î'. Dès lors les droites I et V perpendiculaires au plan Z et passant par les poi^ i et i seront les directrices de Tellipoe E par rapport aux fogers extériewrs situés sur la focale ll'i si du point x de T^ipse E on mène des perpendiculaires aux droites I et r, on aura :
a?g et xq' or jrg==â?r et oc^^xf^i'
et nous aurons dès lors :
= K et ----- =8 K'
et comme :
Fi+^=«^«conataote (6)
on voit qu'en v€flrtu des équations (a) et (^) on devra avmr : K s^K'.
Ainsi, yi est dâfuontré que> quelle que s(Ht la position des foyers « el #' sur l'hyperbole focale , on aura to^)OlKrs :
SX 9^X
Pi" ^ On peut donc énoncer le théorème suivant (/j* 37) :
TniÊORÈME. Étant donnés une hyperbole 1^^ son axe transverse FF' et ses foyers a et d , si F on prend sur la branche ^ un point s et sur la branche ^ un point s\ si ton construit en B et s' les tangentes 9. et 9^ à £ hyperbole , si ton mène les droites sa et s'd
et les normales en sets' à r hyperbole , ces normales coupant Vaxe FF', tvne en m et C autre en m' , je dis que si <Cun point quelconque "Si de la droite ad on abaissé des per» pend&cuUàres y l'une sur la tangente 9 et qùon la prolonge jusqu' en q sur la droite sa , et C autre sur la tangente 9\ et qu'on la prolonge jusqu'en q^ sur la droite s'à^je dis que Con aura iotgours » pour UM pçint xisitué mer ad entre les points a «l d') ;
sq /g'
On peut encore énoncer le théorème suivant {fig. S8 ) :
TntMtnM. Étant donnée une byperbdtj $i f» émtJi ptmVs s^ 0\ ^\.». de cette courbe, mt mène kt$ narmaies N^ N', N",,^. 4 eeête kyperbole^ ces normales oonptmi txi:x^ jTfomerse en les pointsnfn\n"y.,.i » VonumtlefoyârF éetk^j^erboleânntkê peints St ^t ^"f*-^ on aura toujours : ,
4= = 4=7 =-=-== c>tc. = Kr)
Fn Fn' F;i"
'mf
(*] Les diverses Boropiales^n, «'fi',.<VV" (^* 38)BMii4e8Âl'hyfierb»Ie aoat les eovetoppàiis 4*une courbe CC symétrique par rapport à Taxe transverse de Thyperbole ( puisque cette hyperbole est elle-iutéme :»ymétrique par rapport a cet axe), et eNe a un point de rebroussement en un certain point l situé sur Taxe
Chacun des points de la cotirbe CC étant déteimioé par rÂûterseotieo Ae deax«9nnAles wooessims et infiniment voisines , se trouve être un centre de courbure de Thyperbole. Le point de rebrousflement jser^ donc le centre de courbure de la t>ranche ^ do rhyperbole pour son sommet a ; et Ton aura diaprés le théocème^û'^easus :
La directrice de l'ellipse E (dont Thyperbole ^|' est la focale) ayani FF' pour grand axe et les points a et û! pour loyens , auna pour 4îri0elrire calaCîve au loyer «' âne droite L perpendîciriaire à l'axe FF et passant par le point { , et comme nous savons déjà que pour l'ellipse, K est plus petit q'ue Tunité , on a :
aF<FÎ
Nous pouvons donc déjà conclure que pour une hyperbole son centre de courbure i , pour son sommet a, est situé sur Taxe transverse et au delà du foyer F,
Bt comme nous savons qu'en traçant un cercle / inscrit au triangle FVF, le point s' étant arbitrairement-pris sur l'hyperbole focale , ce oerde touehe FF' au point a , i'oyer de l'eUipse B , et que la droite fq, qui unit les oontads deoecesole iTavec les côtés #¥^et ÎT, passe par le point i, c'est-é-dire par le point en .lequel kidiseclrice L de l'ellipse E perce son grand axe prolongé , on voit de suite que cette propriété nous fournira une construction très-simple du centre de courbure l d'une hyperbole |^' pour son sommet a (fiff. 38).
Ayant oonstroH le<point l , centre de oourbure d'une hyperbole donnée par son tracé et dont on connaît
