XXII

Focale de C hyperbole.

Ayant discuté en détail Isl focale de Tellipse, nous pourrons abréger la discussion relative à la focale de Thyperbole et aussi celle relative à la focale de la parabole.

Dès lors étant donnée une hyperbole E sur le plan horizontal , ayant pour centre le point o\ pour sommets les points a et d et iponr foyers les points F et F' ( fig. 39) , noos pourrons ne considérer que la figure tracée dans le plan vertical M passant par Taxe transverse de cette courbe E.

Nous désignerons le demi grand axe ao de l'hyperbole E par a , son demi petit axe par b ( appelant demi-axe une droite qui , menée par le centre o et perpendiculairement à Taxe transverse , a pour longueur la partie de la tangente 9 menée au sommet a de la Qpurbe qui se trouve interceptée entre ce sommet a et l'asymptote I) .

Nous tracerons sur l'axe transverse ad comme diamètre un cercle i , et sur ao' comme diamètre un cercle y.

Par le point a nous mènerons une corde arbitraire aa qui sera coupée par le cercle d' en un point o milieu de cette corde.

La corde aa' sera la projection verticale sur le plan M de l'hyperbole A , laquelle hyperbole A est sur le plan P ( perpendiculaire au plan M et ayant pour trace sur ce plan M la corde oa'), la projection orthogonale de l'hyperbole E; de plus cette

corde oa' sera l'axe transverse de la courbe A.

les somiiiets a et o' et les foyers F et F', on pourra construire là normale en un point quelconque <" de cette hyperbole {fig, 38), car on mènera la droite «"F et Ton construira la droite Fn" au moyen de la proportion :

Fn":«"F::IF:Fâ

Bt en joignant les points n'' et •" on aura la normale an point $" de la branche (' de l'hyperbole donnée.

ConsirMelion par points de Phyperbole»

Ce qui précède nous permet de construire par points une hyperbole dont on connaît (fig. 36 bis) Taxe transYerse W et les foyers a et d.

En effet :

On décrira sur FF' comme diamètre un cercle C ; du foyer a on mènera une sécante arbitraire coupant le cercle C aux points /et /*' ; on élèvera en fet f deux perpendiculaires y et y' à la sécante a/'; on portera sur cette sécante af' les distances'/V' «»7Â et fY »*7^ et Ton aura les deux points r et r' ; les droites rd et f'd couperont respectivement les perpendiculaires y et >' en les points • et #' qui appartiendront à i*hyperboIe.

Pour obtenir les asymptotes de Thyperboie on mènera par le foyer a deux tangentes au cercle C, et lé touchant l'une ao point y et l'autre au point v'i les droites c'y et o'y' seront les asymptotes demandées.

Les foyers /et/' de l'hyperbole A seront évidemment dans le plan M et situés sur la corde ad^ et je dis qu'ils seront de plus sur le cercle 6 décrit du point o comme centre et avec oT pour rayon.

En effet :

Menons par le point a une droite perpendicula^ à la corde axx^ et prenons sur

cette perpendiculaire une longueur az=6== le deny petit axe de Thyperbole E.

Nous aurons : •

ao'= a

F étant le foyer de Thyperbole E , on aura :

Si /est le foyer de l'hyperbole A, on a:

Dans le triangle rectangle aoo\ on a :

Dans le triangle rectangle/^)', on a :

7V'= 7b'+ 5?*= (cT+V) + («•— a'») = a'+ V= ?P

Ainsi , il est démontré que les foyers /, . . . et /, . . . des diverses hyperboles A, . . ^ projections orthogonales de l'hyperbole Ë sur les divers plans P,... perpendiculaires au plan M et ayant pour trace horizontale la tangente 9 en le sommet a de l'hyperbole E , sont tous distribués sur le cercle 6 (*) .

(*) Nous avons vu que les foyers des projections orthogonales d*une ellipse E ou d'une hyperbole E^ , sur les div^ plans P, P', P",... passant par la tangente en Tun des sommets a, extrémité du grand axe de l'ellipse E ou extrémité de l'axe transverse de Thyperbole E^ , étaient tous placés sur un cercle C situé dans le plan M, qui, passant par le grand axe de Tellipse E ou Taxe transverse de Thyperbole E^ , était perpendiculaire au plan sur lequel était tracée cette courbe E ou E^, et que ce cercle C avait pour centre le centre de la courbe E et E^ , et pour rayon la distance de ce centre à l'un des foyers de cette courbe E ou E^.

L'hyperbole donnée E| se projette toujours sur les plans P, P', P",..* suivant une hyperbole dont l'axe transverse est toujours située dans le plan M ; mais Tellipse donnée E se projette sur les plans P, P', P", . . . suivant deux séries d'ellipses, les unes ont leurs grands axes situés dans le plan M, les autres obC leurs grands axes perpendiculaires à ce plan M.

Et le passage entre ces deux séries d'ellipses, projections orthogonales de l'ellipse E , est déterminée

Gslt âÊLj, dtoflPiWM fae toi awMugte g ëeft femmes wèntstiom qui panent par Vk^fcAdeE BmÂtamfàïmÉÊ nr laoe eilqiie *raaée. idaM le pkn. M <t «pat ff' pour grand axe et les points a et d pour /oyer«.

Il faut donc démontrer que Ton a :

iÇâ -Çld = eonitante.

Or si Ton. prolonge la droite^^d jusqu*à sa rencontre avec la corde aa^ on anra

par une ellipse A^, projection orthogonale qui est leUe, que ses aies sont égaux, c*est-à-dire par une eilipee Â, qui n'est autre qu'un' cercle.

On voit donc que pour l'ellipse E les foyers de ses projections orthogbnales sur les divers plans P, P', P",... doivent être distribués sur deux courbes, l'une qui ne sera autre que le cercle C, et l'autre qui sera une courbe à double courbure ^u , que nousallom défeemimar.

Prenons (fig. 39 bis) pour plan vertical de projection le plan M, et ne traçons sur le plan horizontal que la demi-ellipse E, qui se trouve en avant €ti -plan V.

Désignons par a le demi grand axe et par b le demi petit axe de la courbe-donnée B.

Le demi petit axe b sera perpendiculaire à la ligne de tenreLT.

Les points f et f étant les foyers de l'ellipse donnée E» ie cercle C aura pour diamètre ff\

Menant par le sommet a de l'ellipse E une sSrie de droites V% Y^', Y'",... on aura les traces verticales des plans P, P', P'',... sur lesquels on doit projeter ortho^onalement l'ellipse donnée £•

Décrivant sur aa'^ grand axe de l'ellipse E , et comme diamètre un cercle /, ce cercle placé dans le plan vertical de projection (ou dans le plan M) interoeptera :6iir les ttreites Y'|... des cordes, qui seront les grands axes des ellipses projections orthogonales de l'ellipse E.

Menant par le sommet a une corde qui soit égale à 26 (petit axe dei'«lttpa0S),'CiD.«Ka «le taopmte au cercle C.

A partir de cette Corée, toutfis les demncordes menées par le point a dana le «erole/, seront plus petites que b, et dès lors on aura pour projections orthogonales de l'ellipse E , des ellipses dont le grand axe sera consUnt et égal à 2^, et qui sera perpendiculaire au plan vertical de prejecUon (on perpeadiculaine au p^an M^ , en sorte -que les foyers de ces ellipses seront situés hors du planfrertical de projection M.

il est éviiaBit qœ laiisises Icftm «eut distants du pdfnt s (fane quantité égaleâ h ( demi petit axe de L'4dUv0etlQBBée B^.

Il est encore évident que tous ces foyers se projelteoi vertiGalanantsur 1b ceade /, qiii ;pa88eiMr iee milieux des cordes qui sont menées dans le cercle C par le point a ^ point qui est situé sur ce cercle C. Il est aus5j évident i}ue Jes^ûccles^^J' aoni tangents «u poini^u

On peut donc énoncer le théorème suivant :

THÉonàMn. Za caurbê^ià àoulde ceurbure)^ li$u des fojfâtê dêi prtrfteté^nê esrMkùgmmUi dmm tWpêe àofKùét E, jumt UêdiiMr9flamMpaêÊmUf4Mr la tanfe^U 6 an mm looMiiif n (êmtrémitéém gtami ax4 ) , tsl^ àorsquB Im eUifiêêê frofêctioni orlAtifonofes ^mt km grtmd «m éèrigé^erpmêiewimr^ ment au gtûaA Oioe 4ê VMifêe E^ «ne oêmée à éomble cmtrbm^ fM n'ut mOre qui l^àHertadtan d'uiu âfihén S Aéarita du sommet a comme eemUre et oëec an reiyem égal (mdemâ petit axe b de Vellipee E, et sur un cylindre 2 de révolution ayant pour section drçite le cercle décrit sur le êem gremd axe àsVeUspee £ eattsene dku%é^e, ee cylimdre a§eM su pénéntiÊrices àrmiee peaMèles au plamder^ipeeE»

Aiim ie^lindresaunndnsesgénératrioMdvoîteaqiii passepar le centre de la sphère -6, et son rayon est plus grand que celui de cette sphère. Ce i|ui pnéoède nous nonkiH Innt nntngtltenmnt à examiner quel e0t le lien des foyers des ellipees

— fiole pont a, ; ^ S eal évidrat qne Ton cura : m=:m. , puisque la <Jhoite tf^nA une perpendîcolaire sur cm'.

Pour démontrer ie théorème éuORoé , il suffit doue de pronver que la droite ad, QAt oonstaute de Icmgueur.

Lûft deux triangkfi ^' et oa^d aoot afflnblaHftfl ^ puisque Ton a :

af=^aa^ et ao'=7.a<f

Dès lors les droites/o' et a,d sont parallèles,

La sioûlitude de ces deux triangles donne la proportion suivante :

'éh,:'7fy.7!d:7a ou aî,:l/<?+F:: 2o:a d'où: 33^= 2W'?+7= PF

pvojectioiis orfhogontles d'une effff»se donnée 1 , 3iir les ditere plaps pessant fwr la laiigefite ^ menée en Teilrémilé A du petii axade«e(toeinp8eE.

Dans ce cas les foyers de toutes les ellipses projections ortho^alea seront situés sur des droites parais lèles au plan M , qui, passant par le grand axe de l'ellipse donnée E , est perpendiculaire au plan de cette courbe E.

Dès lors tous ces foyers seront sur un cylindre de révolution ayant la tangente 6' pour une de ses génératrices droites y et ayant pour section droite un cerclé /' dont le diamètre sera égal au demi petit axe b de l'ellfpse B.

Bq outre tous ces foyen seront sur une sphère doni le centre sera en le point « ei dont le rayon sera égal au demi grand axe a de Tellipse B.

Ainsi lorsque les plans ^ur lesquels Ton projette orthogonalement une ellipse E passent tous par la tangente S menée au sommet a, qui est l'extrémité du grand axe de cette courbe E , les foyers des ellipses projections orthogonales sont situés sur deux courbes , l'une est plane , c'est un cercle , Kantre est à double courbure»

Lorsque les plans sur lesquels Ton projette orthogonalement une ellipse E passent tous par la tangente 6' menée au sommet qui est Textrémité du petit axe de cette courbe E, les foyers des ellipses projections ortliogonales sont situés sur une seule oonrbe qui est à double courbure.

Cette courbe à double courbure eat , dans U pramt^ eoi , l'inlerseclion de la sphère 8 ayant son rayon égisl au demi petit axe de l'ellipse E et d*un cylindre £ de révolution dont l'une des généraUrîces droites passe par le centre de cette sphère , et dont le diamètre de la section droite est égal au demi grand axe de lu n>ème courbe E; et dans ce premier cas la courbe intersection de la sphère S et du cylindre s est une courbe ù*arraehement.

Dans le second cas la sphère S a pour rayon le demi grand axe de Tellipsc E , et le cylindre £ a pour diiimèlrc le demi petit axe de la même courbe E ; dans ce second cas la courbe intersection de la sphère S et du cylindre £ est composée de deux branches ou courbes fermées, branche d'entrée et branche de ëortie.

Enfin si au Heu de prendre une ellipse E on prenait un cercle E et qu'on lo projetât ortliogonalement sur une suite de plans P, P', P",... qui passeraient tous par une droite 9 tangente en un point a de ce cercle B, on obtiendrait une suite d'ellipses projections orthogonales dont les foyers seraient sur la courbe intersection ( d*une sphère S ayant le poini a pour centre et pour rayon le rayon ^ du cercle donné E , et sur un cylindre £ de révolution dont les génératrices droites seraient parallèles à la tangente 9 (laquelle tangont^ B serait une de ses génératrices droites), et dont la section droite aurait pour diamètre le rayorvf.

Bn sorte que cette courbe d'interâection ( aurait on point multiple qui ne serait autre que le point en lequel la sphère S et le cylindre £ sont tangents Tun à l'autre.

Ainsi j il se troave démontré qne le lieu des sommets des cônes de révélation qui passent par Thyperbole E est nne ellipse l ayant pour sommets les foyers F et F' de cette hyperbole E , et pour foyers les sommets a et et de cette môme courbe E.

De plus y comme la droite/^ divise en deux parties égales Tangle asa^ , la droite /« sera une tangente à l'ellipse l. Démontrons maintenant que l'ellipse l est la focale de l'hyperbole E.

Ayant l'hyperbole A , projection orthogonale sur le plan P de l'hyperbole E , les foyers /et/ de l'hyperbole A étant déterminés et situés, comme nous le savons y sur le cercle 6 , nous mènerons par ces points /et/' et dans le plan M des perpendiculaires à la corde W ou Y% en un mot à l'axe transverse de l'hyperbole A , et ces perpendiculaires couperont l'ellipse l en les points set s.

Nous voyons donc de suite que les points s et s' sont les sommets des deux cônes de révolution S et S' qui passent par la courbe E et nous reproduisons leifig. 18 , en sorte que pour un point quelconque x de la courbe E , on aura :

s'x — 8X= coDSiante.

Les points s et s' seront dits foyer s conjugués et extérieurs de l'hyperbole E.

En menant par les points s et s' des plans perpendiculaires aux axes sfei sf des cônes S et S', ces plans couperont le plan de l'hyperbole E suivant deux droites I et r qui seront les directrices de l'hyperbole E par rapport et i^espectivement aux foyers conjugués s et s.

Il est évident que les droites I et V sont équidistantes du centre o de la courbe E.

En construisant une sphère tangente au cône S et au plan de l'hyperbole E , on démontrerait , d'après les théorèmes de MM. Quetelet et Dandelin , que cette sphère est tangente au plan de la courbe E en un point qui n'est autre que le foyer de cette courbe ; et l'on serait ainsi conduit à la démonstration exposée dans le Cours de géométrie descriptive ^ savoir : que si l'on prend deux points arbitraires So et ««'sur l'ellipse ^ y on a toujours :

sjx — f,a?= constante , quelle que soit la position du point x sur l'hyperbole E.

Nous pouvons aussi, en appliquant à l'hyperbole E les mêmes raisonnements que ci-dessus (voy. la note , page 56), démontrer que le centre de courbure, de l'ellipse l pour son sommet , est précisément le point en lequel son grand axe est coupé par la directrice de l'hyperbole E , cette directrice étant relative au foyer F de cette hyperbole E , c'est-à-dire au foyer de la courbe E , qui est situé dans le plan de cette courbe E, etc.

ûmsirucUon par points de Cellipse.

Ce qui précède nous permet de construire par points une ellipse dont on connaît le grand axe et les foyers.

En effet :

Soient aet d les foyers et F et F' les sommets d'une ellipse à construire {fig. 39 ter). Sur FTF et sur ad comme diamètres , on décrira les deux cercles concentriques

6 et j.

Par le point a on mènera une sécante arbitraire coupant le cercle $ en le point a et le cercle 6 en les points /et/', on élèvera en/ et /' des perpendiculaires à la sécante aa ; on déterminera le point a, en prenant fa, =^fa et le point a/ en prenant

Cela fait, les droites a,d et a/rf couperont respectivement les perpendiculaires (élevées en/et/') en les points s et s' qui appartiendront à l'ellipse demandée.

g XXIII.

Focale de la parabole.

Nous avons vu que lorsqu'on avait une ellipse E, le lieu dès foyers/,... et/,... des diverses ellipses A,... projections orthogonales de l'ellipse E sur la série des plans P, . . . passant tous par la tangente 0 menée au sommet a de la courbe E , était un cercle S décrit sur la distance FF (des foyers F et F de l'ellipse) comme diamètre.

Ce cercle 6 augmentera donc de rayon à mesure que la distance FF' grandira , et dès lors il est évident que si l'on suppose que le foyer F reste fixe et que le foyer F' s'éloigne indéfiniment , l'ellipse E deviendra une parabole lorsque le foyer F' sera à une distance infinie du foyer F, et le cercle 6 deviendra une droite perpendiculaire à l'axe infini de la parabole, cette droite 6 passera par le foyer F de la parabole E et sera située dans le plan M qui , passant par Taxe infini de la parabole E , est perpendiculaire au plan de cette parabole.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant (fig. 40) :

Théorème. Étant donnés une parabole E , son sommet a, son foyer F, sa directrice D ; ayant tracé la tangente 0 en son sommet a; menant par la droite B une série de plans P, P', P",... ^t l'on projette orthogonalement la parabole E «tir chacun de ces plans P, F, P",... on obtiendra une série de paraboles A y A', A",... dont les foyers f, f, f,... seront situés sur une droite S , laquelle sera perpendiculaire au plan de la parabole E

ei passera par le foyer F de cette parabole E. Les directrices I, T, V\...des paraboles Xj A\ A'\.. . seront situées éans un ptam Z perpeskSodÊiimmi plan de la parabole E et le coupant suivant la directrice D de cette parabole E.

Cela posé, cherchons \di focale de la parabole {fig. 41 ) :

a étant le sommet de la parabole E , F son foyer et d le point en lequel sa directrice D perce son axe infini xy ( prenant le plan vertical Z , passant par Taxe infini , pour plan vertical de projection) , nous mènerons par le point a une série de droites A', A'^,. . . qui couperont la droite 6 menée par le point F perpendiculairement à xy.

Nous mènerons ensuite une droite y parallèle à la droite 6 , et cela par un point g situé sur xy de telle manière que Ton ait :gf=Ya.

Les droites A ,... couperont la droite y en des points a, ,.., , et il est évident que Ton aura :fa,=fay...

Si par la point a, on mène une parallèle à xy^ elle coupera en un point s la perpendiculaire menée par le point/ à A*.

Les divers points «,..• seront les sommets des divers cônes de révolution S,... qui enveloppent la parabole E , donnée sur le plan horizontal.

Or il est évident que Ton a :

Il se trouve donc démontré que le lieu des points Sj s\... est une parabole l ayant xy pour axe îiifim , ayant pour «ommei le foyer F de la parabole E et ^mfn/er le 9ommet« de cette même courbe B. Les deux paraboleB B et ( sont donc identiques, saperposables , aeul^nent dies sont tournées en aens inverse, et situées dam det plans difierents rectangulaires entre eux .

On démontrerait y conune pour l'ellipse, que le point d ert le centre de courbure de la parabole ( par rapport à son sommet F. Ainsi Ton peut énoncer ie théoràne suivant:

Théorème. Le rayon de courbure pour le sommet d'une parabole est égal à deux fois la distance du foyer au sommet de cette courbe.

Et en vertu de ce qui a été démontré au sqjet de Isl focale : 1"" de reUipae^ 2* de rbyperbole, et 3*" de la parabole « nous pouvons encore énoncer les tJiéorèmes suivants :

TnÉORàME. Le lieu des sommets des cônes de réûobuian passant par wm secàon co^ nique f est la focale de cette se^^ian conique.

TnÉoBàu. Les asoes des divers cônes ée témiatkan^ qm jmsmttfor me sectàmcaniqae^ eotu tangenU à la Fecàui de cetleeeaàm eemqme.