S XXIV

Les constructions par poini^^pte nous ayons données pour retôp^e, page 26 , pour VkyperMe ^ p^ge 36 , et pour la paraèote y page 44 , peuvent être appliquées sur le terrain pour tracer an moyen : f * de jaUm9j 9? d*une éguerre , et 3* d^nne chahie d^arpenteur , soit une ellipse, soit une hyperi)ole et soit une parabole dont on connaît sur le terrain la pontiDn des sommets et des tojerSy ces points , wmmtit et foyers , étant fixés de position sur le terrain au moyen de piquets ou de jalons , et ces sommets et foyers étant les seules choses connues des sections coniques à construire par jooèta sur le terrain.

Et en effet :

St()iy. 43)0n inagine le cercle Ç tangent à Taxe de Tellipse A et au sommet a , le eentre m de œ oerde S étant sur la tangente 9 menée à Tdlipse A en son sommet A , nous savons que les tangentes à ce cercle 6 , lorsqu'elles émanent des deux foyei-s/ et/' de Tellipse A, se croisent en un point :rde cette section conique A.

Nous savons aussi que la même construction s^appiique à Fhyperbole et à la paralK^.

Cela posé:

n nous serait impossible de tracer le cercle S sur le terrain et de lui construire une tangente émanant d'un point extérieur donné ; car l'on ne peut pas opérer sur le terrain (surtout lorsque le rayon du cercle S sera de plusieurs dizaines de mètres) comme on opère dans le cabinet en traçant une ipwre , au moyen de la règle , de l'équerré et du compas.

Sur le terrain , l'on doit fixer les points au moyen ôe jalonnements et de longueurs métriques portées , dans une direction rectiligne donnée , au moyen de la chaîne d'arpenteur.

Voyons donc comment nous pouvons nous dispenser de tracer sur le terrain le cercle 6 , et tracer cependant la direction de sa tangente émanant du foyer f de i'dlipse à construire par points.

Si Ton joint le centre m du cercle 6 avec le foyer/ par une droite , la droite xy perpendiculaire sur mf passera par le point y , point de contact de la tangente au cercle 6 et émanant du foyer/; de plus on a : ra= ry.

Nous pourrons donc fixer sur le terrain la position du point y de la manière suivante :

Se plaçant en station en m sur la tangente 9 , tracée, au moyen d'un jalonnement et deréquerre d'arpenteur , perpendiculairement à Taxe â?de Tellipse à tracer, et dès lors tangente en le sommet a de cette courbe , nous ferons placer un piquet ou jalon q

dans la direction m/ (/étant l'un des foyers , fixé de position sur le terrain par un jalon ) . Cela fait , il sera facile de cheminer du point m dans la direction wi/7, et au moyen de l'équerre d'arpenteur il sera facile de trouver sur cette direction iw/le point r par lequel passe la perpendiculaire ar à cette direction m/î

On placera un piquet r ; on mesurera avec la chaîne d'arpenteur la longueur oT, en se conservant dans la direction ay au moyen du jalon s , et Ton portera avec la chaîne d'arpenteur la longueur ar de r en y.

Le point y étant fixé de position par un piquet , la direction yf de la première tangente sera déterminée.

On fixera de même le point de contact y' de la seconde tangente y'f au cercle 6, et en faisant cheminer -un jalon sur la direction /y, on arrivera à le placer en x sur la direction y'f. Ce point x sera un point de l'ellipse demandée.

On changera la position du point m sur la droite 9 , on recommencera l'opération et l'on déterminera un nouveau point x' de l'ellipse donnée par les sommets a et a' et ses foyers/et/'.

La /ï^. 44 indique les constructions pour V hyperbole.

La fig. 45 indique les constructions pour la parabole.

Si, au lieu d'avoir à tracer par points une ellipse j on avait un cercle, on remarquerait que le cercle est une ellipse dont le centre et les deux foyers se réunissent en un seul point.

Alors les deux tangentes/y eify' au cercle 6 se réunissent en une seule tangente à ce cercle 6 et émanant du centre du cercle à tracer par points ; et les points y , y' et X se confondent en un seul et même point , qui n'est autre que le point de contact du cercle 6 et de sa tangente émanant du centre du cercle à décrire ; et ce point de contact est précisément un des points du cercle à décrire.

On voit donc que l'on 'pourra employer la même construction pour le tracé par points d'un cercle dont on connaîtra , sur le terrain , la position du centre et la longueur du rayon , ou mieux un point a de ce cercle ( ce point a et le centre du cercle ^tant fixés de position , sur le terrain , au moyen de piquets ou de jalons ) .

La construction que nous employons pour tracer par points une ellipse , un cercle, une hyperbole et une parabole étant la même pour ces quatre courbes, nous sommes conduit à remarquer que la section conique ne peut ofi^rir que quatre/ormes différentes.

Et en efiet :

Cette construction étant fondée sur les foyers , nous voyons de suite que si la courbe a deux foyers , ils ne peuvent avoir que les positions suivantes :

1 "" Si les foyers sont situés entre les sommets , ils peuvent être éloignés du centre ou se confondre avec le centre de la courbe , de là VelUpse et le cercle ;

T Si les foyers sont situés au delà des sommets , on aura V hyperbole;'

3* Si l'un des foyers est à l'infini , alors on aura la parabole. '■' Une seule objection peut être faite , c'est que si l'on pe considère pas les courbes comme des sections faites dans un cône j auquel cas on reconnatt que les sommets et \e& foyers ne peuvent pas être placés entre eux autrement que nous venons de le dire , mais si seulement on examine ces courbes comme tracées sur un plan , on pourrait avoir à considérer une position nouvelle, celle où l'un des foyers serait situé entre les sommets , l'autre foyer étant situé en dehors des sommets.

Mais si l'on examine bien la construction que nous avons employée , on verra de suite que nous ne considérons jamais qu'un seul sommet a et les deux foyers fetf ; en sorte que les positions indiquées ci-dessus sont les seules possibles.

Et ainsi :

4* Les deux foyers /et/' étant situés tous deux à droite ou à gauche du sommet a ;

Les foyers étant éloignés du centre, on a Y ellipse;

Les foyers et le centre étant confondus en un seul point , on a le cercle ;

2* Les deux foyers / et /' étant situés l'un à droite et l'autre à gauche du sommet a , on a Y hyperbole;

3* L'un des foyers/' étant à l'infini, le foyer /sera ou à droite ou à gauche du sommet a, alors on a la parabole.

Ainsi, la construction employée, non-seulement sert à tracer les sections coniques, mais elle vérifie qu'elles ne peuvent avoir que quatre formes différentes.