ADDITION AU COUBS DE GÉOMÉTRIE DE8GRITIVS, 1" PARTIE

Note «tir le changement des plans de projection.

La feuille de papier sur laquelle s'exécutent les projections des points et lignes de l'espace , a une longueur déterminée et qu'on ne peut pas , en général , agrandir.

La ligne de terre LT étant tracée sur la feuille de papier^ nous savons tout de suite que la partie de la feuille de papier située at^-dessous de cette ligne LT représente la partie antérieure du plan horizontal et la partie inférieure du plan vertical , et que la partie de la feuille située au-dessus de cette ligne LT, représente la partie postérieure du plan horizontal et la partie supérieure du plan vertical.

Ces parties antérieure , postérieure , inférieure et supérieure des deux plans de projection sont donc limitées en raison de la position que la ligne de terre LT occupe sur la feuille de papier.

Or il peut arriver que Ton ait , comme dans la fig. 6 , pi. 15, les projections d'une droite B* et B*' telles qu'un pojnt n , situé sur la droite B, se trouve avoir sa projection verticale n" placée tout au haut de la feuille de papier et que sa projection horizontale n^ soit située hors de la feuille de papier ; et cependant, pour la solution du problème à résoudre , il serait utile de connaître ( si toutefois la chose est possible graphiquement) , la distance du point n au plan vertical de projection.

On peut résoudre ce problème par un changement de plan horizontal de projection , en relevant le plan horizontal ancien de la hauteur n'^q ; en sorte que la nouvelle ligne de terre L'T' sera parallèle à l'ancienne LT.

On voit de suite que toute la feuille de papier située au-dessous de la ligne L'T'

représentera maintenant la partie antérieure du nouveau plan horizontal de projec- *tion et la partie inférieure du ^lan vertical ; et remafrquons que le plan rerticdl de projection reste le même.

En sorte que la feuille de papier se trouve doublée , en langueur ^ et qu'on peut y construire des points de la droite B , dont la distance au plan vertical sera double de la distance de la ligue de terre LT au bas de la feuille de papier.

Si donc les projections primitives B'' et.B* sont telles que la distance du point n (de la droite B) au plan vertical n'est .pas plus grande que la longueur totale de la feuille de papier, on pourra déterminer graphiquement cette distance au moyen du changement de plan horizontal opéré ainsi que nous venons de Texécuter.

On peut donc dire qu'en relevant ou abaissant le plan horizontal parallèlement à lui-même 9 ou en avançant ou reculant le plan vertical parallèlement à lui-même , on peut doubler la partie antérîeire cm postérieure du plam horkocftal , ou doubler la partie supérieure ou inférieure du plan vertical.

En un mot , au moyen de ce mode de changement des plans de projection , on peut doubler en longueur la feuille de papier pour les constructions graphiques à exécuter par la méthode des projeetions, sans dumger les>du]icmions de cette feuille de papier.

unnntm au gouks de géo^Btrie descriptive , SI* paktie ^ ghp. i*", paise 8.

lAriHiM

Note sur la démonsiraiion relative à la propriété dont jamt le pUin tangerttj stwùit : que ie fdm tangent en un point d'une surface , quel que soit le mode de généraiidn de cette surface , contient les tangewêes à toutes les courbes qui , tracées sur la surface f se créieewt au point de contact.

Ifee Burfece 1^ ^elle qu'elle soit , peut toujours être considérée comme engendrée par le mouvement d'une Hgne C , et de plueiearB manières difKrentes.

Ainsi : 4 • on peut prendre wr fo surface 1 un point m , faire passer par ce pdnt m un plan R coupant la surfece 2 suivairt une courbe C , mener à la courbe C et m point m la tangente 9 et sufçoeer que par la droite fl on ftisse passer une série de tiUisR^ ll',R", R'%... owpwit^dèBtoifelltwnrteTO

lignes G, C\ C\ C"\... qpii seront éfiddemment toutes tangant^ eotee «Usa et w point m y la tangente qni leur est commune en le point m étant la droite 0^

On peut donc supposer la surface 2 engendrée par le mouvement de rotation d^n la ligne G autour de la droite 8 , cette ligne G changeant de forme pendant son mouvement de rotation et prenant successivement les formes G', C'y G'",. • •

2° On peut mener une suite de plans R/, R/', R,"V-- parallèles entre eux- et au plan R et coupant la surface 2 et respectivement suivant des couines ou ligne&rQly G/', G/",.- et Ton pourra considérer la surface 1 comme engendrée par le mou^e^ ment de la courbe ou ligne G qui, se mouvant parallèlement à elle-même, se» dé* forme successivement pour prendre successivement les formes Q', G/', G,!"f.-.

3"" On peut mener une droite D coupant , perçant la surface 2. en w point eu plusieurs points m , et faire passer par cette droite Dune suite de plans R., R^', R.'S R,'",..- coupant la surface 2 et respectivement suivant les lignes G,,, QV G/'„ G/'V^qui toutes se croiseront , se couperont en le point m , oaeales divers points m^

Et Ton pourra supposer que la surface 2 est engendrée par la rotation de lak courbe G, autour de la sécante D, cette courba G„ prenant successivement les jibrra^s-

Cf P it p m

Au lieu d'engendrés la surface 2 par des courbes ou lignes planes, on pooriait sans peine la supposer engendrée par des courbes à double courbui;a.

Gela posé :

La démonstration du théorème relatif au plan tangent j savoir : qne le plan taor gent en un point m d'une surface 2 contient les tangentes à toutes les courbes tpii,. tracées sur cette surface, se croisent en ce point m, doit varier suivant que Ton considère tel ou tel mode de génération de la surface 2*.

Dans le Churs de géométrie descriptive , nous avons considéré la surface 2 commet engendrée par le premier mode indiqué ci-dessus , et le théorème a été démonteé. directement , en ce sens que nous n'avons pas eu besoin d'étabUr, au préalable, ce théorème pour une surface simple , et ainsi pour une surface développable , pour ensuite le faire passer sur la surface générale 2.

Dans cette note , nous allons supposer q;ae la surface 2. est détenninée pan le second mode de génération exposé ci-dessus, et nons^ferons^ passer le tliéorèma dm plan tangent , de dessus une surface développable, sur cette surface génésale S,, et) cela de la manière suivante :

On sait qu'il n'y a rien de plus facile que dedémontires le tbôorèmô relatifaa plant tangent pour une surface développable.

Et en effet :

Rappelons-nous qu'une surface développable K peut être engendrée de dBu& manières principales : ou T au. moyen de son arête de rebroussement ( dont toates les

tangentes forment les génératrices droites (ou les caractéristiques) de la surface K; ou i^ au moyen d'un plan 6 roulant taugentiellement sur deux courbes directrices Bet B..

Si Ton considère le premier mode de génération de la surface développable K , nous pourrons considérer une génératrice droite G de cette surface , laquelle sera une tangente à Taréte de rebroussement l.

La position voisine de G sera G' ; et dès lors en menant par un point m de G une suite de plans ou de surfaces quelconques , on coupera la surface K suivant des courbes planes ou à double courbure C j Cj G",.-* qni se croiseront au point m et qui couperont la génératrice G' et respectivement aux points n , n', n", . . .

Or il est évident que mn, mn\ mn",... seront les éléments rectilignes des courbes C, C, C",... Ces éléments rectilignes prolongés donneront les tangentes 0, 6', 8",.-à ces courbes G , C^ C\ . . . pour le point m ; et comme les génératrices droites successives et infiniment voisines G et G' se coupent en un point qui appartient à la courbe ^ , il s'ensuit que toutes les tangentes 9 , 6', Q^\ . . . sont situées sur un même plan 0 qui passe par les droites G et G', et c'est ce plan 6 qui a reçu le nom de plan tangent.

Ainsi y le théorème relatif au plan tangent en un point m d'une surface développable K se trouve démontré , lorsque Ton considère cette surface K comme étant donnée par son arête de rebroussement l , comme étant dès lors engendrée par une ligne droite G assujettie j par la loi de son mouvement dans l'espace , à être tangente en toutes ses positions successives à une courbe donnée $.

Cela posé :

Le théorème relatif du plan 0 , tangent en un point m d'une surface développable K j étant démontré pour un certain mode de génération de la surface E , subsistera y quel que soit le mode de génération de cette surface E.

Par conséquent , si nous supposons que la surface E est engendrée par un plan 0 roulant taugentiellement sur deux courbes directrices B et B, tracées sur cette surface E , le théorème subsistant toujours , nous pourrons en conclure ce qui suit :

Si la courbe B se meut sur la surface E en changeant de forme pour arriver à la forme et en la position B, ( le changement de forme et la loi du mouvement étant déterminés) , on conçoit sans peine que la courbe B passera en une position infiniment voisine B' (B' ayant une forme modifiée), et que la surface E sera tout aussi bien engendrée par le plan 0 roulant taugentiellement àxv les courbes B et B, (situées à distance finie) , que par le plan 0 roulant taugentiellement sur les courbes B et B' (situées à distance infiniment petite).

Cela dit :

Les courbes C, G', C",.- couperont respectivement la courbe B' en les points p,

p', p",.*> <pii 9 ^n vertu du nouveau mode de génération de la surface 2, seront des points successifs et infiniment voisins du point m; en sorte quemp, mp'j mp"y... seront dans ce nouveau mode de génération les éléments rectilignes des courbes C , C, C ,... ( ).

Or ces éléments rectilignes prolongés donneront les tangentes 9 , 8', 9", . . . aux courbes C , C, C", ... et nous savons , â priori , par ce qui a été démontré plus haut (en nous servant du premier mode de génération de la surface développable K), que toutes ces tangentes sont situées dans un même plan , qui n'est autre que le plan 0 tangent en m à la surface K.

Cela posé :

Si nous considérons une surface générale 2 et un point m sur cette surface , nous pourrons tracer sur cette surface une courbe B, laquelle passera par le point m; puis supposer que cette courbe B se déplace sur la surface 2 , en vertu d'une certaine loi de mouvement, et qu'elle arrive, en changeant de forme, en la position B' infiniment voisine de B.

Les deux courbes infiniment voisines B et B' comprendront donc sur la surface 2 une zone élémentaire et superficielle.

Cela posé :

Si nous faisons rouler un plan 6 tangentiellement aux detix courbes B et B', nous obtiendrons une surface développable K.

Si ensuite nous faisons passer par le point m une suite de plans ou de surfaces arbitraires P, P', P", ... ces plans ou surfaces couperont la surface 2 suivant des courbes J, J', 3",.-- ot la surface K suivant des courbes A , A', A",... et les courbes i et A, d' et A',.-- passeront toutes par le point m, et de plus couperont la courbe B' et respectivement deux à deux en les mêmes points p, p', . • • Par conséquent , ces courbes 3 et A , 3' et A', . • • auront mêmes tangentes 9 , 0', ... au point m , puisqu'elles auront deux à deux même élément rectiligne mpj mp\ mp\,..

Or nous savons que les tangentes 9 , 9', . • • aux diverses courbes A , A V • • de la surface K sont dans un même plan ; donc nous pouvons affirmer le théorème suivant :

Théorèiie. Si Con trace une' série de courbes C, C, C',... sur une surface quelconque 2 , toutes ces courbes se croisant en un point m , les tangentes menées au point m à ces diverses courbes sont toutes situées dans un seul plan , auquel on donne le nom de PLAN TANGENT OU poiut m de la surface 2.

Cette nouvelle manière de démontrer le théorème relatif au plan tangent offre l'avantage suivant :

(*) Voyez le chap. VII dos Développements de géométrie descriptive.

Gq qoQ noua avQQ& dit pour impoiat m de la courbe B tcacéa sur la surface générale I peut se dire de tout autre pokit de cette même courbe B»

Par conséquent , la surface développable K jouit de la propriété d'aji^oir ea commun avec la surface 1 la zone élémentaire et superficielle compriee entre lea deux courbes successives et infijodment voisines B et B'^ et aussi d'avoir en chaipie point de la courbe B mémeplan tangent avec la surface 21^ propriété que, Ton énonce en. disant que la surface développable K engendrée par un plan 0 roulant tangen« tieQement à la surface 2 et sur la courbe B , est tangente à la surface 2 tout le long^ de la courbe B.

En nous servant , ainsi que nous venons de le faire , d'une surface simple ( une surface développable) pour démontrer l'existence d'un théorème pour une surface générale , nous avons employé une méthode très-famiUère à la géométrie descriptive et qui est très-féconde. En effet : lorsque l'on voudra plus tard chercher la construction dea divers points d'une certaine courbe X tracée sur une surface générale 2,» et de manière à satisfaire à certaines conditions , on tracera sur la surface 1 une série de courbes a^ a', «",.•• d'après une loi donnée, et l'on cherchera sur ces courbes au moyen des surfaces développables A ^ A',. A", . . ^ tangentes à la surface Z suivant ces courbes a, a, a V-- l^s points en lesquels ces courbes «j> o^S «"»«••• coupent la courbe X.

Ce ne seront pas toujours des surfaces développables que Ton emploiera, mais ce seront toujours des surfaces plus simples que la surface 2 proposée ,, et pour chacune desquelles on pourrra facilement et presque immédiatement résoudre le problème proposé pour la surface 2.

On en trouve un exemple remarquable dans la construction par points de la courbe de contact d'un cône ou d'un cylindre avec une surface de révolution cjuelconque 2. Alors , pour chaque parallèle de la surface de révolution 2 , on remplace cette surface de révolution 2 par un cône A (surface développable la plus simple) ou par une sphère S (surface de révolution la plus simple) , ces surfaces A ou S étant tangentes à cette surface de révolution 2 tout le long d'un parallèle.

Or il est utile, dans l'enseignement ^ d'employer le plus possible les mêmes idées , pour ne pas surcharger la mémoire des élèves.

Je pense Ame que la manière de démontrer le théorème relatif au- plan- tsangmt, telle que je viens de Fexposer, doit être préférée , puisque les idëes^ géoméiritfue» qm l'on emploie dans cette démonstration se reproduisent plus tard- dans te' solutten de diveiis problèmes impoptantB o^ Ton^ feit usage du plian» tangent.

Tô -

ADDITION AU GOUBS DB GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE , 2^ PARTIE 9 CHAP. TU , PAGE 137-

Note «tir les modes divers de construction employés pour déterminer les projections hùrhontak et 'terHcéHe ieia c(rt&be intersëôAm de àenûcmrptM.

MoNGEy dans sa Géométrie descriptive , § III y afft. 49 , dît :

a II êsiste entre les opératiodis de T^analyse et les méthodes de la géométrie desï> criptive une correspondance dont il est nécessaite.de donner ici une idée.

D Dans Falgèbre , lorsqu'un problème €sft mis en équations , et qu'on a autant » d'équations que d'inconnues , t)n peut toujours obtenir le même nombre d'équa*- » tiens , dans cbacune desquelles il n'entre qu'une des inconnues, t» qui met à » portée de connaître les valeurs de chacune d'elles.

If) L'opération par laquelle on parvient à ce but , et qui s'appelle 4livfAnatUm , % consiste y ati moyen d'une des équations , à chasser une 4es inoomraes de toQteB y> les at^tres équations ; et en chassant aiûsi sticcessivemeat les diflérentes inconnues, i> on arrive à une équation finale qui n'w contient plus qu'une seule dont die doit T> produire la valeur.

)> L'objet de l'élimination, dans l'algèbre, a la plus grande analogie avec les opé*- » rations par lesquelles, dans la géométrie descriptive, on détermine lesinlerseor> tiens des surfaces courbes. »

MoNGE montre ensuite conmient étant données deux équations :

et

X(a?,y,jr) = 0 (2)

l'opération algébrique de l'élimination de % entre les deux équations (1) et (2) est identique à la construction en géométrie descriptive qui consiste à considérer l'équation (i) comme étant celle d'une surface 2 et l'équation (2) comme étant celle d'une seconde surface 2', et à chercher la projection horizontale ( ou sur le plan des x et y) de la courbe C intersection des deux surfaces 2 et 2'.

Or l'on sait que cette construction consiste à couper les deux surfaces 2 et 2' par une suite de ptons horizontaux X , X', X". . . Chaque plan X , . ., coupe la surface 2

suivant une courbe 6 et la surface ^ suivant une courbe &. Les projections 6* et 6'* de ces courbes se coupent en des points a:*, . . . qui appartiennent à la projection C^ delta courbe cherchée G. .

On voit donc que cela revient à donner à % dans les équations (1 ) et (2) j une certaine valeur y ; alors les équations :

et

seront respectivement les équations des courbes 6^ et G'^, et ces deux équations (3) et (4) nous conduiront à déterminer les coordonnées ;r et y de chacun des points a:*,... intersection des courbes 6* et S'*.

En sorte qu'en éliminant % entre les équations (1) et (2)> on aura bien en \{xjtf)^=z{i Téquation de la cpurbe G*.

MoNGE n'a pas poussé plus loin les analogies qui existaient entre V élimination algébrique et les constructions diverses employées en géométrie descriptive pour déterminer les projections de la courbe intersection de deux surfaces.

Nous allons essayer de remplir cette lacune.

MoNGE dit que les surfaces auxiliaires doivent varier de forme et de position dans Tespace , suivant le mode de génération des deux surfaces proposées et suivant leurs positions par rapport aux plans de projection , et il donne plusieurs exemples à Tappui ; c'est donc de l'analogie qui existe entre certains procédés d'élimination en analyse , et l'emploi de ces surfaces auxiliaires en géométrie descriptive que nous allons parler.

Si Ton a deux équations :

et

et que l'élimination de % entre ces deux équations offre des difficultés analytiques^ on

sait que l'on parvient assez souvent à surmonter ces difficultés , en prenant une

troisième équation :

dans laquelle la forme (/) de la fonction est arbitraire et dans laquelle m est une nouvelle inconnue.

Et remplaçant j dans les équations (5) et (6), z par la fonction (7) , on a :

et

Alors en éliminant m entre les équations (8) et (9) , on obtiendra une équation :

qui sera Féquation finale demandée.

On voit, donc que l'on doit examiner avec soin quelle est la forme de la fonction (J) qui conduira le plus facilement à l'élimination de m ; or, il est évident que la forme de la fonction (/) dépendra de la forme des fonctions (9) et (x).

En géométrie descriptive , nous opérons absdument de la même manière. L'équation (7) est celle d'une surface auxiliaire X , et cette surface X doit être choisie de forme et de position , de manière à ce que l'on puisse facilement construire son intersection avec chacune des surfaces données 2 et 2'.

La forme et la position de la surface X dépend donc de la forme et de la position de chacune des deux surfaces données 2 et 2'.

Si on lit jusqu'au bout ce chapitre de la Géométrie descriptive de Monge , dont je viens de parler , on verra que Carnot l'avait présent à l'esprit lorsqu'il rédigea en 1812 son rapport sur le Supplément à la géométrie descriptive , présenté à l'Institut de France par Hachette.

ADDITION AU COURS DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE, 2* PARTIE, CHAP. YII , PAGE 137.

Reconnaître si la courbe intersection de deux surfaces est plane ou à double courbure.

Nous avons dit que l'on distinguait les courbes en courbes planes et en courbes à double courbure.

La courbe plane est celle dont tous les points sont situés dans un même plan.

La courbe à double courbure est celle dont quatre points successifs et infiniment voisins ne sont pas dans un même plan , quelque part que l'on prenne ces points sur la courbe ; par conséquent , la courbe à double courbure est telle que quatre de ses points , situés à distance finie ( le choix de ses points étant arbitraire ) , ne seront pas en général dans un même plan.

Il nous sera donc facile, d'après ce qui précède , de reconnaître si une courbe C

située dans l'espace , et dont on connait les projections C et C% est plane ou à double courbure , et cela en nous servant des méthodes de la géométrie descriptive.

En effet :

On prendra sur la courbe C trois points arbitraires : m ayant pour projections {rn!'ym'')j n ayant pour projections (n*, n'')yp ayant pour projections (p*, p') ; ces trois points m^ n^ p détermineront un plan P, et l'on prendra un nouveau plan vertical de projection L'T' perpendiculaire au plan P et coupant ce plan suivant la trace V".

' Puis l'on projettera la courbe C ^ ce nouveau plan vertical de projection , et Ton aura la courbe C.

Il est évident qu'il ne peut arriver que deux cas : ou 1 • la courbe C" sera trèsdistincte de la ligne droite V, et alors la courbe C sera évidemment une courbe à double courbure ; ou 2* la courbe C" sera presque irectiligne , paraîtra se confondre avec la droite V'% et alors il y aura incertitude ; dans ce cas on ne pourrait affirmer si la ligne C*'est une droite ou non , et dès lors on ne pourrait affirmer si la courbe C est plane ou à double courbure.

Dans ce cas , sans changer l'échelle des abscisses , on pourra décupler, centupler l'échelle des ordonnées. En sorte que si l'on considère sur la courbe C un pointa;, sa projection verticale étant en a?"', et ayant abaissé du point x""' une perpendiculaire sur la ligne de terre L'T' et la coupant au points/', et cette même ordonnée coupant la droite V" en un point r', la différence r V en raison de la grandeur de l'échelle des ordonnées pourra être assez petite ( un dixième de millimètre par exemple ) , pour que l'on ne puisse pas affirmer que les points x"' et r ne se confondent pas. Mais en décuplant l'échelle des ordonnées , la différence r/o;/' deviendra égale à uo millimètre, différence très-appréciable à l'œil ; et remarquons de plus que les erreurs graphiques ne pourront pas être plus grandes , que l'on emploie pour les ordonnées une échelle décuple ou centuple de celle des abscisses , que lorsque l'on employait une même échelle et pour les abscisses et pour les ordonnées : les erreurs inhérentes aux instm* ments et à leur emploi seront toujours les mêmes.

En sorte que l'on peut dire , en toute exactitude et vérité , que la géométrie descriptive possède un moyen de reconnaître si une courbe Ç est plane ou à double courbure , lorsque l'on connaît le tracé de ses deux projections C* et C*.

Mais les savants qui s'occupent de géométrie pure, disent que V analyse peut seule résoudre une semblable question et que la géométrie descriptive n'a pas de méthodes pour des questions de ce genre ; ce qui précède leur prouvera , j'espère , qu'ils sont dans l'erreur.

Voyons maintenant comment Vanalyse peut résoudre une question de ce genre.

La covrbe C aéra donnée par les équations de ses deux projections , ou plus généralement par les équations des deux surfaces dont l'intersection n'est autre que cette courbe C , et ainsi :

x(!»,y,js) = 0 (1) ,

et

seront les équations de la courbe C.

Pour reconnaître si cette courbe C est plane , on peut ^nployer plusieurs méthodes :

La PREiaàRB méthode consiste à prœdre Téquation d'un plan :

Ax+By+Cz=i (3)

à éliminer x et y entre les trois équations (1 ) , (2) , (3) , et Von obtient une équation en % qui doit être satisfaite , quel que soit z ; ce qui fournit un certain nombre d'équations pour déterminer A, B , C.

Si toutes les éliminations entre ces équations algébriques peuvent s'effectuer, le problème proposé sera soluble.

Mais l'élimination sera-t-elle toujours possible ?

On voit donc que la géométrie l'emporte , pour la solution d'un tel problème , sur Yanatyse , puisque la géométrie descriptive peut le résoudre , quelles que soient les courbes C* et C*', et que V analyse est encore imparfaite j à ce point que nous concevons que pour certaines fonctions % et (^ l'élimination ne pourrait s'effectuer dans l'état actuel de nos connaissances algébriques.

Sans doute nous comprenons que la langue analytique ira toujours en se perfectionnant et qu'elle est susceptible d'un perfectionnement indéfini.

Sans doute alors nous pouvons dire qu'en nous servant de Vanalyse , il n'y aura pas de problèmes que nous ne puissions un jour parvenir à résoudre ; mais pour être dans la vérité , il faut ajouter qu'aujourd'hui Vanalyse est encore trop imparfaite •pour résoudre tous les problèmes.

Ainsi , si nous concevons qu'implicitement elle a toute puissance, il faut convenir qu'explicitement elle est encore très-bornée.

La SECONDE MÉTHODE consisto à trouver l'équation de la surface enveloppe 2 des plans normeaux à la courbe G, et de voir si cette équation appartient ou non à un cylindre. Si cette surface enveloppe 2 est cylindrique, la courbe C est plane; si cette surface 1 n'est pas cylindrique, la courbe C est à double courbure.

Mais qui ne voit de suite que dans l'emploi de cette méthode peuvent se présenter

des difficultés d'analyse de divers genres, et que nous ne savons pas encore résoudre ; car le calcul intégral n'est pas très-avancé, malgré tous les progrès qu'il a faits dans ces derniers temps (*).

La troisi^ méthode consiste à déterminer l'équation du plan osculateur 0 en un point m de la courbe C , et de rechercher si cette équation est satisfaite ou non , quelles que soient les coordonnées (x , y, z) de ce point m , et ainsi quelle que soit la position du point m sur la courbe G.

Si l'équation est satisfaite , la courbe C est plane.

On voit de suite que les difficultés d! analyse qui se présenteront dans certains cas peuvent être insurmontables , vu l'état actuel de Vanalyse.

La QUATRIÈME MÉTHODE cousiste à prendre trois points arbitraires sur la courbe C et à faire passer par ces trois points un plan P , puis à changer la position du plan des coordonnées xz ou yz^ en prenant un nouveau plan perpendiculaire au plan P, et de voir si la projection de la courbe C sur ce nouveau plan vertical sera une droite ou non , en d'autres termes de voir si l'équation de cette projection C' est celle d'une droite V" dont on connaît l'équation ; ainsi le problème est ramené à voir si deux équations sont identiques on non.

V analyse , vu son état actuel , peut-elle répondre que dans tous les cas elle pourra résoudre la question ?(**).

Nous n'avons pas besoili d'entrer dans plus de détails au sujet de la solution que fournit la géométrie descriptive , toutefois les remarques suivante ne seront pas inutiles (***).

L'on doit voir de suite que si les points ocf^ et â:*', projections d'un point x de la courbe G , sont unis par une même perpendiculaire à la ligne de terre , si en x^ et a;* il y a un nceud sur G* et G**, c'est que la courbe G offre un nœud au point x ; si en a:* et a;'' il y a un point de rebroussement sur G* et G*", c'est que la courbe G oflre un rebroussement au point x, etc.

Si la courbe G* ou G*' a un nœud ou un point de rebroussement ^ la courbe G* ou G* n'ayant ni nœud y ni point de rebroussement y nous pouvons affirmer que la courbe C est à double courbure. •

(*) Je crois que l'on peut dire , sans être trop sévère , que M. Chastes n'a pas réfléchi en écrivant dans

son discours d'ouverture la phrase suivante i la géométrie descriptive ne saurait indiquer, nuahé"

matiquement parlant , si cette courbe [courbe intersection de deux surfaces ) est plane ou à double courbure. Elle n'a point de méthodes pour ces recherches, qui sont exchêsivement du domaine de la géométrie rationnelle,

(**) On voit de suite que cette méthode analytique n'est que la traduction en langtie algébrique de la méthode à laquelle la géométrie nous a conduit , et que nous avons exposé ci-dessus en langue graphigue.

(***) Voyez les Développements de géométrie descriptive , chap. Vn , page 40Î et suivantes.

Si les courbes C^ et C^ offrent chacune un ou plusieurs nœuds^ ou un ou plusieurs points de rebroitssement^ désignant , dans le cas où il n'y a qu'un seul point singulier, par a le point singulier situé sur C*, et par b le point singulier situé sur C, il arrivera deux cas : ou 1 ** les points a et 6 seront unis par une même perpendiculaire à la ligne de terre , et alors les points a et 6 seront les projections od' et x'' d'un même poibt X de la courbe G , et dans ce cas Ton ne pourra pas affirmer immédiatement que la courbe G est plane ou à doiAle courbure ; ou 2'' les points a et 6 ne seront pas situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre , et alors on pourra affirmer immédiatement que la courbe G est à double courbure.

Si les courbes G^ et G^ offraient plusieurs points singuliers , la même observation, s'appliquerait à chacun d'eux.

ADDITION AU COURS DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE , 2* PARTIE , GHAP. IX , PAGE 200.

Note sur la méthode employée par les anciens perspecteurs pour mettre en perspective

une surface déterminée par une série de sections horizontales.

Avant que Monge eût publié son ouvrage sur la géométrie descriptive, ceux qui, comme les perspecteurs et les tailleurs de pierre et les charpentiers y se servaient de l'art des projections , ignoraient la construction du plan tangent en un point d'une surface définie par un certain mode de génération. Ils ne savaient pas par conséquent construire par points la courbe de contact d'une surface donnée et d'un cylindre ou d'un cône.

D'ailleurs , comme nous l'avons dit dans notre préface , le théorème relatif au plan tangent en un point d'une surface quelconque , savoir : que ce plan contient les tangénies à toutes les courbes qui , tracées sur la surface proposée , se croisent au point considéré sur cette surface , ne fut démontré qu'après Descartes , et au moyen de C analyse infinitésimale; plus tard ce théorème permit de construire graphiquement le plan tangent en un point d'une surface définie par un certain mode de génération , et cela au moyen des tangentes à deux courbes se croisant en ce point et tracées sur la surface proposée. Mais l'école de Mozières ne permit pas que ccUe méthode gra-

phique fut divulguée. La difficulté à vaincre consistait , et consiste toujours évidemment y à choisir sur la surface proposée deux courbes telles , en vertu du mode dt génération de la surface , que la construction graphique de la tangente soit connue pour Tune et l'autre de ces courbes , en un quelconque de leurs points.

Dès lors on voit que si le problème est en général impUcitemeni soluble^ il M peut l'être explicitement que dans un certain nombre de cas particuliers.

Mais comme dans les arts y les surfaces employées sont ordinairement : 1 ° deft cylindres ou des cônes de révolution ou des cylindres ou des cônes à base section conique; ou 2*" des surfaces de révolution, comme la sphère, ou d'autres surfaces pour lesquelles la courbe méridienne est telle, en général , qu'on sait lui construire une- tangente len un quelconque de ses points ; ou 3* des surfaces gauches déterminées par des courbes directrices pour lesquelles on sait résoudre le problème des tangentes , il s'ensuit que l'on peut déterminer la ligne de séparation d'ombre et de lumière et déterminer le coutour apparent , et par suite avoir la perspective de ces diverses surfaces, par l'emploi des méthodes que Monge nous a enseignées.

Mais avant ces méthodes nouvelles , les anciens perspecteurs employaient une méthode approximative pour la solution de ces problèmes , méthode que nous allons exposer ainsi qu'il suit :

Étant donnée une surface 1 définie : par 1 "" une série de sections horizontales équidistantes ; ou 2*" une série de sections planes parallèles entre elles, équidistantes ou non entre elles , les plans de ces sections étant obliques par rapport au plan horizontal ; ou 3' une série de courbes planes ou à double courbure , dont on connaît pour chacune d'elles les projections horizontale et verticale ; il sera toujours facile de mettre en perspective cette surface 1 , sachant résoudre le problème général et fondamental en perspective , savoir : mettre en perspective un point dont on connaît la projection horizontale ( en d'autres termes la projection au plan géométral) et la projection verticale ( en d'autres termes la hauteur au-dessus du plan géométral ).

Et en effet :

Désignant par C , C, C", ... les courbes qui définissent la surface 2 , nous pour* rôns prendre sur la courbe C une suite de points x,,.. dont nous pourrons déter* mmer les perspectives a:. ,.. . en unissant toupies points a:,,... par une courbe C, nous aurons la perspective de la courbe C.

Nous pourrons donc nous procurer, sur le tableau^ les perspectives C, , C/, C/,... des diverses courbes C, C, €",.••

Cela posé :

La courbe A, , enveloppe des diverses éourbes C, , . . . sera évidemment la perspective de la courbe A , contact de la surface 1 et du cône S tangent à cette surface 2, ce cône S ayant pour sommet Vœil du spectateur.

Ainsi , Toû voit que les anciens perêp€cteur$ pouvaient déterminer la perspective d'une surface quelconque.

La méthode qu'ils employaient était très-longue , mais enfin elle conduisait au but; et cette solution était d'autant plus exacte (ou plus approximative) que les courbes C , C\ €",.•• étaient plus rapprochées entre elles.

On doit voir de suite que la méthode suivie par les anciens perspecteurs pour mettre en perspective une surface définie par une série de courbes , était identiquement la même que celles qu'ils employaient pour déterminer l'ombre portée sur le pUn horizontal par une surface de révolution dont l'axe était vertical , cette surface étant éclairée par un rayon de lumière.

ADDITION AU COURS DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE , 2* PARTIE, CHAP. IX, PAGE 189.

Problème. Étant données deux droites A et B , construire uns droite D qui s'appuie à la fois sur les deux droites données A et B el qui fasse un angle a avec ta droite A et un angle 6 avec la droite B.

Solution. Concevons deux droites A et B dans l'espace , ces deux droites n'ayant aucun point commun , n'étant point parallèles , et étant dès lors non situées dans un même plan.

Nous prendrons sur la droite A un point arbitraire a , et par ce point noiis mène^ rens une droite B' parallèle à B.

Nous prendrons sur la droite B un point arbitraire b , et par oe point nous mène* rons une droite A' parallèle à A.

Les plans (A, B') et (A', B) seront parallèles entre eux.

Si par le point a nous faisons passer une droite faisant un angle « avec la droite A, cette droite engendrera un cône de révolution 1 ayant le point a pour sommet et la droite A pour axe de rotation.

Si par le même point a nous faisons passer une droite faisant un angle 6 avec la droite B', cette droite engendrera un cône de révolution 2' ayant le point a pour sommet et la droite B' pour axe de rotation.

Ces deux cônes droits 1 et 2' pourront : V se toucher suivant une génératrice

droite K , laquelle sera nécessairement dans le plan ( A , B' ) ; 2* se couper suivant deux génératrices droites G et G', lesquelles seront dans un plan N perpendiculaire au plan (A , 8% et ce plan N coupera le plan ( A , B') suivant une droite L qui fera des angles é^aux avec les droites G et G', ou, en d'autres termes, qui divisera en deux parties égales Tangle que ces deux droites G et G^ font entre elles ; 3' n'avoir d'autre point commun que le sommet a.

Cela posé :

Si par le point b , on mène une droite K, parallèle à K et deux droites G, et G/ respectivement parallèles aux droites G et G' : dans le premier cas , les plans (A , K) et (B, K,) seront parallèles, la droite qui résout le problème sera tout entière à Finfini ; dans le deuxième cas , les plans ( A , G) et (B , G,) se couperont suivant une droite G,, et les plans (A, G') et (B, G/) se couperont suivant une droite G/, et les deux droites G, et G/ résoudront le problème proposé.

Maintenant, construisons V épure; car il ne suffit pas d'avoir donné une solution géométrique purement philosophique , purement spéculative , il faut que l'on puisse •s'en servir ; il faut donc pouvoir écrire graphiquement cette solution pour que les ingénieurs puissent s'en servir, l'utiliser dans leurs travaux.

Ainsi, la géométrie descriptive vient, dans ce qui précède, de décrire ce qui existe , ce qui est dans l'espace ; maintenant la géométrie descriptive va écrire sur les plans de projection ce qui est dans l'espace , de manière que Vépure tracée permettra de construire , dans l'espace , la solution du problème , par conséquent permettra de placer d'une manière matérielle , dans l'espace , la droite G, ou G/ qui résout le problème proposé.

Étant données deux droites A et B par leurs projections , ces droites étant obliques par rapport aux plans primitifs de projection , l'on peut , par une suite de changements de plans de projection , parvenir à deux nouveaux plans rectangulaires entre eux , l'un perpendiculaire à la droite A, et l'autre parallèle à la droite B.

Nous supposerons donc tous ces changements de plans de projection effectués, et nous prendrons la droite A perpendiculaire au plan horizontal et située dans le plan vertical , et la droite B parallèle au plan vertical (Jig. a , pi. 1 5).

Cela posé :

Nous prendrons un point a sur la droite A , et nous mènerons par ce point a une droite B' parallèle à B.

On aura donc la droite B' dans le plan vertical de projection , le point a étant aussi dans ce plan vertical, puisque la droite A y est située et que la droite B est parallèle à ce plan vertical.

Du point a comme centre et avec un rayon p arbitraire , nous décrirons le cercle C dans le plan vertical de projection.

Ce cercle C sera la section faite par le plan vertical de projection dans une sphère S dont le centre serait le point a et qui aurait son rayon égal à p.

Par le point a et dans le plan vertical de projection , nous mènerons deux droites , Tune qui fasse avec la droite A un angle a, et l'autre qui fasse avec la droite B' un angle 6. Ces deux droites , en tournant , la première autour de Taxe A, et la seconde autour de l'axe B', engendreront deux cônes de révolution qui se couperont suivant deux droites G et G, qui se projetteront verticalement en la même droite G," et G/".

La droite cherchée sera donc parallèle à G, ou G/ et s'appuiera sur les droites A et B. Le reste de la construction se lit facilement sur Vépure.

On doit voir de suite que la solution du problème proposé se compose de la solution de deux problèmes distincts , et qu'ainsi la combinaison des solutions de ces deux problèmes particuliers nous donne la solution du problème complexe proposé.

Et en effet :

Si les deux droites A et B proposées se coupaient en un point a , la solution du problème proposé ne serait autre que celle du problème que nous savons résoudre , savoir : étant donnés les trois angles plans d'un angle trièdre , construire les angles drièdres , ou , en d'autres termes , construire sur le plan de l'un des angles donnés la projection de la troisième arête de la pyramide.

Puis ensuite :

Construire une droite G qui s'appuie sur deux droites A et B (non situées dans un même plan ) , et qui en même temps soit parallèle à une droite G, , est encore un problème que nous savons résoudre ; car étant données trois droites A , B , D , non situées deux à deux dans un même plan , en faisant mouvoir une droite G sur ces trois droites A , B , D , on engendre un hyperboloïde à une nappe et non de révolution (en général). Les trois droites directrices A , B , D , sont des génératices du premier système et les diverses 'positions que peut prendre la droite G sont les génératrices du second système ; or l'on sait que deux génératrices de systèmes différents peuvent être parallèles, et déterminent un plan asymptote de la surface. Ainsi la seconde partie de la construction n'est que la solution d'un problème déjà connu et que nous savons résoudre graphiquement.

Il peut arriver plusieurs cas, ainsi que nous l'avons dit ci-dessus :

1^ Si l'on a (a + S) ou (a — 6) plus grand que l'angle y que font entre elles les droites A et B , alors on aura deux droites G, et G/, et le problème aura deux solutions.

- 2* Si l'on a (a + 6) ou (a — 6) égal à l'angle y, alors les deux cônes engendrés par la droite G qui fait un angle a avec l'axe A et un angle S avec l'axe B', se tou-

cheront suivant une droite située dans le plan des axes (A , B') et dans ce cas le problème aura bien une solution , mais cette solution sera donnée par une droite qui , s'appuyant sur les droites A et B , sera tout entière située à Tinfini.

3* Si l'on a (a + 6) ou (a — S) plus petit que l'angle y, les deux cônes ne se couperont ni ne se toucheront ^ et dès lors le problème sera impossible.

4* Si les angles a et S sont tous les deux égaux entre eux et à un angle droit , le problème aura une solution , et une seule solution , qui sera donnée par la plus courte distance entre les deux droites A et B.