Application I. — Un plan opaque défini par deux droites

(a, a') et (6, b'}, qui se coupent en un point (o, 0% est traversé par une droite indéfinie (d, d'). Établir la ponctuation du système , en supposant les plans de projection transparents.

Puisque les plans de projection sont supposés transparents, il n'y a lieu de s'occuper que de la ponctuation des projections de la droite,

en ayant égard seulement au plan donné. D'ailleurs, en projection verticale comme en projection horizontale, les parties vues de la droite seront séparées des parties cachées par le point de rencontre de la droite et du plan. On commence donc par construire les projections m et m' de ce point. Puis, pour ponctuer la projection horizontale de la droite, on considère un point quelconque, 5, de cette projection et on cherche le point de rencontre du plan avec la verticale du point s. En se servant, pour cela, du plan vertical mené par d, on obtient le point (*, 5') dont la cote est inférieure à celle du point («, s'^ de la droite ; donc le point (5, s'^ est vu en projection horizontale, et toute la portion ms doit être tracée en trait plein ; le reste de la droite d doit être tracé en points ronds.

Pour ponctuer, de même, la projection verticale, on prend un point (|uelconque, q', sur d' et l'on cherche le point de rencontre (y, 9O du plan avec la ligne de bout du point q'. On peut se servir, pour cela, du plan qui projette verticalement (d, d% et l'on voit que l'éloignement du point (7, q') est supérieur à celui du point (^i, q') de la droite ; donc la portion m'q' de d! est cachée et le reste est vu.

109. Application II. — Chacune des faces opaques d'un angle dièdre est définie par deux droites qui se coupent. Ponctuer le système.

Soient (oa, o'a') et (ob, o'b') les deux droites qui déterminent la première face, (wa, wV) et (w?, M) les deux droites qui déterminent la seconde. Sur chacune des deux faces les parties vues seront séparées des parties cachées par l'arête du dièdre, c'est-à-dire par l'intersection des plans des faces. Cette intersection a été obtenue, dans la figure ci-après, à l'aide du plan de bout mené par w'P' et du plan

LA DROITE ET LE PLAN COMBINÉS

Tertical mené par «ua. Le premier de ces deux plans fournit le point (p5 PO de l'intersection, et le second fournit le point (a, a'). Ces deux points sont les points d'intersection des droites qui déterminent l'une des faces avec le plan de l'autre face. Les droites qui déterminent celle-ci coupent l'intersection (a^, a'p') aux points (a, a') et (6, b^. Gela posé, pour faire la ponctuation en projection horizontale, con-

sidérons le point c, intersection de ob et de wa. La verticale de ce point rencontre l'un des plans en (c, (/), et l'autre plan en (c, cj). Le point (c, <f) cachant le point (c, c/), les portions de droites qui aboutissent au point c, en projection horizontale, seront vues si elles appartiennent au même plan que (c, c% et seront cachées si elles appartiennent au même plan que (c, cî). D'après cela :

ob est vue à gauche de 6, cachée à droile ;

oa est vue à droite de a, cachée à gauche ;

ci>p est vue à gauche de p, cachée à droite ;

coa est vue à droite de «, cachée à gauche. On raisonne d'une manière analogue pour faire la ponctuation de

ANTOMARI. — 6É0M. DBSCR. 5

la projection verticale, en se servant de la ligne de bout menée par le point d,

§ II. — Problèmes sur la droite et le plan combinés.

110. Pi*oblème I. — Reconnaître, sur une épure, si une droite donnée est dans un plan donné.

Supposons le plan déterminé par deux droites qui se coupent ou sont parallèles. Pour que la droite soit située dans le plan, il faut et il suffit évidemment qu'elle rencontre les deux droites qui déterminent le plan ; ceci donne la solution du problème.

111. Problème II. — Mener par un point une droite parallèle à un plan donné et s appuyant sur une droite donnée.

Soient A le point, P le plan et D la droite. Par le point A on mène le plan Q parallèle au plan P, on détermine l'intersection du

plan Q et de la droite D et Ton joint ce point au point A : la ligne de jonction est la droite demandée.

Cela posé :

1° Le plan donné est quelconque, — Soit PaQ' ce plan, que nous supposerons déterminé par ses traces, et soient (rf, d) et (a, a') la droite et le point donnés. Le plan mené par (a, d) parallèlement au plan PaQ' est déterminé par une horizontale {ah, a' h') et par une frontale {af,a'f). Pour avoir l'intersection de ce plan et de la droite (d, d% nous prenons comme plan auxiliaire le plan de bout mené par (d, rf% ce qui donne la droite {hf^ h'f) rencontrant (d, rf) au point {b, b'). Les projections de la droite cherchée sont ab et a'b', 2^ Le plan donné est parallèle à Vun des j)lans de projection, — La solution est alors immédiate; car si (d, d") et (a, a!) désignent la droite et le point donnés, et si le plan est par exemple horizontal, la droite cherchée est (o6, a'b").

LA DROITE ET LE PLAN COMBINÉS

112. Problème III. — Mener par un point une droite s" appuyant sur deux droites données.

Soient A le point, D la première droite et Di la deuxième. Le point A et la droite D déterminent un plan P ; soit B le point d'intersection de ce plan et de la droite Di ; la droite AB est la droite cherchée ; en effet elle passe par le point A, elle rencontre Di au point B et enfin elle rencontre la droite D puisqu'elle est, comme D, située dans le plan P.

Dans répure ci-contre le point A, la droite D et la droite Di sont représentés respectivement en (a, a% (rf, d') et (rf,, d[). Le plan P est déterminé par la droite (d, d') et par la parallèle {ac, a-d) menée par (a, a') à la droite (d, d!). Le plan auxiliaire à Taide duquel on détermine Tintersection du plan P et de la droite (rfi, dj) est le plan vertical qui projette horizontalement cette droite ; il coupe le plan P suivant la droite ^J^ÇîPV)» ^ont l'intersection avec (rf|, d[) donne le point (^, b'), La droite cherchée est («6, a'6'), et Ton voit, comme vérification, que celte droite rencontre (d, d') au point (m, m').

113. Problème IV. — Mener une droite de direction donnée et s'appv]iant sur deux droites données.

^ient A la direction donnée, D et Dj les deux droites données.

La droite D et la direction A déterminent un plan P : autrement dit, soit P le plan passant par D et parallèle à A. Ce plan P et la droite ^ Di se coupent en un point B et, pour avoir la droite demandée, il suffit de mener par le point B la parallèle à la direction donnée A. Dans répure ci-contre les droites données D et Di sont représentées respectivement en (rf, rf) et en (di, rf'). La direction donnée. A, pouvant être menée par un point quelconque de Tespace, a été menée parie point (a, a!) pris sur (d, d^ et elle est représentée en (^> o^a!) ; de cette façon le plan P est déterminé par les deux droites

(rf, à!) et (aa, a'a'). Le plan auxiliaire à Taide duquel on détermine Tintersection du plan P et de la droite (rfi, rf/) est le plan qui projette horizontalement celle-ci ; il coupe le plan P suivant la droite (ac, aV), qui donne le point (4, b') par son intersection avec (rfi,d',). La droite cherchée est la parallèle (ôm, b'm!) menée par le point (6, b') à la droite («a, d'à!). On voit, comme vérification, que les deux droites (ôm, b'm') et (rf, dl) se coupent au point (m, m').

§ IIL — Droites et plans perpendiculaires.

114. Théorème I. — Si un angle droit a un côté parallèle à un plan P, sa projection orthogonale sur le plan P est un angle droit.

Soit AMB un angle droit ayant un côté MA parallèle au plan P, et soit arnb la projection de cet angle droit sur le plan P. Si Ton mène la projetante Mw du point M, cette droite est perpendiculaire à ma; or la droite ma est parallèle à MA, donc Mw est aussi perpendiculaire à MA. D'autre part MA est aussi perpendiculaire à MB, puisque Tangle AMB est droit ; il en résulte qu'elle est perpendiculaire au plan BMm, c'est-à-dire au plan qui projette MB sur le plan P et qui contient, bien entendu, mb ; mais alors ma, qui est parallèle à MA, est aussi perpendiculaire au plan BMm ; donc elle est perpendiculaire à la droite mb qui est dans ce plan ; donc enfin l'angle amb, projection de AMB, est un angle droit.

115. Théorème II (Réciproque du théorème I). — Si la projection d'un angle droit AMB sur un plan P est un angle droit, Pun des côtés de Vangle AMB est parallèle au plan P.

Soit un angle droit AMB (fig. précédente) dont la projection amO sur le plan P est un angle droit. Supposons que MB ne soit pas parallèle au plan P; nous allons prouver que MA est parallèle à ce plan. Pour cela, nous remarquons que MA peut être considérée comme l'intersection : 1« du plan mené par M perpendiculairement à MB, puisque ÏMB = 1 droit; 2» du plan AMma qui projette MA sur le plan P. Ces deux plans sont perpendiculaires au plan BMmé qui projette MB sur le plan P : c'est évident pour le premier ; c'est vrai égale-

LA DROITE ET LE PLAN COMBINÉS 69

ment pour le second, car les deux plans ÂMma et BMmé forment un dièdre dont le rectiligne est amb, c'est-à-dire est droit. Il suit de là cjue la droite AM est elle-même perpendiculaire au plan BMmi et par suite à Mm ; mais alors les deux droites MA et may situées toutes deux dans le plan AMma, sont perpendiculaires à la même droite Mm et sont parallèles; il en résulte bien que AM est parallèle au plan P.

116. Théorème III. — Lorsqu'un angle AMB (même figure) a un côté AM parallèle à un plan P et se projette sur ce plan suivant un angle droite il est lui-même droit.

EIn effet, si la projection amb de Tangle AMB est un angle droit, ma est perpendiculaire à la fois sur la projetante Mm du point M et sur mb ; donc elle est perpendiculaire au plan BMmi. Mais MA étant parallèle à ma, la droite MA est aussi perpendiculaire au plan BULmb; il résulte bien de là que Tangle AMB est droit.

117. Remarque. — Ces trois théorèmes donnent les conditions nécessaires et suffisantes pour que la projection d'un angle droit sur un plan soit un angle droit.

118- Théorème IV. — Pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan^ il faut et il suffit que ses projections soient perpendiculaires aux traces de même nom du plan,

lo La condition est nécessaire. — Soit, en effet, (d, d^ une droite

perpendiculaire au plan PaQ' et rencontrant ce plan en un point (m, m'). Considérons l'horizontale (A, h') du plan menée par le point (m, m') : elle forme avec (d, d) un angle droit dont un côté est parallèle '^^i^ j/\^ l \ y^ — au plan horizontal, et, d'après ce qui pré- ' ^^' cède, la projection horizontale de cet angle

droit est un angle droit. 11 en résulte que d est perpendiculaire sur h et par suite sur aP. En considérant la frontale (/", f) qui passe par le point (m, m'), on verrait de même que d' est perpendiculaire sur /*' et par suite sur «(y.

2o La condition est suffisante, — Soit, en effet, (d, d') une droite dont les projections sont perpendiculaires aux traces de même nom du plan PaQ', et qui rencontre ce plan en un point (m, m'). Traçons rhorizontale (A, A') et la frontale (/, /"') situées dans le plan PaQ' et passant par le point (m, m'). La droite (d, d'j et l'horizontale (A, A') forment un angle dont un côté (A, A') est parallèle au plan horizontal ; de plus, par hypothèse, la projection horizontale de cet angle est un angle droit, puisque d étant perpendiculaire à aP est aussi perpendiculaire à A ; il en résulte (th. III) que l'angle lui-même est droit, c'està-dire que (rf, d') est perpendiculaire à (A, A'). On verrait de même que (d, é) est perpendiculaire à (/*, /^) ; mais alors (d, d') est perpendiculaire à deux droites du plan PaQ' et, par suite, elle est perpendiculaire au plan.

119. Problème I. — Mener par un poiiit une droite perpendiculaire à un plan.

La solution de ce problème est une conséquence du théorème IV : il suffit de mener par les projections du point les perpendiculaires aux traces de même nom du plan. On obtient ainsi les projections de même nom de la perpendiculaire.

Il importe de remarquer qu'il est inutile d'avoir les traces mêmes du plan pour résoudre ce problème : il suffit d'en avoir les directions et, par suite, il suffit d'avoir une horizontale et une frontale de ce plan.

120. Problème II. — Mener par un point un ]dan perpendiculaire

à une droite donnée.

^ La solution de ce problème est aussi une

/"'X^ / conséquence du théorème IV. Soient en effet

y^N tf ' // (^? ^') ®^ (^» ^') ^6 point et la droite donnés.

's^ Menons par le point (a, a') l'horizontale (A, h')

et la frontale (/", f) telles que A soit perpendi-

/^ culaire k d ei f perpendiculaire à d'; ces

"/ ^^N"^-^ deux droites déterminent un plan dont la

/>v trace horizontale est perpendiculaire à d et

/ d^ dont la trace verticale est perpendiculaire à

d'. De plus ce plan passe par le point (a, a') ; il est donc le plan cherché.

121. I»roblème III. — Mener par un point (a, a!) une droite perpendiculaire à une droite donnée (d, d),

La solution du problème est la suivante : Par le point donné A on mène le plan P perpendiculaire à la droite D et l'on détermine l'intersection, B, de la droite et du plan ; la perpendiculaire demandée est la ligne de jonction des deux points A et B. Dans la figure ci-contre, le plan P est déterminé par une horizontale (A, h') et par une frontale (/, f). Le plan auxiliaire à Taide duquel on détermine Tintersection de la droite (d^ d^ et du plan P est le plan vertical mené par (rf, d) ; il coupe le plan P suivant la droite (pq, f'q^)^ dont Tintersection avec (d, d') donne le point (é, V), Les projections de la perpendiculaire cherchée sont ab et a'V.

i . Constniire rinterseclion d'une droite et d*un plan dont les traces sont parallèles à la ligne de terre.

2. Construire Tintersection d'une droite D et du plan parallèle à la ligne de terre mené par une autre droite A.

3. Intersection d*ane droite et d*un plan passant par la ligne de terre et par un point donné.

4. Intersection d*une droite située dans le deuxième plan bissecteur et d'un plan dont les traces sont confondues

5. Ponctuer le système défini par un plan donné par ses traces, par une droite et par les plans de projection, le plan donné et les plans de projection étant supposés opaques.

€. Un triangle dont on donne les projections des sommets est éclairé au

soleil. On connaît la direction des rayons lumineux, ainsi que le sens de propagation de la lumière, et Ton demande quelle est la face du triangle qui est éclairée.

7. On donne quatre points Â, B, G, £, non situés dans le même plan. Les points A, C, £ sont dans le dièdre (1), et le point B est dans le dièdre (2). On construit deux parallélogrammes, Tun sur ÂB et BG, Tautre sur AB et BË, et l'on demande de représenter le système formé par ces deux parallélogrammes et les plans de projection supposés opaques, ainsi que les plans des parallélogrammes.

8. Par un point donné, mener une droite rencontrant la ligne de terre et une autre droite donnée quelconque.

9. Même question en remplaçant la droite quelconque ou par une horizontale, ou par une frontale, ou par une droite de proAl.

10. Résoudre les mêmes problèmes en supposant que le point donné soit à l'infini dans une direction donnée.

il. Mener une droite passant par un point donné et s*appuyant sur deux droites de proûl.

12. Mener une droite parallèle à une direction donnée et s'appuyant sur deux droites de profil.

13. Mener par un point donné la perpendiculaire à un plan vertical ou de bout.

14. Mener par un point donné un plan perpendiculaire à un plan donné.

15. Mener par un point donné la perpendiculaire à un plan parallèle à la ligne de terre, en considérant cette perpendiculaire comme Tintersection de deux plans perpendiculaires au plan donné .

16. Même question en supposant que le plan donné passe par la ligne de terre.

17. Mener par un point la perpendiculaire à un plan de profil.

18. Par un poiht donné, mener le plan perpendiculaire à une horizontale ou à une frontale.

19 . Par une droite donnée, mener le plan perpendiculaire à un plan donné» et déterminer Tintersection des deux plans.

20. Même question en supposant le plan donné perpendiculaire à Tun des pl&ns de prqjection.

21. Même question en supposant que les traces du plan donné soient en ligne droite.