MÉTHODE DES CHANGEMETITS DE PLANS

cal, la projection horizontale et la cote de tout point de la figure restent invariables.

2^ Si Ton change de plan horizontal, la projection verticale et l'éloignenient de tout point de la figure demeurent invariables.

124. Problème I. — Connaissant les projections d'un points construire ses nouvelles projections quand on change de plan vertical.

Soit (a, à) le point dans le système de projection défini par la ligne de terre xy. Supposons que Ton conserve le plan horizontal de projection et que Ion prenne comme nouveau plan vertical de projection un plan vertical quelconque ; la trace horizontale arij/i de ce plan sera la nouvelle ligne de terre, et Tordre des lettres x^ et yi indiquera, par convention, le sens dans lequel on a fait tourner le plan vertical

pour le rabattre sur le plan horizontal (35). Gela posé, la projection horizontale du point ne changeant pas, la projection verticale se trouve sur la perpendiculaire à Xij/t menée par a ; d'autre part, la cote au-dessus ou au-dessous du plan horizontal ne changeant pas non plus, en portant «la'i = aa' on aura en a'i la nouvelle projection verticale du point. Il faut d'ailleurs remarquer que a! étant au-dessus de .ry, aj doit être au-dessus de a:,j/i.

i2o. Problème II. — Connaissant les projections Sun point, construire ses projections quand on change de plan horizontal.

Soit (a, a^) le point dans le système de projection défini par la ligne de terre xy. On conserve le plan vertical de projection et l'on prend

comme plan horizontal un plan de bout quelconque ; il s'agit de trouver les nouvelles projections du point. Soit, pour cela, Xji/, la trace verticale du plan de bout que l'on prend comme plan horizontal de projection; a:,j/, est la nouvelle ligne de terre. La projection verticale et l'éloignement du point ne changent pas, puisque le plan vertical est conservé; pour avoir la projection horizontale on remarque alors qu'elle doit se trouver sur la ligne de rappel du point a', en un point ai tel que «lai = aa, et situé au-dessous de Xiyi puisque le point a est au-dessous de xy.

126. Problème III. — Changer l'un des plans de projection pour une droite.

C'est une manière abrégée d'énoncer le problème suivant : Connaissant les projections d'une droite^ construire ses nouvelles projections quand on change l'un des plans de projection.

Ce problème est une conséquence de Tun des deux premiers; il suffit en effet de faire les constructions pour deux points de la droite. Pour fixer les idées, supposons que Ton change de plan vertical ; il y a alors avantage à choisir la trace horizontale parmi les deux points et quand cela est possible, car la cote de ce point est nulle. Si Ton voulait la trace verticale nouvelle de la droite, il suffirait de construire la nouvelle projection verticale de l'intersection de la droite avec le plan vertical qui a été pris comme nouveau plan de projection.

On arrive à des conclusions analogues si, au lieu de changer de plan vertical, on change de plan horizontal.

127. Problème IV.—CAan^er l'un des plans de projection pour un plan.

On résout le problème soit pour trois points, soit pour une droite et un point, soit pour deux droites qui se coupent.

Supposons, par exemple, le plan déterminé par ses traces, et changeons de plan horizontal. Soit PaQ^ le plan donné, représenté dans le

système primitif xy, et soit Xi^i la nouvelle ligne de terre, c'est-à-dire l'intersection du plan vertical et du plan de bout que l'on prend comme nouveau plan horizontal. Le plan vertical ne changeant pas, la trace verticale du plan donné ne change pas non plus ; il suffit donc de construire sa nouvelle trace horizontale. On connaît d'ailleurs un point de cette trace horizontale, le point p', et il suffit d'en avoir un second; pour cela on cherche dans le système xy l'intersection du plan de bout a?,j/i et d'une droite quelconque du plan PaQ' ; puis on construit la nouvelle projection horizontale de ce point. Ou bien encore, on cherche dans le système xy les projections de l'intersection du plan P«Q' et du plan de bout ar,yi ; puis on construit la nouvelle projection horizontale de cette droite et on a la trace horizontale demandée. Dans la figure ci-dessus la nouvelle trace horizontale est la droite P^f/.