MÉTHODE DES CHANGEMENTS DE PLANS

On aurait à effectuer des constructions analogues si Ton changeait de plan vertical.

!28. Application I. — Rendre une droite horizontale ou de front.

Pour rendre une droite horizontale, on change de plan horizontal, et l'on prend comme nouveau plan horizontal un plan parallèle à celui qui projette verticalement la droite : la nouvelle ligne de teiTc est parallèle à la projection verticale de la droite.

Pour rendre une droite de front, on prend comme nouveau plan vertical un plan parallèle à celui qui projette horizontalement la droite : la nouvelle ligne de terre est parallèle à la projection horizontale de la droite.

129. AppUcatlon II. — Rendre une droite verticale ou de bout.

Soit d'abord à rendre une droite verticale; pour cela, on commence par la rendre de front par un changement de plan vertical ; cela fait, on change de plan horizontal et Ton prend comme nouveau plan horizontal un plan quelconque perpendiculaire à la droite : la nouvelle ligne de terre sera perpendiculaire à la projection verticale de la droite dans le second système, c est-à-dire dans le système par rapport auquel la droite est de front.

On voit de même que pour rendre une droite de bout, il faut exécuter deux changements de plan successifs : un changement de plan horizontal pour rendre la droite horizontale, puis ensuite, un changement de plan vertical pour achever le problème.

^^•Xpplii^ailonlll.— Un plan étant donnée le rendre vertical ou de bout,

1*^ Soit d'abord à rendre vertical le plan PaQ'. On prend comme

nouveau plan horizontal un plan de bout dont la trace verticale arij/i soit perpendiculaire à aQ' ; arij/i est la nouvelle ligne de terre et, pour avoir la nouvelle trace horizontale du plan, il suffit de chercher la nouvelle projection horizontale d'un point quelconque du plan et de la joindre au point p ; car la trace horizontale d'un pian vertical est le lieu des projections horizontales de tous les points du plan.

Dans répure ci-contre on a fait la construction pour le point (a, a").

2<> Pour rendre un plan de bout, on fait un changement de plan vertical et l'on prend, comme nouveau plan vertical, un plan vertical quelconque dont la trace horizontale soit perpendiculaire à la trace horizontale du plan donné ; on a du reste ainsi la nouvelle ligne de terre et Ion détermine la nouvelle trace verticale du plan en observant ({u'ellc est le lieu des projections verticales nouvelles de tous les points du plan,

131. Application IV. — Un plan étant donnée le rendre horizontal ou de front.

1® Pour rendre un plan horizontal, on commence par te rendi'e de bout, ce qui exige le changement du plan vertical ; après cela on le rend horizontal en prenant comme nouveau plan horizontal, soit le plan lui-même, soit un plan parallèle.

f9 On opère d'une manière analogue pour rendre un plan de front ; on commence par un changement de plan horizontal et Ton termine par un changement de plan vertical.

132. Remarque. — Les changements de plans sont très commodes pour déterminer une figure dans un plan de profil et en particulier pour déterminer le point de rencontre de deux droites situées dans le même plan de profil : il suffit de prendre ce plan, soit comme nouveau plan horizontal, soit comme nouveau plan vertical de projection.

Nous allons donner des exemples.

133. Exemple I. — Trouver le point de rencontre de deux droites

situées dans le même plan de profil.

Soient (a6, aV/) et (crf, cfd) les deux droites données. Prenons le plan de profil qui les contient comme nouveau plan vertical, et soit par suite Xii/i la nouvelle ligne de terre. Les nouvelles projections verticales des deux droites sont a[b[ et did^ : elles se coupent en un point m'i qui est la nouvelle

ru'

.-le:

^L tTl-A//' projection verticale du point de rencon-

"\~^à[ \ tre des deux droites. On en déduit la

projection horizontale m en menant * par m\ la perpendiculaire à ari^i, et la

projection verticale m' en prenant am' = mm[.

134. Exemple II. — Mener par U7i point donné la perpendiculaire à un pian parallèle à la ligne de terre.

Supposons le plan déterminé par ses traces P et Q', et soit (m, m')

le point donné. La perpendiculaire au

IX plan donné, menée par le point (m, m'),

jn'\ est évidemment contenue dans le plan

de profil qui passe par ce point. Prenons

■^x sàoTS ce plan de profil comme nouveau

\ /K^ plan vertical, et soit par suite Xiyi la

^ y nouvelle ligne de terre. La nouvelle

^^ ^v. trace verticale du plan (P, Q') est «R; ;

'"f/ "^^i ^^ nouvelle projection verticale du

**■'' point est m\. La nouvelle projection

verticale de la perpendiculaire est donc y m\p\ perpendiculaire à «R; . En déter-

minant alors la projection verticale p' du point (p, pi)^ dans le système (ory), on aura en (mp, m'p') la perpendiculaire demandée.

11 est bon d'observer que m'ip\ est la longueur de cette perpendiculaire.

§ II. — Rotations.

135. Objet de la méthode des rotations. — Comme la méthode dos changements de plans de projection, la méthode des rotations a pour objet d'amener une figure à occuper, par rapport aux plans de projection, la position qui se prête le mieux à la résolution des problèmes concernant cette figure.

Elle consiste à faire tourner la figure d'un angle donné et dans un sens convenu, autour d'un axe perpendiculaire à l'un ou à l'autre des deux plans de projection, et à déterminer les projections de cette figure après la rotation, connaissant ses projections avant la rotation. Si d'ailleurs une seule rotation ne suffit pas, on en effectue deux successives : l'une autour d'un axe vertical et l'autre autour d'un axe de bout.

Il y a une différence essentielle entre la méthode des changements de plan et la méthode des rotations ; car, tandis que dans la méthode des rotations on déplace la figure pour l'amener à occuper la position

voulue par rapport aux plans de projection, dans la méthode des changements de plans on change les plans de projection afin que la figure, qui n'a pas bougé, occupe la position voulue par rapport à ces plans.

136. Remarques préliminaires. — Une figure étant un ensemble de points, on saura résoudre le problème des rotations pour une

figure si on sait le résoudre pour un point ; nous le résoudrons néanmoins pour 7 le point, pour la droite et pour le plan.

, / / Nous nous servirons pour cela des remar-

^/ ques suivantes :

!• Si une figure F est dans un plan

7 parallèle à un plan P, sa projection f sur le plan P est une figure égale à F ; 2® Soient A un point et Q le plan mené

par ce point perpendiculaire à un axe zz' et coupant cet axe au point M. Si Ton fait tourner le point A d'un angle a, dans un sens convenu, autour de 22', la position Ai du point, après la rotation, s'obtient en construisant dans le plan Q, et dans le sens convenu, l'angle AMA| = a et cii prenant MAi = MA.

3» Soient P un plan quelconque perpendiculaire à l'axe et a la projection du point A sur le plan P. En vertu de 1®, la projection sur le plan P de la figure AMAi est une figure égale ; il en résulte que la projection sur le même plan, du point A après la rotation, s'obtiendra en construisant dans le plan P, et dans le sens convenu, l'angle amai = AMAi = a, et en portant moi = ma,

137. Problème I. — Faire tourner un point d'un angle donné autour d'un axe vertical ou de bout.

Soit par exemple un axe vertical (os, o'z') et proposons-nous de faire tourner le point (a, a') d'un angle donné a autour de cet axe. Marquons par une flèche le sens de la rotation et observons que la projection horizontale du point, après la rotation, s'obtient en appliquant la troisième remarque du numéro précédent ; soit ai le point ainsi obtenu. Pour avoir la projection verticale, on remarque que la cote du point n'a pas changé ; par conséquent la projection verticale se

Irouve sur la perpendiculaire à zz' menée par a'; elle se trouve aussi

sur la ligne de rappel menée par ai, donc elle est à Tintersection de ces deux lignes. Les projections du point après la rotation sont donc ai et a\.

On raisonnerait d'une manière tout à fait analogue si l'axe, au lieu d'être vertical, était de bout. Il faut seulement observer que ce qui demeure constant dans ce cas c'est, non pas la / ^/ cote, mais l'éloignement du point.

138. Problème II. — Faire tourner une droite d'un angle donné autour d^un axe vertical ou de bout.

Soit par exemple à faire tourner une droite (d, d') autour de l'axe de bout (oz^ o'z') . Appelons encore « Tangle de rotation et marquons par une flèche le sens du mouvement du point. Cela posé, pour résoudre 'e problème, il suffit évidemment de faire tourner deux points de la

droite. Parmi ces points il y a avantage à choisir le pied de la perpendiculaire commune à Taxe et à la droite; comme second point on prend un point quelconque.

Pour avoir la perpendiculaire commune à Taxe et à la droite, on en cherche d'abord la projection verticale (il faudrait chercher d'abord la projection horizontale si l'axe, au lieu d'être de bout, était vertical). Cette projection verticale passe évidemment par le point o', projection verticale de tous les points de l'axe; de plus, la perpendiculaire commune étant de fi*ont, elle forme avec la droite un angle droit

qui se projette verticalement suivant un angle droit. Il suit de là que la projection verticale de la perpendiculaire commune est la perpendiculaire à dl menée par o' ; elle coupe d en un point p' qui est la projection verticale du pied de la perpendiculaire commune sur (d, d')\ on en déduit la projection horizontale p et, linalement, la projection iiorizonlale op delà perpendiculaire commune, projection horizontale qui est évidemment perpendiculaire à zz'.

Cela posé, l'avantage du choix du point (p, p') résulte de ce que la perpendiculaire commune forme avec (d, d') un angle droit qui reste

— GéOM. DESCR. 6

ifrroiARi.

toujours droit pendant la rotation, et qui se projette toujours verticalement suivant un angle droit ; de sorte que si (j^i, p\) est la nouvelle position du point (/}, p') après la rotation, la projection verticale de la droite, dans sa nouvelle position, s'obtient en menant par pi la perpendiculaire, piaj, à o'p'i. Pour obtenir la projection horizontale, nous ferons tourner le point (a, a!) en remarquant que le point ai, nouvelle projection verticale du point, se trouve à Tintersection de pia'i et de la droite o'a\ menée de telle sorte que l'angle a'z'a\ soit égal à a et de même sens que lui ; les nouvelles projections de la droite sont donc aipi et ai/?/.

On aurait, bien entendu, des constructions analogues si, au lieu d'un axe de bout, on avait un axe vertical.

139. Problème III. — Faire tourner un plan d'un angle donné autour dun axe vertical ou de bout,

La méthode employée consiste à faire tourner un point et une droite. Toutefois, si l'on observe que le point de rencontre de l'axe et du plan reste fixe, il suffit de faire tourner une droite. On choisit une horizontale du plan si l'axe est vertical ^de préférence la trace horizontale quand cela est possible), et une frontale si Taxe est de bout (de préférence la trace verticale quand cela /, y , est possible). Dans tous les cas il faut

\î,^/ commencer par déterminer le point

. ,/V -., ^ç rencontre de l'axe et du plan.

Dans l'épure ci-contre. Taxe est de bout et le plan est défini par ses traces Pa et aQ'. Pour avoir le point de rencontre de l'axe et du plan on a coupé le plan par le plan horizontal aV qui contient l'axe ; on a ainsi le point (o, o'). Pour faire tourner la trace verticale on a fait tourner le point (p, p') et Ton a 'mené PQl perpendiculaire à oYii enfin, pour avoir la trace horizontale, on a construit l'horizontale du plan, dans sa nouvelle position, passant par (o, o') ; cette droite est déterminée par sa projection verticale o*b\ par sa trace verticale (6, b') et parle point {o9&)9 ce qui permet^de tracer sa projection horizontale ob ; les nouvelles traces du plan sont donc P|^ et PQ'f .

MÉTHODE DBS ROTATIONS

140. Application I. — Une droite étant, donnée par ses projections^ l^amener à être de front.

Il suffit de la faire tourner autour d'un axe vertical jusqix'k ce que sa projection horizontale soit parallèle à la ligne de terre.

141. Remarque. — Si on voulait rendre la droite horizontale, il faudrait la faire tourner autour d'un axe de bout jusqu'à ce que sa projection verticale soit parallèle à la ligne de terre.