Application II. — Rendre une droite verticale

On commence par la rendre de front (140) ; puis on la fait tourner autour d'un axe de bout jusqu'à ce que sa projection verticale soit perpendiculaire à la ligne de terre.

Dans l'épure ci-contre la droite est représentée en (rf, d'). On Ta fait tourner d'abord autour de Taxe vertical {oz^ o'z') pour l'amener à être de front en (di, d\) , puis on a fait tourner [d^^ d\) autour de l'axe de bout (oiZi, ois',) pour l'amener à être verticale : elle est alors projetée en (/| et en d'^ {dt est un point). Les deux flèches indiquent les sens des deux rotations.

143. Remarque. — Pour rendre une droite de bout, on commence pw la rendre horizontale ; puis on la fait tourner autour d'un axe vertical, jusqu'à ce que^ sa projection horizontale soit perpendiculaire à la ligne de terre.

1**. Application III. — Un plan étant donné, le rendre vertical.

On le fait tourner autour d'un axe de bout jusqu'à ce que sa trace verticale devienne perpendiculaire à la ligne de terre.

lis. Remarque. — Pour rendre un plan de bout, on le fait tourner autour d'un axe vertical jusqu'à ce que sa trace horizontale devienne perpendiculaire à la ligne de terre.

146. Application IV. — Un plan étant donnée le rendre horizontal ou de front.

Pour rendre un plan horizontal, on le rend d'abord de bout (145), puis on le fait tourner autour d'un axe de bout jusqu'à ce que sa nouvelle trace verticale soit parallèle à la ligne de terre.

Pour rendre un plan de front, on commence par le rendre vertical (144), puis on le fait tourner autour d'un axe vertical jusqu'à ce que sa nouvelle trace horizontale soit parallèle à la ligne de terre.

147. Remarque. — Pour faire tourner une figure, on fait tourner les points, les droites et les plans de la figure.

148. Problème IV. — Faire tourner une figure d'un angle donné autour d'un axe horizontal.

Il suffit évidemment de résoudre le problème pour un point de la

figure.

Soit donc à faire tourner un point (m, m!) autour de l'axe horizontal (A, h!). Pour cela, prenons comme plan horizontal celui qui passe par (A, h') et comme plan vertical un plan quelconque perpendiculaire à l'axe : il y a avantage à faire passer ce plan par le point (m, m'), et à prendre, par suite, comme ligne de terre la perpendiculaire Xix/i menée à h par le point m.

Dans le système de projections ainsi défini, la projection verticale de l'axe se réduit à un point o', puisque l'axe est perpendiculaire au plan vertical. D'ailleurs, à cause de cela, le problème est ramené à un autre déjà résolu (137). Pour en achever la résolution, observons que la projection verticale du point (m, m'), dans le système arij/i, est jx'. Si donc on fait tourner le point de l'angle «, dans le sens indiqué par la flèche, on obtient en [ii et en fi', les projections du point dans le système Xij/i et après la rotation. On en déduit les projections fij et mi dans le système primitif, en observant que la cote de mi par rapport à h' est la même, en grandeur et en signe, que celle de fij par rapport à Xi^i.

D'après cela, on peut énoncer la règle suivante pour déterminer les nouvelles projections du point (m, m') :

Pot le point m on mène la perpendiculaire arij/i et la parallèle m\L

à Ui projection horizontale de taxe; on porte m\i' égale à la distance

du point m! à la projection verticale de Vaxe^ et Von fait tourner le

point fi', de l'angle a, autour du point o\ pied de la perpendiculaire

^enée du point m sur h. On obtient ainsi le point fjtl, duquel on dé-

»wi< le point m par une parallèle à h. On mène enfin la ligne de rap^

P^l du point iii et y à partir du point derencontre^ q', de cette ligne

^^^ h' on porte ^m\ = fjtifij, dans le même sens que p'm' si fx' et

^ ^ont dfi même côté de x^yx, dans le sens opposé si \i! et fi', sont de

port et d'autre de a?ij/i. On a ainsi les projections i^i et m[ demandées.

**^- Remarque. — Quand on a ainsi fait touraer un point d'une ^P*re, on peut, dans une certaine mesure, utiliser les constructions

pour faire tourner un autre point quelconque de cette figure. Supposons en effet que l'on ait fait tourner le point (m, m'), et proposons-nous de faire tourner le point (p, p'). Pour cela, menons par (p, p^ la parallèle (pq^ p'(f) à l'axe de rotation. Cette droite tourne de l'angle a autour de l'axe, et pour obtenir ses projections après la rotation, il suffit de faire tourner son point de rencontre (7, 9') avec le plan vertical Xiyx et de mener la parallèle à l'axe par la nouvelle position de ce point. Faisons donc tourner le point (q,(j[), A cet effet, construisons le point q" déduit de q comme ^' a été déduit de m, et menons q''a perpendiculaire à om". La figure ooif demeure invariable ; par conséquent, si nous faisons tourner cette figure de l'angle a, dans le sens de la flèche, pour l'amener ^^ odiçty en menant par q\ la parallèle à A nous aurons la projection horizontale qt du point {q^ f'), après la rotation. Nous en déduirons la projection verticale ci à l'aide d'une ligne de rappel et en nous rappelant que qiql est égale à la distance du point q'i à h'. Il en

GT,

Kl F! ta m.

résulte que les projections de (pq, p'q'), après la rotation, seront les parallèles à A et à A' menées respectivement par les points Çi et q'i. C'est sur cette parallèle que se trouvent les nouvelles projections du point (/i,p'). Comme la projection horizontale se trouve aussi sur la perpendiculaire à h menée par p^ elle est déterminée par l'intersection de cette perpendiculaire et de qiq'i ; on a ainsi le pointai, et Ton en déduit le point p', par une ligne de rappel.