Problème V. — Faire tourner une figure d'un angle donné

autour d^un axe de front.

Le raisonnement est le même que dans le problème précédent. On fait d'abord tourner un point (m, m').

Pour cela, on construit le point nts situé sur la parallèle à la projection verticale f de l'axe (/, f)^ et tel que mm% = wifji. On fait

£ tourner ensuite fWj autour

\x^ du point o' de l'angle donné

a, dans le sens convenu, indiqué par une flèche, et l'on obtient ainsi successivement ms et m[ ; on on déduit mi par une ligne de rappel et en observant que yiimi = m'im^. On observe d'ailleurs aussi que nii est, par rapport à /*, du même côté que m ou du côté opposé, suivant que m^ et m'i sont du du même côtédeoriyi ou du côté opposé.

Pour faire tourner, ensuite, un point quelconque (p, p'), on construit le point Pi tel que q'pi = wp, on mène ptrt perpendiculaire à o'fiti et l'on fait tourner la figure oVspi de l'angle a et dans le sens de la flèche autour du point o', de manière à l'amener en o^ri^p'^. Cela fait, on a pi par l'intersection d'une parallèle p'p[ à ariy, et d'une perpendiculaire pipi à cette ligne. On en déduit pi en observant que q'tfl^ =z TVipi. Le sens dans lequel on doit placer w^pi par rapport à / se détermine comme pour le point (nii, mi).

151. Application V. — Construire les projections d'un cube dont une diagonale est verticale et dont une arête aboutissant à l'une des

extrémités de cette diagonale e* est de front.

On a immédiatement les projections du cube si Ton suppose qu'il repose sur le plan horizontal. Supposons alors, non seulement que le cube repose sur le plan horizontal, mais encore que le plan qui passe par la diagonale et par l'arête qui doit être de feront soit parallèle au plan vertical. Soient

alh^cdie^f^glhl et a[bWd[ef,f\gWi les projections du cube dans cette position. Soient aussi (ceu c'ci) et (ai^i, aWt) la <iiagonale qu'il s'agit de rendre verticale, et l'arête qui doit être de front. Comme ces deux droites sont déjà de front, pour résoudre le problème proposé il suffira de faire tourner le cube, autour d'un axe de bout, jusqu'à ce que c'e/ soit perpendiculaire à la ligne de terre.

Daus la figure ci-dessus, on a fait tourner autour de l'axe de bout qui passe par le point c', jusqu'à ce que de'i soit venue en cV. La section faite dans le cube par le plan de front mené par atc et qui est projetée verticalement suivant le rectangle aWg'i^'i avant la rotation, se projette verticalement suivant le rectangle égal a'c'g'e'^ après la rotation. En faisant tourner du même angle tous les sommets du cube, on a finalement les deux projections demandées abcdefghy a'b'dd'éf'g'h'. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que le polygone ^ifghd est un hexagone régulier et, pour la ponctuation, nous nous bornerons à observer : !<> que toutes les lignes doivent être tracées en traits pleins en projection verticale ; 'iP que les seules arêtes cachées en projection horizontale sont celles qui aboutissent au point (c, c').

iS2. Remarque. — La méthode des rotations conduit généralement

à des constructions moins simples que celle des changements de plans, parce que, pour effectuer une rotation, il faut construire deux nouvelles projections de la figure, alors qu'il n'en faut qu'une nouvelle pour un changement de plan. Il y aura donc tout avantage, en général, à employer les changements de plans plutôt que les rotations.

Rien ne s'oppose, du reste, à ce qu'on emploie alternativement les changements de plans et les rotations si l'on aperçoit quelque avantage à opérer ainsi.

§ III. — Méthode des rabattements.