Problème IV

plans de projection.

Déterminer les anqles d'un plan avec les

L'angle d'un plan avec le plan horizontal peut être obtenu en rabattant un point du plan autour d'une horizontale de ce plan, par l'application de la règle du triangle rectangle.

On peut aussi Tobtenir par la méthode générale indiquée au numéro 186.

On peut obtenir, de même, l'angle d'un plan avec le plan vertical, soit par l'application de la méthode générale, soit par le rabattement d'un point du plan autour d'une frontale de ce plan.

Ces diverses manières sont du reste identiques quant au fond, et leurs seules différences résident dans le procédé d'exposition. A ce point de vue, il y a peut-être avantage à procéder comme il suit :

l'* Angle d'un plan avec le plan horizontal, — Supposons d'abord que le plan soit perpendiculaire au plan vertical. Celui-ci étant perpendiculaire au plan donné et au plan horizontal, est perpendiculaire à leur intersection- n coupe le plan donné suivant sa trace verticale; il coupe le plan horizontal suivant la ligne de terre; donc l'angle cherché, quand le plan est de bout, est é^l à l'angle que la trace verticale du plan fait avec la ligne de terre.

Supposons maintenant que le plan soit quelconque. Pour déterminer son angle avec le plan horizontal, on le rend de bout, soit par un changement de plan vertical, soit par une rotation autour d'un axe

vertical, ce qui ne change pas son inclinaio» son sur le plan horizontal.

f^, Dans l'épure ci-contre le plan est déter-

/y miné par une horizontale (A, hT) et par le

-y point (o, o'). On a pris un nouveau plan

\^^U/^' "To vertical défini par la ligne de terre iTij/i

/Ix. / perpendiculaire à A, et l'on a obtenu en

/^v Aioi la nouvelle trace verticale du plan en

/ joignant les nouvelles projections verti-

' cales de deux de ses points. L'angle cherché

est yiAioi.

2® Angle d'un plan avec le plan vertical, — Par analogie avec le premier cas on voit que, si le plan donné est vertical, l'angle qu'il fait avec le plan vertical est égal à l'angle que sa trace horizontale fait avec la ligne de terre.

Si le plan est quelconque, on le rend vertical, soit par un changement

de plan horizontal, soit par une rotation autour d'un axe de bout, ce qui n'altère pas Tinclinaison du plan sur le plan vertical. Comme on a employé un changement de plan dans le premier cas, nous ferons une rotation dans le cas actuel. Supposons alors le plan donné déterminé par la frontale (/, f) et par le point (o, o). Puis faisons tourner ce plan autour de Taxe de bout passant par le point (o, ol) jusqu'à ce que la nouvelle projection verticale fle (/, f) soit perpendiculaire à xy. La nouvelle trace horizontale du plan s'obtient alors en joignant les nouvelles projections horizontales de deux de ses points, et l'angle cherché est ofif.

193. Problème V (inverse du précédent). — Mener par un point donné un plan faisant des angles donnés avec les plans de projection.

Soient A le point donné et P le plan cherché. Si Ton mène par le point A la perpendiculaire D au plan P, cette droite fait avec les plans de projection des angles respectivement complémentaires de ceux que fait le plan P avec les mêmes plans. On peut donc déterminer les projections de la droite D, et, pour achever le problème, il suffira de mener par le point A le plan perpendiculaire à cette droite.

On ramène ainsi le problème à un autre déjà résolu. Mais nous en donnerons plus tard (voir plans tangents au cône) une solution plus directe.

194. Application. — Déterminer le centre et le rayon de la sphère inscrite dans un tétraèdre.

Première méthode. — On peut toujours supposer, en effectuant un rabattement, s'il y a lieu, que l'une des faces du tétraèdre est dans le plan horizontal. Considérons donc un tétraèdre dont la base, supposée connue, est dans le plan horizontal, et supposons que l'on connaisse, •en outre, la projection horizontale et la cote du sommet opposé à cette base. Soient ABC la base et s la projection horizontale du sommet. Pour avoir le centre de la sphère inscrite, il suffit évidemment de déterminer la projection horizontale et la cote du point d'intersection des plans bissecteurs des dièdres BC, CA et AB du tétraèdre. Com-

mençons d'abord par déterminer Tintersection des plans bissecteurs des dièdres BC, BA. Comme nous connaissons déjà un premier point B de cette intersection, il suffit d'en déterminer un second.

Pour cela, coupons les deux plans bissecteurs par le même plan horizontal H et prenons le point de rencontre des deux droites d'intersection. Tout revient alors à déterminer ces deux droites. A cet effet, prenons comme nouveau plan vertical le plan perpendiculaire à BG mené parle sommet et défini par la ligne de terre arij/i. La cote du sommet étant connue, on peut aisément construire, dans le système x,i/,, la trace verticale aSi de la face du tétraèdre adjacente à la face

ABC suivant l'arête BC. On en déduit, dans le même système, la trace verticale a% du plan bissecteur du dièdre BC. Mais alors, si / est la cote arbitraire du plan H, la trace verticale de ce plan dans le système oTit/i est une droite M parallèle à Xiyi et de cote l. Il en résulte que la projection horizontale de l'intersection du plan H et du plan bissecteur du dièdre BC est la droite Py perpendiculaire à j?iJ/i et passant par le point de rencontre de a% avec Ai.

On détermine d'une manière analogue l'intersection du même plan horizontal et du plan bissecteur du dièdre BA, en faisant le changement de plan vertical défini par la ligne de terre Xsys, passant par s et perpendiculaire à BA. Cette intersection est projetée en ^, sur le plan horizontal, de sorte que Bp est la projection horizontale de l'intersection des deux plans bissecteurs.

Cela posé, nous déterminons ensuite de la même manière Tinter-

section des plans bissecteurs des dièdres BC, CA. Cette intersection étant projetée horizontalement en Cy, on en conclut que le centre de la sphère inscrite a sa projection horizontale à l'intersection o de B? et de Cy. Pour avoir le rayon de la sphère, il suffit de déterminer la projection verticale du centre, dans l'un quelconque des systèmes auxiliaires, aPij/i, arj^j, x^yz^ par exemple dans le système arij/j. Cette projection verticale se trouve sur a% et s'obtient par une ligne de rappel oo\ : c'est le point oi. Le rayon de la sphère est alors égal à la distance du point o'i à Xit/i.

Ajoutons que l'épure renferme toutes les constructions analogues à celles qui viennent d'être exposées et que, pour en faciliter la lecture, on a désigné les. lignes analogues par la même lettre affectée des indices 1, 2 ou 3, suivant que les lignes sont rapportées aux systèmes Xit/j, Xit/i ou x^yt.

Deuxième méthode. — Cette méthode est due à M. Hermary; en voici Texpositon succincte :

Soient 0 le centre d'une des sphères tangentes aux quatre faces du tétraèdre SABC, et a, a, p, y les points de contact de cette sphère avec les faces opposées respectivement aux sommets S, A, B, G. Si l'on considère l'une des faces, ABC par exemple, il est possible de rabattre les trois autres sur le plan de cette face de manière que les points de contact a, p, y viennent coïncider avec le point d. Menons en effet les rayons Oa et Of. Ces rayons sont perpendiculaires aux plans des faces respectives ABC et ABS, de sorte qu'ils déterminent

un plan perpendiculaire à l'arête AB.

Si donc I est le point d'intersection de ce plan avec AB, les lignes h et ly sont perpendiculaires à AB au point I; de plus elles sont égales comme tangentes menées à la même sphère par le point I. Il en résulte que si l'on fait tourner le plan SAB autour de AB dans un sens convenable, de manière à rappliquer sur le plan ABC, le point y vient coïncider avec le point a.

On prouverait de même que l'on peut rabattre les deux faces SBC et SAC de manière à faire coïncider les points a et p avec le point <j.

Cela posé, observons que les lignes Sa, Sp, Sy sont égales comme tangentes menées du point S à la même sphère ; de sorte que lorsqu'on a rabattu les trois faces SAB, SBC, SAC sur le plan ABC de manière à faire coïncider les points a, p, y ^^ec le point a, les trois positions Si, Ss, S3 du point S après ces rabattements sont trois points également distants du point <j. Donc le point q est le centre du cercle circonscrit au triangle SjSjSs.

Le point <t étant trouvé, pour déterminer la sphère 0 il suffit de déterminer la longueur aO de son rayon , lequel est confondu avec la perpendiculaire menée par le point a au plan ABC. Mais 9O est le deuxième côté de langle droit d'un triangle rectangle alO dans lequel on connaît le premier côté de l'angle droit al et l'angle aigu alO; l'angle <yIO est en effet la moitié de l'angle aly des deux pians SAB et ABC, ainsi que cela résulte de l'égalité des triangles rectangles Oh et 01^; d'ailleurs l'angle <xIy de ces deux plans a été obtenu quand on a rabattu le plan SAB sur le plan ABC.

Ces indications sont suffisantes pour que le lecteur puisse exécuter l'épure sans aucune difficulté.

§ V. — Construction des angles trièdres.

195. Généralités. — Dans tout trièdre SABC on distingue six éléments : trois trièdres et trois faces. On apprend en Géométrie que

l'on peut construire un trièdre connaissant trois quelconques des six éléments. De là six problèmes, qu'on appelle les six cas de résolution des angles trièdres, et qui sont compris dans l'énoncé suivant :

Résoudre un trièdre connaissant :

1<> Les trois faces ; ^ Deux faces et le dièdre compris ; 3« Deux faces et le dièdre opposé à l'une d'elles ; 4® Une face et les dièdres adjacents ;

50 Une face, un dièdre adjacent à cette face et le dièdre opposé ; 60 Les trois drièdres.

Les trois derniers cas peuvent se ramener aux trois premiers par la considération des trièdres supplémentaires. Nous les résoudrons néanmoins tous directement, sauf le dernier dont la solution directe ne

sera donnée que plus tard (voir ie chapitre des plans tangents à la sphère). Nous ferons d'ailleurs usage, pour traiter ces divers problèmes, de la notation habituelle, qui consiste à désigner par les lettres A, B, C les dièdres du trièdre ayant respectivement pour arêtes SA, SB, SC, et par les lettres a, b, c les faces respectivement opposées à ces arêtes.

196. Premier cas — Construire un trièdre connaissant les trttis faces a, ^, c.

Prenons pour plan horizontal le plan de la plus grande face et appelons a cette face. Le problème sera résolu si nous pouvons déterminer la projection horizontale et la cote d'un point quelconque de l'arête SA. Considérons donc le point 0 de l'arête SA qui est à une distance donnée / du point S, et cherchons la projection horizontale et la cote de ce point.

Pour cela, imaginons que l'on ait rabattu sur le plan horizontal, et extérieurement à la face a, les faces du triMre qui sont adjacentes à cette face. Soient 0| et (H les rabattements respectifs du point O autour de SB et de SC, de sorte que l'on a :

angle 0|SB = f , angle BSC = a, angle CSO, = b ;