SO, = S

Si on relève la face c, on voit que la projection horizontale du point 0 doit se trouver sur la perpendiculaire à SB menée par 0% ; de même, si on relève la face b, on voit que la projection horizontale du point 0 doit se trouver sur la perpendiculaire à SC menée par Ox. Donc la projection horizontale du point 0 doit se trouver à l'intersection o de ces deux perpendiculaires.

La projection horizontale du point 0 étant ainsi déterminée, il nous reste à trouver sa cote. Pour cela, construisons le triangle rectangle ?oi\ dont un côté de l'angle droit est o? et dont l'hypoténuse est ég-ale à pi\ : le deuxième ci>lé oO\ de l'angle droit de ce triangle rectangle est la cote demandée. Comme véritication, le côté oOi doit être égal au côté uOi du triangle rei*tangle tH)i analogue au triangle rectanje o30;.

Discussion. — Le problème est ainsi résolu, et il ne reste plus qu'à en cherv her les conditions de pixssibîUté. A cet effet, remarquons que S*.s projtvtion horizontale de SO = /, doit être inférieure à SO,

COXSTRLCTlOiN DES ANGLES TRIÈDHES 123

inférieure par suite à SOi et à SO2 ; donc, pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le point ô soit intérieur à la circonférence de centre S etde rayon /, circonférence qui passe, bien entendu, par Ot et par O2. Appelons B, wi, C, eu, les points de rencontre respectifs de cette circonférence avec les lignes SB, OiP, SG, Ojy. Dire que le point 0 est intérieur à cette circonférence revient évidemment à dire que les deux cordes OiWj et Otw, doivent se coupera Tin-

térieur de cette ligne. Mais pour que deux cordes d'un cercle se coupent à l'intérieur de ce cercle, il est nécessaire et suffisant que les extrémités de Tune de ces cordes, O2W2 par exemple, soient de part et d'autre de la corde OiW,.

Ainsi, pour que le problème soit possible, il est nécessaire et suffisanl que les points O2 et wj soient de part et d'autre de 0,o'i : l'un de ces points doit être sur Tare OiBtDi, l'autre sur l'arc OiB'wj, B' désignant le point diamétralement opposé à B. Je dis que c'est le point cd, qui doit èti*e situé sur le premier de ces arcs. En effet, les deux points ci>i et cog sont sur l'arc BC qui mesure la face a : ceci résulte de ce que, par hypothèse, a est la plus grande face du trièdre. Il en résulte que cua est situé sur cet arc, soit entre B et coj, soit entre toj et G. Mais s'il était situé entre wj et G, il est manifeste que la perpendicu-

laire à SC menée par cû, rencontrerait Oi^i à l'extérieur de la circonférence; donc le point c», doit être situé entre B et co,, c'est-à-dire, par suite, sur Tare OiB(i>i. Le point <i>2 devant être situé entre B et &>,, cela

veut dire que la somme

arc Bw, -h arc ci>,C

doit être plus grande que Tare BC et, en remplaçant les arcs par les faces qu'ils mesurent, on voit que Ton doit avoir

ce qui signiiie que la plus grande face du trièdre doit être plus petite que la somme des deux autres.

Nous obtenons ainsi une première condition de possibilité du problème. Nous en obtiendrons une autre en exprimant que le point Ot doit être situé sur l'arc OiB'o),. Observons d'abord, pour cela, que le point Oi est extérieur à l'arc BC qui mesure a ; puis imaginons qu'un mobile se déplace sur la circonférence, à partir du point Oi et dans le sens OiBtt),G... Puisque le point Oî est extérieur à l'arc BC, dire qu'il est situé sur l'arc OiB'G revient à dire que ce mobile doit rencontrer successivement les points B,G et Oi avant de revenir au point de départ, Oi ; ce qui s'exprime encore en disant que la somme des arcs successifs parcourus par ce mobile doit être inférieure à une circonférence tout entière; et comme les arcs parcourus successivement mesurent les faces respectives c, a, 6, on voit que la somme de ces faces doit être inférieure à 4 droits. Ainsi, en résumé, pour que le problème soit possible, il faut et il suffit :

i^ Que la plus grande face soit inférieure à la somme des deux autres ;

2^ Que la somme des faces soit inférieure à 4 droits.

Si, d'ailleurs, ces conditions sont remplies, le problème admet deux solutions symétriques par rapport au plan de la face a. Il n'y a plus qu'une solution pour laquelle le trièdre se réduit à un plan quand le point w, coïncide avec le point wi, ou que le point Oj coïncide avec le point Oi.

Détermination des éléments inconnus du trièdre, — Pour avoir complètement terminé le problème, il nous reste à montrer comment on peut déterminer les dièdres. On connaît les dièdres B et C, qui sont mesurés respectivement par les angles opOi et oiO*» comme cela résulte de la théorie des rabattements. Cherchons donc à

déterminer le dièdre A. Pour cela, coupons le trièdre par le plan perpendiculaire à l'arête SA mené par le point 0. Ce plan coupe les faces BSA et ASC suivant deux droites perpendiculaires à SA et rabattues : la première, suivant la perpendiculaire OiBi à SOi ; la deuxième, suivant la perpendiculaire 02Ct à SO2. Le même plan coupe le trièdre suivant un triangle dont les côtés ont respectivement pour longueurs OiBi, BiCi et CiOt. L'angle qui, dans ce triangle, est opposé au côté BiCi mesure le dièdre A. Ce triangle est construit en BiCiAi, au moyen de deux arcs de cercle qui doivent se couper sur So, puisqu'on peut considérer le triangle AiBiCi comme le rabattement du triangle section. L'angle Ai est le rectiligne du dièdre A.

197. Deuxième eas. — Construire un trièdre connaissant deux faces et le dièdre compns entre ces deux faces.

Appelons a, 6, C les éléments connus. Prenons le plan de la face a comme plan horizontal, et un plan quelconque perpendiculaire à Tarète SC comme plan vertical. Tout revient évidemment à déterminer un point de la troisième arête, SA. Nous allons donc nous proposer de déterminer la trace verticale (a, a') de cette troisième arête. Observons, pour cela, que l'angle dièdre C étant connu, nous obtiendrons la trace verticale du plan de la face b en menant la droite CQ^ telle que l'angle t/CQ' soit égal à l'angle C.

La droite Ciy est un lieu géométrique de la projection verticale du point (a, a') cherché.

Pour avoir un autre lieu géométrique de cette projection verticale, rabattons la face b sur le plan horizontal autour de SC ; soit CS^s ce rabattement, facile à construire puisqu'on connaît b. Comme SC est de bout, le point a! s'est déplacé sur la circonférence de centre C et de rayon Ct! = Ca». Si donc nous décrivons la circonférence de centre C et de rayon Co^, cette circonférence passera par le point «'. Le point a, situé sur la ligne de terre, se déduit du point a' par une ligne de rappel, et le problème est ainsi résolu.

Le problème n'admet qu'une solution, si l'on fait abstraction du trièdre symétrique.

Ajoutons que le point (a, a') ayant été déterminé, on connaît la projection d'une arête sur le plan de la face opposée, connue ellemême ; on connaît de plus la cote d'un point de cette arête et, par suite, on pourra construire les éléments inconnus du trièdre, en opérant comme dans le premier cas.

198. Troisième cas. — Construire xm trièdre connaissant deux faces et le dièdre opposé à lune d^elles.

Appelons a, i, B les éléments connus, et prenons comme plan horizontal le plan de la face connue adjacente au dièdre connu, c'est-àdire le plan de la face a. Comme dans les deux cas précédents, nous allons chercher la projection horizontale et la cote d'un point quelconque de l'arête SA, opposée à la face a.

Pour cela, prenons d'abord comme plan vertical un plan quelconque perpendiculaire à l'arête SG, intersection^des plans des deux faces connues a et i, et cherchons la trace (a, a'j de l'arête SA sur ce plan. A cet eifet, rabattons la face 6, autour de SC, en CSxi. En

décrivant la circonférence de centre G et de rayon Co,, on aura un premier lieu géométrique du point fit'. Nous obtiendrons un second lieu géométrique du même point en tenant compte de ce que le dièdre B est connu. Pour cela , prenons maintenant comme plan vertical un plan quelconque perpendiculaire à l'arête SB. Rien n'empêche de mener ce plan par le point G, de sorte que la nouvelle ligne de terre ariy, sera la perpendiculaire à SB menée par le point G.

Dans le système x,t/i la trace verticale du plan ASB est la droite ci)/jj telle que l'angle XiwA'j soit égal à langle plan du dièdre B. Si donc on prend GA' = GAj, la trace verticale du même plan, dans le système xy, sera Bh', L'arête SA étant située dans le plan ASB, il est clair que BA' est un second lieu géométrique du point a', qui est alors déterminé par l'intersection de BA' avec la circonférence de

centre C et de rayon Caj. Le point </ étant ainsi déterminé, on obtient le point a, situé sur xy, par une ligne de rappel, et le problème est résolu. On pourra, du reste, achever de déterminer les éléments inconnus du trièdre en opérant comme dans le premier cas.

Discussion. — Occupons-nous maintenant de la discussion du problème. Pour qu'il soit possible, il faut, non seulement que la droite BA' rencontre la circonférence Ca,, mais encore qu'elle la rencontre au-dessus de xy ; car il est manifeste qu'à un point de rencontre de ces deux lignes, situé au-dessous de ary, correspond un trièdre dans leqwel le dièdre connu n'est pas B, mais 180» — B. Si ces conditions sont remplies, c'est-à-dire si BA' rencontre la circonférence et la rencontre au-dessus de art/, il y aura deux, une ou zéro solutions suivant que le nombre des points de rencontre au-dessus de xy sera égal à 2, 1 ou 0.

Cherchons d'abord à exprimer que les deux lignes se coupent.

Observons, pour cela, que la circonférence peut être considérée comme

la base, située dans le plan vertical, d'un cône de révolution engendré

par Siï en tournant autour de SC, et que B/t' est la trace verticale

d'un plan mené par le sommet de ce cône. Dire, alors, que BA' coupe

la circonférence, revient à dire que le plan SBA' coupe le cône, ce qui

exige que la distance d'un point quelconque de Taxe du cône à une

génératrice soit plus grande que la distance du même point au plan

sécant. Comme point quelconque de l'axe du cône, . prenons le

point C. La distance de ce point au plan SBA' est projetée verticalo-

raont en vraie grandeur suivant CD, dans le système Xi^/i, puisque

dans ce système le plan SBA' est de bout et a pour trace verticale

w/tj. D'autre part, une génératrice du cône étant la droite Sa, du plan

horizontal, la distance du point C à cette génératrice est CE. Une

condition de possibilité du problème est donc