CE > CD
Mais on a
CE = es sin 6, CD = Cw sin B = CS sin a sin B.
L'inégalité précédente peut donc s'écrire
sin b ^ s\r\a sin B.
Pour exprimer, maintenant, que les deux lignes se coupent audessus de xî/, il 7 aura lieu de tenir compte à la fois de la nature du dièdre B et de la position du point B par rapport à la circonfé-
renée Caj. Nous aurons donc plusieurs hypothèses à examiner. La remarque suivante facilitera Texamen de ces hypothèses :
Si Ton nomme B' l'angle xBA', les deux angles B et B' sont toujours de même nature. En d'autres termes, B' est aigu, droit ou obtus suivant que B est aigu, droit ou obtus. Cette remarque résulte immédiatement de la propriété de la ligne de plus grande pente d'un plan. En effet, les deux droites w/i'j et Bh' sont les projections verticales dans le système xy et dans le système ar,i/i des sections faites dans le plan SQh' par les deux plans verticaux ^rij/i et xy; elles partent toutes deux du point représenté en (A, A') dans le système ary, en (Ai, A',) dans le système Xiyt ; de plus, la première est une ligne de plus grande pente du plan SBA^
Cela posé, nous allons faire la discussion en supposant les deux angles a et 6 aigus.
Premier cas. — Supposons B < 90<> ; alors on a aussi B' < 90<>s
et si l'on a
sinA >► sina sinB,
la droite BA' rencontre la circonférence C«t en deux points situés audessus de ary si le point B est extérieur à cette circonférence, c'est-àdire si CB > Ca, ; en un seul si CB < Caj. Or, on a
CB = CStga, Ca3 = CStgA.
On aura donc deux solutions si
tga>tgA, et une seule si
tga<tg6.
Et comme a et A sont deux angles aigus, on aura deux solutions si
a> A, et une seule si
Ajoutons que, si au lieu de sin A > sin a sin B, on avait
sin A = sin a sin B,
le plan SBA' serait tangent au cône engendré par Sxj en tournant autour de SC, le point B serait nécessairement extérieur à la circonférence Goj, et l'on aurait deux solutions confondues.
Deuxième cas, — Supposons B = 90<> ; alors on a aussi B' = 90o et le problème admettra :
0 solution si a > 6 ; 2 solutions si a <^b ;
car, dans ce dernier cas il n'y a bien qu'un seul point de rencontre situé au-dessus de xy^ mais le point situé au-dessous est symétrique du premier par rapport au plan horizontal et donne un trièdre admettant comme éléments des éléments respectivement égaux à ceux qui sont donnés.
Troisième cas. — Supposons B > 90*> ; alors B' est aussi plus grand que 90<», et il y aura :
0 solution si a ^ 6 ;
1 solution si a < 6.
n reste à examiner les autres hypothèses que l'on peut faire sur les angles a et b.
Supposons donc, d'abord, a obtus et b aigu. Au lieu de construire
le trièdre SABG, on peut alors construire le
trièdre SAFC dans lequel les deux faces connues
^/ sont des angles aigus et dans lequel le dièdre SB'
/ est égal au dièdre SB. Le trièdre SAB'C étant ainsi
/ construit, on en déduit le trièdre SABC, et le pro-
/ blême est ramené à un autre de même nature mais
5 dans un cas discuté.
/K Supposons, maintenant, b obtus et a aigu. Dans
/t^A ce cas, on commencera par construire SA'BC dont
/ 1 \ les faces connues sont des angles aigus, et on en
a/ \ \b déduira ensuite SABC.
Supposons enfin que les deux faces connues
soient obtuses toutes deux. On comniencera alors
par construire le trièdre SABC et on en déduira ensuite le trièdre
SABC.
On voit donc que, dans tous les cas, la discussion se ramène à celle que nous avons donnée en détail.
199. Quatrième cas. — Construire un trièdre connaissant une face et les deux dièdres adjacents à cette face.
Supposons que Ton connaisse la face a et les dièdres adjacents B et C, et prenons comme plan horizontal le plan de la face a. Comme dans les cas précédemment examinés, nous allons détenniner la projec-
AKTOMARI. — 0*011. DESCR. 9
yi
tion horizontale et la cote d'un point de l'arête SA. Pour cela, prenons
d'abord un plan vertical x^yx perpendiculaire à SB. La trace du plan ASB sur ce plan vertical sera une droite B^ telle que l'angle t/BP soit égal au rectiligne du dièdre B.
Prenons maintenant comme plan vertical un plan quelconque x^y^ perpendiculaire à SC. La trace du plan ASC sur ce plan vertical sera une droite C^ telle que l'angle x^C^ soit égal au rectiligne du diMro C, et il s'agit de trouver la projection horizontale et la cote d'un point quelconque de l'intersection dos deux plans SBp et SCy- Pour cela, coupons par un plan horizontal de cote arbitraire h; nous obtenons ainsi deux droites projetées horizontalement Tune en rf, l'autre en d|. Ces deux droites d et rf, se coupent en un point a, qui est la projection horizontale du point cherché, dont la cote est d'ailleurs h.
Le problème est toujours possible et n'admet (|ue deux solutions, pour lesquelles les deux trièdres obtenus sont symétri(|uos.
200. Cinquième cas. — Construire un trièdre connaissant une face^ un dièdre adjacent et le dièdre opposé à cette face.
Ce cas peut être ramené au troisième par la considération des
trièdres supplémentai - /" " \J^ res, mais nous allons le
résoudre directement.
Pour cela, appelons a, B et A les éléments connus , et prenons :
comme plan horizontal, le plan de la face c adjacente aux deux dièdres connus ; comme plan vertical, un plan qitelconque perpendiculaire à l'arête SB. Le dièdre B étant connu, on a
immédiatement la trace verticale By' du plan CSB. On en déduit facilement la trace verticale (yjyO de Tarête SC; car on peut construire le rabattement ESyi de la face a, et en relevant on obtient facilement le point ^ et, par suite, le point y; de sorte que l'arête SC est projetée en (Sy, SY). H ne reste plus alors qu'à mener par cette droite un plan faisant l'angle A avec le plan horizontal. Or, le plan de bout Ppy' passe par le point (y, y') et fait l'angle A avec le plan horizontal, si l'on a mené Py' ^^^^ ^^ l'angle :s^ soit égal au rectiligne du dièdre A. Faisons alors tourner ce plan autour de l'axe vertical du point (y, yO jusqu'à ce que ça trace horizontale passe par le point S. Dans cette nouvelle position il passera par (Sy, S'/)» et comme son angle avec le plan horizontal n'a pas varié, on aura le plan cherché. D'ailleurs, la trace horizontale Pp restant tangente à la circonférence de centre y et de rayon y?> on aura la nouvelle trace horizontale du plan en menant du point S une tangente à cette circonférence.
Supposons que la tangente Sa menée du point S à la circonférence soit l'une des arêtes de l'un des trièdres cherchés. Pour déterminer alors les éléments inconnus de ce trièdre, il suffit d'observer que Ton connaît la face c, la projection de la troisième arête sur le plan de celte face et la cote d'un point (y, yO de cette arête.
Pour que le problème soit possible, il faut non seulement que l'on puisse mener du point S des tangentes à la circonférence de rayon yI^» mais encore que le trièdre obtenu admette comme éléments les éléments donnés et non leurs suppléments. Nous allons exprimer ces diverses conditions en supposant que les dièdres A et B sont aigus, le cas d'un ou de deux dièdres obtus s'y ramenant par un raisonnement analogue à celui qui a été fait dans le troisième cas. Nous observerons, d ailleurs, qu'il est toujours permis de supposer que la demi-droite (Sy, SY) est l'une des arêtes SC du trièdre, et (jue l'on peut prendre la demi-droite SS' comme deuxième arête SB si l'angle a est aigu, le prolongement de SS' au-delà du sommet si l'angle a est obtus ; de sorte que, dans le cas où les dièdres A et B sont aigus, la demidroite Sy, projection de l'arête SC sur le plan de la face ASB, doit être située dans l'angle formé par les demi-droites SB et SA, celle-ci étant inconnue et devant, d'après ce qui précède, être choisie parmi les tangentes menées du point S à la circonférence y^*
Cela posé, la condition exprimant que le point S est extérieur à
cette circonférence est
Mais on a Sy = y SS'* -f- S y* ; d'autre part, si l'angle a est ai^u,
on a
S'y = SY cos B = SS' tg a cos B.
Maintenant la considération des trois triangles rectangles vôy', ySY? SS'yi donne
yP = -Y cotg A = SY sin B cotg A = SS' tg a sin B cotg A, de sorte que l'inégalité (1) s'écrit successivement
v^l -h tg* a cos* B > tg a sin B cotg A,
cos' a -H sin* o (1 — sin* B) > sin* a sin* B cotg* A,
sin* A >► sin* a sin* B,
(2j sin A > sin a sin B,
puisque tous les angles sont inférieurs à 180^. Si l'angle a était obtus» il faudrait, dans celte inégalité, remplacer a par 180<> — a, ce qui ne changerait rien.
Ainsi donc, quand les dièdres A et B sont aigus, la première condition de possibilité du problème est exprimée par l'inégalité (2), quelle que soit la nature de l'angle a.
Pour obtenir les autres, nous distinguerons trois cas, suivant que a est aigu, droit ou obtus.
i^ Si a est aigu, l'arête SB est confondue avec SS'; comme la demi-droite Sy doit être située dans l'angle des demi-droites SB et SA, on voit que si l'on a dièdre A > dièdre B, il y a une solution pour laquelle SA coïncide avec la demi-tangente Sa, et que si l'on a dièdre A <; dièdre B, il y a deux solutions : pour la première solution SA coïncide avec la demi-tangente analogue à Sa, et elle coïncide avec le prolongement de l'autre tangente au-delà du point S pour la deuxième solution.
2o Si a est droit, le problème admet deux solutions symétriques si dièdre A > dièdre B, et pas de solutions si dièdre A «< dièdre B.
3» Si a est obtus, l'arête SB coïncide avec le prolongement de SS' au-delà du sommet et il v a :
1 solution si dièdre A > dièdre B; 0 solution si dièdre A < dièdre B.
En résumé, quand le problème est possible, il admet une ou deux solutions.
201- Sixième cas. — Construire un trièdre connaissant Us trois dièdres.
On construit le trièdre supplémentaire, et le problème est ainsi ramené à la construction d'un trièdre connaissant les trois faces. Nous en donnerons plus tard une solution directe (voir les plans tangents à la sphère).
i. Trouver la dislance des traces d'une droite.
2. On donne la projection horizontale d'une droite et les projections du point de rencontre de cette droite avec le premier plan bissecteur. Construire la projection verticale de la droite connaissant la longueur interceptée par les deux plans de projection sur cette droite.
3. On donne la projection horizontale d'une droite, Tangle que cette droite fait avec le plan horizontal et la cote d'un point appartenant à la droite ; trouver la trace horizontale de celle-ci.
4. Trouver la distance d'un point pris sur la ligne de terre à un plan quelconque.
5. Même question en remplaçant le plan quelconque par un plan parallèle à la ligne de terre.
