SECTIONS PLANES, INTERSECTIONS ET OMBRES

DES POLTËDRES

§ I. — Sections planes des polyèdres.

202. Représentation des polyèdres. — En Géométrie descriptive un corps, quel qu'il soit, est représenté par ses projections. On se borne, bien entendu, à ne construire que les projections des éléments indispensables à la détermination complète de tous les autres éléments, et qui permettent de se faire une idée de la forme et de la position du corps à la seule inspection de son épure. En particulier, pour représenter un polyèdre, on construit les projections de toutes les arêtes limitées aux sommets.

203. Méthodes pour déterminer les sections planes des polyèdres quelconques. — l'^La méthode la plus commode pour déterminer une

section plane d'un polyèdre quelconque consiste à amener le plan sécant à être perpendiculaire à Tun des plans de projection, à Taide d*un changement de plan. En effet, si le plan sécant est, par exemple, perpendiculaire au plan vertical, le polygone d'intersection est projeté verticalement sur la trace verticale du plan sécant, et Ton en déduit la projection horizontale par des lignes de rappel.

L'épure ci-contre représente précisément la section faite dans une pyramide {êabcd^ sla'b'ddf) par le plan de bout PXQ'. Les sommets de

la projection verticale du polygone d'intersection sont a', p', •/, o\ On en déduit les projections horizontales a, p, y, o des sommets du polygone d'intersection, en menant les lignes de rappel des points a , P', y, o' jusqu'aux points de rencontre avec les projections horizontales des arêtes correspondantes.

L'emploi de cette méthode pour la construction d'une section plane d'un polyèdre quelconque exige la construction d'une nouvelle projection du polyèdre : c'est d'ailleurs le seul inconvénient de la méthode, et, cette nouvelle projection étant construite, on n'a plus que des constructions indispensables pour achever la détermination de la section. La méthode suivante, moins simple, permet d'éviter le changement de plan :

2» Cette méthode consiste à déterminer directement les droites d'intersection du plan sécant avec les faces successives du polyèdre, et à limiter chacune de ces droites à sa partie utile, comprise, bien entendu, à l'intérieur de la face dans le plan de laquelle elle se trouve. Il suit évidemment de là que certaines des droites ainsi obtenues pourront être complètement inutiles. C'est même une difficulté de la méthode

de trouver une face dont la section par le plan sécant présente une partie utile, c'est-à-dire soit un côté du polygone d'intersection. Seulement, dès qu'on a trouvé une face remplissant ces conditions, c'est-à-dire dès qu'on a trouvé un premier côté du polygone d'intersection, on n'a plus aucun tâtonnement à faire pour obtenir les côtés suivants. Supposons en eflTet que l'intersection du plan sécant avec le plan d'une face F présente une partie utile, AB. La droite AB sera un premier côté du polygone d'intersection, et on en aura un second en déterminant l'intersection du plan sécant, soit avec la face du polyèdre adjacente à F suivant l'arête 70, soit avec la face du polyèdre adjacente à F suivant Tarêle «p. On obtient ainsi un second côté du polygone à l'aide duquel on en détermine un troisième, et ainsi de suite. Pour procéder méthodiquement, il est bon de supposer le polygone parcouru dans un sens déterminé AB..., et de déterminer les côtés successifs ainsi parcourus jusqu'à ce que l'on revienne au point de départ.

Enfm, quand on a construit un polygone d'intersection, il est bon de recommencer les essais pour s'assurer qu'il n'en existe pas d'autres, ou

pour conslriiirc d'autres polygones d'intersection, s'ils existent.

L'épure ci-dessous a été exécutée d'après la méthode qui vient d'être

exi)Osée. Elle représente la section faite par le premier plan bissecteur

dans un cube ayant une diagonale verticale et une arête aboutissant à l'une des extrémités de cette diagonale de front. Le premier côté du polygone d'intersection qui ait été déterminé est le côté (qm, cfm!)^ situé dans le plan de la face projetée horizontalement en abcd. Pour déterminer ce côté, on a profité de ce que le plan de cette face est de bout ; on a donc déterminé l'intersection du plan de cette face avec le premier plan bissecteur. La projection verticale de cette intersection étant ^'^'^'^'i la projection horizontale est la droite dmq^ symétrique de ^^^ par rapport à xy. La partie utile de l'intersection est d'ailleurs (jwi, çWj ; de sorte que si l'on suppose la section parcourue dans le sens de q vers m, le côté suivant sera dans la face du cube adjacente à la face projetée en abcd et passant par l'arête (6c, 6V). Cette face est projetée horizontalement en cbfg ; on a donc cherché l'intersection de l'arèle (fg^ f'g') et l'on a profité pour cela de ce que celte arête est dans le plan de bout mené par fg'. On a ainsi obtenu, du même coup, le côti' (np, n'p') du polygone d'intersection, polygone qui est, comme Ton sait, un parallélogramme.

Pour la ponctuation, on a enlevé toute la partie du cube située audessus du plan sécant, et on a supposé le cube solide et opaque. Les projections des lignes enlevées ont été tracées en traits mixtes ( ).

20i. Sections planes des prismes et des pyramides. — Nous avons (^x{)osé plus haut deux méthodes pour déterminer une section plane d un polyèdre quelconque. Ces méthodes sont applicables aux prismes et aux pyramides. Toutefois, quand le polyèdre est un prisme ou une

pyramide, il convient de procéder autrement. On détermine les points de rencontre des arêtes du prisme ou de la pyramide avec le plan sécant ; on obtient ainsi les sommets du [X)lygone d'intersection et on en déduit facilement les côtés.

Pour traiter le problème avec plus de détails, il faut distinguer le cas de la pyramide de celui du prisme.

Proposons-nous donc d'abord de déterminer la section faite dans une pyramide SABCD par un plan P coupant le plan de base de la pjTamide suivant la droite a. Figurons simplement la projection horizontale sabcd de la pyramide et la projection horizontale S de a. Pour obtenir les points de rencontre des arêtes de la pyramide avec le plan P, on doit couper par des plans auxiliaires passant par les arêtes de la pyramide. Tous ces plans auxiliaires ont en commun le point S et il y a avantage à les faire passer par une droite Sli issue de ce point.

Soient a et <ii les projections horizontales des points de rencontre respectifs de cette droite avec le plan de base de la pyramide et avec le plan P. Si Ton coupe par le plan auxiliaire AiSA de l'angle projeté en «a, ce plan coupe le plan de base de la pyramide suivant la droite projetée en <ja et, par suite, il coupe a en un point projeté en a. Il en résulte qu'il coupe le plan P suivant la droite projetée en <jix, et que le point de rencontre. Ai, de cette droite avec l'arête est le point de rencontre de SA avec le plan P : ce point est projeté en «i.

Pour obtenir le point de rencontre de SB avec le plan P, on coupe de même par le plan auxiliaire ^iSB, ce qui donne le point Bi projeté horizontalement en Aj, et ainsi de suite. On obtient ainsi la projection horizontale aibiddi du polygone dMntersectîon, et Ton on déduit la projection verticale par des lignes de rappel. On voit de plus quel est l'avantage de Tintroduction des points cr et <ti.

Si nous nous proposons maintenant de déterminer une section plane d'un prisme, le principe de la méthode reste le même. La seule différence consiste en ce que la droite AiS est une droite quelconque parallèle aux arêtes du prisme, ce qui résulte, du reste, de ce que le prisme peut être considéré comme une pyramide dont le sommet est à Tintini dans la direction des arêtes.

205. Remarque. — Lorsque le premier sommet, Ai, du polygone d'intersection a été déterminé, on peut s'en servir pour déterminer les suivants sans faire usage de nouveaux plans auxiliaires. 11 suffît de remarquer, pour cela, que les deux droites AB et AiBi doivent ren-

contrer A au même point, sommet du trièdre formé parle plan de base de la pyranaide ou du prisme, le plan P et le plan ASB. Dans la figure de la pskS^ précédente, ce point est projeté horizontalement au point

d'intersection, ai, de ab et de 8. On joindra donc «i à Oi, ce qui donnera 61, on joindra ensuite 71 à 61, ce qui donnera Ci, et ainsi de suite. L'épure ci-dessus a été exécutée comme application de la remarque que Ton vient de donner. Elle représente l'intersection d'un prisme (|uadi*angulaire, reposant sur le plan horizontal, et d'un plan passant par la ligne de terre et par le point (m, m!) de l'arètc {aa^ a'a\). Comme l'on connait le sommet (m, m') du polygone d'intersection, en appliquant la remarque on en déduit immédiatement les autres sommets

Pour faire la ponctuation, on a supposé opaques les surfaces des bases du prisme et la surface latérale.

206. Grondeur d'une section plane d'un polyèdre. — On détermine la grandeur d'une section plane d'un polyèdre en rabattant le plan sécant sur un plan horizontal ou sur un plan de front.

207. Points de rencontre d'une droite et de la surface d'un polyèdre. — Pour déterminer les points de rencontre d'une droite et de la surface d'un polyèdre, on coupe le polyèdre par un plan passant par la droite. Les points cherchés sont les points de rencontre de la droite avec les côtés du polygone d'intersection ainsi obtenu.

Comme plan passant par la droite, on prend généralement l'un des plans projetants, excepté quand le polyèdre est une pyramide ou un prisme.

Si le polyèdre est une pyramide, pour avoir ses points de rencoiHre avec une droite on peut couper la pyramide par un plan passant par son sommet et par la droite. Soit a la trace de ce plan sur le plan de

base de la pyramide, et soit M l'un des points de rencontre de a avec le polygone de base. Si l'on joint le point M au sommet S de la pyramide, on obtient une droite tracée sur la surface de la pyramide, située dans le même plan que la droite donnée, et rencontrant celle-ci en un point qui est évidemment l'un des points cherchés. De sorte qu'il y a autant de points de rencontre de la droite donnée P avec la surface de la pyramide que de points

•de rencontre de a avec le polygone de base.

Si le polyèdre, au lieu d'être une pyramide, est un prisme, le plan

DÉVELOPPEMENT DE LA SURFACE LATÉRALE dYw PRISME 143

mené par la droite et par le sommet de la pyramide devient le plan mené parla droite parallèlement aux arêtes du prisme. On achève ensuite le problème comme pour la pyramide.

§ II. — Développement de la surface latérale d un prisme

ou dune pyramide.

Wi. Développement de la surface latérale d*un prisme. — Considérons une surface prismatique quelconque ABCDEFGH, terminée, par exemple, par deux plans parallèles. Construisons à part, et dans un même plan, les parallélogrammes AiBiE,Ft, BiCiFiGi, C,DiGiH,, D1A2H1E1, respectivement égaux aux faces latérales successives ABEF, BCFG, CDGH, DAHE du prisme, et placés extérieurement l'un à l'autre et à la suite les uns des autres. Nous obtenons ainsi une surface polygonale formée d'une suite de parallélogrammes, et qu'on appelle le développement de la surface latérale du prisme considéré.

Si le prisme est droit, les lignes A^BjC^DtAj, E,FiGiH,E, se réduisent à deux droites perpendiculaires aux arêtes AiEj, B,Fi, ..., et la surface polygonale est un rectangle.

Si, au lieu d'un prisme, on a un tronc de prisme, au lieu d'une suite de parallélogrammes, dans le développement, on a une suite de trapèzes.

A une ligne polygonale tracée sur la surface latérale du prisme,

correspond une autre ligne polygonale, tracée dans le développement et qu'on appelle la transformée de la première. Si, par exemple, IK est un côté quelconque de la ligne tracée sur la surface latérale du prisme, pour avoir le côté correspondant IiK, de la transformée, il suffit de prendre AJi = AI, BiKi = BK, et de joindre les deux points Il et Kl ainsi obtenus. Il suit évidemment de là que les côtés d'une ligne tracée sur la surface latérale du prisme coupent les arêtes de cette surface sous des angles respectivement égaux à ceux sous lesquels les côtés correspondants de la transformée coupent les arêtes latérales dans le développement. En particulier, la transformée d'une section droite est une ligne droite, mais la réciproque n'est pas vraie.

Il est évident, d'ailleurs, qu'une ligne et sa transformée ont le même périmètre; car les deux trapèzes ABIK, AiBJiKi sont évidemment égaux et donnent IiKi = IK, de sorte que les deux lignes ont leurs côtés correspondants égaux et, par suite, le même périmètre.

Ces divers résultats s'énoncent brièvement en disant que le développement conserve les longueurs et les angles des lignes tracées sur la surface latérale du prisme.

Gela posé, supposons que l'on connaisse les projections du prisme, et proposons-nous de construire le développement de sa surface latérale. Gomme il est nécessaire, pour cela, d'avoir les longueurs des

arêtes, nous supposerons celles-ci parallèles à l'un des plans de projection. S'il en était autrement, on ferait d'abord un changement de plan pour les amener dans cette position. Soit donc abcd la base d'un