INTERSECTION DE DEUX POLYÈDRES QUELCONQUES

§ III. — Intersection de deux polyèdres quelconques,

210. Méthode o^nérale. — Pour trouver Tintersection de deux polyèdrres quelconques, on pourrait construire les polygones d'intersection de Tun des polyèdres avec les plans des faces de Tautre, en ayant soin de ne conserver, dans chacun de ces polygones, que la partie utile, c'està-dire la partie située à Tintérieur de la face contenue dans le plan qui a fourni ce polygone. L'intersection se trouve ainsi rigoureusement déterminée. Cette méthode, simple en théorie, est compliquée dans la pratique, à cause des constructions inutiles auxquelles elle conduit. Voici alors comment il convient de procéder :

Appelons P le premier polyèdre, Q le second, et soient A et B deux faces appartenant respectivement à ces deux polyèdres. Soient

a et 6 deux projections de même nom de ces deux faces, par exemple leurs projections horizontales. Supposons que les plans des deux faces A et B se coupent suivant une droite D, projetée horizontalement en d. Il est clair que la seule portion utile de cette droite est celle qui est projetée à l'intérieur de a et de 6 d la fois ; si «p est cette portion utile, en projection horizontale, «p sera un côté de la projection horizontale du polygone d'intersection.

Imaginons alors ce polygone parcouru par un mobile, dans le sens «p par exemple, et cherchons le côté suivant. Observons, pour cela, que ce mobile ne peut quitter une face qu'en traversant une arête ; il en résulte que si le mobile part du point p pour parcourir le côté suivant, il se déplace nécessairement sur la face B, d'une part, et sur la face Ai du polyèdre P adjacente à A suivant l'arête MN, projetée en tnn, de l'autre. En convenant de dire que «p est le /premier côté du polygone d'intersection en projection horizontale, on voit que le detixiéme côté s'obtient en prenant la projection horizontale de l'intersection des plans des deux faces Ai et B. On limite d'ailleurs ce éôté, comme le premier, à sa partie utile, et Ton recommence ensuite le même raisonnement pour obtenir le côté suivant. On continue

ainsi jusqu'à ce que Ton revienne au point de départ, ce qui est du reste facile à reconnaître ; car, si, pour fixer les idées, on suppose que Ton soit parti de deux faces présentant une disposition analogue à celle (le la ligure ci-dessus, le dernier côté de la projection horizontale du polygone d'intersection sera la projection horizontale de l'intereection du plan de la face A avec le plan de la face Bi, du polygone Q, adjacente à B, suivant Tarête MiNi, dont la projection horizontale est mifîi. On voit que la méthode n'exige aucun tâtonnement, si ce n'est pour la construction du premier côté du polygone d'intersection : c'est d'ailleurs là la seule difficulté sérieuse qu'elle présente.

Gomme l'intersection peut se composer de plusieurs polygones, quand l'un de ces polygones a été déterminé, il est bon de s'assurer qu'il n'en existe pas d'autres, et de déterminer les autres, comme le premier, s'il en existe.

Ajoutons que nous ne nous sommes occupés que d'une projection de l'intersection, parce que, cette projection une fois déterminée, l'autre projection s'en déduit par des lignes de rappel.

211. Remarques. — Nous terminerons l'exposé de cette méthode par deux remarques.

l^ Supposons qu'on ait déterminé un côté quelconque du polygone d'intersection, par exemple celui qui est projeté en «p. Le polygone

étant supposé parcouru dans le sens de a

vers p, pour déterminer le côté suivant, nous

/\^ avons admis que le point projeté en p se

^v^__/ N. trouve sur Tarète MN du polygone P et à

/\ / ""/^ \ l'intérieur de la face B du polygone Q.

/ /S. / / Or, il peut arriver que ce point se trouve à

r / \ / ^/ la fois sur l'arête MN du polygone P et sur

C^ '^ k une arête HK du polygone Q ; ceci arri-

^^'^^-v/ \ vera quand les deux arêtes MN et HK au-

"^ ront un point commun. Dans ce cas, appe-

lons A, la face, autre que A, du polygone P (|ui passe par MN, et appelons de même B, la face du polygone Q, adjacente à B suivant HK. Le côté suivant du polygone d'intersection pourra être : ou Tintersection de A avec B,, ou l'intersection de A, avec B, ou entin l'intersection de A| avec Bj ; au reste les deux polyèdres pourront se couper suivant deux polygones. On déterminera donc