INTERSECTION DE DEUX POLYÈDRES QUELCONQUES

le deuxième côté en prenant Tintersection soit de A avec B,, soit de A, avec Bi, soit de B avec A|, et on achèvera un premier polygone, puis on reviendra au point d'intersection des deux arêtes et on recommencera les opérations avec deux faces non employées.

2« Lorsque les deux polyèdres ont une face commune ou s'étendent à l'infini, un polygone d'intersection peut ne pas être fermé. Dans ce cas, on construit une partie de l'intersection en marchant dans le sens af jusqu'à la face commune ou jusqu'à l'infini. On détermine ensuite l'autre partie de la même manière en marchant en sens contraire, après être revenu au point de départ.

212. AppUcalion à un exemple. —Intersection d'un parallèle pidède et d'une surface prismatique triangulaire indéfinie.

Supposons la base ahcd du parallélépipède dans le plan horizontal et ses arêtes de front, et soient (e, e'), (/, /*% (jf, g") les arêtes de la surface prismatique. Pour simplifier l'écriture, nous nommerons les faces du parallélépipède au moyen de leurs traces horizontales, et les faces du prisme au moyen des projections horizontales des arêtes qui les limitent. Par exemple, nous dirons : la face ab du parallélépipède et la face ef du prisme.

Nous nommerons de même une arête de l'un quelconque des polyèdres par sa projection horizontale.

Cela posé, nous déterminerons d'abord la projection verticale du polygone d'intersection, et nous en déduirons la projection horizontale par des lignes de rappel.

Commençons donc par déterminer l'intersection de deux faces, ab et ef par exemple. Ces deux faces se recouvrent en partie, soit en projection horizontale, soit en projection verticale et, en outre, les parties qui se recouvrent en projection horizontale et en projection verticale se correspondent par des lignes de rappel ; de sorte que rien «indique, a priori^ que ces deux faces ne se coupent pas, ou du moins que leur intersection est inutile. Pour obtenir cette intersection, on a cherché les points de rencontre des arêtes aa^ et bbi avec la face e/", en coupant par les plans de front qui passent par ces arêtes. Le plan de front mené par aa^ coupe la face ef suivant {hk, h!k)^ ce qui donne un point de l'intersection projeté verticalement en ?'. Le plan de front mené par 661 coupe e/* suivant une parallèle à (H*, KK)^ de sorte qu'il suffit d'une seule ligne de rappel II' pour

pouvoir construire la projection verticale l'm' de cette parallèle : m' est la projection verticale du point de rencontre de bb^ avec le plan de la face ef. Un côté de la projection verticale du polygone d'intersection est donc dirigé suivant m'p', et sa partie utile est évidemment

Supposons alors le polygone parcouru dans le sens de a' vers P', et cherchons le côté suivant. Gomme le point p' est à l'intérieur de e'f et sur le contour de a'6', le côté suivant sera, en vertu de ce qui a été dit plus haut, Tintersection de la face ad avec la face ef. Nous disons face au lieu de plan de la face, pour simplifier le langage. Nous connaissons déjà un point de l'intersection de ces deux faces : c'est celui qui est projeté en ,8'. Pour en avoir un second, il suffit de construire le point de rencontre d'une arête quelconque autre que oa, de l'une des faces avec le plan de l'autre. Ici, on a construit le point de rencontre de ddi avec le plan e/*, en coupant par le plan de front mené

id.

ef;

id.

eg;

id.

ge.