INTERSECTION DES PRISMES ET DES PYRAMIDES

l'autre, celle de droite, les faces extérieures du solide commun qui appartienDent au prisme. En emboîtant les deux figures, on obtient le solide commun.

218. IntenBectlon de deux prismes. — Comme dans le cas de deux pyramides ou d'une pyramide et d'un prisme, on détermine les points de rencontre de chacune des surfaces avec les arêtes de l'autre. Pour cela, on coupe par des plans auxiliaires parallèles aux arêtes des deux prismes et passant successivement par les arêtes de chacun d'eux. Ces plans auxiliaires sont parallèles à un plan fixe P, déterminé par les parallèles aux arêtes des deux prismes menées par un point quelconque de l'espace. Le plan P coupe la base du premier prisme suivant une droite A, à laquelle sont parallèles les traces de tous les plans auxiliaires sur le plan de base du même prisme ; il coupe le plan de base du second prisme suivant une droite a^, à laquelle sont parallèles les traces de tous les plans auxiliaires sur le plan de base du même prisme. Quand les bases des deux prismes sont dans le même plan, A et Aj coïncident.

Si Ton rapproche ceci de ce qui a été dit dans le cas de l'intersection de deux pyramides, on voit que les points S et Si sont remplacés, le premier par le point à l'infini dans la direction A, le second par le point à l'infini dans la direction A». On achève alors la détermination de l'intersection comme dans les deux cas précédents. Nous avons donné un exemple de chacun de ces deux cas en supposant les bases situées dans des plans distincts ; nous allons donc traiter un exemple d'intersection de deux prismes en supposant que les bases sont dans le même plan.

219. Exemple d'intersection de deux prismes. — Intersection de deux prismes placés au-dessus du plan horizontal, et dont les bases reposent sur ce plan.

Proposons-nous seulement de construire la projection horizontale de l'intersection de ces deux prismes, la projection verticale s'en déduisant, comme toujours, par des lignes de rappel.

Soient abcd la base du premier prisme, efg \sl base du second. Par le point projeté horizontalement en Oi et situé sur une arête du premier prisme, menons la parallèle aux arêtes du second ; soit <r la trace horizontale de cette droite. Comme le point a est dans le plan horizon-

tal, les traces horizontales de tous les plans auxiliaires sont parallèles à au.

Cela posé, pour avoir les points de rencontre d'une arête du premier prisme, de l'arête projetée en aa^, par exemple, avec la surface du second, on observe que le plan auxiliaire mené par cette arête coupe le plan horizontal suivant ai (pour une autre arête, ce serait une

parallèle à ai), La droite arx coupe la base du second prisme aux deux points a et a,, ce qui donne en m et en * les projections horizontales des deux points cherchés.

Pour avoir de même les points de rencontre d'une arête du second prisme, de l'arête projetée en ee^ par exemple, avec la surface du premier, on observe que la trace horizontale du plan auxiliaire mené par cette arête est la parallèle à aa menée par le point e. Cette parallèle rencontre la base du premier prisme aux points e et ej, et Ton en déduit les projections horizontales v et p des points cherchés.

On détermine d'une manière analogue tous les autres sommets du polygone d'intersection. On constate d'ailleurs sans aucune difficulté