OMBRES DES POLYÈDRES

«qu'il y a arrachement, car les deux plans auxiliaires dont nous nous €onimes servis sont précisément les deux plans limites. Enfin on fait ia jonction des sommets du polygone d'intersection comme dans les ^eux cas précédemment examinés.

Pour faire la ponctuation, on a représenté le prisme triangulaire entaillé par le prisme quadrangulaire. La manière d'effectuer ce mode -de ponctuation ayant déjà été donnée (212), nous n'y reviendrons pas.

§ V. — Ombres des polyèdres.

220. Détermina tioa de la séparatrice. — Lorsqu'un polyèdre est éclairé par une source lumineuse placée à distance finie ou infinie, la partie éclairée de la surface du polyèdre est séparée de la partie non éclairée de cette surface par une ligne polygonale qu'on appelle la séjparatrice. Les côtés et les sommets de cette ligne, si Ton suppose le polyèdre convexe, sont des arêtes et des sommets du polyèdre, et il est aisé de s'assurer si un sommet du polyèdre est en même temps un sommet de la séparatrice. Appelons en effet A le sommet considéré du polyèdre; pour qu'il soit un sommet de la séparatrice, il faut évidemment et il suffit que le rayon lumineux qui passe par le point A ne rencontre la surface du polyèdre ni avant ni après son passage au point A. Un simple coup d'oeil suffit généralement pour s'assurer si <;ette condition est remplie; mais dans le cas oii il y aurait doute, il n'y aurait qu'à chercher les points de rencontre de ce rayon lumineux avec la surface du polyèdre, en coupant celle-ci par un plan vertical ou de bout passant par le même rayon. On aurait ainsi, par la même .occasion, des points de la séparatrice, en menant par les sommets du polygone d'intersection les parallèles aux rayons lumineux ne rencontrant qu'en un point le périmètre de ce polygone.

On pourra donc obtenir, de cette manière, la ligne de séparation 4I ombre et de lumière sur la surface du polyèdre.

Cela fait, nous allons montrer rapidement que la détermination des 4>mbres des polyèdres se ramène à des problèmes déjà traités.

221. Ombre portée par un polyèdre sur un plan. — Chaque côté de la séparatrice et le point lumineux déterminent un plan que nous ;supposerons limité aux deux rayons lumineux passant par les extré-

▲NTOMini. — 6ÉOM. DE8CR. 11

mites du côté. Tous les plans analogues, limités de la même façon, forment une surface pyramidale ou prismatique, appelée pyramide ou prisme d'ombre^ et dont la section par le plan considéré est Tombre portée par le polyèdre sur ce plan. La détermination de cette ombre se ramène donc à la détermination d'une section plane d'un prisme ou d'une pyramide, problèmes déjà résolus (204).

Lorsque le polyèdre est représenté par ses projections sur deux plans rectangulaires opaques, l'ombre du polyèdre se compose de l'ombre portée sur le plan horizontal limité à la ligne de terre et de l'ombre portée sur le plan vertical limité également à la ligne de terre.

222. Ombre portée par un polyèdre sur un autre polyèdre. — Appelons P et Pt les deux polyèdres, et supposons, par exemple, qu'il s'agisse de déterminer l'ombre portée par le polyèdre P sur le polyèdre Pi. Pour cela, on détermine la pyramide ou le prisme d'ombre relatif au polyèdre P, suivant que la source lumineuse est à distance finie ou infinie; puis on cherche l'intersection de cette pyramide ou de ce prisme avec le polyèdre Pi, en limitant cette intersection à la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur le polyèdre P,.

On simplifie, d'habitude, les constructions en déterminant préalablement les ombres portées par les polyèdres P et P, sur les plans de projection ; car on a ainsi les ombres portées par les séparatrices.

223. Ombre portée par une droite sur un polyèdre. — La droite et la source lumineuse déterminent un plan. On cherche la section du polyèdre par ce plan et on la limite à la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur ce polyèdre; on a ainsi l'ombre cherchée.

1. On donne an hexagone régulier de 3^™ de côté ; le centre et le milieu de Tun des côtés sont dans la partie antérieure du plan horizontal, le centre est à 5^™ de xy. Le plan de l'hexagone fait un angle de 39° avec le plan horizontal et la trace horizontale fait un angle de 53<* avec œy. Cet hexagone est la base d'une pyramide régulière dont la hauteur a {^^^ et dont le sommet est dans le second dièdre.

Trouver les projections de la pyramide et celles de la section faite dans cette pyramide par le plan bissecteur du premier dièdre.

[École navale, concours de i88i.)

2. La base ABC d*iine pyramide SABC est parallèle au plan horizontal, au-dessus de ce plan et à une distance de 2°>^,l. Le côté BC, parallèle à ary, vaut n<>°',3 et est éloigné du plan vertical, en avant, de 1<"*,5. Les côtés AC et AB valent respectivement iO'''",! et 7<*°',6. Le triangle SAC est isocèle, les angles égaux SAC, SCA valent chacun 62?; enfln Taréte SB Taut iP",2. On demande :

i* De construire les projections de la pyramide ;

2^ De déterminer les projections du centre 0 de la sphère circonscrite à la pyramide ;

3® De déterminer les projections et la vraie grandeur de la section que

fait dans la pyramide le plan mené par le point 0 parallèlement aux deux

arêtes opposées AG et SB.

(École de ScUnt-Cyr^ concours de 1882,)

3. On donne : 1^ un plan PaP' dont les traces font avec xy des angles Pay = 45°, P'ay = 36® et 2* un point S situé dans ce plan à 4"",2 en avant du plan vertical de projection et à 5<">^,4 au-dessus du plan horizontal. Ceci posé, on demande :

i" De construire les projections d*une pyramide triangulaire SABC ayant pour sommet le point S et s*appuyant sur le plan horizontal par sa base ABC (le point A étant le plus éloigné de xy)y au moyen des données suivantes : le plan de la face ASC est perpendiculaire au plan PaP' et fait un angle de 72<* avec le plan horizontal ; la face ASB est située dans le plan PaP* ; l'angle plan ASC = 75*>; l'angle plan ASB = 66«;

2» De mener par le centre de gravité G de la pyramide un plan perpendiculaire à la droite SG qui joint ce centre de gravité au sommet S, et de construire les projections de la section faite par ce plan dans le solide.

(École de Saint-Cyr, i»' concours, 1880.)

4. On donne une pyramide régulière de UO*»" de hauteur dont la base est un octogone de kk^^ de côté; un diamètre de cet octogone est incliné à 60° sur osy et descend vers la droite de Tépure. Un point M, de cote dO*'", est projeté en m sur le plan de front du centre de l'octogone, et à 10"o à droite de ce centre. Par M on fait passer deux plans inclinés à 41<> sur le plan horizontal et dont les traces horizontales sont à 45<» sur xy. Ces traces descendent aussi vers la droite de l'épure. On demande de représenter les projections de la partie solide de la pyramide comprise entre les deux dièdres aigus des deux plans.

5. Un prisme a ses arêtes de front et inclinées à 45^ sur le plan horizontal et montant vers la droite de l'épure. Les bases de ce prisme sont dans deux plans horizontaux, de cotes 50"™ et 120'»>^. Ces bases sont des hexagones réguliers de 35™" de côté dont un diamètre est incliné à 45® sur xy et descend vers la droite. Sur chacune des bases de ce prisme on conslniit une pyramide régulière, de 40"" de hauteur, qui» ne rencontre

pas le prisme, et l'on considère le solide formé par le prisme et Tensemble des deux pyramides. On coupe ce solide par un plan P qui passe par les milieux des hauteurs des deux pyramides et dont les horizontales sont parallèles au diamètre donné des hexagones. Représenter la partie du solide située en arrière du plan P.

6. (jadre 2T^ sur 42<^™. — Ligne de terre parallèle au petit côté du cadre

et au milieu.

blJk.

h\ / xo' = 9«™, o'o = 9®", oa = 6''™.

0 est le centre d*une circonférence de X rayon 6"™. On inscrit un octogone régulier

dont un sommet b est tel que arc afr = ^

de circonférence. Cet octogone est la base d*un prisme dont les arêtes sont de front, et font un angle de 60<^ avec le plan horizontal. On prend oV = 13«", ce' = il«"*. On décrit une circonférence de rayon cd = 5"". On inscrit un pentagone régulier dont un des sommets est en m et tel que mm' = 74""*. Ce pentagone est la

base d'un prisme dont les arêtes {mh, m' h') sont de front et font un angle

de 45^ avec le plan horizontal.

Représenter l'intersection et le solide commun. (R. Malloizel.)

7. Cadre 27«™ sur 42«». — Ligne de terre parallèle au petit côté de la

feuille et au milieu.

Une pyramide régulière a pour base dans le plan horizontal un hexagone régulier inscrit dans une circonférence de rayon 10^"^ ; son centre (o , o') est tel que oco' = o'y, o'o = 10®"^,5. La hauteur de Ja pyramide est égale à 1 8^™. Un des sommets de Thexagone est le point (A, a'), o'a' = 3''«.

Un tétraèdre a pour sommets les quatre points M, N, P, R, ainsi définis :

M { {Jim' = 2«"», N

ynn = 14®"; o'm = 4»'», wp' = 18«», xnp = 17«»,5;

rem

vn' = 10«™, vn = 14*"* ;

R } pr' = 8*", ( prz:z 1««.

On demande : l*" de trouver les projections de Tintersection de la pyra-

niide et du tétraèdre; 2® de représenter la pyramide entaillée par le tétraèdre. (R. Malloizel.)

8. Cadre 27'» sur 42'^'^. — Ligne de terre parallèle au petit côté du

cadre et au milieu.

}/ o>x =z wy, wa = lO"", wfc' = 16*™.

I bz est parallèle à xy et l'angle cbz est de 15^.

j Un cube a pour diagonale la verticale (a6, a'b%

|^>, et une des arêtes {bc^ b'd) aboutissant au point

I \ (&, V) a pour projection horizontale la droite bc,

p J^ ^^ — On demande les projections du cube.

j I Un prisme a pour base dans le plan horizon-

^^ [ j.^ tal le carré mnfpq et pour arêtes des parallèles

^sl^^P a'o* = db\ u)^' = o*b\ mn = 6«»,

l'angle de mn avec xy est de 25®.

On demande les projections du prisme.

Représenter le cube entaillé par le prisme. (R. Malloizel.)

9. Un tétraèdre régulier SABC, dont les arêtes ont pour valeur comronoe S'^^^S, repose par sa base ABC sur le plan horizontal de manière qne Tarête AB est parallèle à xy, et le sommet G en avant de AB. Sur chacune des faces latérales SAB^ SAC, SBC comme bases^ on construit un prisme droit dont la hauteur est égale à Taréte du tétraèdre. On obtient ainsi un polyèdre P composé de Tensemble du tétraèdre et des trois prismes, et Ton demande de construire :

1* Les deux projections de ce polyèdre P ;

2* La section de ce polyèdre P par un plan horizontal mené par le

centre de gravité du tétraèdre.

{Ecole de Saint-Cyr, concours de Î867.)

10. On donne la projection horizontale d*un cube dont une diagonale est verticale ; ce cube se projette suivant un hexagone régulier de 8*^™ de côté, dont une diagonale est perpendiculaire à xy. L'extrémité de cette diagonale la plus rapprochée de xy en est distante de 3*"*. On demande de déterminer :

1* La projection verticale du cube ;

2* Les projections d'une pyramide régulière qui a pour base Thexagone de projection du cube sur le plan horizontal et dont la hauteur est supérieure de 3°™ à la diagonale du cube ;

3<* Le solide commun au cube et à la pyramide ;

4* L'ombre portée par ce solide sur les plans de projection, et son ombre propre, sachant que toute parallèle aux rayons lumineux se projette

horizontalement en faisant un angle de 60<> avec xy et verticalement un

angle de M^,

{Journal de Vuibert, 5* année.)

ii. On donne sur le plan horizontal un carré ABCD inscrit dans un cerdc dont le rayon a 5«>^ et dont le centre est à T^fi de œy. La diagonale BC est perpendiculaire à xy. On construit un cube sur ce carré pris comme base, et on coupe ce cube par un plan passant par les milieux E et F des côtés AB, AD et par le centre du cube. On rabat la section ainsi obtenue sur le plan horizontal, et Ton construit une pyramide ayant pour base la section rabattue, et pour sommet un point se projetant horizontalement au centre du carré ABCD et situé au-dessus du plan horizontal à une distance égale à une fois et demie l'arête du cube. On propose de trouver en projections Tintersection du cube et de la pyramide.

[Concours académique de Montpellier, i874.)

12. On donne une sphère de ^^^ de rayon tangente aux deux plans de projection ; son centre est dans le premier dièdre. On inscrit dans cette sphère un prisme droit dont la base est un hexagone régulier, Taxe vertical^ et dont la hauteur est égale au diamètre du polygone de base. Une des faces est parallèle au plan vertical de projection.

On mène le diamètre de la sphère parallèle à œy et on joint son extrémité de gauche à tous les sommets de la base inférieure du prisme.

On demande :

io De représenter le prisme et la pyramide obtenus ;

2^ De trouver Tintersection des deux corps ;

3° De construire le développement des faces latérales du prisme sur un plan parallèle au plan vertical et d*y représenter Tintersection développée.

(Concours académique de Montpellier, 1870.)

13. On donne un prisme droit et une pyramide de même hauteur égale à 5'"^ ; la base du prisme est un triangle équilatéral ABC inscrit dans un cercle de S®*» de rayon ; la base de la pyramide est un triangle équilatéral inscrit dans le même cercle, le point D étant diamétralement opposé au point A ; le sommet de la pyramide est sur Tarète latérale du prisme qui passe par le point A .

On prend pour plan horizontal le plan du cercle, pour ligne de terre une perpendiculaire au diamètre AD située à 5«» du centre et du même côté que le point D par rapport à ce centre .

Représenter les deux solides par leurs projections ; construire les projections de la ligne d'intersection des surfaces des deux solides ; puis, transportant la figure parallèlement à flcy de 3«» vers la droite, représenter par ses projections le solide commun au prisme et à la pyramide.

{Concours général de i876, Enseignement spécial.)

14. Cadre 21*^ sur 42°°^. — Ligne de terre parallèle au petit côté du

cadre et au milieu.

V Un prisme a pour base dans le plan

H^ \ horizontal un pentagone régulier inscrit

/ A dans une circonférence (o, o') de rayon

Tl ! !

,^tt w T yi Q^ ^ goa^ ^^r ^ gooi^ q'q — gem j un dCS

.'^^Ji. ' 1-

Il I ij sommets (a, a') du pentagone est tel que

i aa' = 4*'»,5. Une arôte (H, H') est de front,

j la projection verticale H' faisant avec xy

\ y A^--L ^° angle a tel que tg a = — •

Un second prisme a pour base dans le plan horizontal un carré construit sur mn et au-dessus.

oV = 6«-, m'n' = 6«», mm' = 18»»,o, n'n = 20«».

Une arête (G, G') a ses deux projections parallèles sur Tépure; G' fait avec wy un angle P tel que tg p = 2.

On demande : i^ de trouver les projections de Tintersection des deux prismes; ^ de représenter le premier prisme entaillé par le second et limité au plan horizontal et à un plan horizontal de cote i6®".

(R. Malloizel.]

45. Cadre 27«"» sur 42*«. — Ligne de terre parallèle au petit côté du

cadre et au milieu, cdo; = u>y.

^/ Une pyramide régulière a pour base dans le plan

I horizontal un dodécagone régulier inscrit dans la cir-

\cf conférence oa; u>o = 10<^», oa = 8^"*. Un des sommets

du dodécagone est au point a. Le sommet de la pyra- ^' mide, (*, *'), a une cote égale à IS«™.

*^ On coupe cette pyramide : i<* par un plan passant

^"Tff^ par la ligne de terre et le point (&, V) situé sur Taxe de

/ . I \ la pyramide (a>&' = 5*"^) ; 2° par un plan passant par le

! c\o ] point (c, c') situé sur Taxe de la pyramide (coe' = i2«"^)

\ [ / et dont les traces font un angle de 45^ avec la ligne de

""j"'^ terre.

On demande de représenter la portion de la pyra.

mide comprise dans les deux dièdres opposés par Taréte formés par les

deux plans précédents, Tun de ces dièdres contenant le sommet de la

pyramide.

(R. Malloizel.)