CHAPITRE VIII
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE COTÉE O
§ I. — Le point et la ligne droite.
224. Représentation du point. — On représente un point, en géométrie cotée, par sa projection homontale et par sa cote, La cote est la distance du point au plan horizontal ; elle est positive ou négative suivant que le point est au-dessus ou au-dessous du plan horizon taL Enfin, on Tinscrit à côté de la projection horizontale du point, parallèlement au bord inférieur de la feuille.
225. Représentation d'un corps; échelle d*un dessin. — Un corps étant un ensemble de points, pour représenter un corps on représente autant de points de ce corps qu'il en faut pour déterminer sa fornae et sa position dans l'espace. On obtient ainsi un dessin ou Yèpure du corps. Ce dessin est toujours exécuté à une échelle déterminée, c'està-dire qu'il est semblable à la projection horizontale du corps, mais toutes les lignes sont réduites dans un rapport donné qu'on appelle réchelle du dessin.
Si l'unité de longueur est le mètre, on dit que l'échelle est
^® TTTT^' T7Ï7ÎÂ' ^^^-5 suivant quc la longueur de 1«» dans Tespace est iUl) 1000
représentée par l^m, par 1™™, etc., dans le dessin.
Pour indiquer qu'un dessin est à une échelle déterminée, pour indi-
quer par exemple que l'échelle est de j^ par mètre, on trace paral-
(*) La connaissance de ces notions de géométrie cotée est exigée des candidats à l'École centrale, mais pas des candidats à l'Ëcole polytechnique.
LE POINT ET LA LIGNE DROITE
iii»liii'î|Z
lèlement à l'un des bords de la feuille une longueur quelconque que
Ton divise en centimètres, et Ton A' ajoute à gauche de cette longueur une
4 i autre longueur de l*"™ que l'on divise
, en dix parties égales- Cette longueur
1^ partagée en parties égales porte aussi le nom d'échelle.
Dans la figure ci-contre cette longueur est de S*"»", et pour montrer la manière de s'en servir supposons que l'on demande la longueur véritable d'une ligne AB du dessin. Pour l'obtenir, on prend une ouverture de compas égale à AB et on la porte sur l'échelle en AW, à partir d'une division, comme l'indique la figure. On voit ainsi que la
0'" OOi longueur AB du dessin est égale à 0™,04 h- 0«»,001 H ^ — » ou à
0'",0415. En multipliant alors par 100, c'est-à-dire par l'inverse de réchelle, on a la longueur véritable, qui est ici 4™, 15.
226. Représentation d'une droite ; droites horizontales. — Une
droite étant déterminée par deux points, pour représenter une droite on se donne les projections cotées de deux de ses points. Ainsi les deux points a et 6 cotés respectivement 1,32 et 2,47 déterminent une droite de l'espace dont tous les points sont projetés sur la droite ab du plan horizontal.
Tous les points d'une droite horizontale ont la même cote ; on
représente alors une droite horizontale par sa projection horizontale h^ et l'on inscrit la cote parallèlement à h. Dans la deuxième figure, h est une horizontale de cote 3,45.
227. Problème. — Connaissant la projection d'un point d'une droite ab, trouver sa cote.
Soit c (l'« fig. du n® précédent) la projection du point. Rabattons le plan projetant la droite sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de ab. Les points A et B se rabattent sur les perpendiculaires à aby menées respectivement par les points a et b, en des points Ai et Bi, tels que les longueurs aAi et bBi mesurées à l'échelle du dessin soient respectivement égales à 1,32 et à 2,47. Le point C se
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rabat donc en Ci, à Tintcrsection de AiBi et de la perpendiculaire à ab menée par le point c; de sorte que la cote du point C s'obtient en mesurant cCi à l'échelle du dessin , comme cela a été expliqué plus haut (225.)
Dans la pratique, les cotes des objets que Ton représente en géométrie cotée sont très petites par rapport aux dimensions horizontales du corps, et une échelle de ^^rrrrr par mètre est généralement
plus grande que les échelles employées ; de sorte que si Ton mesurait
cCi, comme on vient de l'expliquer, une erreur de 1"™ dans cette
mesure serait multipliée au moins par 1000 et correspondrait à une
erreur véritable d'au moins 1™. Pour cette raison, au lieu de mesurer
les cotes on les calcule, et voici comment on procède :
Imaginons que Ton ait mené la parallèle AiB'^ à a6, et considérons
les deux triangles semblables AiCiC'i et A|BiBi. Dans ces triangles
on a
LiiLi| A]Li|
B:Br""Â;Br'
CCI ac
ou
BiB; ab On en tire
(1) C,Ci =
oc xB,b;
ab
Mais BiB'i est la différence des cotes des deux points A et B, différence qui est égale, dans le cas actuel, à 1,15 ; ac et ab se mesurent à l'échelle du dessin, puisque ce sont des distances horizontales. Le calcul précédent fait donc connaître CtC',, et, en ajoutant cette longueur à la cote du point A, on obtient la cote du point C.
Par exemple, si ac et ab mesurées à l'échelle du dessin sont respectivement égales à 1,45 et à 3,64, on a
ce. = '.^>^ = 0,46 ;
il en résulte qu'on a
cC, = 1,324-0,46 = 1,78.
228. Problème Inverse. — Placer sur une droite un point de cote donnée.
LE POINT ET LA LIGNE DROITE 171
Il s'agit de trouver le point c connaissant la cote du point G dont il est la projection horizontale ; il suffit, pour cela, de connaître la longueur ac mesurée, bien entendu, à Téchelle du dessin.
Or l'égalité (i) du numéro précédent donne
aéxC.C;
et en remplaçant aè, CiCi et BiBi par leurs valeurs respectives, 3,64,
0,46 et 1,15, on obtient
3,64x0,46 ac^ — iTH "■*'*'^-
On prend donc sur l'échelle la longueur qui correspond à 1,45, et on la porte sur ab à partir du point a et dans le sens convenable, c'est-à-dire de gauche à droite ou de droite à gauche suivant que ac est positif ou négatif ; car les cotes ou les différences des cotes de deux points sont susceptibles de signes.
229. Points à coto ronde ; intervalle. — On appelle ainsi les points
dont les cotes sont des nombres entiers; tels sont, par exemple, les
points de cotes — 2, — 1, 0, 1, 2, ... Le point de cote 0 s'appelle
la trace de la droite.
La détermination des points à cote ronde est une application du
problème précédent (228). On commence par Di^x^ en déterminer deux consécutifs, par exemple
ceux dont les cotes sont respectivement 1 et 2;
soient c et rf ces deux points. On en déduit
.^^y ensuite tous les autres en portant des lon-
^t-— ^ci
î» !U2 II
^ ^ d b gueurs égales à c(£, dans un sens ou dans
l'autre.
Cette longueur crf, c'est-à-dire la distance horizontale de deux points consécutifs à cote ronde, s'appelle Vintervalle. On peut appeler, plus généralement, intervalle d'une droite la distance horizontale de deux points dont la différence des cotes est 1.
Il est clair qu'une droite est déterminée quand on connaît la projection cotée d'un point de la droite, la projection horizontale de cette droite et l'intervalle, puisqu'on connaît ainsi autant de points que Ton veut de la droite.
Ajoutons que si l'on partage l'intervalle en parties égales, il est aisé de trouver les points de la droite dont les cotes sont fractionnaires
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE COTÉE
quand on connaît un point à cote ronde. Par exemple, si Ton connaît le point c de cote 1, pour avoir le point de cote 1,3, il suffit de partager Tintervalle en dix parties égales et de prendre le troisième point de division à partir du point c.
230. Angle d'une droite avec le plan horizontal ; pente d*ane droite.
— Soient c et d (fig. précédente) deux points consécutifs à cote ronde rabattus en Ci et en Di. Si Ton mène CiCJ parallèle à cd, il est clair que l'angle de la droite avec le plan horizontal est égal à l'angle Ci du triangle rectangle CiDiCi. En appelant a l'angle cherché, on a donc
c;Di
tga =
GiC;
Mais C;Di = 1, on a donc
et si Ton appelle I l'intervalle, on a GiCi = i ;
tg« = -j-
La quantité -r- s'appelle la pente de la droite.
Une droite est évidemment déterminée quand on connaît sa projection horizontale, sa pente et la projection cotée d'un point; car si par
exemple la pente est -r- ? l'intervalle est 4 et Ton connaît ainsi la
projection horizontale de la droite, la cote de l'un de ses points et l'intervalle.
231. Problème. — Trouver la distance de deux points cotés dCune droite.
Soient o et 6 les deux points cotés respectivement 1,32 et 2,47.
Pour avoir la distance des deux points A et B de Tespace, on pourrait rabattre cette droite en AiBi et meçurer AiBi à l'échelle du dessin.
On préfère calculer AjBt au moyen du triangle rectangle A,BiBi qui donne
A,B, = v/AiB;' + BiB/.
On mesure alors A,Bi à réchelle,on calcule BiBi et l'on remplace. Si, par exemple, on a aé = 3,64, on a aussi AiBi = 3,64 ; d'ail-
LE POINT ET LA LIGNE DROITE
leurs BjBt = 2,47 — 1,32 = 1,15, de sorte que
A»Bi = v^3,64«4-l,15'' = 3,83.
232. Problème Inverse. — Porter sur une droite et à partir d'un point de cette droite une longueur égale à une longueur donnée.
Supposons qu'il s'agisse de porter sur la droite aô, à partir du
point a, une longueur égale à 4. Pour cela, on commence par calculer la longueur dont la projection est égale à l'inteiTalle. Supposons, pour fixer les idées, que Tintervalle soit égal à 2 ; alors la longueur dont la projection est égale à l'intervalle est égale à
Cela posé, supposons que b soit le point inconnu, portons ac égal à rintervalle et construisons le point Ci rabattement du point c. Tout revient évidemment à calculer ab = x. Or, les deux triangles semblables AidCi et AiBiBi donnent
JL
A,Gi " AA
c'est-à-dire
Il en résulte
On portera donc ab = 3,58 au moyen de l'échelle et on aura le point 6, dont il sera aisé d'avoir la cote, comme on l'a vu plus haut (227).
