CHAPITRE PREMIER

Si. — Généralités sur les surfaces,

254. Définitions. — Le volume d'un corps est la portion de l'espace occupée par ce corps. On appelle surface d'un corps ce qui sépare ce corps de l'espace environnant. On appelle ligne la limite de séparation de deux surfaces ou la limite d'une portion de surface.

En Géométrie on considère les surfaces comme engendrées par des lignes qui se déforment ou non en se déplaçant. Les positions successives occupées par les lignes qui engendrent une surface s'appellent les génératrices de la surface.

Par exemple, un cône ou surface conique est engendré par une droite qui tourne autour d'un point fixe appelé sommet, et qui s'appuie sur une ligne fixe SLppelée directrice. Les positions successives occupées par la droite mobile s'appellent les génératrices du cône.

255. Plan tangent. — On démontre, en géométrie analytique, que le lieu géométrique des tangentes en un point M d'une surface à toutes les lignes tracées par ce point sur la surface est en général un plan. Ce plan est appelé le plan tangent en M à la surface. Le point M s'appelle le point de contact du plan tangent.

Le lieu des tangentes en un point M d'une surface à toutes les lignes tracées par ce point sur la surface n'est pas toujours un plan. Il existe quelquefois, en effet, sur une surface des points appelés points singuliers et pour lesquels ce lieu est un cône. Mais en général le lieu des tangentes est un plan.

De la définition même du plan tangent il suit que le plan tangent on un point d'une surface est déterminé par les tangentes à deux lignes quelconques tracées par ce point sur la surface. On saura donc déterminer ce plan tangent, en géométrie descriptive, si Ton sait déterminer les tangentes à ces deux lignes.

256. Normale. — On appelle normale en un point M d'une surface la perpendiculaire menée par le point M au plan tangent en ce point. Le point M s'appelle alors le pied ou le point d'incidence de la normale.

Quand on sait construire la normale en un point M d'une surface, sans avoir recours au plan tangent, on obtient celui-ci en menant par le point M le plan perpendiculaire à la normale.

257. Plans normaux. — On appelle plan normal en un point M d'une surface le plan normal en M à une courbe tracée par ce point sur la surface.

Il y a une infinité de plans normaux en un point M d'une surface. Tous ces plans passent par la normale en M. Quand on en sait construire deux, leur intersection donne la normale en M à la surface.

§ II. — Détermination de la sphère.

258. Définitions. — La sphère est engendrée par la révolution d'un cercle autour d'un de ses diamètres. On dit aussi que la sphère est le lieu géométrique des points qui sont à la même distance d'un point fixe appelé centre de la sphère. La distance constante d'un point de la sphère à son centre s'appelle le rayon de la sphère.

En géométrie descriptive on détermine une sphère par les projections de son centre et par la longueur de son rayon.

259. Problème. — Une sphère est définie par son centre et par son