DÉTERMINATION DE LA SPHÈRE

rayon ; on connaît Vune des projections d'un point de la surface et l'on demande de trouver r autre projection.

Soient o et o' les projections du centre de la sphère. Si Ton coupe cette sphère par le plan horizontal h' mené par le centre de la sphère, la section est un grand cercle dont la projection horizontale est la circonférence décrite du point o comme centre avec un rayon égal au rayon R de la sphère. Toutes les sections faites dans la sphère par des plans horizontaux se projettent horizontalement suivant des circonférences de centre o et de rayon inférieur à R ; par conséquent tous les points de la sphère sont projetés horizontalement à l'intérieur du cercle de centre o et de rayon R. Pour cette raison, et pour d'autres que nous donnerons plus tard , le cercle déterminé dans la sphère par le plan horizontal h' s'appelle le cercle de contour apparent horizontal.

Pareillement, le plan de front, /*, mené par le centre de la sphère, détermine un grand cercle projeté verticalement suivant un cercle de centre o' et de rayon R.. Tous les points de la sphère sont projetés verticalement à l'intérieur du cercle de centre o' et de rayon R, et le grand cercle dont il est la projection s*appelle le cercle de contour apparent vertical. Cela posé :

Première méthode. — Supposons par exemple que l'on se donne la projection horizontale m d'un point de la surface, et cherchons sa projection verticale. Soit M le point de la sphère projeté horizontalement en fn. Coupons la sphère par le plan de front mené par M et dont la trace horizontale passe nécessairement par m. La section est un petit cercle qui rencontre le cercle de contour apparent horizontal en deux points projetés horizontalement en a et p. Les projections verticales de ces points sont évidemment sur h! en a' et en p'. Il en résulte que la projection verticale du cercle section est la circonférence de centre o' décrite sur a'P' comme diamètre.

La projection verticale du point M devant se trouver sur ce cercle, on l'obtiendra au moyen de la ligne de rappel du point m. Cette ligne

190 DÉTERMIKATION DES SURFACES

de rappel rencontre le cercle a'P' en deux points w! et m" qui sont les projections verticales des points de la sphère projetés horizontalement en m.

On en conclut que tout point m situé à l'intérieur de la projection horizontale du cercle de contour apparent horizontal est la projection horizontale de deux points de la sphère.

On peut dire aussi que la verticale menée par le même point rencontre la sphère en deux points. Ces doux points sont confondus si la ligne de rappel du point m est tangente à la circonférence a'P'. Dans ce cas le point de contact ne pouvant être que l'un des points «' ou ^', le point m coïncide avec l'un des points a ou fi, par suite le point M est situé sur le cercle de contour apparent horizontal. La verticale du point M étant alors tangente à la sphère, on voit que le grand cercle de contour apparent horizontal est le lieu des points de contact des tangentes à la sphère perpendiculaires au plan horizontal.

Si, au lieu de se donner la projection horizontale d'un point de la sphère, on se donnait la projection verticale de ce point, on couperait par un plan horizontal. Par des raisonnements analogues à ceux qui ont été faits plus haut, dans le cas de la projection horizontale, on verrait alors : i^ que si un point est situé à l'intérieur de la projection verticale du contour apparent vertical, il est la projection verticale do deux points de la sphère ; 2<^ que la ligne de bout menée par un point situé à l'intérieur de la projection verticale du contour apparent vertical, rencontre la sphère en deux points ; 3® que le cercle de contour apparent vertical est le lieu des points de contact des tangentes à la sphère perpendiculaires au plan vertical.

Deuxième méthode. — Le même prol)lème peut aussi être résolu de la manière suivante :

Supposons encore que l'on cherche la projection verticale d'un point M de la sphère, connaissant sa projection horizontale m. Coupons la sphère par le plan vertical passant par le point M et par le centre de la surface. La section est un grand cercle dont la projection horizontale est om. Rabattons ce grand cercle sur le plan du cercle de contour apparent liorizontal, en le faisant tourner autour de l'horizontale (oA, oVi'j. Le grand cercle section se rabat suivant le cercle op

DÉTERMINATIOX DES CÔXES ET DES CYLINDRES

et le point M se rabat, d'une part sur ce cercle op, et d'autre part sur

la perpendiculaire à om menée par le point m. Cette perpendiculaire rencontre le cercle op en deux points ^i et jji", qui sont les rabattements des points de la sphère projetés horizontalement en m. On en déduit les projections verticales m' et m" en relevant le plan rabattu.

Si, au lieu de la projection horizontale du point M, on donnait la projection verticale, on couperait par le plan de bout passant par le point et par le centre de la sphère; puis on rabattrait la section sur le plan du cercle de contour apparent vertical.

La discussion se fait sans aucune difficulté,

et conduit aux mêmes conclusions que par la première méthode.

S III. — Détermination des cônes et des cylindres.

260. Définitions. — Une surface conique ou cône est la surface engendrée par une droite qui tourne autour d'un point fixe appelé commet et qui est assujettie à rencontrer une ligne fixe appelée direc- ^nce. Quand la directrice est une ligne plane, on l'appelle la base du

cône.

On appelle cylindre ou surface cylindrique la surface engendrée par une droite qui se déplace parallèlement à elle-même en s'appuyant sur une ligne fixe appelée directrice ou base du cylindre, suivant qu'elle est gauche ou plane.

Ine surface cylindrique peut évidemment, d'après cette définition, être considérée comme la limite d'une surface conique dont le sommet s'éloigne indéfiniment dans une direction donnée.

On détermine une surface conique, en géométrie descriptive, par les projections du sommet et par les projections de la directrice. Pareillement, on détermine une surface cylindrique par les projections de la directrice et par les projections d'une parallèle à la direction des génératrices.

261. Problème I. — On donne les projections du sommet et de la directrice d'un cône ; on connaît Vune des projections d'un point de la surface, et Von demande de trouver Vautre projection.

Soient (^5 s'} le sommet et (rf, d') la directrice du cône. Supposons, par exemple, que Ton connaisse la projection verticale m' d'un point

de la surface, et proposons-nous de déterminer la projection horizontale de ce point. Appelons, pour cela, M un point de la surface projeté verticalement en 7n', et considérons la génératrice SM qui passe par M. Cette génératrice, qui est projetée verticalement en ^m', rencontre la directrice en un point dont la projection verticale se trouve à la fois sur s'm' et sur d'. Soit alors a' Tun des points de rencontre de sW et de d\ et soit a la projection horizontale du point de la directrice dont la projection verticale est a'. La génératrice («a, *'«') de la surface est telle que sa projection verticale passe par m' ; donc, le point de cette génératrice projeté en m' est un point du cône projeté aussi en m'. La projection horizontale de ce point étant m, on voit que le point m est l'un des points cherchés.

Il en résulte que le problème admet autant de solutions qu'il y a de points de rencontre de sfm' avec d'.

On opère d'une manière analogue pour trouver la projection verticale connaissant la projection horizontale.

262. Problème II. — Un cylindre est défini par sa directrice et par la direction des génératrices ; on connaît Vune des projections d'un point de la surface et Von demande de trouver Vautre projection.

Soient (d, d') la directrice et (8, l') la direction des génératrices. Supposons, par exemple, que l'on connaisse la projection horizontale d'un point de la surface, et proposons-nous de déterminer la projection

verticale de ce point.

On pourrait résoudre ce problème en considérant le cylindre comme un cône dont le sommet est à l'infini dans la direction (8, 8'), mais nous allons le résoudre directement. Pour cela, appelons encore M un

point de la surface projeté horizontalement en m, et cherchons

les projections de la génératrice du cylindre qui passe par ce

--^^^^^ point. On connaît la projection horizontale

^ ^jy^ "^^^"""^A' ^6 ^6tte génératrice, projection horizontale

,, qui n'est autre que la parallèle à o menée

"■"-- par le point m. Pour trouver sa projection

^ verticale, nous observons que la génératrice rencontre la directrice en un point ^^^ projeté horizontalement sur d et sur la pa-

rallèle à 0 menée par m. Si donc cette pa- --âC y rallèle rencontre à en a, le point a sera la

^^ --^ projection horizontale du point de ren-

<îontre de la directrice et de la génératrice du point M. Il en résulte que la projection verticale de ce point est d et, par suite, que la projection verticale de la génératrice du point M est la parallèle à 8' menée par a'. La projection verticale, m', du point M devant se trouver sur cette parallèle, on Tobtiendra par une ligne de rappel.

Il y aura, d'après cela, autant de solutions que de points de rencontre de i avec la parallèle à 8 menée par m.

On opérerait d'une manière analogue pour trouver la projection homontale connaissant la projection verticale.

263. Remarque. — Les deux problèmes que nous venons de résoudre reviennent en réalité à déterminer les points de rencontre d'une verticale ou d'une ligne de bout avec une surface conique ou cylindrique. Quand la directrice est une courbe plane, on pourra donc leur appliquer la méthode qui sera donnée ultérieurement pour trouver les points de rencontre d'une droite avec une surface conique ou cylindrique.

§ IV. — Détermination des surfaces de révolution,

264. Définitions. — On appelle surface de révolution toute surface engendrée par une ligne plane ou gauche tournant autour d'une droite appelée axe de révolution de la surface. Parmi les surfaces do roFolution les plus simples on distingue :

lo La sphère, engendrée par la révolution d'un cercle autour de l'un de ses diamètres ;

i9 Le cône de révolution^ engendré par une droite tournant autour d'une autre droite qu'elle rencontre à distance finie ;

ANTOMÀBI. — GéOH. DBSCR. 13

3^ Le cylindre de révolution^ engendré par la révolution d'une droite autour d'une autre droite à laquelle elle est parallèle ;

4® Vellipsoîde de révolution^ engendré par la révolution d'une ellipse autour de l'un de ses axes. L'ellipsoïde est allongé ou aplati, suivant que l'axe de révolution coïncide avec le grand axe ou avec le petit axe. Quand les deux axes de l'ellipse génératrice sont égaux, Tellipsoïde devient une sphère;

5<* L'hyperboloïde de révolution^ engendré par la révolution d'une hyperbole autour de l'un de ses axes. Si l'axe de révolution coïncide avec l'axe transverse de l'hyperbole, on a un hyperboloïde de révolution à deux nappes. Si l'axe de révolution coïncide avec l'axe non transverse, on a un hyperboloïde de révolution à une nappe;

6^ Le paraboloïde de révolution^ engendré par la révolution d'une parabole autour de son axe ;

1^ La surface gauche de révolution, engendrée par la révolution d'une droite autour d'une autre droite non située dans le même plan avec la première. On démontre que la surface gauche de révolution n'est autre chose qu'un hyperboloïde de révolution à une nappe;

8<^ Le torCy engendré par la révolution d'un cercle autour d'une droite quelconque de son plan. Un anneau circulaire nous offre l'image d'un tore.

265. Méridiens et parallèles. — On appelle indifféremment méridiens ou méridiennes d'une surface de révolution les sections faites dans la surface par des plans passant par l'axe.

LcM^que la courbe génératrice d'une surface de révolution tourne autour de l'axe, tout point de cette courbe décrit une circonférence ayant pour centre le point de rencontre de l'axe et du plan perpendiculaire à l'axe mené par ce point; le rayon de cette circonférence est d'ailleurs égal à la distance du point à Taxe. Il suit de là que toute section faite dans une surface de révolution par un plan perpendiculaire à l'axe est une circonférence ou un système de circonférences ayant pour centre le point de rencontre de l'axe et du plan sécant. Ces circonférences s'appellent des parallèles de la surface.

Tout plan passant par l'axe de révolution est évidemment un plan de symétrie pour chacun des parallèles de la surface et par suite pour la surface. La section méridienne déterminée par ce plan est le lieu des points de rencontre des divers parallèles avec le plan sécant ; les deux points de rencontre du même parallèle avec le plan sécant étant

évidemment symétriques par rapport à l'axe, il en résulte que Taxe de révolution est un axe de symétrie pour tous les méridiens.

Quand on fait tourner un méridien autour de Taxe, les points du méridien décrivent les divers parallèles de la surface; par conséquent la surface de révolution peut aussi être engendrée par la révolution d'un méridien autour de Taxe. Ceci montre, en passant, que tous les méridiens de la surface sont égaux, et qu'une surface de révolution ne cesse de coïncider avec elle-même quand on la fait tourner autour de son axe.

En géométrie descriptive on appelle méridien principal d'une surface de révolution le méridien dont le plan est parallèle au plan vertical, si Taxe de révolution de la surface est de front, ou le méridien dont le plan est parallèle au plan horizontal, si l'axe est horizontal. Quand l'axe n'est ni horizontal, ni de front, il n'y a donc pas lieu de définir le méridien principal.

266. Problème. — On donne Vaxe et la génératrice d'une surface de dévolution; on connaît Vune des projections d'un point de la surface et ^on demande de trouver Vautre projection.

Il n'est pas possible de résoudre ce problème lorsque l'axe de révolution est quelconque. Nous examinerons donc plusieurs cas suivant ^^ position de l'axe par rapport aux plans de projection.

Premier cas. — Vaxe est vertical ou de bout, — Supposons, par wnaple, que l'axe soit vertical, et cherchons d'abord la projection

verticale des points de la surface qui se projettent horizontalement en un point donné, m. Pour cela, appelons (^, g^ la génératrice, (z, z') l'axe de révolution et M l'un des points de la surface qui sont projetés horizontalement en m. Considérons le parallèle de la surface qui passe par le point M. Ce parallèle étant situé dans un plan horizontal se projette horizontalement en vraie grandeur, suivant un cercle de centre z et qui passe par le point m. Il rencontre la 1 génératrice de la surface en un point qui

est projeté horizontalement à l'intersection de g et de la projection horizontale du parallèle. Si donc a est l'un des points de rencontre de ces deux lignes, le point (a, a') est le point de rencontre de la génératrice

DÉTERMINATIOIS DES SURFACES

avec le parallèle du point M. Il en résulte que la projection verticale de ce parallèle est sur la perpendiculaire à (z, z') menée par a'. On en conclut que le point M est projeté verticalement en m', à l'intersection de celte perpendiculaire et de la ligne de rappel (|u point m. Il y a autant de solutions que de points de rencontre de g avec la circonférence zm. Cherchons maintenant la projection horizontale des points de la surface qui se projettent verticalement en un point donné, m!. Si Ton appelle encore M un point de la surface dont la projection verticale est wi', on voit que la projection verticale du parallèle de ce point est la perpendiculaire à (z, z') menée par m'. On en déduit que le parallèle rencontre (^, g') en un point (a, a') et que sa projection horizontale est la circonférence za, de centre z et de rayon za. Cette circonférence étant rencontrée en deux points, m et m,, par la ligne de rappel du point m', il en résulte que m et wii sont deux des points cherchés. Chaque point de rencontre de m'a' avec g' donne donc deux solutions du problème.

Deiudôme cas. — L'axe est horizontal ou de front. — Lorsque Taxe est horizontal, on peut déterminer la projection verticale d'un point connaissant sa projection horizontale, mais on ne peut pas résoudre le problème inverse. De même, lorsque l'axe est de front, on peut déterminer la projection horizontale connaissant la projection verticale, mais on ne peut pas résoudre le problème inverse.

Pour iixer les idées, supposons Taxe de front, et proposons-nous alors de construire la projection horizontale des points de la surface dont on donne la projection verticale.

Soient (z,z') l'axe de révolution, fj,^') la génératrice et m! la projection verticale donnée. Appelons M un point de la surface projeté verticalement en m'. Pour trouver la projection horizontale du point M, nous remarquerons que le point M est à Tintersection du parallèle de ce point et de la ligne de bout menée par m'. Tout revient donc à construire le parallèle du point M. Or le plan de ce parallèle étant perpendiculaire à l'axe, la projection verticale du parallèle est située sur la perpendiculaire mV menée à z' par le point m'. Soit a'

im

Tun des points de rencontre de mV et de ^; le point (a^a^ de la génératrice est évidemment le point de rencontre de cette génératrice et du parallèle du point M. D'ailleurs, le centre de ce parallèle étant le point ((i>,(i)'), intersection de Taxe et du plan du parallèle, celui-ci est déterminé par son centre et par un point. Pour trouver alors les points de rencontre du parallèle et de la ligne de bout menée par le point m', il suffit de rabattre lO'parallèle sur le plan de front de Taxe. Le rabattement est la circonférence de centre w' et passant par le point a'i, rabattement du point (a, a'). Le rabattement de la ligne de bout menée par m' étant fx'fii, les points de rencontre de cette ligne et du parallèle sont f^' et fii et, en prenant am = am, = m'fx' = wi'fjii» on obtient en m et en mi les projections horizontales de deux des points de la surface qui sont projetés verticalement en m'. Tout point de rencontre de çf et de mV peut donc donner deux solutions du problème : il suffit, pour cela, que le point w! soit intérieur au rabattement du parallèle du point (a, a').

Le raisonnement et les constructions seraient pareils si, au lieu de donner Taxe de front et la projection verticale du point, on donnait l'axe horizontal et la projection horizontale du point.

%7. Remarque. — Nous avons dit plus haut que la solution du problème précédent n'est généralement pas possible quand l'axe est quelconque. Nous allons traiter un exemple dans lequel la solution est toujours possible.

268. Problème. — On donne les projections de Vaxe et d'une génératrice d'un cône ou d'un cylindre de révolution ; on connaît une projection d'un point de la surface^ trouver Vautre projection.

^^ Cas du cône. — Soient (^ , sf) le sommet du cône, (^a, ^a') l'axe ^t (*?9 ^9^) la génératrice. Proposons-nous, par exemple, de chercher la projection verticale des points de la surface projetés horizontalement en un point donné, m. Pour cela, nous chercherons les projections verticales des deux génératrices de la surface qui sont projetées horizontalement en sm. Ces deux génératrices s'obtiennent en coupant le c6ne par le plan vertical dont la trace horizontale est sm, et, si l'on considère une sphère inscrite dans le cône, elles sont tangentes à la section faite dans cette sphère par le plan vertical sm. Nous allons donc déterminer une sphère inscrite dans le cône et la section faite dans cette sphère par le plan vertical sm.

Pour déterminer une sphère inscrite dans le cône, nous rabattrons le plan de Taxe et de la génératrice autour de Thorizontale (ag, a'g') de ce plan. Soit Si le rabattement du point s obtenu en appliquant la règle du triangle rectangle, et soient StU et s^g les rabattements respectifs de Taxe et de la génératrice. Le rayon de la sphère inscrite qui a pour centre le point (a, a') de Taxe est la distance aci du point a au

>•/ \ \ \i '^ Ni-" V

^ f\ /- VrîVj/'/ /

rabattement Sig de la génératrice; il en résulte que la projection horizontale du grand cercle de contour apparent horizontal de cette sphère est la circonférence décrite du point a comme centre avec la longueur aCi comme rayon.

La sphère inscrite ayant été ainsi déterminée, si on la coupe par le plan vertical *m, la section est un petit cercle dont le rabattement autour de Thorizontale (pç, p'g')» sur le plan horizontal du point (a, a'), est la circonférence décrite sur pq comme diamètre, car pq est la projection horizontale du diamètre horizontal de ce petit cercle. Le rabattement du sommet sur le même plan et autour de la même horizontale étant ^3, les génératrices cherchées du cône seront rabattues

suivant les tangentes s^^ii et «3V1 à la circonférence pq. Les points rabattus en {I, et en v, sont relevés respectivement en (m, fn\) et en (m, m!) ; par suite, les projections verticales des génératrices du cône projetées horizontalement en sm sont s'tn! et s'm\. Il en résulte que les projections verticales des points du cône projetés horizontalement en m sont m' et m,.

Pour que le problème soit possible, il est nécessaire et suffisant que sm coupe la circonférence aci.

2^ Cas du cylindre. — Soient (az, a'z^) Taxe et (%, l/g'^) une génératrice de la surface. Proposons-nous, par exemple, de chercher les projections horizontales des points de la surface qui sont projetés verticalement en un point donné, m'. Comme pour le cône, ces points

sont situés sur les génératrices de la surface dont la projection verticale est la parallèle tn/t' à a'z' menée par m'. Ces génératrices sont d'ailleurs tangentes à la section faite par le plan de bout m't^ dans une

sphère quelconque inscrite dans le cylindre. Le rayon de celte sphère est la distance du point (a, a!) à la génératrice (6/7, b'g') : on Ta obtenu, dans Tépure ci-dessus, en rabattant le plan de l'axe et de la génératrice sur le plan de front mené par la ligne de front (ab, a'U). Le rabattement bfd\ de la génératrice a été obtenu en rabattant le point (rf, d!) par la règle du triangle rectangle, et le rayon d'une sphère inscrite est égal à la distance a'c\ du point a! à la droite b'd'i . Il en résulte que si l'on prend le point (a, a!) comme centre de cette sphère, la projection verticale de son cercle de contour apparent vertical est la circonférence a'c\ .

La section de la sphère par le plan de bout m't' est un cercle de diamètre />Y, et que l'on a rabattu sur le plan de front mené par (ai, db'). La parallèle (af, a'it') aux génératrices située dans ce plan de bout est rabattue elle-même en a\\i.\^ et son rabattement s'obtient en rabattant le point (fx, m'), puisque le point (a, ai) reste fixe. Donc les génératrices du cylindre tangentes à la section sont rabattues suivant les tangentes v'ô' et v^e; menées au cercle p'q' parallèlement à

Mais les points du cylindre projetés verticalement en m' se trouvant à l'intersection de ces génératrices et de la ligne de bout menée par m\ seront rabattus en v' et en v'i, sur la perpendiculaire à p'q' menée par m'. En relevant le plan de bout mené par pq\ on aura donc en (m, w!) et en (mi, m') les projections des points rabattus en v' et en v^, c'est-à-dire que m et Wj seront les projections horizontales cherchées.

La seule condition de possibilité du problème est que m'i coupe la circonférence cidi.

269. Remarque I. — Les deux problèmes que nous venons de résoudre peuvent encore s'énoncer ainsi :

Une surface de révolution étant définie par son axe et par une génératrice^ trouver ses points de rencontre avec une verticale ou avec une ligne de bout.

On comprend, d'après cela, qu'il soit impossible de les résoudre dans le cas général, puisqu'ils se ramènent à la détermination des points d'intersection d'une surface de révolution et d'une droite. Dans le cas particulier d'un cône ou d'un cylindre de révolution, nous donnerons plus loin une solution différente de celle qui a été suivie au n® 268.

270. Remarque II. — Bien qu'il ne soit pas possible, dans le cas général, de déterminer les points d'une surface de révolution dont on donne soit la projection horizontale, soit la projection verticale, connaissant Taxe et une génératrice de la surface, il est toujours possible, quand la surface de révolution est ainsi définie, de construire autant de points que Ton veut de la surface.

Pour cela, on mené par un point A de la génératrice le plan P perpendiculaire à Taxe. Ce plan P est le plan d'un parallèle de la surface passant par A et dont le rayon est égal à la distance du point A à Taxe. En rabattant le parallèle sur un plan horizontal ou sur un plan de front, on pourra construire le rabattement de ce parallèle et, ensuite, par l'opération inverse, autant de points que Ton veut de chacune de ses projections. Comme tous les points du parallèle appartiennent à la surface, on aura ainsi tous les points de la surface en faisant varier le point A sur la génératrice.

271. Construction d'une méridienne. — Nous avons vu qu'une méridienne d'une surface de révolution peut être considérée comme le lieu des points d'intersection de son plan avec les divers parallèles de la surface. Or la remarque précédente nous fournit le moyen de construire autant de parallèles que Ton veut de la surface. Si donc on appelle a la droite d'intersection du plan de la méridienne et du plan d'un parallèle, les points de rencontre de la droite i et du parallèle seront deux points de la méridienne considérée. On obtiendra tous les points de la méridienne en faisant varier le parallèle. D'ailleurs, les points de rencontre de A et du parallèle s'obtiendront par un rabattement dans le cas général, et immédiatement quand l'axe de la surface c5t vertical ou de bout. Nous allons indiquer le détail des constructions sur des exemples.

272. Exemple ï. — Construire un point quelconque de la méridienne principale (Tune surface de révolution à axe vertical connaissant une génératrice de la surface.

Soient (s, z') l'axe et {g, g') une génératrice de la surface. Le parallèle d'un point (a, a') de la génératrice est projeté horizontalement suivant une circonférence égale passant par le point a et ayant son centre au pied, z, de Taxe sur le plan horizontal. Cette circonférence

rencontre la trace horizontale du plan du méridien principal on

deux points b et c, qui sont les projections horizontales de deux points de la méridienne. Maïs le parallèle étant projeté verticalement suivant la perpendiculaire à 1 £ Taxe menée par a', les projections verticales, b' et d^ de ces points s'en déduiix>nt par des lignes de rappel.

273. Exemple II. — Une surface de révolution à axe horizontal est engendrée par une ellipse située dans un plan de bout et dont la projection horizontale est un cercle donné. Construire un point quelconque de la méridienne parallèle au plan horizontal.

On connaît la projection verticale de la méridienne, puisque cette projection est confondue avec la trace verticale du plan horizontal mené par l'axe. Il s'agit donc de déterminer un point quelconque de la projection horizontale.

Pour cela, appelons (z, 2') l'axe de la surface et (g, f) la génératrice dont la projection verticale est confondue avec la trace verticale du

plan debout qui la contient. Si l'on considère le parallèle du point (a, 0% la projection horizontale de ce parallèle est la perpendiculaire à z menée par le point a; le centre du pardUèle est donc (w, w'). Il en résulte que si l'on rabat ce parallèle sur le plan horizontal de l'axe, le rabattement sera la circonférence de centre w qui passe par le point ai, rabattement du point (a, a').

Mais les points de rencontre du parallèle avec le plan liorizontal de l'axe n'ayant pas bougé, ces points sont rabattus et projetés horizontalement en b et en c. 11 on

résulte que les points (6, b') et (c, d) sont les deux points de la méndienne principale situés sur le parallèle du point (a, a'),

274. Exemplç III. — Construire un point quelconque (Tune méridienne quelconque d'une surface gauche de révolution, engendrée par wne droite tournant autour d'un axe quelconque.

Soient (oz, o'z^ l'axe et (ag, dg') une génératrice delà surface. Proposons-nous de déterminer un point de la méridienne située dans le plan déterminé par Taxe et par un point (m, m').

Pour cela, par un point quelconque {a^al) de la génératrice menons '® plan perpendiculaire à Taxe et cherchons à construire le parallèle "" point (a, a'), qui est situé dans ce plan. A cet effet, appelons P le

plan perpendiculaire à Faxe mené par (a, a'), et déterminons ce plan par une horizontale (aA, dK) et par une frontale (a/*, a/'); puis construisons le point de rencontre (o, o') du plan P et de Taxe. Le parallèle du point (a, d) a pour centre le point (o, o'), et son rayon est égal à la distance du point (o, d) au point (a, d) \ son plan est d'ailleurs le plan P. Le parallèle étant ainsi déterminé, construisons Tinter-

section de son plan avec le plan du méridien du point (m, mT). Nous avons déjà un point (o, o') de cette intersection, et, pour en avoir un second, nous avons déterminé le point de rencontre (r, r^ du plan P avec la parallèle (m/, m'/') à l'axe menée par (m, m'). La droite d'intersection du plan P avec le plan du méridien du point (m, m') est donc (or, o'r^^ et elle rencontre Thorizontale (aA, a'h!) au point (5, s'). Il ne reste plus maintenant qu'à déterminer les points de rencontre de cette droite avec le parallèle du point (a, a').

Pour cela, rabattons le plan P du parallèle autour de (aA, a'A') sur le plan horizontal de cette droite.

Le rabattement du point Co, 0% obtenu au moyen de la règle du triangle rectangle, est le point Oi ; donc la droite (or, oY) est rabattue en OiS, puisque le point (s, /) n'a pas bougé. Le point (a, a') n'ayant pas bougé non plus, le rabattement du parallèle est la circonférence de centre Oi et de rayon OiO. Cette circonférence rencontre OiS en deux points ixi et vj qui sont les rabattements des points cherchés. Ces points sont relevés en (ji, ji') et en (v, v') sur la droite (or^ oY).

En faisant varier le point (a, oT) sur la génératrice (aj, ay), on obtiendra ainsi autant de points que l'on voudra de la méridienne du point (m, m').

Il est presque superflu d'observer qu'on a supposé que la surface de révolution est engendrée par une droite, pour lixer les idées ; mais les constructions seraient tout à fait les mêmes si la génératrice (g^ g') était, non pas une droite, mais une ligne quelconque.

275. Points doubles de la méridienne d'une surface de révolution. —

La méridienne d'une surface de révolution peut présenter trois sortes de points doubles :

l^ Si la génératrice de la surface a un point double, ce point, en tournant autour de l'axe, décrit un parallèle double, dont les points de rencontre avec le plan de la méridienne sont des points doubles de cette ligne.

i^ Si la génératrice rencontre l'axe en un point S, ce point est un point commun à toutes les méridiennes, et c'est un point double de chacune d'elles. Les tangentes en ce point à toutes les méridiennes sont situées sur un cône de révolution de sommet S, engendré par la révolution autour de l'axe de la tangente en S à la génératrice. Pour cette raison, le point S s'appelle un sommet de la surface.

30 Enfin, s'il existe sur la génératrice deux points qui décrivent le même parallèle, ce parallèle est un parallèle double et ses points de rencontre avec un plan méridien sont deux points doubles de la méridienne située dans ce plan.

La détermination des points doubles de la première et de la deuxième espèce résulte de leur définition et ne présente aucune difficulté. Voici comment on procède pour déterminer les points doubles de la troisième espèce :

Soient A et B les extrémités d'une corde de la génératrice perpendiculaire à Taxe. Appelons P le plan perpendiculaire à Taxe mené par

AB, et o> le point de rencontre de ce plan avec Taxe. Il est clair que les deux points A et B décrivent le même parallèle si la droite qui joint le point w au milieu I de AB est perpendiculaire à AB. Or, quand le plan P se déplace en restant perpendiculaire à Taxe, le point I décrit une ligne L que Ton peut construire par points, ou même, quelquefois,exactement; cette ligne est d'ailleurs tracée sur la surface engendrée par AB. D'autre part, si l'on appelle m le pied de la perpendiculaire à AB menée par le point ct>, le lieu du point w, quand le plan P se déplace perpendiculairement à l'axe, est une autre ligne Li située également sur la surface engendrée par AB. Supposons que ces deux lignes L et Li, qui sont tracées sur la même surface, se coupent en un point Ii, et appelons AiBi la position correspondante de la corde AB, (i>i la position correspondante de u. La droite (DiIi étant alors perpendiculaire au milieu de AiBi, les points Ai et B| décrivent le même parallèle, et les points doubles de la troisième espèce sont situés sur ce parallèle et sur les parallèles analogues.

276. Points à rinfini de la méridienne. — Appelons maintenant P le plan d'une méridienne. Cette méridienne est le lieu géométrique des points de rencontre du plan P avec les divers parallèles de la surface. Dès lors, pour qu'un point de cette méridienne soit à l'infini, il faut, ou que le plan du parallèle correspondant soit à l'infini, ou que ce même parallèle ait un rayon infini. Gomme d'ailleurs tous les parallèles sont décrits par les points de la génératrice, les parallèles qui

206 DÉTEBM1>'ATI0M DES SURFACES

donnent les points à Finlini de la méridienne sont, dans tous les cas, ceux qui sont décrits par les points à Tinfini de la génératrice.

Imaginons alors que par un point a pris sur Taxe, on mène la parallèle à une direction asymptotique de la génératrice. Quand la génératrice tourne autour de Taxe, cette parallèle tourne également et engendre un cône de révolution de sommet <i, et dont Faxe coïncide avec celui de la surface. Ce cône et la surface ont un parallèle commun à l'infini, et les points de rencontre de ce parallèle avec le plan P sont des points à Fiofini sur la méridienne située dans le plan P. Or les points de ce cône qui sont à l'infini dans le plan P sont les points à l'infini sur les génératrices communes au cône et au plan P. Ces génératrices sont donc des directions asymptotiques de la méridienne.

A tout point à l'infini sur la génératrice de la surface correspond ainsi un cône, qui peut se réduire à un plan perpendiculaire à l'axe, et (ju'on appelle un cône directeur. Les génératrices déterminées par le plan P d'une méridienne dans chacun de ces cônes, dont on suppose les sommets confondus ou non sur l'axe, sont les directions asymptotiques de cette méridienne.

277. Reharque. — Il semble résulter de là qu'une méridienne ne peut avoir de points à l'infini que si la génératrice en a elle-même. Il en est bien ainsi dans le cas général, mais nous rencontrerons dans la suite des surfaces de révolution dont les méridiennes ont des points à l'infini, alors que la génératrice n'en a pas. (Voir les surfaces de révolution engendrées par une conique, n» 461).

278. Points de rencontre d'une droite et d'une surface de révolution.

— Quand on sait construire une méridienne d'une surface de révolution, on trouve facilement, au moins en théorie, les points de rencontre de la surface avec une droite. Appelons en effet S la surface, D la droite, et considérons la surface gauche de révolution engendrée par D en tournant autour de l'axe de S. Dans ce mouvement, les points de rencontre de D avec S décrivent des parallèles communs à cette surface et à la surface gauche engendrée par D. Si Ton connaissait ces parallèles, leurs points de rencontre avec D seraient les points cherchés. Mais quand deux surfaces de révolution ont le même axe, tout parallèle commun rencontre le plan d'un méridien en un point commun aux méridiennes des deux surfaces situées dans ce plan. D'ailleurs, si l'on a un point commun aux méridiennes des deux sur-

faces, en faisant tourner ce point autour de Taxe on décrit un parallèle commun aux deux surfaces.

D'après cela, on construira une méridienne de la surface S et la méridienne, située dans le même plan, de la surface engendrée par D en tournant autour de Taxe de S. A chaque point commun aux deux méridiennes correspondra un parallèle commun aux deux surfaces et un point commun à la surface S et à la droite D.

Les constructions sont particulièrement simples quand Taxe de la surface S est vertical ou de bout. Quant à la méridienne de la surface gauche engendrée par D, elle est une hyperbole ou un système de deux droites suivant que D ne rencontre pas ou rencontre Taxe de révolution. Nous allons du reste nous occuper maintenant de la détermination de la surface gauche de révolution.

§ V. — Détermination de là surface gauche de révolution,

279. Définitions. — Nous avons appelé surface gauche de révolution la surface engendrée par une droite qui tourne autour d'une autre droite non située avec elle dans le même plan. Les positions successives delà droite mobile sont les génératrices de la surface, et chaque point d'une génératrice, en tournant autour de Taxe, décrit un parallèle de la surface. Parmi ces parallèles, celui qui a le rayon minimum et qui est engendré par le pied, sur la génératrice, de la perpendiculaire commune à cette droite et à Taxe s'appelle le cercle de gorge ou le collier delà surface. Quand Taxe est parallèle à Tun des plans de projection, on z^^Wq génératrices principales celles qui sont parallèles au même plan.

Lorsque Taxe de révolution est vertical ou de bout, par exemple vertical, la projection horizontale du cercle de gorge est une circonférence de même rayon ayant pour centre la trace horizontale de Taxe, et les projections horizontales des génératrices sont tangentes à cette circonférence : ceci résulte de ce que la perpendiculaire commune à Taxe et à la génératrice forme avec celle-ci un angle droit dont la projection horizontale est un angle droit, parce que Tun de ses côtés, la perpendiculaire commune, est horizontal.

280. La surface gauche de révolution admet deux systèmes de génératrices. — Cela veut dire que la surface peut être engendrée par deux

droites tournant autour du même axe et telles qu'elles ne puissent

coïncider dans aucune de leurs positions. Supposons Taxe vertical, et considérons les deux droites parallèles (aô, a'b') et (aiôi, a'b') situées dans le même plan de bout. Ghacuno de ces droites en tournant autour do Taxe {oz^ z') engendre une surface gauche. Ces deux surfaces gauches coïncident, car un plan horizontal quelconque, A', coupe la première surface suivant un parallèle ayant pour projection horizontale la circonférence de centre o et de rayon oc ; il coupe la deuxième surface suivant un parallèle dont la projection horizontale est la circonférence ayant pour centre le point o et pour rayon oci. Mais oc = ocy ; donc tout plan horizontal coupe les deux surfaces suivant le même parallèle et les deux surfaces ne sont pas distinctes.

Il reste alors à prouver qu'il n'existe aucune position de la première droite coïncidant avec une position de la deuxième. Supposons on effet que, par une rotation autour de Taxe et dans le sens de la flèche, on ait amené la première droite dans une position telle que sa projection horizontale soit ap, a et ^ étant les nouvelles positions respectives de a et de b. Pour que la deuxième droite puisse coïncider avec cette nouvelle position de la première, il faut évidemment que le point (ai, a') vienne coïncider avec (a, a') ; or, quand on fait tourner (ai6i, a'b') autour de Taxe jusqu'à ce que le point (a^, a!) coïncide avec le point (a, a'), il est visible que le point bi vient en ôa, et. par suite, que les deux droites ne peuvent pas coïncider. Ainsi, la surface gauche de révolution admet bien deux systèmes de génératrices rectilignes.

281. Manière de distinguer les génératrices des deux systèmes. — Le raisonnement par lequel on a établi rexistence de deux systèmes de génératrices rectilignes permet aussi de distinguer les généra-

trices des deux systèmes. Considérons, par exemple» les traces des

génératrices sur le plan h' du cercle de gorge et sur un plan horizontal k. Il est visible alors que les deux droites (aft, a'b') et {cd^ d(ï) sont deux positions de la même droite, c'est-à-dire deux génératrices de même système. Au contraire, (aô, a!h') et (cirfi, Ci'rfi) sont deux génératrices de systèmes différents, puisque si Ton amène (a, a') en (cj, c',), les deux droites ne coïncident pas.

On peut encore procéder autrement.

Supposons qu'un observateur soit placé debout sur le plan horizontal, couché sur •axe, et observe le déplacement de la projection horizontale d'un point mobile sur une génératrice depuis le plan du cercle de gorge jusqu'à un plan horizontal //, choisi une fois pour toutes. Tandis ^|ii6 ce déplacement s'eflFectue de droite à gauche pour toutes les génératrices d'un système, son sens change quand on passe à une génératrice de l'autre système. Dans le cas actuel, il s'effectue de droite à ^uche pour les génératrices de même système que (aô, a'V) et de

gauche à droite pour les autres.

282. Deux génératrices de mémo système ne se rencontrent pas et ne sont pas parallèles. — Soient d'abord (a6, a'b') et (cd, ddf) deux générak' trices de même système, dont les projections horizontales se rencontrent en m. Si les deux génératrices se rencontrent, elles ne peuvent se rencontrer qu'en un point projeté horizontalement en m. Or, les deux plans horizontaux K et h! partagent l'espace en trois régions, et un simple examen montre que le point de (aé, a'b') projeté horizontalement en m et le point de (crf, c'd') projeté horizontalement au même point.

A.TTOMARI. — g£0¥. DB-CR.

appartiennent toujours à des régions différentes. Par exemple, dans le cas de la figure ci-dessus, le premier point est situé au-dessus du plan h\ tandis que le second est au-dessous du plan ^\ donc les deux points sont distincts, et les deux droites ne se rencontrent pas.

Soient maintenant (aé, a'b') et (cirfi, c[di) deux génératrices do même système dont les projections horizontales sont parallèles. Les deux triangles oab et ocidx étant symétriques par rapport au point o. il est clair que a'b' et •c/rf; sont symétriques par rapport à Taxe z' ; donc les deux droites no sont pas parallèles.

283. Deux génératrices de systèmes différents se rencontrent ou sont parallèles. — Soient en effet (aé, a'b^ et (crf, dd!) deux génératrices de systèmes différents dont les projections horizontales se coupent au point m. Les points des deux droites projetés horizontalement en m sont

situés dans la même région de Tespaco par rapport aux deux plans A' et A/ ; car bm et dm sont les projections horizontales de portions de ces droites situées dans la même région, ainsi que cela résulte de la deuxième manière de distinguer les deux systèmes de génératrices. Pour fixer les idées, supposons-les, comme dans la figure ci-contre, au-dessus du plan h\ et rabattons sur le plan h' les plans projetant horizontalement les deux génératrices. Soit m, le rabattement du point do (aé, a'b') projeté en m, et soit mj le rabattement du point analogue de {cd^dé). Pardéfinition (280), les deux génératrices faisant des angles égaux avec le plan horizontal, on a w6m, = mdfnt\ donc les deux triangles rectangles mbrUi et mdmi sont égaux. Il en résulte que les deux points rabattus en mj et en m% ont la même cote; comme ils ont la même projection horizontale et qu'ils sont situés dans la mémo région de Tespace par rapport aux plans h' et //, ils coïnoident, et les deux génératrices se rencontrent.

Toutefois, si les projections horizontales des deux génératrices étaient parallèles, les génératrices seraient elles-mêmes parallèles. Considérons en effet les deux génératrices (aô, a'b') et (cirfi, c'\d\) dont les projections horizontales sont parallèles. La ligure ahcxdx étant un rectangle, la figure dVd^i^ est un parallélogramme ; donc dy et Cjrf', sont parallèles, et les deux génératrices sont elles-mêmes parallèles.

11 suit de là qu'à une génératrice quelconque (ai, a'6'), correspond toujours une génératrice (cjrfi, cidi) de système différent et qui iui est parallèle; il ne lui en correspond d'ailleurs qu'une.

%i. Cône asymptote. — Considérons deux génératrices principales ^e systèmes différents et parallèles (a*, db') et (ai^i, dV), Par le point (o, o'), centre du cercle de gorge, menons la parallèle (pc^ dd)

à ces deux droites, de sorte que nous avons ainsi trois droites parallèles situées dans le même plan de bout. Quand on fait tourner ce plan autour de l'axe, les deux droites (aé, dV) et (a,6„ dV) engendrent la surface gauche de révolution, et la droite (pc^ dd) engendi'e un cône de révolution autour de l'axe (pz^ dz') et ayant pour sommet le centre (o, d) du cercle de gorge. Ce cône s'appelle le cône asymptote de la surface. Sa trace sur un plan horizontal quelconque, /i', est tangente à la trace, sur ce même plan, du plan des deux droites (a6, db') et {cLibiy db')\ par suite, le plan de ces deux droites est, dans chacune de ses positions, tangent au cône asymptote.

Observons, d'ailleurs, qu'en tournant autour de l'axe, (aô, db') et («1^1, db') coïncident successivement avec tous les couples de génératriœs parallèles ; donc, le plan qui contient deux génératrices parallèles d^une surface gauche de révolution est tangent au cône asymptote suiirant une génératrice parallèle aux deux premières. Inversement, tout plan tangent au cône asymptote coupe la surface suivant deux droites parallèles à la génératrice de contact.

212 DÉTERMINATION DES BURFACKS

28S. Détermination d'un point de la surlace gauche de réx'olulion. — n y a deux cas à examiner suivant qu'on se donne la projection verticale ou la projection horizontale du point. Dans le premier cas on procède comme pour toutes les surfaces de révolution (266). On peut procéder de même dans le second cas, mais il vaut mieux observer que le point est déterminé par l'intersection des deux génératrices de systèmes différents qui y passent; on est ainsi conduit à construire les deux génératrices de systèmes différents qui passent par un point dont on donne la projection horizontale. Résolvons ce problème.

Pour cela, supposons la surface dëlinie par son axe (oz, o's") et par une génératrice principale (aô, a'b'). Si m est la projection horizontale donnée, les génératrices qui pas- I'' sent par le point M de l'espace sont

projetées horizontalement suivant les tangentes menées du point m à la projection horizontale du cercle de gorge. Menons ces tangentes, et, pour achever la détermination des génératrices cherchées, prenons leurs traces surle plan horizontal h' du cercle de gorge et sur un autre plan horizontal quelconque ^. Comme du point m on peut mener deux tangentes à la projection horizontale du cercle de gorge, on voit (jue si (ab, db') tourne autour de l'axe, il y a deux positions de cette génératrice pour lesquelles sa projection horizontale passe par m; ces deux positions sont {pq, p'q') et (ry,, /yj). H y a également deux génératrices de l'autre système dont les projections horizontales passent par m : l'une est projetée en (piqi, p'iq',), l'autre en (r-iÇjrlç'), Pour avoir deux génératrices de systèmes différents se coupant en un point dont la projection horizontale est m, il faut évidemment associer (j>q,p'q') avec (piÇi.piîî) et (r^i, /ç;) avec {n?, rJgO; car (p^.p'çO cl (M' '^lï') se coupent au point {q, q') tandis que (piq„ p',q',) et {rç,, r'q{) se coupent au point (i^i, q',). Il suit de là qu'il y a deux points de la surface projetés horizontalement en m : le premier est l'intersection

des deux droites (py, j/q') et (piÇi, piçî); le second est l'intersection des deux droites (rq^i, /çj) et (nç, r\(f).

n est bien évident, du reste, qu'ils sont déterminés par la lifçne de rappel du point m et par deux génératrices de même système (pq^ pq^ et (rji, r'g',), par exemple.

286. Méridienne principale. — On peut obtenir la méridienne principale, comme celle de toute surface de révolution, en la considérant comme le lieu des points de rencontre du plan de cette méridienne avec les divers parallèles de la surface. Il est plus commode de la considérer comme le lieu des points de rencontre du plan de front mené par l'axe avec les diverses génératrices.

Considérons, d'après cela, deux génératrices principales de même système (ai, alb') et (cd, ddTj ; leurs projections verticales, on l'a vu (282),

sont symétriques par rapport à oV. Soit fq la projection horizontale d'une génératrice quelconque de l'autre système; comme cette génératrice rencontre toutes celles du premier système, sa projection verticale est pY. Si donc m est l'intersection de fq avec le plan de front mené par l'axe, le point (m, m!) est un point de la méridienne principale.

On déduit facilement de là que la méridienne principale est une hyperbole dont les asymptotes sont cdb' et dd! et dont oV est l'axe non transverse. En effet, soit (e, ef) le point de rencontre de la génératrice (pg, ff(f) avec le cercle de gorge; si l'on considère la seconde génératrice de la surface passant par le point (m, m'), sa projection horizontale étant symétrique de fq par rapport à owi, cette génératrice rencontre le cercle de gorge en un point ifff) situé sur la même ligne de bout que le point («, ef). Or il est clair que le plan des génératrices qui passent par un point de la surface est tangent à la surface en ce point. Dans le cas actuel, le plan

des deux génératrices qui passent par le point (m, m!) est un plan tangent de bout, puisqu'il contient une ligne de bout. Comme il contient la tangente à la méridienne principale, sa trace verticale p'q' est tangente en m' à la projection verticale de la méridienne principale. Ainsi, la tangente en chaque point de la méridienne principale est partagée en deux parties égales par le point de contact et par les droites a'b' et c'd'; donc la méridienne principale est une hyperbole projetée verticalement suivant une hyperbole égale dont les asymptotes sont a'b' et dcF^ et dont Taxe non transverse est o'z'. En outre, les projections verticales de toutes les génératrices sont tangentes à cette hyperbole.

On conclut de là que la surface gauche de révolution est un hyperboloîde de révolution à une nappe, c'est-à-dire engendré par une hyperbole qui tourne autour de son axe non transverse.

287. Problème. — 7'out plan passant par une génératrice de la surface gauche de révolution coupe la surface suivant utie seconde génératrice; déterminer cette seconde génératrice.

La surface gauche de révolution étant du second degré, tout plan la coupe suivant une conique. Cette conique dégénère en deux droites

<|uand le plan passe par une génératrice; l'une de ces droites est la génératrice elle-même, et il s'agit de trouver l'autre. Soient, pour cela, (aè, a'b') la génératrice donnée et (oz, o'z') l'axe de révolution, supposé vertical. Achevons de déterminer le plan mené par (ab, a'b') au moyen de sa trace {ac^ a'c') sur un plan horizontal quelconque k. La trace de la droite inconnue sur le plan // doit être à la fois sur {acy a'c') et sur la trace de la surface sur le même plan : c'est donc le point (c, c'). En outre, la projection horizontale de la génératrice inconnue doit être l'une des deux tangentes menées du point c à la jii'ojection horizontale du cercle de gorge; comme les deux génératrices doivent être de systèmes différents, puisqu'elles

sont dans le même plan, on voit que la projection horizontale de la droite cherchée est cm; il en résulte que sa projection verticale est c^m'. Ajoutons que le point (m, m!) est le point de contact de la surface avec le plan qui a été mené par (ab, alU) et qui est toujours un plan tangent, puis(iu'il contient deux génératrices; de sorte qu'on a résolu, par la même occasion, le problème suivant :

Tout plan passant par une génératrice est un plan tangent^ trouver son point de contact.

1. Un cône est-il déterminé quand il est assujetti à passer par deux cercles qai se coupent ? Faire Tépure et trouver le sommet.

2. Construire Taxe d*an cône de révolution défini par les projections de trois Rénéralrices.

3. Un cylindre de révolution est défini par son axe et par un point; trouver la projection horizontale d'un point connaissant sa projection verticale.

4. Déterminer une sphère passant par deux points donnés et tangente au plan horizontal de Tundes points donnés. Nombre des solutions.

5. Un cercle situé dans le plan horizontal tourne autour d'une droite de front; trouver la projection horizontale d*un point de la surface engenilrée, connaissant la projection verticale de ce point.

6. On donne une hyperbole dans le plan horizontal et une droite ayant u trace horizontale sur rhyperbole. Existe-t-il un hyperboloïde de révolution à ane nappe contenant Thyperbole et la droite ? S*il existe, le construire.

Le problème est déterminé. Pour construire rhyperboloïde^ on cherche d'abord lA direcUon de Taxe Cette direction est celle de Taxe du cdne des directions asrmptotiques, dont on connaît trois génératrices qui sont parallèles respectivementaux asymptotes de Fhyperbole donnée et à la droite donnée. La direction de Taxe étant déterminée, on coupe l'hyperbole et la droite par un plan perpendiculaire à cette direcUon ; on obtient ainsi trois points d'un parallèle. Le centre de ce parallèle étant sur Taxe, on achève facilement le problème.

7. On donne un cercle dans le pian horizontal. Ce cercle est la base d*un cylindre passant par deux points donnés; déterminer ce cylindre.

U suffit de détermlQer la direction des génératrices. Soient A et B les pointsdonnés, At et Bi leurs symétriques par rapport au centre ; le plan ABAiBi coupe le cylindre suiTant une ellipse concentrique au cercle, et, par suite, déterminée. On projette cette ellipse sur le plan horizontal et on mène une tangente commune à Fellipse projetée et au cercle, ce qui donne la direction des projections horizontales des génératrices. On achèTe ensuite sans difficulté.

8. Une droite non située dans le même plan avec la ligne de terre tourne autour de celle-ci. Déterminer un point de la surface engendrée connaissant Tune de ses projections. Construire, ensuite, la méridienne située dans le plan horizontal.

9. Un cercle situé dans un plan de front tourne autour d'un axe vertical. Déterminer un point de la surface engendrée connaissant Tune des projections de ce point. Construire la méridienne principale.

10. Les projections d'une ligne de Tespace sont deux cercles donnés. On fait tourner cette ligne autour de l'une de ses tangentes et Ton demande : 1° de trouver les projections d'un point quelconque de la surface; 2^ d'indiquer la construction par points de la méridienne dont le plan passe par le point dont les projections sont confondues avec les centres des projections de même nom de la génératrice.

. il. Construire un cylindre de révolution connaissant trois génératrices,

12. On considère les deux droites Oa et Ob\ la première Oa située dans le plan horizontal de projection et faisant avec œy un angle de 40<^ ; la seconde Ob' située dans le plan vertical et faisant avec xy un angle de 50®.

On demande :

i** De tracer les projections Oc, Oc' d'une droite passant par le point O, faisant avec Oa un angle de ÎO^*, avec O^' un angle de 45° et située par rapport au plan aOl/ du même côté que Ox ;

2<* De tracer les projections de Taxe du cône de révolution passant par les droites Oa, Ob' et la droite (Oc, Oc') précédemment déterminée.

{École navale, concours de 1887,)