DE RÉVOLUTION

§ I. — Plan tangent en un point; normale.

328. Théorème. — Le plan tangent en un point d'une surface de révolution est perpendiculaire au plan du méridien qui passe par ce point.

Soient en effet OZ Taxe d'une surface de révolution et M un point

de la surface. Le plan tangent en M à la surface contenant toutes les tangentes en M, contient en particulier la tangente MA au parallèle de ce point. Or, si 0 est le point de rencontre de l'axe avec le plan du parallèle, la tangente MA est perpendiculaire au rayon OM de ce parallèle ; elle est aussi perpendiculaire à l'axe, puisque celui-ci est perpendiculaire au plan du parallèle; donc MA est perpendiculaire au plan MOZ, c'està-dire au plan du méridien qui passe par M; donc enfin

le plan tangent, qui contient MA, est lui-même perpendiculaire au

plan de ce méridien.

329. Corollaire ï. — Si un point se déplace sur un méridien^ le plan tangent en ce point enveloppe un cylindre circonscrit à la surface le long de ce méridien.

En effet, si le point M se déplace sur le méridien MB, la droite MA reste toujours perpendiculaire au plan de ce méridien et engendre un

cylindre dont la section droite est MB. D^ailleurs en tout point de MB ce cylindre et la surface ont le même plan tangent.

330. Ck>roIlaire II. — Lorsqu'un méridien est parallèle à l'un des plans de projection, sa projection sur ce plan fait partie du contour apparent de la surface sur le même plan.

Car si le méridien MB est parallèle au plan horizontal par exemple, le cylindre circonscrit le long de ce méridien et un lieu de tangentes verticales à la surface. Par suite la trace horizontale de ce cylindre, c'est-à-dire la projection horizontale de MB, fait partie du contour apparent de la surface sur le plan horizontal.

331. Théorème. — Si un point décrit un parallèle d'une surface de ^^voluiion^ le plan tangent à la surface en ce point passe par un point fi^^ situé sur l'axe de révolution.

Soit en effet MS la tangente en M à la méridienne MB d'une surface de révolution autour de Taxe OZ. Cette tangente et Taxe de révolution étant situés dans le même plan se rencontrent; soit S leur point de rencontre. Quand on fait tourner la méridienne MB autour de Taxe, le point M décrit un parallèle P et le point S reste lixe; d'ailleurs MS reste toujours tangente en M à la méridienne MB dans chacune de ses positions; et comme le plan tangent en M contient toujours MS, il passe constamment par le point lixe, S.

^^o"^. Cùne circonscrit le long d*un parallèle. — Quand le point M ^TCOurt le parallèle P, la droite MS engendre un cône de révolution autour de OZ et de sommet S. Le parallèle P est un parallèle commun à ce cône et à la surface de révolution. De plus, en chaque point M du parallèle, le cône et la surface ont le même plan tangent ; car le plan tangent en M à chacune de ces surfaces est le plan mené par MS perpendiculairement au plan du méridien qui passe par M. Pour cette i^ison, le cône considéré s'appelle le cône circonscrit à la surface le long du parallèle P. A chaque parallèle de la surface correspond ainsi un cône circonscrit qui dégénère, bien entendu, en un cylindre circonscrit si le point S est à Tintini dans la direction de Taxe, et en un plan si MS est perpendiculaire à Taxe.

333. Cône asymptote. — Si la surface de révolution est d'une nature telle que le parallèle P puisse s'éloigner indéfiniment, le cône circonscrit le long de ce parallèle prend le nom de cône asymptote.

Il ne peut évidemment exister de cône asymptote que si la méridienne MB a un point à Tinfini, c'est-à-dire est à branches infinies. D'ailleurs, si le point H est à l'infini sur la méridienne MB, la tangente MS à cette méridienne devient la tangente en un point à l'infini, c'est-à-dire une asymptote, et le cône asymptote est engendré par la révolution de cette droite autour de l'axe ; de sorte que si le point M est à l'infini sur une branche parabolique de la méridienne, il n'y a pas de cône asymptote. Enfin, il y a autant de cônes asymptotes proprement dits ou dégénérés que d'asymptotes de la méridienne..

334. Théorème. — 5t un point décrit un parallèle <Fune surface de révolution^ la normale en ce point passe par un point fixe situé sur taxe.

En efiet, le plan tangent en un point H d'une surface de révolution étant perpendiculaire au plan du méridien qui passe par ce point, la normale en M est située dans le plan . du méridien ; elle rencontre donc l'arxe en un point N.

f Q ^p Si l'on fait tourner le méridien autour de l'axe, le ^^T^^^ point M décrit un parallèle P et la normale MN coïncide successivement avec les normales aux divers points de ce parallèle; comme le point N reste fixe pendant la rotation, la proposition est démontrée.

335. Cône des normales. — Il suit de là que si le point M décrit un parallèle P, la normale MX engendre un cône de révolution ayant pour sommet le point N. Ce cône s'appelle le cône des normales. En tout point M du parallèle P le plan tangent à la surface est perpendiculaire à la génératrice correspondante du cône des normales.

336. Sphère inscrite le long d*un parallèle. — Considérons, d'après cela, la sphère qui |a pour centre le point N et dont le rayon est égal à MN. Cette^ sphère passe par le parallèle P; de plus en chaque point M du parallèle le plan tangent à la sphère étant perpendiculaire au rayon MN coïncide avec le plan tangent à la surface de révolution.

Pour cette raison, la sphère considérée s'appelle la sphère inscrite le ^Oûg du parallèle P.

U cône circonscrit le long d'un parallèle et là sphère inscrite le long ^u même parallèle peuvent être substitués à la surface pour la résolul'on de certains problèmes sur les plans tangents aux surfaces de révolution. On en verra de nombreux exemples dans la suite.

337. Détermination du plan tangent en un point. — En général on détermine le plan tangent en un point quelconque d'une surface de ^évolution par la tangente au parallèle de ce point et par le sommet du cône circonscrit le long de ce parallèle. D'ailleurs, pour obtenir le sommet de ce cône, il suffit de prendre Tintersection de Taxe avec le plan tangent en un point particulier du parallèle (332). Par exemple, si la génératrice est donnée par ses projections, on peut prendre Tintersection de l'axe avec le plan tangent au point de rencontre du parallèle et de la génératrice, plan tangent qui est déterminé par la tangente à la g^^nératrice et par la tangente au parallèle. Si l'on donne la méridienne de la surface, le sommet du cône circonscrit s'obtient plus simplement encore : il suffit de prendre le point de rencontre de l'axe avec la tangente à la méridienne menée au point où elle est rencontrée par le parallèle.

E^fin, dans certains cas, il y a avantage à construire d'abord la normale et à mener ensuite par le point considéré le plan perpendiculaire à celle droite : tel est, par exemple, le cas de la sphère. Ajoutons que pour avoir la normale en un point il suffit de joindre ce point au sommet du cône des normales relatif au parallèle de ce point. Enfin, pour obtenir le sommet de ce cône, il suffit de mener par un point quelconque du parallèle correspondant le plan perpendiculaire à une droite située dans le plan tangent en ce point, pourvu y we cette tangente ne soit pas la tangente au parallèle. On prendra, par exemple, le point de rencontre du parallèle avec la génératrice et, par ce point, on mènera le plan perpendiculaire à la tangente en ce même point à la génératrice : le point de rencontre de ce plan avec l'axe de révolution sera le sommet du cône des normales relatif au parallèle considéré. Si la génératrice est la méridienne, il suffit de mener la normale à cette méridienne au point oii elle est rencontrée par le parallèle.

Ces divers modes de détermination du plan tangent conviennent à toutes les surfaces de révolution. Toutefois, quand la surface est une

PLANS TAXGEXTS

surface gauche de révolution, il peut être préférable de déterminer le plan tangent en un point au moyen des deux génératrices rectilignes qui passent par ce point (287).

Nous allons traiter maintenant quelques exemples.

338. Exemple I. — Déterminer le plan tangent en un point d'une .surface de révolution à axe vertical ou de bout connaissant les projections de la génératrice.

Supposons, par exemple, l'axe {sz^ sfz') vertical et soit (j, ^) la

génératrice de la surface. Considérons le parallèle décrit par le point (a, a!) de la génératrice, et proposons-nous de déterminer le plan tangent en un point quelconque (m, m!) de ce parallèle.

Pour cela, remarquons que le plan tangent à la surface au point (a, a') est déterminé par la tangente [ah^ a'b') au parallèle de ce point et par la tangente (ffc, aV) à la génératrice. Le plan de front passant par Taxe coupe ce plan tangent suivant la droite (6c, b'd) qui rencontre Taxe au point («, sf). Le point («, si) est le sommet du cône circonscrit le long du parallèle du point (a, a'); par suite, le plan tangent au point (m, m') est déterminé : i« par le point («, s') ; 2» par la tangente {mt, m'f) au parallèle de ce point.

La normale au point (a, a') est projetée verticalement suivant la perpendiculaire aV à b'c\ puisque b'd est une ligne de front du plan tangent. Elle rencontre Taxe au point (rî,n'); donc {mn.m'n') est la normale au point (m, m').

339. Exemple II. — Détemniner le plan tangent en un point d^une surface de révolution à axe horizontal ou de front^ connaissant les projections de la méridienne principale.

Supposons, par exemple, Taxe («z, n'z') de front et soit (j, g') la

^Ij^

mJ^

méridienne principale. Soit (m, m') un point de la surface situé sur le

parallèle du point (a, a!) de la méridienne, parallèle qui a été rabattu sur le plan de front de Taxe. La tangente en (a,«') à la méridienne est projetée verticalement suivant la tangente aV à g' et rencontre l'axe au point (*, s'). La tangente en (m, m!) au parallèle est rabattue en mit' et projetée en [mt, m'i'). Il en résulte que le plan tangent au point (m, m!) est déterminé par cette tangente et par le point {s, s').

La normale au point (a, a') est projetée verticalement suivant la normale a'n' à g' et rencontre Taxe au point («î n') ; il en résulte que la normale au point (m, m') est [mn^ m'n'),

^40. Exemple III. — Déterminer le plan tangent en un point d'une

surface gauche de révolution à axe vertical.

Soient (z, z') Taxe de la surface et (9, g') une génératrice. Considérons le parallèle d'un point (a, a!) de cette droite et proposons-nous de déterminer le plan tangent à la surface en un point quelconque (m, m') de ce parallèle.

Il suflit. pour cela, de construire les projections des génératrices qui passent par le point (m, m'). Ces génératrices sont projetées horizontalement suivant les tangentes mby me à la projection horizontale du cercle de gorge. Elles rencontrent le cercle de gorge en des points dont on a les projections horizontales à et c, et dont on déduit, par suite, les projections verticales b' et c'. Il en résulte que les projections des deux génératrices cherchées sont (rnô, m'b') et (me, mV).

341 . Exemple IV. — Déterminer le plan tangent en vn point d'une surface de révolution à axe quelconque connaissant les projections de la génératrice.

Soit (ï, :') l'axe d'une surface de révolution engendrée par {g, g'). Proposons-nous de di^terminer le plan tangent en un point (m, m') de la surface. Pour trouver les projections du point (m, m'), prenons le parallèle d'un point (a, a') de la génératrice et rabattons ce parallèle autour de l'horizontale lak, a'h') de son plan sur le plan horizontal passant par cette droite. Le centre (0, o') du parallèle, inlerscclion de l'axe et du plan perpendiculaire à l'axe mené par (o, a'), est rabattu en Oi ; le parallèle est donc rabattu suivant la circonférence dé- ^^ j // crite du point Oi

V comme centre avec

la distance du point Oi au point a comme rayon. Prenant alors un point m, de celle circonférence et relevant la droite 0,mi qui rencontre la charnière on (uj, lo'), on a en (m, m') un point de la surface. ■

Pour avoir le plan tangent en (m, m'), il sutfit d'avoir la tangente au parallèle en ce point et le sommet du cône circonscrit le long «le ce parallèle. La tangente est rabattue on m,k; par suite, elle est projetée en mk et en m'k'.

Quant au sommet du cône, il est à l'intersection de l'axe et du plan tangent au point (a, a'). Ce plan tangent est déterminé par la tangente (dC, aV) à la génératrice et par la tangente (ae, aV) au parallèle, tangente dont les projections ont été construites en partant du rabattement aei.

Enfin, le plan vertical mené par l'axe coupe le plan tangent en

(a, a') suivant la droite {de, de') qui rencontre Faxe au point (s, s'), sommet du cône circonscrit le long du parallèle.

En résumé, le plan tangent est déterminé par le point (5, s') et par la droite (mA, m' h').

342. Détermination de certains éléments remarquables d*une méridienne d^une surface de révolution. — Quand on sait déterminer le plan tangent en un point d'une surface de révolution à axe quclœnque, on sait construire, par cela même, la tangente en ce point à la 'néridienne qui y passe : il suffit, pour cela, de joindre ce point au point de rencontre du plan tangent avec Taxe.

Lorsque la méridienne est dans un plan parallèle à l'un des plans fie projection, la projection, sur ce plan, de la tangente en un quelconque de ses points, coïncide évidemment avec la trace de même nom du plan tangent à la surface au point considéré ; car le plan tangent en ce point contient la tangente à la méridienne et est perpendiculaire au plan de cette méridienne, c'est-à-dire au plan de projection auquel celui de la méridienne est parallèle. En particulier, si la surface est une surface gauche de révolution à axe horizontal ou de front, la Urgente en un point de la méridienne principale coïncide avec la pTOÎ^ction, sur le plan de projection qui est parallèle à celui de la méridienne, des deux génératrices rectilignes qui passent par le point considéré.

Cela posé, supposons qu'une surface de révolution à axe quelconque soit engendrée par une ligne quelconque et proposons-nous de déterminer les éléments remarquables d'une méridienne. On appelle ainsi : Mes points doubles de la méridienne; 2» les points à l'infini; 3» les points de rencontre de la génératrice avec le plan de cette méridienne ; 4° les points où la tangente est perpendiculaire à l'axe ; 5<> les points où la tangente est parallèle à l'axe; 6» les tangentes en ces points.

1^ Tangentes aux points doubles. — Nous avons vu plus haut (278) qu'il y a deux espèces de points doubles sur une méridienne : les points doubles proprement dits et les points de rencontre de la méridienne et de l'axe de révolution ; on appelle ces derniers points des s(mmets.

La construction des tangentes en un point double proprement dit ne diflere pas de la construction de la tangente en un point ordinaire de la méridienne. La seule différence consiste en ce qu'il y a deux cônes

circonscrits le long du parallèle double, ce qui fournit les deux tangentes demandées.

Si le point double est un sommet, le lieu des tangentes à la surface en ce point est un cône de révolution autour de Taxe et ayant pour sommet ce même point. Les tangentes à la méridienne sont alors les génératrices déterminées dans ce cône par le plan de la méridienne. D'ailleurs un sommet est aussi un point de rencontre de la génératrice et de Taxe; de sorte que le cône des tangentes est engendré par la révolution, autour de Taxe, de la tangente en ce point à la génératrice.

2^ Asymptotes de la méridienne, — Un point de la méridienne ne peut être à l'infini que si le point de la génératrice situé sur le même parallèle est lui-même à Tinlini. Supposons alors que la génératrice ait un point à l'infini, et voyons comment on pourra déterminer le sommet du cône circonscrit le long du parallèle de ce point. Deux cas peuvent se présenter : ou bien le point est à l'infini dans une direction perpendiculaire à l'axe, ou il est à l'infini dans une direction quelcon- ((ue. Dans le premier cas, le plan tangent est lui-même perpendiculaire à l'axe et contient la tangente à la génératrice au point à l'infini considéré, s'il y en a une. Le cône circonscrit se réduit alors à ce plan tangent, et la détermination du sommet de ce cône est évidente : c'est le point de rencontre de l'axe et du plan perpendiculaire à l'axe mené par l'asymptote à la branche de la génératrice qui passe par le point à l'infini considéré. L'intersection de ce plan et du plan du méridien donne l'asymptote correspondante de la méridienne.

Dans le deuxième cas, si l'on appelle M le point à l'infini sur la génératrice, le plan tangent en M est perpendiculaire au plan du méridien du point M et contient la tangente en M à la génératrice, c'est-à-dire l'asymptote de cette génératrice. Ce plan tangent à distance finie ou infinie coupe l'axe en un point à distance finie ou infinie qui est le sommet du cône circonscrit le long du parallèle du point M. Enjoignant ce sommet aux points de rencontre du parallèle du point M avec le plan de la méridienne, on aura les asymptotes à distance finie ou infinie de cette méridienne. On a vu d'ailleurs (276) comment oh détermine les points de rencontre du plan méridien avec le parallèle du point M.

3<* Tangentes à la méridienne aux points où elle est rencontrée par

la génératrice. — Appelons A l'un quelconque de ces points. La tangente en A à la méridienne est l' intersection du plan tangent en A et du plan du méridien de ce point. Ce plan tangent est perpendiculaire au plan du méridien et contient la tangente en A à la génératrice. La tangente en A à la méridienne est donc la projection, sur le plan de celle méridienne, de la tangente en A à la génératrice.

i° Points où la tangente à la méridienne est perpendiculaire à l'axe , — Appelons encore A l'un quelconque de ces points. Le plan tangent en A est alors lui-même perpendiculaire à Taxe et contient par suite le pardllèle du point A. Ce parallèle rencontre la génératrice en un point B oii le plan tangent est aussi perpendiculaire à Taxe puis([ue ce plan est le cône circonscrit dégénéré; dès lors la tangente en B à la génératrice est perpendiculaire à l'axe. Ainsi, les points de la méridienne en lesquels la tangente est perpendiculaire à Taxe sont situés sur les parallèles des points de la génératrice en lesquels la tangente est perpendiculaire à Taxe. On ne pourra déterminer les premiers ijuc Si i on sait déterminer les seconds.

^ Points de la méridienne en lesquels la tangente est parallèle à raoce, - Soît A un point d'une méridienne AM en lequel la tangente

AB est parallèle à l'axe OZ. Si l'on mène à la méridienne la normale en A située dans le même plan que la méridienne, le point 0 où cette normale rencontre OZ est le sommet du cône des normales relatif au parallèle du point A; de sorte (jue si ce parallèle rencontre au point C la génératrice G de la surface, OC est la normale à la surface au point C. Or, le plan tangent au point G est perpendiculaire à OC; donc il est parallèle à OZ, et le point C est aussi délini par la condition cpie le plan tangent en ce point à la surface est parallèle à l'axe. Une fois le point C déterminé, on en déduit facilement le point A. Soit CD la tangente en C à la génératrice. Si l'on projette sur un plan P perpendiculaire à l'axe et rencontrant celui-ci en o, l'angle droit CCD se projette suivant un angle droit ocd; par suite le point c,

projection du point C, est le point d'incidence d'une des normales menées par le point o à la projection g de la génératrice 6. La réciproque étant évidemment vraie, on voit que la détermination des points G se ramène à celle des points c. Donc, en résumé, on mènera les normales à g par le point o, ce qui fera connaître les points c, par suite les parallèles qui passent par les points cherchés, et finalement ces points eux-mêmes.

En particulier, si G est une droite, le point C est le pied de la perpendiculaire commune à Taxe et à cette droite.

§ II. — Plans tangents passant par un point donné; cônes circonscrits aux surfaces de révolution.

343. Problème. — Mener à une surface de révolution les plans tangents qui passent par un point donné à distance finie.

Le problème ainsi posé est indéterminé : on peut en effet mener par le point donné une infinité de plans tangents enveloppant le cône circonscrit à la surface par ce point. Pour déterminer le problème, il suffît d'assujettir le plan tangent à une autre condition. On peut l'assujettir, par exemple, à avoir son point de contact soit sur un parallèle donné, soit sur un méridien donné. Ce sont là les conditions en général les plus simples auxquelles on puisse assujettir les plans tangents assujettis déjà à passer par un point donné; mais il peut y en avoir d'autres. Par exemple si la surface est une surface gauche de révolution, on peut assujettir le point de contact à être sur une génératrice donnée. Quoi qu'il en soit, nous allons indiquer les solutions de quelques-uns de ces problèmes.

344. Problème. — Mener à une surface de révolution un plan tangent passant par un point donné et ayant son point de contact sur un parallèle donné.

Pour résoudre ce problème, on substitue à la surface le cône circonscrit le long du parallèle considéré et l'on mène par le point donné les plans tangents à ce cône. Ces plans tangents sont les plans tangents demandés et leurs points de contact respectifs sont les points oii ils touchent le parallèle donné. D'ailleurs, si l'on se reporte au numéro 290, pour mener par le point donné les plans tangents au cône

circonscrit, on joint ce point au sommet du cône et, par la trace de celle droite sur le plan de base du cône, on mène les tangentes à cette base. En d'autres termes, on mène les plans tangents au cône circonscrit par la droite qui joint le sommet de ce cône au point donné. Il suit de là qu'il y aura, 0, i ou 2 solutions suivant que cette droite est intérieure au cône circonscrit, sur la surface de ce cône, ou extérieure à cette surface.

En tous cas, la seule difficulté du problème réside dans la détermination du sommet du cône circonscrit le long du parallèle considéré, et ce problème a été résolu dans tous les cas (337).

Au lieu de substituer à la surface le cône circonscrit le long du parallèle donné, on peut encore lui substituer la sphère inscrite le long de ce parallèle. Dans ce cas on construit la courbe de contact du cône circonscrit à cette sphère par le point donné, et Ton prend les points de rencontre de cette courbe avec le parallèle donné ; ces points sont évidemment les points de contact des plans tangents cherchés et, une fois (|uils Ont été déterminés, le problème est ramené à un autre déjà résolu : mener le plan tangent en un point de la surface.

Ajoutons que l'emploi de la sphère inscrite peut n'être réellement avantageux que si le méridien qui passe par le point donné est horizontal ou de front.

Traitons quelques exemples.

345. Exemple I. — Mener à une surface de révolution à axe vertical définie par sa méridienne principalCf les plans tangents qui passent par un point donné et qui ont leurs points de contact sur un parallèle donné.

Soient (oz, oV) Taxe de la surface, fx' la projection verticale de la méridienne principale et {s, s') le point donné. Considérons le parallèle du point (p, p') et proposons-nous de mener à la surface, par le point («1 ^), les plans tangents dont les points de contact sont sur le parallèle du point (p, p'). Le sommet du cône circonscrit à la surface le long de ce parallèle est le point de rencontre (o, o') de Taxe et de la tangente à la méridienne au point {p^tp')- Prenons comme base de ce cône la section obtenue en le coupant par le plan horizontal du point (*ïO : cette section est une circonférence projetée horizontalement suivant la circonférence de centre o et de ravon oc. Les tangentes menées à cette circonférence par le point («, s') sont projetées

ANTOMAIU. — GéOM. UESCR. 18

horizontalement suivant les tangentes menées du point 5 à la circonférence oc ; leurs points d« contact sont donc projetés horizontalement aux points"de rencontre de la circonférence oc et de la circonférence décrite sur os comme diamètre. Si a et 6 sont ces derniers points, oa

et ob sont les projections horizontales des génératrices de contact des plans tangents cherchés et du cône circonscrit. Il en résulte que (m, m') et (n, n') sont les points de contact de ces plans tangents eux-mêmes.

Le problème admet 2, 1 ou 0 solutions suivant que s est extérieur à la circonférenée oc, sur cette circonférence ou intérieur à cette ligne.

Remarquons d'ailleurs qu'il n'est pas indispensable de supposer connue la méridienne principale, qui n'intervient dans la solution çpxe pour faciliter la construction du point (0, 0').

346. Exemple II. — Une surface de révolution à axe horizontal étant définie par son axe et par sa méridienne principale^ mener à cette surface lés plans tangents passant par un point donné dans le plan du méridien principal et ayant leurs points de contact sur un parallèle donné.

Nous allons employer la méthode de la sphère inscrite.

Alors la méridienne principale n'intervient que pour simplifier la construction du centre de cette sphère, comme on va le voir.

Soient, en effet, (z, z') Taxe de la surface, (^i, \^) la méridienne principale, (», ^) le point donné et oa la projection horizontale du parallèle donné. En menant la normale en a à la projection horizontale \l de la méridienne, on a en n la projection horizontale du centre de la

splière inscrite le long du parallèle. On en déduit le contour apparent de cette sphère sur le plan horizontal. Gomme le point («, ^) est dans le plan horizontal du centre de la sphère, en menant du point * les tangentes au contour apparent horizontal de cette sphère, on obtient en bc la trace horizontale du plan de la courbe de contact du cône qui lui est circonscrit par le point (s, s'). Le point de rencontre m de bc et de oa est ainsi la projection horizontale des points de contact des plans tangents demandés (344). Pour en avoir les projections verticales m' et m", il suffit d'en avoir les cotes au-dessus du plan horizontal de Taxe. Ces cotes ont été obtenues en rabattant le parallèle oa et les points de contact sur le plan horizontal de Taxe ; on a obtenu ainsi les points nix et m», et, par suite, les projections verticales cherchées m! et m".

En combinant cette méthode avec celle du cône circonscrit, on peut

se dispenser de tracer la circonférence de rayon na et la droite àc. Soit en effet (9, 0^) le sommet du cône circonscrit le long du parallèle oa. Les plans tangents demandés passent par la ligne (95, dV), qui est horizontale. Leurs points de contact sont donc sur le plan perpendiculaire à cette ligne mené par le centre de la sphère inscrite. Or, ce plan est vertical et sa trace horizontale n'est autre chose que la perpendiculaire à s? menée par le point n. Cette trace horizontale contenant le point m détermine ce point, et Ton achève comme plus liaut.

347. Problème. — Mener à une surface de révolution un plan tan^ gent passant par un point donné et ayant son point de contact sur un méridien donné.

Pour résoudre ce problème, on substitue à la surface de révolution le cylindre circonscrit le long du méridien donné, et l'on mène par le point donné les plans tangents à ce cylindre. Pour cela, on mène par le point donné (^1) la perpendiculaire au plan du méridien donné, et par la trace de cette droite sur ce plan, on mène les tangentes au méridien : les points de contact de ces tangentes sont les points de contact des plans tangents demandés, et il n'y a plus qu'à mener le plan tangent en chacun de ces points.

Il est bon d'observer que la solution suppose essentiellement que Ton connaisse la méridienne de la surface de révolution. D'ailleurs, pour que le problème soit possible, il faut que l'on puisse, du point donné, mener des plans tangents au cylindre circonscrit le long du méridien donné.

348. Cas d*une surface gauche de i*évolution. — Quand la surface est une surface gauche de révolution, on peut résoudre ce problème sans tracer la méridienne. Soient en effet S le point donné et P le plan du méridien donné. Si l'on mène du point S la perpendiculaire A au plan P, les plans tangents demandés sont les plans tangents à la surface gauche de révolution menés par A. Comme on le verra (379), ce problème se ramène à celui de la détermination des points de rencontre de la surface avec la droite A, et, pour traiter ce dernier problème, il est inutile de tracer la méridienne, ainsi qu'on le montrera plus loin.

349. Exemple. — Étant donné un ellipsoïde de révolution à axe ver-

tkal, mener à cette surface un plan tangent passant par un point donné et ayant son point de contact sur un méridien donné.

Soient (s, sf) le point donné et o^i la trace horizontale du méridien

donné. Si Ton mène du point (f, sf) la perpendiculaire au plan de ce méridien, le pied de cette perpendiculaire est le point (œ, ci'), et il faut mener par ce point les tangentes à la méridienne située dans le plan oji. Pour cela, amenons ce plan à coïncider avec le plan du méridien principal par une rotation autour de Taxe de révolution. Le point (œ, </) venant ainsi en (ji, </i), les tangentes à la méridienne, après la rotation, sont projetées verticalement suivant les tangentes jiai et (j'ibi à la méridienne principale ; de sorte que ai et b[ sont les projections verticales des points de contact des plans tangents cherchés après la rotation. On en déduit les projections (a, a') et (b, b') des points eux-mêmes par une opération inverse.

Pour que le problème soit possible, il faut que le point (ji, j{) soit extérieur à la méridienne principale ou, ce qui revient au même, que le point (d, <r^) soit extérieur au parallèle dont le plan passe par le point («, sf). Ce parallèle est projeté horizontalement suivant la circonférence de diamètre pq, et si l'on observe que le point a est sur la circonférence décrite sur os comme diamètre, puis que Ton prenne les points m et n où cette circonférence rencontre le parallèle py, on voit que le problème n'est possible que si Ofx est compris dans l'angle mon.

3S0. Problème. — Mener à une surface gauche de révolution le plan tangent passant par un point donné et ayant son point de contact sur une génératrice donnée.

278 PLANS TAXGEXTS

On sait que tout plan passant par une généralrice d'un hyperboloïde est tangent à la surface en un point de cette génératrice. Il suit de là que la génératrice donnée et le point donné définissent le plan tangent cherché. Quant au point de contact de ce plan tangent, nous avons déjà appris à le déterminer (287).

3«^1 . Courbe de contact d'un cône circonscrit ù. une surface de révolution. — On détermine cette courbe par points en cherchant ses points de rencontre, soit avec les parallèles, soit avec les méridiens successifs de la surface. On est ainsi conduit à résoudre plusieurs fois deux problèmes déjà résolus (344 et 347).

Supposons d'abord que Ton cherche les points de rencontre avec les parallèles successifs; nous avons vu (344) qu'il y a en général sur chaque parallèle deux points de rencontre avec la courbe de contact. On appelle parallèles limites les parallèles pour lesquels ces deux points sont confondus. En chaque point fourni par un parallèle limite, la tangente à la courbe de contact est la même que la tangente au parallèle limite, puisque celle-ci est la limite d'une sécante joignant deux points de la courbe de contact. La tangente en chacun de ces points est donc perpendiculaire à l'axe de révolution. Si l'on se reporte d'ailleurs à l'exemple traité au n® 345, les deux points situés sur un parallèle sont confondus quand la droite {so^ sV) est située sur le cône circonscrit le long de ce parallèle. Les génératrices de ce cône étant tangentes aux diverses méridiennes, on voit que les parallèles limites passent par les points de contact des tangentes menées, par le sommet du cône circonscrit par le point donné, à la méridienne dont le plan passe par ce point.

Supposons maintenant que Ton cherche les points situés sur les. méridiens successifs. Si l'on se reporte alors à l'exemple traitas au no 349, on voit que les méridiens limites^ s'il y en a, sont om et on^ qu'on obtient évidemment d'après la règle suivante : On mène par le sommet du cône le plan perpendiculaire à l'axe et les tangentes aux parallèles obtenus, s'ils existent; les méridiens limites sont ceux qui passent par les points de contact de ces tangentes.

Traitons un exemple.

352. Exemple. — Construire la courbe de contact du cône de sommet donné circonscrit à un ellipsoïde de révolution à axe vertical.

Soit (s, s') le sommet du cône circonscrit à rellipsoïde. Nous allons

déterminer successivement : i^ un point courant de la courbe de contact; 2o les points sur le contour apparent horizontal; S® les points sur le contour apparent vertical; 4» les points sur les parallèles limites; 50 les points sur les méridiens limites. Les solutions de ces divers problèmes sont indépendantes de la nature de la surface de révolution, c'est-à-dire (ju'elles sont applicables à toutes les surfaces de révolution autour d'un axe vertical. Profitant alors de ce que la surface étant ici du second degré, la courbe de contact est une courbe plane, nous déterminerons aussi la tangente en un point quelconque de cette courbe, ses axes et ses sommets.

Construction d'un point courant. — Cherchons par exemple un point situé sur le parallèle du point (a, a!). Remarquons, pour cela, que le cône circonscrit le long de ce parallèle coupe le plan horizontal mené P^r le point (s, s') suivant une circonférence dont la projection horizontale a pour centre le point 0 et pour rayon ob; car une génératrice de ce cône située dans le plan de front mené par l'axe {oz^ o'z') coupe le plan horizontal du point («, s') au point (6, b'). Les points de contact des tangentes menées de ^ à la circonférence ob sont à l'intersection de cette circonférence et de celle qui est décrite sur os comme diamètre. Ces points sont symétriques par rapport à os, et si c est l'un d'eux, le point de rencontre m de œc avec le parallèle du point [a, a!) est la pj^jection horizontale d'un point courant; on en déduit la projection Wticale m' par une ligne de rappel. Le second point de rencontre des deux circonférences ob et os donnerait un point dont la projection horizontale serait symétrique de m par rapport à os ; d'où il suit que os est un axe de la projection horizontale de la courbe de contact, quelle que soit d'ailleurs la surface de révolution, pourvu qu'elle soit à axe vertical.

Il est bon d'observer que m doit être situé par rapport à a et à c comme a' par rapport à a' et à 6'.

Points sur le contour apparent horizontal. — Ils sont projetés horizontalement aux points de contact des tangentes menées du point s au contour apparent de la surface sur le plan horizontal. Ce contour apparent est ici la projection horizontale du parallèle dont le plan passe par le centre de Tellipsoïde, et les points de contact sont les points de rencontre e et /" de ce parallèle avec la circonférence os; ils sont projetés verticalement en ef et en /"'.

Points sur le contour apparent vertical. — Nous verrons que le

contour apparent, sur le plan vertical, d'une surface de révolution à axe vertical n'est autre chose que la projection verticale de la méridienne principale. En menant alors par le point s' les tangentes à cette projection verticale, on obtient en (/, t) et en (^, g') les points demandés.

Points sur les parallèles limites. — Pour obtenir ces points, il faut mener du point (s, sf) les tangentes à la méridienne dont le plan passe par ce point. Faisons alors tourner le point (s, sf) autour de Taxe jusqu'à ce qu'il vienne en («i, s\) dans le plan du méridien principal; puis menons du point s'i les tangentes à ce méridien. Si s\h!i est l'une d'elles, rencontrant l'axe en ^, la droite s'ô' est la projection verticale de l'une des tangentes menées par le point («, sf) à la méridienne dont le plan passe par ce point. Il en résulte que (A, h!) est l'un des points cherchés. On détermine de même l'autre point (A, kf).

Nous avons vu plus haut (351) qu'en chacun de ces points la tangente à la courbe de contact est confondue avec la tangente au parallèle limite correspondant. Donc, en chacun de ces points, la tangente est horizontale en projection verticale et perpendiculaire à os en projection horizontale.

Points sur les méridiens limites. — Le parallèle de la surface dont le plan passe par («, s') est projeté horizontalement suivant la circonférence de rayon op. Les points de contact des tangentes menées du point s à cette circonférence sont les points de rencontre q^ et r de cette même circonférence et de la circonférence os ; donc les méridiens limites ont leurs traces horizontales en oq et en or. Les points situés sur ces méridiens sont (^, q') et (r, »•'). Les tangentes aux points ^ et r à la projection horizontale sont nécessairement oq et or, car les tangentes aux points (5, 9') et (r, r') à la courbe de contact sont les mêmes que les tangentes en ces mêmes points aux méridiens limites correspondants.

Tangente en un point courant. — C'est l'intersection du plan tangent en ce point avec le plan de la courbe de contact. Prenons par exemple le point (m, m'). Si l'on coupe le plan tangent en ce point et le plan de la courbe de contact par le plan horizontal du centre de rellipsoïde, on obtient deux droites dont les projections horizontales sont respectivement ef et vt^ celle-ci parallèle à la tangente m^ à la projection horizontale du parallèle du point (m, m'). Le point {t, f) est

— hv — ^

évidemment un point de la tangente demandée, dont les projections sont par suite mt et m'i'.

Axes et sommets de la courbe de contact. — La droite {ef, eff) est une horizontale du plan de la courbe de contact ; comme cette droite est perpendiculaire au plan vertical os^ celui-ci est perpendiculaire au plan de la courbe de contact. Il en résulte que le plan du méridien qui passe par le point (s, s!) est un plan de symétrie pour la courbe de contact, puisqu'il est perpendiculaire au plan de cette courbe et que de plus il est plan de symétrie pour la surface de révolution. L'intersection (AA, Kk) du plan de ce méridien avec le plan de la courbe de contact est donc un axe de symétrie de celle-ci ; les sommets situés sur cet axe sont par suite [h^h!) et (A;, k). Comme d'ailleurs os est un axe de symétrie de la projection horizontale, A et A sont deux sommets de cette projection.

Il reste à trouver le deuxième axe et les deux autres sommets de la courbe de contact. Nous observerons, pour cela, que le deuxième axe est perpendiculaire au premier et passe par le point (w, w') milieu de (AA, h'K), Or, le premier axe étant perpendiculaire à l'horizontale (e/*, e!f') du plan de la courbe de contact est une ligne de plus grande pente de ce plan ; donc le second axe est horizontal et l'on a alors immédiatement ses projections (wa, w'a'). Les points de rencontre de cette droite avec la surface seront les deux autres sommets. On les obtient en prenant les points de rencontre de celte même droite avec le parallèle dont le plan passe par (w, w'). Les projections horizontales de ces points sont les deux autres sommets de la projection horizontale de la courbe de contact.

Ajoutons que, si au lieu d'un ellipsoïde de révolution, on avait une (juadriquc (luelconque de révolution, le nombre des sommets ainsi déterminés permettrait de reconnaître si la courbe de contact est une ellipse, une hyperbole ou une parabole. Le problème suivant permettrait du reste d'arriver au même résultat.

353. Problème. — Trouver les points à V infini de la courbe de contact du cône de sommet donné circonscrit à une surface de révolution.

Appelons S le sommet de ce cône et M un point à l'infini de la courbe de contact. Ce point à l'infini se trouvant sur un parallèle qui est à l'infini, le cône circonscrit le long de ce parallèle n'est auti-e ([u'un cône asymptote. En se reportant alors au problème du n^ 344,

on voit que Ton obtiendra les points à l'infini de la courbe de contact en menant par le point S les plans tangents aux cônes asymptotes de la surface. Les génératrices de contact de ces plans tangents avec les cônes asymptotes correspondants donnent les directions des points à Tinfini. Si la surface de révolution est du second degré, le nombre des points à l'infini fera connaître la nature de la courbe de contact. On pourra même, dans ce cas, construire les asymptotes, s'il y en a. Il n'y a, pour cela, qu'à appliquer la construction de la tangente en un point donnée plus haut (352) ; car l'asymptote peut être considérée comme la tangente en un point à l'infini.

354. Remarque sur les ombres. — Rappelons, avant d'abandonner ce sujet, que les divers problèmes que nous venons de résoudre sont les mêmes que ceux qu'on aurait à résoudre si l'on voulait déterminer le co'ntour de l'ombre propre d'une surface éclairée par un point lumineux.

>5 III. — Plans tangents parallèles à une direction donnée ; cylindres circonscrits aux surfaces de révolution.

355. Problème. — Mener à une surface de révolution les flans tangents parallèles à une direction donnée.

Ce problème est un cas particulier de celui qui a été résolu au n*' 343. Il s'en déduit en supposant que le point donné s'éloigne indéfiniment dans la direction donnée. Il est d'ailleurs indéterminé, et tous les plans tangents cherchés enveloppent le cylindre circonscrit parallèlement à cette direction. Pour le déterminer, on peut assujettir les plans tangents cherchés à avoir leurs points de contact, soit sur un parallèle donné, soit sur un méridien donné, soit sur une génératrice donnée quand la surface est une surface gauche de révolution.

356. Problème. — Mener à une surface de révolution un plan tangent parallèle à une direction donnée et ayant son point de contact sur un parallèle donné.

Comme dans le problème résolu au n» 344, on substitue à la surface le cône circonscrit le long du parallèle donné et Ton mène à ce cône les plans tangents parallèles à la direction donnée. Ces plans tangents

sont les plans tangents demandés, et leurs points de contact respectifs sont les points où ils touchent le parallèle donné.

Si, par le sommet du cône circonscrit le long du parallèle considéré, on mène la parallèle à la direction donnée, le problème admet 0, 1 ou 2 solutions suivant que cette parallèle est intérieure au cône, située sur ce cône ou extérieure à cette surface.

Au lieu de substituer à la surface le cône circonscrit le long du parallèle donné, on peut lui substituer la sphère inscrite le long de ce parallèle. Dans ce cas on construit la courbe de contact du cylindre circonscrit à cette sphère parallèlement à la direction donnée, et Ton détermine les points de rencontre du parallèle donné avec la courbe de contact de ce cylindre et de la sphère ; ces points sont les points de contact des plans tangents cherchés.

Il n'y a du reste, en général, avantage à employer la sphère inscrite ([ue si le méridien parallèle à la direction donnée est horizontal ou de front.

* * 357. Exemple I. — Mener à une surface de révolution à axe vertical définie par sa méridienne principale les plans tangents parallèles à une direction donnée et ayant leurs points de contact sur un parallèle donné.

Soient (|x, jx') la méridienne principale et {oa^o'a') le parallèle donné. En menant la tangente en a' à la projection verticale jx' de la méridienne principale, on a en s' la projection verticale du sommet du cône circonscrit le long du parallèle {oa, o'a'). Pour des raisons qui seront données ultérieurement, il y a avantage à substituer à ce cône un cône homothétique ayant pour sommet un point quelconque de l'axe. Les génératrices des deux cônes sont respectivement parallèles et, de plus, en vertu de ce que la ligne des sommets est verticale, les projections horizontales de deux génératrices parallèles sont confondues. On obtient donc une génératrice du cône (a, <j') en menant (aô, <sb') parallèle à (*o, «'a'), de sorte que si l'on coupe le cône (d, a) par un plan horizontal de trace verticale 6V, la projection horizontale de la section est une circonférence de centre o et de rayon o6.

Gela posé, menons par (<j, J) la parallèle (<tu), jV) à la direction donnée, et, par cette parallèle, les plans tangents au cône (u, a ). Ces plans tangents sont parallèles à ceux que l'on cherche, de sorte que les projections horizontales de leurs génératrices de contact sont aussi

les projections horizontales des génératrices de contact des plans tangents cherchés. D'ailleurs, pour mener par (œw, œV) les plans tangents

au cône (<j, œ ), on cherche la trace (w, c/) de (<TW, (/o)') sur le plan de base et, par le point tu, on mène les tangentes à la base. Les points de contact de ces tangentes sont les points de rencontre Cl et di de la circonférence ob et de la circonférence décrite sur 0(0 comme diamètre; de sorte que oci et odi sont les projections horizontales des génératrices de contact des plans tan-

"^- -''' gents au cône (a, a)

menés par (œw, aV) et par suite aussi des plans tangents cherchés. Elles rencontrent la circonférence oa aux points c et d^ qui sont les projections horizontales des points de contact de ces plans tangents ; on en déduit les projections verticales cf et d' par des lignes de rappel.

On voit maintenant pourquoi il y a avantage à substituer le cône ((T, a') au cône {s, s') ; car : i® le point (j, j ) est toujours dans les limites du dessin ; 2<> si Ton avait à résoudre plusieurs fois le même problème en faisant varier le parallèle, la circonférence oa> serait invariable.

Ajoutons que les points c et d sont, quel que soit le parallèle, symétriques par rapport à ow.

338. Exemple II. — Une surface de révolution à axe de front est définie par son axe et par sa méridienne principale ; mener à cette surface les pians tangents ayant leurs points de contact sur un parallèle donné et parallèles à une ligne de front donnée.

Soient (z, z') Taxe de révolution, (jji, ^l) la méridienne, (/*, f) la direction donnée et o'a! la projection verticale du parallèle donné.

Nous allons nous servir ici de la sphère inscrite dont la projection verticale du centre est le point de rencontre U de z' avec la normale en d à la projection verticale de la méridienne principale. Comme la direction donnée (/*, f) est de front, la courbe de contact de la sphère inscrite et du cylindre qui lui est circonscrit parallèlement à (/*, /*') est dans un plan de l)Out perpendiculaire à (/, f). Ce plan passant par le centre de la sphère, a pour trace verticale la perpendiculaire à f menée par le point 6'.

Il en résulte (jue le point w! où cette perpendiculaire rencontre o'd est la projection verticale des points de contact des plans tangents cherchés. Pour en obtenir les projections horizontales, il n'y a qu'à rabattre le parallèle sur le plan de front de Taxe. Un point du parallèle projeté en w! se rabat alors en m', et, si Ton observé que les points sont symétriques par rapport au plan du méridien principal, on obtient les projections horizontales m et n des points de contact en prenant «m = an = m'mi sur la ligne de rappel du point m'.

359. Problème. — Mener à une surface de révolution un plan fangent parallèle à une direction donnée et ayant son point de contact sur un méridien donné.

Comme pour le problème correspondant résolu plus haut (3i7), on substitue à la surface de révolution le cylindre circonscrit le long du méridien donné, et Ton mène à ce cylindre les plans tangents parallèles à la direction donnée. Pour cela, on mène par cette direction le plan perpendiculaire au plan du méridien donné et Ton prend la trace de ce plan sur le plan du méridien ; on mène ensuite à la méridienne les tangentes parallèles à cette trace : les points de contact de ces tangentes sont les points de contact des plans tangents demandés.

Cette solution suppose que Ton connaisse la méridienne de la surface de révolution, et Ton obtient sans difficulté les conditions de possibilité du problème.

360. Cas d'une surface gauche de révolution. — On peut encore) résoudre ce problème sans tracer la méridienne ({uand la surface est une surface gauche de révolution. Appelons en effet D la direction donnée et P le plan du méridien donné. Si Ton mené, par un point quelconque de Tespace, la parallèle à la direction donnée et la perpendiculaire au plan P, les plans tangents cherchés sont parallèles au plan déterminé par ces deux droites. On est ainsi ramené à mener, à une surface gauche de révolution, les plans tangents parallèles à un plan donné. Ce problème sera résolu ultérieurement (381).

361. Exemple. — Mener à une surface de révolution à axe vertical, définie par sa méridienne principale^ les plans tangents parallèles à ^ne direction donnée et ayant leurs points de contact sur un méridien donné.

Soient (oj, oV) la direction donnée, que nous supposerons menée P^^ un point de Taxe, et op la trace horizontale du méridien donné.

La trace, sur le plan de ce méridien, du plan qui lui est perpendiculaire et qui passe par (ocr, oV) est {op^ dp'). Pour mener à la méridienne les tangentes parallèles à cette droite, amenons celle-ci à être dans le plan du méridien principal par une rotation autour de Taxe vertical {oz, o'z')^ c'est-à-dire autour de l'axe de la surface. Les projections de (o/}, o'p')^ après cette rotation, sont opi et o'pi, de sorte que si l'on mène à la méridienne les tangentes parallèles à o'p\ on obtient en m\ et en nj les projections verticales des points de contact des plans tangents cherchés, après la rotation. Les projections horizontales étanten mi et en Wi sur opi, on en déduit les projections anciennes [m,m') et (w,n') par une opération inverse.

tO\ir que le problème soit possible, il faut et il sufiit (jue Ton puisse ^eWCï* à la méridienne des tangentes parallèles à o'p'i. Ici la méri-

diciine étant une ellipse, le problème est toujours possible et admet deux solutions.

362. Problème. — Mener à une surface gauche de révolution le plan tangent parallèle à une direction donnée et ayant son point de contact sur une génératrice donnée.

Le plan mené par cette génératrice parallèlement à la direction donnée est le plan tangent cherché. Quant à son point de contact, nous avons déjà appris à le déterminer (287).

363. Courbe de contact d'un cylindre circonscrit à une surface de révolution. — Comme pour le cône circonscrit (3S1), on détermine cette courbe par points en cherchant ses points de rencontre, soit avec les parallèles, soit avec les méridiens successifs de la surface ; ce qui conduit à résoudre plusieurs fois deux problèmes déjà résolus (356 et 359).

Supposons que Ton cherche les points de rencontre avec les parallèles successifs. Nous avons vu (356) qu'il y a en général deux points sur chaque parallèle ; on appelle alors joaraZ/éfe* limites ceux pour les- (}uels ces deux points sont confondus. En chaque point fourni par un parallèle limite la tangente à la courbe de contact est la même que la tangente au parallèle limite : on le voit comme pour le cône circonscrit (351). La tangente en chacun de ces points est donc perpendiculaire à Taxe de révolution. Si Ton se reporte d'ailleurs à ce qui a été dit dans le cas du cône (351), on voit que les parallèles limites passent par les points de contact des tangentes, menées parallèlement à la direction donnée, à la méridienne dont le plan est parallèle à cette direction ; car la direction donnée équivaut à un point donné mais donné à Tinfini dans cette direction.

36i. Exemple. — Construire la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à un tore à axe vertical.

Comme pour la courbe de contact d'un cône circonscrit à un ellipsoïde (352), nous aurons à déterminer : 1» un point courant de la courbe de contact ; 2» les points sur le contour apparent horizontal ; 3<> le points sur le contour apparent vertical ; i» les points sur les parallèles limites (points où les tangentes sont horizontales). Il n'y a pas de méridiens limites.

AKTOHAW. — GiOM. DB8CR.

Construction d'un point courant, — On peut construire un point soit au moyen d'un parallèle, soit au moyen d'un méridien. Nous emploierons de préférence ici la méthode du méridien et, au lieu de substituer à la surface le cylindre circonscrit le long de ce méridien (359), nous lui substituerons la sphère ayant pour grand cercle la demi-méridienne ; car cette sphère est tangente à la surface tout le long de la dem'i-méridienne. Soient donc (c, c') le centre de la demi-méridienne principale et 0(i> la trace horizontale d'un demi-méridien. Le contour apparent sur le plan horizontal de la sphère inscrite le long de ce demi-méridien est une circonférence égale à la demi-méridienne principale ayant pour centre le point de rencontre de ow avec la circonférence oc. Il faut circonscrire à cette sphère un cylindre parallèle à la direction donnée (08, o'8') et prendre les points de rencontre de la courbe de contact avec la demi-méridienne projetée horizontalement en ow. Or, si l'on imagine les sphères inscrites le long des demi-méridiennes successives, les courbes de contact de ces sphères avec lés cylindres circonscrits parallèlement à (08, 0'^') sont évidemment égales et homothétiques. Pour éviter la construction de toutes ces courbes de contact, nous remplacerons toutes ces sphères par une sphère égale ayant pour •centre le point (0, 0') et nous construirons la courbe de contact (ab, a'V) de cette sphère avec le cylindre qui lui est circonscrit parallèlement à (08, o'8'). Cette courbe de contact rencontre le plan vertical ow en deux points dont l'un est projeté horizontalement en a ; son plan n'est autre que le plan de la courbe de contact du cylindre circonscrit à la sphère auxiliaire de centre (u), w') après qu'on l'a transporté parallèlement à lui-même au point (0, 0'). Si donc on porte wZ = oa, le point l sera la projection horizontale de l'un des points cherchés. Sa projection verticale /' se trouve sur la ligne de rappel du point / et sur la parallèle menée par w' au rayon o'a' de l'ellipse cdb' projeté horizontalement en oa.

Si nous revenons maintenant au point /, nous voyons que l'égalité wl = ooL entraîne ow = a/; comme ow est une longueur constante, nous en concluons que la projection horizontale de la courbe de contact d'un cylindre circonscrit à un tore à axe vertical est une conchoïde d'ellipse. Cette remarque facilite la construction de tous les points de la courbe de contact.

Points sur le contour apparent horizontal. — On obtient leurs projections horizontales en menant au contour apparent du tore sur le

plan horizontal les tangentes parallèles à o^. Les projections verticales s'en déduisent par des lignes de rappel. Nous verrons d'ailleurs bientôt, et cela est du reste évident, que le contour apparent horizontal du tore se compose de deux cercles concentriques op et oq.

Points sur le contour apparent vertical, — On peut les obtenir, soit en menant au contour apparent sur le plan vertical les tangentes parallèles à o'S', soit en cherchant, comme pour un point quelconque, les points situés sur le méridien principal.

Points sur les parallèles limites, — Ces points sont situés dans le plan du méridien dont la trace horizontale est oS ; on peut donc les obtenir comme les points ordinaires au moyen de ce méridien. On peut encore les obtenir en menant à la méridienne oo les tangentes parallèles à (08, o'8'). Dans l'épure, pour mener ces tangentes, on a amené (08, o'8') dans le plan du méridien principal en (oei, o'ei); on a mené, ensuite, à la méridienne principale les tangentes parallèles à o^i, puis on a effectué une opération inverse. On a obtenu ainsi les quatre points

Ponctuation. — Pour faire la ponctuation, il suffit d'observer que {ki k) par exemple est vu en projection horizontale, caché en projection verticale; de même {g^g^ est vu en projection horizontale et caché en projection verticale; (A, h!) étant caché partout, on en conclut aisément la ponctuation indiquée sur l'épure.

11 est évident que les axes de Tellipse ab sont des axes de symétrie de la projection horizontale, et que le point o' est centre de la projection verticale.

365. Remarque 1. — Si la surface de révolution, au lieu d'être un

tore, était une quadrique, la courbe de contact serait plane et l'on

pourrait construire aisément la tangente en un point quelconque en

procédant comme au n® 352. On pourrait aussi déterminer les axes et

les sommets.

366. Remarque II. — Si la méridienne avait des branches infinies, il serait aisé de déterminer les points à l'infini de la courbe de contact. Pour cela, on mènerait aux cônes asymptotes les plans tangents parallèles à la direction donnée, et on achèverait ensuite comme pour la courbe de contact d'un cône circonscrit (353). Si de plus la surface était une quadrique, on pourrait aussi obtenir les asymptotes en considérant une asymptote comme la tangente en un point à l'infini.

367. Remarque sur les ombres. — Ajoutons que le problème de la détermination du contour de l'ombre propre d'une surface de révolution, quand le point lumineux est à Tinlini dans une direction donnée {ombre au soleil)^ est un problème de cylindres circonscrits à ces surfaces, ainsi que cela a d'ailleurs déjà été remarqué (296).

368. Problème. — Mener à une surface de révolution les plans tangents perpendiculaires à un plan donné.

Cela revient évidemment à mener à la surface considérée les plans tangents parallèles à une droite perpendiculaire au plan donné, c'està-dire à une direction donnée. Le problème ainsi énoncé a donc été résolu (355J.

369. Remarque. — C'est au problème dont nous venons d'indiquer la solution (368) que se ramène la détermination dont nous allons maintenant nous occuper des contours apparents des surfaces de révolution.

§ IV. -*- Contours apparents d\me surface de révolution.

370. Rappel de la définition. — Par définition, le contour apparent horizontal d'une surface de révolution est la courbe de contact du cvlindre vertical circonscrit à la surface; la trace horizontale de ce cylindre est le contour apparent de la surface sur le plan horizontal.

Pareillement, le contour apparent vertical est la courbe de contact du cylindre de bout circonscrit à la surface, et la trace verticale de ce cylindre s'appelle le contour apparent sur le plan vertical. Le problème de la détermination des contours apparents d'une surface de révolution a donc été, en fait, déjà résolu (363). Nous nous bornerons actuellement à donner des exemples et nous examinerons trois cas.