Premier csas. — Axe vertical ou de bout

Pour fixer les idées, supposons l'axe vertical et occupons-nous successivement de la détermination du contour apparent horizontal et du contour apparent vertical.

Contour apparent horizontal. — Il s'agit en somme de trouver le lieu des points de contact des plans tangents verticaux. Or, si le plan

tangent en un point est vertical, il rencontre Taxe à Tinfini; mais alors les plans tangents en tous les points situés sur le même parallèle que le point considéré rencontrent aussi Taxe à l'infini et sont verticaux. Il suit de là que le contour apparent horizontal se compose de parallèles; par suite le contour apparent sur le plan horizontal est un système de circonférences concentriques, projections horizontales de ces parallèles.

D'ailleurs, si le plan tangent en un point est vertical, la normale en ce point est horizontale, par suite la tangente à la méridienne est verticale. Si Ton observe que le parallèle d'un point est déterminé quand on connaît ce point, on voit alors que la détermination du contour apparent horizontal se ramène à la détermination, déjà faite (342), des points de la méridienne en lesquels la tangente à cette ligne est verticale.

Contour apparent vertical. — En vertu de la propriété du plan tangent (328), tous les points de la méridienne principale appartiennent au contour apparent vertical.

Inversement, considérons un point en lequel le plan tangent est de bout. Si ce plan n'est pas perpendiculaire à l'axe, la normale est de front et le point est sur la méridienne principale. Si le même plan est perpendiculaire à l'axe, il est tangent tout le long d'un parallèle, qui fait par suite partie du contour apparent vertical. Le contour apparent vertical se compose, d'après cela, de la méridienne principale et des parallèles extrêmes qui passent (342) parles points de la méridienne en lesquels la tangente est perpendiculaire à l'axe. Il en résulte que le contour apparent sur le plan vertical se compose : 1<> de la projection verticale de la méridienne principale; 2® des portions des tangentes à celte ligne perpendiculaires à l'axe et comprises entre les points de contact. C'est d'après cette règle que nous avons dessiné les contours apparents d'un tore à axe vertical (364).

Ajoutons que, pour passer du cas que nous venons d'examiner au cas où l'axe est de bout, il n'y a qu'à échanger entre eux les mots horizontal et vertical.