Deuxième cas. — Axe horizontal ou de front

Pour lixer les idées, supposons l'axe de front. On voit comme plus haut (371) que le contour apparent sur le plan vertical se compose de la méridienne principale et des portions des tangentes à cette ligne

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perpendiculaires à Taxe et comprises entre les points de contact. Montrons sur un exemple comment on peut déterminer le contour apparent horizontal. Pour cela, supposons connue la méridienne principale

" ({1, i»!) de la surface et rappelons encore une fois qu'il s'agit de construire la courbe de contact du cvlindre vertical circonscrit à la surface.

Nous pourrons donc construire cette courbe par points en cherchant ses points de rencontre avec les parallèles successifs de la surface (363).

Cherchons par exemple les points situés sur le parallèle projeté verticalement en o'a\ Considérons pour cela la sphère (w, w') inscrite le long de ce parallèle. La courbe de contact du cylindre vertical circonscrit à cette sphère est projetée verticalement en 6V. Cette courbe de contact et le parallèle se rencontrent en deux points dont les projections verticales sont en m' et dont les projections horizontales sont des points m et n du contour apparent de la sphère sur le plan horizontal. En m et en n les tangentes au contour apparent de la surface sont les mêmes que les tangentes au contour apparent de la sphère (298).

Au lieu d'employer la sphère inscrite le long du parallèle, on aurait pu se servir du cône circonscrit le long de ce parallèle. En menant à ce cône les plans tangents verticaux, on aurait obtenu des points du contour apparent cherché en prenant les points de rencontre du parallèle projeté en o'a' avec les génératrices de contact. Si (5, s^) est le sommet de ce cône, il est clair que son contour apparent sur le plan horizontal est Tensemble des tangentes sm et sn menées du point s à la circonférence (o.

Supposons que la surface soit un tore, et cherchons son contour apparent sur le plan horizontal. On peut alors, sans restreindre la question, supposer Taxe de révolution de front, et si Ton considère la circonférence décrite par le centre de la demi-méridienne en tournant autour de Taxe, il est aisé de prouver que le contour apparent sur le

plan horizontal est une courbe parallèle à la projection horizontale de cette circonférence. Soient, en effet, (z, z') Taxe de la surface, (o, o') le centre de la

méridienne principale et (c, d) un point de la circonférence décrite par (0,0') en tournant autour de (2,2% Au point (c, d) la tangente (c/, c7') à cette circonférence est perpendiculaire au plan du méridien du point (c, c% par suite à toutes les droites situées dans ce plan . Or, si (m, m') est un point du contour apparent horizontal situé sur la dcmi-rnéridienne dont le plan passe par (c, c% le rayon [cm, dm!) de cette demi-méridienne est horizontal, puisqu'il est perpendiculaire au plan tangent en (m, m'). Ce ravon étant situé dans le plan de la demi-méridienne est perpendiculaire à (c/, c'I') et forme avec cette droite un angle droit projeté horizontalement suivant un angle droit. Ainsi, le point m est situé sur la normale au point c à l'ellipse projection horizontale de la circonférence décrite par le point (0, 0') en tournant autour de Taxe. D'ailleurs, le rayon {cm^ dm') étant horizontal, se projette horizontalement suivant une droite de même longueur; de sorte que cm est égal au rayon de la demi-méridienne de la surface. Par conséquent, on obtient le contour apparent de la surface sur le plan horizontal en portant sur les normales à Tellipse décrite par le point c, et à partir des points d'incidence, départ et d'autre de ces points, une longueur constante égale au rayon de la circonférence méridienne du tore. Le lieu des points ainsi obtenus est, par définition, une courbe parallèle àTellipse décrite par le point c, c'està-dire une courbe parallèle à la projection horizontale de la circonférence que décrit le point (0, 0') en tournant autour de l'axe (s, s').

. 373. Troisième cas. — Axe quelconque.

Nous nous bornerons ici à quelques indications.

Pour avoir le contour horizontal, on détermine ses points de rencontre avec les parallèles successifs, soit au moyen des cônes circonscrits le long de ces parallèles, soit au moyen des sphères inscrites. On opère de même pour le contour apparent vertical.

En vertu d'une proposition démontrée plus haut (298), le contour apparent sur le plan horizontal est soit l'enveloppe des contours apparents sur ce plan des cônes circonscrits le long des divers parallèles, soit l'enveloppe des contours apparents sur ce même plan des sphères inscrites. Même remarque pour le contour apparent en projection verticale.

Quand on emploie les cônes circonscrits le long des divers parallèles, si l'on suppose qu'un parallèle s'éloigne indéfiniment, le cône correspondant devient le cône asymptote. Il suit de là que les asymptotes du contour apparent sur le plan horizontal sont confondues avec les contours apparents des cônes asymptotes sur le plan horizontal. On obtient d'une manière analogue les asymptotes du contour apparent sur le plan vertical.

374. Remarques relatives à la représentation des surfaces. — Nous avons vu (202) qu'on représente un polyèdre, en géométrie descriptive, par les projections de ses arêtes. Ce mode de représentation ne pouvant être adopté pour les surfaces, on convient de représenter une surface quelconque par ses contours apparents. On représente donc une surface par son contour apparent horizontal et par son contour apparent vertical. Dans le tracé à l'encre, on ne trace à l'encre noire que la projection horizontale du contour apparent horizontal et la projection verticale du contour apparent vertical. On considère, d'ailleurs, les lignes doubles d'une surface comme faisant partie des contours apparents. Par exemple, les parallèles doubles d'une surface de révolution, quand elle en a, font partie du contour apparent horizontal et du con- . tour apparent vertical. Dans tous les cas, quand on veut représenter une surface, il ne faut jamais perdre de vue que le contour apparent sur le plan horizontal est le lieu des traces horizontales des verticales qui rencontrent la surface en deux points confondus ; observation analo^e pour le contour apparent sur le plan vertical.

§ V. — Plans tangents passant par une droite ou parallèles à un plan donné.

375. Méthodes générales. — Comme pour toutes les surfaces (voir sphère), pour mener par une droite les plans tangents à une surface de révolution, il suffit de mener par cette droite les plans tangents à un cône ayant son sommet sur la droite et circonscrit à la surface.

On peut encore circonscrire à la surface deux cônes ayant leurs sommets sur la droite et prendre les points communs aux deux courbes de contact, ce qui donne les points de contact des plans tangents cherchés.

On peut aussi opérer de la manière suivante : Appelons D la droite donnée et P l'un des plans tangents cherchés. Si Ton imagine l'hyperboloïde de révolution engendré par la droite D en tournant autour de l'axe de la surface, le plan P est aussi tangent à cet hyperboloïde ; c'est donc un plan tangent commun aux deux surfaces : hyperboloïde et surface donnée. Dès lors il est tangent à un cône de révolution circonscrit à la fois à ces deux surfaces.

Mais ce cône est connu en même temps que son sommet, qui est un point de Taxe de révolution ; enfin ce sommet s'obtient en prenant le point de rencontre de l'axe avec une tangente commune aux méridiennes des deux surfaces situées dans le même plan méridien.

En résumé, après avoir déterminé, comme il vient d'être dit, les sommets de tous les cônes de révolution circonscrits à la fois aux deux surfaces, on détermine chacun de ces cônes et Ton mène à chacun d'eux les plans tangents qui passent par la droite D : ce sont les plans tangents demandés.

Comme on le voit, le problème des plans tangents menés par une droite à une surface de révolution est un problème en général compliqué, et nous allons nous borner à le résoudre dans quelques cas particuliers.