Deuxième cas.— La droite est perpendiculaire à faxe
Il suffit alors de mener par la droite les plans tangents au cylindre circonscrit à la surface le long de la méridienne dont le plan est perpendiculaire à la droite ; ce qui revient à prendre comme sommet du cône circonscrit à la surface le point à Tinfini dans la direction de la droite.
378. Troisième cas.— La surface de révolution est une quadrique.
Le principe de la méthode est alors le même que celui d'une méthode indiquée pour la sphère (320,3® méthode). On imagine le cylindre C circonscrit à la surface parallèlement à l'axe et un cône S ayant son sommet sur la droite et circonscrit à la surface. Le cylindre G et le cône- S se coupant suivant deux courbes planes, on prend l'une de ces courbes comme directrice du cône et l'on mène, à celui-ci, les plans tangents qui passent par la droite.
Le problème est particulièrement simple quand l'axe de révolution est vertical ou de bout et que l'on prend pour sommet du cône S le point de rencontre de la droite avec le plan du méridien principal. Dans ce cas, l'épure est de tout point pareille à celle que nous avons exécutée pour la sphère (320, 3« méthode).
Supposons en particulier que la surface soit un ellipsoïde de révolution à axe vertical, et coupons cet ellipsoïde par un plan quelconque P passant par la droite. Le cône qui a pour base la section et dont le sommet coïncide avec Tun des sommets, S, de l'ellipsoïde situé sur Taxe de révolution, est coupé suivant un cercle par le plan horizontal ; en effet ce cône et l'ellipsoïde ont deux courbes planes communes et le plan de Tune de ces courbes passe par le point 2 ; ce plan coupant alors le cône suivant deux droites, il doit aussi couper l'ellipsoïde suivant deux droites, c'est-à-dire qu'il doit être tangent à Tellipsoïde; mais alors la section dans l'ellipsoïde étant un cercle, il en est de même de la section dans le cône, ce qui revient à dire que cette surface admet le plan horizontal pomme plan cyclique.
Quand le plan P varie, tous ces cercles passent par deux points fixes, qui sont les traces horizontales des droites joignant le point 51
aux points de rencontre de Tellipsoïde et de la droite donnée. Tous ces cercles ont donc deux points communs, c'est-à-dire forment un faisceau. Quand le plan P devient tangent, le cercle correspondant se réduit à un point; ce point n'est autre que l'un des points limites du faisceau. On déterminera donc ces points limites au moyen de deux cercles du faisceau, on les joindra au point S, et les points de rencontre de ces droites avec l'ellipsoïde seront les points de contact des plans tangents cherchés.
379. Quatrième cas. — La surface est un hyperboloïde de révolution à une nappe.
Appelons A et B les points de rencontre de la surface avec la droite. Par le point A il passe deux génératrices AG et AGi de systèmes différents; par le point B il passe une génératrice BG' de même système que AG et une génératrice BGi de même système que AGi. Les génératrices de systèmes différents AG et BGi définissent un plan tangent passant par la droite D ; de même AGi et BG' définissent un second plan tangent répondant à la qu.estion.
La réciproque étant presque évidente,
on voit que le problème proposé se ramène
à celui de la détermination des points de rencontre d'une droite et
d une surface gauche de révolution. Ce dernier problème sera résolu
ultérieurement (1514 et 524).
380. Problème. — Mener à une surface de révolution les plans tangents parallèles à un plan donné.
C'est encore un cas particulier du problème des plans tangents menés par une droite, celui où la droite est à l'infini dans un plan donné.
Pour le résoudre, il suffit d'avoir le point de contact de l'un quelconque des plans tangents cherchés. Or, si Ton appelle P le plan donné et Q l'un des plans tangents cherchés touchant la surface en un point M, les plans P et Q sont perpendiculaires au plan du méridien qui passe par M et coupent ce dernier plan suivant deux droites parallèles. Celle de ces droites qui est située dans le plan Q
est d'ailleurs tangente en M à la méridienne de ce point, et de là résulte évidemment la solution du problème : on mène le plan méridien qui est perpendiculaire au plan P et Ton détermine l'intersection A de ces deux plans ; on mène ensuite à la méridienne située dans le même plan que a les tangentes parallèles à A. Les points de contact de ces tangentes sont les points de contact des plans tangents demandés. Il ne reste plus qu'à mener le plan tangent à la surface en chacun de ces points.
On voit que la solution revient à remplacer la surface par le cylindre circonscrit le long de la méridienne dont le plan est perpendiculaire au plan P. On voit de plus que cette solution suppose que l'on connaisse une méridienne de la surface. Toutefois ceci n'est pas nécessaire quand la surface est un hyperboloïde de révolution à une nappe, comme nous allons le montrer en résolvant le problème suivant :
381. Problème. — Mener à une surface gauche de révolution les plans tangents parallèles à un plan donné.
Appelons P le plan donné et Q l'un des plans tangents cherchés. Le plan Q coupe la surface suivant deux droites D et A qui sont parallèles à deux génératrices du cône asymptote. Si donc on coupe ce cône par un plan parallèle au plan P mené par le sommet du cône, on obtient deux droites Di et Ai qui sont respectivement parallèles à D et à A. La question est alors ramenée à la suivante :
Trouver sur la surface gauche deux génératrices respectivement parallèles à Di et à iii et situées dans le même p/aw.
Pour montrer sur un exemple la manière de procéder, supposons que l'axe de révolution soit vertical et que Ton connaisse, ce qui est permis, une génératrice de front de la surface. Soient (oz, o'z') l'axe et (fl'f ffO la génératrice. Le plan du méridien principal rencontre (</, g') en un point à l'infini, ce qui donne un point à l'infini sur la méridienne principale. Le plan tangent en ce point à l'infini passe par {Qi gf) et est perpendiculaire au plan du méridien principal, c'est-àdire au plan vertical ; il en résulte que (o<7i, o'g') est une asymptote de la méridienne principale, par suite une génératrice du cône asymptote. Celui-ci a donc pour sommet le point (o, o') centre du cercle de gorge.
Cela posé, on peut toujours transporter le plan donné parallèlement
PLANS TANGENTS ET NORMALES AUX SURFACES DE RÉVOLt'TION 301
à lui-même au sommet du cône asymptote et supposer le plan défini alors par le sommet du cône asymptote et par une droite ; supposons que cette droite soit la trace du plan sur un plan horizontal A' et ligiirons les circonférences de rayons oc et ob, traces respectives du cône
asymptote et de la surface sur le même plan horizontal h'. Soit d'ailleurs cd la projection horizontale de la trace du plan donné sur le plan horizontal A'. La droite cd rencontre la circonférence de rayon oc en c et en ij; il en résulte que le plan menépar le sommet du cène asymptote parallèlement au plan donné coupe le cône asymptote suivant deux droites projetées horizontalement en oc et en od. Les projections horizontales des génératrices de l'hyperboloïde parallèles à ces deux droites sont les tangentes menées à la projection horizontale du cercle de gorge parallèlement à oc et à od. Si alors on observe qu'en allant du point C au point 0 sur la droite CO on se déplace du plan k' au plan du cercle de goi^, on voit que les génératrices de la surface parallèles à CO sont projetées horizontalement en kk, et en ec, ; pareillement, les génératrices parallèles à DO sont projetées horizon-
talenient en //i et en lU. II en résulte immédiatement que pour définir les plans tangents demandés il faut associer eei avec ffi et kki avec lli ; car les traces de ces plans sur le plan h' doivent être parallèles à cd. En rappelant les points e, ei, /", /i, etc. sur le plan vertical, on obtient les projections verticales des génératrices cherchées.
En résumé, les plans tangents cherchés sont définis : le premier, par les deux droites (eci, ef&i) et (//,, f'f'i) ; le deuxième par les doux droites (Mi, kfki) et (//i, /7',). Comme vérification, leurs points de contact (m, m!) et (n, n') doivent être symétriques par rapport au point
§ VI. — Quelques problèmes sur les nomuUes aux surfaces
de révolution.
382. Remarques générales. — Les problèmes sur les normales aux surfaces de révolution sont généralement des conséquences des problèmes sur les plans tangents. C'est ainsi, par exemple, que pour mener la normale en un point on mène en ce point la perpendiculaire au plan tangent. Toutefois, la propriété de la normale permet souvent d'éviter la construction du plan tangent. Si Ton connaît en effet une tangente en un point, en menant par ce point le plan perpendiculaire à cette tangente, le point de rencontre de ce plan avec Taxe donne un second point de la normale, et il n'y a plus qu'à le joindre au premier. Pour pouvoir appliquer cette construction, il est, bien entendu, nécessaire que la tangente connue ne soit pas perpendiculaire à Taxe.
Nous allons passer rapidement en revue les principaux problèmes sur les normales.
383. Normales passant par un point donné. — Toutes les normales rencontrent Taxe de révolution ; si donc A est le point donné, toutes les normales qui passent par le point A sont situées dans le plan déterminé par l'axe et par le point A. Ce plan coupe la surface suivant une méridienne, et il est clair que les normales demandées sont les normales à cette méridienne menées par le point A. Par suite, si l'on connaît une méridienne de la surface, on amènera le point A en Ai dans le plan de cette méridienne par une rotation autour de Taxe ; du point Al on mènera les normales à la méridienne connue et l'on effec-
tuera une opération inverse pour amener ces normales à passer par le point A.
On voit, d'après cela, que le problème n'admet en général qu'un nombre limité de solutions. Toutefois il n'en est plus ainsi quand le point A est sur Taxe : il y a alors une inimité de normales situées sur les cônes des normales relatifs à ce point. Au point A sur l'axe il correspond d'ailleurs plusieurs cônes de normales ; car on peut mener du point A plusieurs normales à une demi-méridienne, et à chacune de ces normales il correspond un cône de normales ayant pour sommet le point A.
384. Normales parallèles à une direction donnée. — Ce problème se déduit du précédent en supposant que le point donné A s'est éloigné à l'infini dans la direction donnée. Pour le résoudre, on mènera donc le plan méridien parallèle à la direction donnée et les normales à la méridienne correspondante parallèles à la même direction.
Si la direction donnée est celle de l'axe, le problème est évidemment équivalent à celui de la détermination des points de la méridienne en lesquels la tangente est perpendiculaire à Taxe (342, 4«).
Enfin, quand la direction donnée est quelconque, si l'on appelle P un plan perpendiculaire à cette direction, les points d'incidence des normales cherchées sont les points de contact des plans tangents parallèles au plan P, ce qui ramène le problème à un autre déjà résolu (380) et présentant d'ailleurs les mêmes difficultés.
385. Normales rencontrant une ligne donnée. — Appelons L cette ligne donnée. Il est aisé de voir que le problème est indéterminé. Considérons en effet un parallèle quelconque de la surface, et soit S le sommet du cône des normales relatif à ce parallèle. Ce cône et le cône de même sommet qui a pour directrice la ligne L ont en commun un certain nombre de génératrices (intersection de deux cônes) qui sont des normales remplissant les conditions voulues. En faisant varier le parallèle, on en obtient ainsi autant qu'on veut, et le lieu de leurs points d'incidence est une ligne tracée sur la surface de révolution.
Lorsque L est une droite, le plan déterminé par le point S et par cette droite coupe le cône des normales suivant deux droites, de sorte qu'alors il y a deux normales s'appuyant à la fois sur la droite L et sur un parallèle donné.
304 PLANS TANGENTS i
386. Points brillants. — Une application de ce problème consiste dans la détermination des points brillants d'une surface de révolution.
Supposons qu'une telle surface soit éclairée par un point lumineux P et soit vue d'un point 0. On appelle alors points ériZZanf* relatifs au point lumineux P et au point de vue 0, les points M tels que le rayon incident PM se réfléchisse suivant le rayon PO après avoir fait un angle d'incidence égal à l'angle de réflexion, d'après la loi de réflexion de la lumière. Il suit de cette définition que les normales à la surface aux points brillants s'appuient sur la droite PO, ce qui donne une propriété permettant d'aborder la recherche des points brillants sans cependant résoudre cette question.
Le problème se simplifie si les points P et 0 sont à l'inlini dans des directions données ; car alors la normale MN est parallèle à la bissectrice de l'angle de ces deux directions et a, par suite, une direction donnée, ce qui ramène la détermination des points brillants à une question déjà résolue (384).
1. Une surface de révolution est engendrée par une courbe donnée tournant autour d*un axe quelconque. Trouver les projections d^un point de la surface et mener la normale et le plan tangent à la surface en ce point.
2. Mener à la même surface de révolution les plans tangents passant par un point donné et ayant leurs points de contact sur le parallèle d'un point donné de la génératrice.
3. Un cercle situé dans le plan horizontal tourne autour d*un axe quelconque; trouver les contours apparents de la surface engendrée.
4. Une droite quelconque  tourne autour d*une autre droite quelconque B. Déterminer par points et par tangentes le contour apparent sur le plan horizontal de la surface engendrée.
EXERCICES SUR LE CHAPITRE lY 305
5. On donne un cercle situé dans un plan de bout et un axe vertical dans le plan de profil du centre du cercle. (Construire les contours apparents de la surface engendrée par le cercle en tournant autour de l^axe vertical.
6. Mener par une droite les plans tangents à un paraboloïde de révolution à axe vertical.
7. Construire les contours apparents de la surface de révolution engendrée par un cercle situé dans un plan de bout et tournant autour d'un axe vertical quelconque.
8. On donne une droite de front et une courbe située dans le plan de front de cette droite. Cette courbe est la génératrice d'une surface de révolution autour de la droite : mener à cette surface les plans tangents passant par un point donné et ayant leurs points de contact sur un méridien défini par son angle avec le plan de front qui passe par Taxe.
9. Un cercle situé dans le plan horizontal tourne autour d'un axe de front; construire le plan tangent en un point de la surface engendrée.
10. On donne une génératrice d'une surface gauche de révolution à axe vertical. Mener à celte surface les pians tangents passant par un point donné et ayant leurs points de contact sur un parallèle donné.
il. On donne un paraboloïde de révolution à axe vertical et un point A. Trouver les contours apparents et la courbe de contact du cône de sommet  circonscrit au paraboloïde.
12. Quel est le contour apparent sur le plan horizontal d'un hyperboloïde de révolution à une nappe qui a une génératrice verticale ?
13. Une droite quelconque  tourne autour d'une droite quelconque B; mener à la surface engendrée les plans tangents qui passent par un point donné et qui ont leurs points de contact sur un parallèle donné.
14. Construire les contours apparents de la surface engendrée par un cercle situé dans un plan de front et tournant autour d'un axe quelconque.
15. Une droite horizontale tourne autour d'une droite de front; construire les contours apparents de la surface engendrée.
16 . Un ellipsoïde de révolution à axe vertical étant donné, construire son contour apparent sur un plan donné.
AKTOMABI. — GlïOlk DESCA. 20
17. Une ellipse située dans le plan horizontal tourne autour de son grand axe. On donne la trace horizontale d'une droite, sa projeclion horizontale et son angle avec le plan horizontal. Mener par la droite les plans tangents à l'ellipsoïde engendré par Tellipse.
18. Trouver les contours de Tombre propre d'un hyperboloïde de révolution à une nappe, à axe vertical, éclairé par un point lumineux. Déterrainer les points remarquables.
19. Déterminer Tombre propre d'une sphère éclairée par un point lumineux. Trouver le rayon lumineux qui, après réflexion sur la sphère, est vertical.
20. On donne une génératrice principale d'un hyperboloïde de révolution à axe vertical; construire la courbe lieu des points d*incidence des normales à cette surface qui rencontrent la ligne de terre.
21. Un cercle situé dans un plan de front tourne autour d^uné droite située dans le même plan; mener par un point donné les normales à la surface ainsi obtenue.
22. Mener à une surface gauche de révolution à axe vertical les plans tangents faisant un angle donné avec le plan horizontal et passant par un point donné.
23. Cône circonscrit à un ellipsoïde de révolution à axe vertical et dont un sommet est dans le plan horizontal.
La ligne de terre est dirigée suivant le petit axe de la feuille, et les coordonnées du centre de l'ellipsoïde, exprimées en millimètres, sont — 10, 90, 96. Le demi-petit axe de la méridienne est égal à 53°^°^, et les coordonnées du sommet du cône circonscrit, exprimées en millimètres, sont 86, i90, 58.
Représenter l'ellipsoïde duquel on enlève la calotte tournée du côté du sommet du cône.
Nota. — Quand nous définissons un point par ses coordonnées, a, p, ï, en géométrie descriptive, le premier de ces trois nombres doit être porté sur la ligne de terre, à partir de son milieu, et \ers la droite ou vers la gauche, suivant qu'il est positif ou négatif; le second représente Téloignement positif ou négatif, et le troisième, la cote positiTe ou négative.
24. Courbe de contact d'un cylindre circonscrit à un tore à axe vertical. Ligne de terre à 3"°^ 1/2 au-dessus du petit axe de la feuille; axe du tore
suivant le grand axe de la feuille.
Coordonnées du centre du tore en millimètres : 0, 100, 40. Le centre du cercle générateur est à une dislance .4^ l*axe égale à 57™", et le rayon de
ce cercle est égal à 35™*^. La direction des génératrices du cylindre est (d, 8^) et est ainsi définie : S fait un angle de 38° avec la ligne de terre, vers la droite, et 8' un angle de 48o, vers la droite également.
On représentera la courbe de contact tracée sur la surface du tore supposée opaque.
25.* Une ellipse est située dans un plan de bout PaQ' faisant un angle de 53° avec le plan horizontal et tourne autour d*un axe vertical (o, o'z'), qui
rencontre en o le grand axe de la projection verticale. Représenter la. surface engendrée et Tellipse génératrice en tenant compte des parties cachées par la surface. Construire, en particulier, les points doubles de la méridienne et les tangentes en ces points.
On prendra la ligne de terre à 2^^ au-dessus du petit axe de la feuille, et on adoptera les données suivantes : Coordonnées du point (o, o') : 15"", 11*°», 0. Le grand axe AA' de la projection horizontale de Tellipse fait un angle de 45<* avec la ligne de terre et est égal à 12«°». La distance du sommet A au foyer F esl égale à 1«™, et la distance du centre c au point o à 2«™. On a enfin o'a = 85
mm
26. Trouver la méridienne principale d'une surface de révolution. L*axe de révolution passe par les points
(a, o') ayant pour coordonnées : a? = 0, y = 10«"», a = 7«™ ;
0, fi') — - a? = -7, y = iO , 3 = 0 .
La courbe qui décrit la surface est une ellipse, contenue dans le plan horizontal s = 7"^"". Sa projection horizontale a pour sommets opposés les points
elle passe de plus par le point c : o; = 9, y = 10.
On établira la ponctuation de la surface engendrée, seulement en projection verticale.
Faire les constructions pour un point quelconque, la tangente en ce
point, et les points remarquables.
(Ecole normale^ concours de 1890.)
