CHAPITRE PREMIER

§ I. — Le plan sécant passe par le sommet du cône ou est parallèle aux génératrices du cylindre.

387. Nature de la section et manière de l'obtenir. — La section faite dans un cône par un plan passant par le sommet est un système de génératrices. Si, en effet, on appelle M un point de la section, la droite qui joint ce point au sommet du cône est une génératrice du cône située dans le plan sécant. On voit de même que la section d'un cylindre par un plan parallèle aux génératrices se compose d'un système de génératrices.

Cela posé, pour obtenir la section faite dans un cône par un plan passant par le sommet, ou la section faite dans un cylindre par un plan parallèle aux génératrices, on peut déterminer les points de rencontre du plan avec une ligne quelconque tracée sur la surface du cône ou sur celle du cylindre, par exemple avec la directrice. Pour cela, on peut faire passer une surface auxiliaire convenablement choisie par la directrice du cône ou du cylindre, déterminer Tintersection de cette surface et du plan ainsi que les points de rencontre de cette courbe avec la directrice; à chacun de ces points correspond une génératrice du cône ou du cylindre répondant à la question.

Pratiquement, il est préférable de se servir d'une courbe plane obtenue en coupant le cône ou le cylindre ainsi que le plan sécant par un plan auxiliaire. Ce plan auxiliaire coupe le cône ou le cylindre suivant une courbe que nous apprendrons à construire (394) ; il coupe le plan donné suivant une droite, et les génératrices du cône ou du cylindre qui passent par les points communs à la courbe et à la droite sont les génératrices cherchées.

Le problème se simplifie quand la directrice du cône ou du cylindre est une courbe plane. Dans ce cas, en vertu de ce qui précède, on prend le plan de la directrice ou base comme plan auxiliaire, et Ton procède de la manière suivante :

On détermine la trace du plan donné sur le plan de base, ainsi que les points de rencontre de cette droite et de la base. Les génératrices de la surface qui passent par ces points sont les génératrices cherchées.

388. Points de rencontre d'une droite et d'une surface conique. —

La détermination de ces points est une application immédiate du problème que nous venons de résoudre. Si Ton mène en effet le plan déterminé par la droite et par le sommet du cône, ce plan coupe le cône suivant des génératrices dont les points de rencontre avec la droite sont les points cherchés.

389. Points de rencontre d'une droite et d'une surface cylindrique.

— On les obtient en menant par la droite le plan parallèle aux génératrices du cylindre. Ce plan coupe le cylindre suivant des génératrices dont les points de rencontre avec la droite sont les points demandés.

390. Exemple. ~ La base d'un cône située dans un plan donné a pour projection horizontale un cercle. Trouver les points de rencontre de ce cône et d'une droite^ connaissant les projections du sommet du cône et celles de la droite.

Soient (5, s') le sommet du cône et (cf, d') la droite donnée. Supposons que la base du cône soit dans un plan défini par une horizontale {oa^ o'a') et par une ligne de front (06, o'b') ; soit d'ailleurs <x le centre du cercle projection horizontale de la base du cône.

La droite (d, </') et le point (*, ^) définissent un plan. Cherchons la trace de ce plan sur le plan de base du cône. Nous en aurons un point en cherchant l'intersection de la droite (d, d') avec le plan de

base ; cette intersection (c, d) a été obtenue, dans Tépure, au moyen du plan de bout dV qui projette verticalement la droite [d^d'). D'autre part, la parallèle (*/*, s'f) à (rf, d') menée par le sommet du cône coupe lé plan de base au point (/*, f) ; ce point (/*, f) a été obtenu en coupant le plan de base par le plan de bout ^d parallèle au plan de bout a'b\ ce qui a donné une droite (e^ éf) parallèle à [ab^ a'b') et rencontrant («e, s!e!) au point (/*, f). Il suit de là que le

plan déterminé par la droite et par le sommet du cône coupe le plan de base du cône suivant la droite (c/*, c'f). La projection horizontale de cette droite rencontre la projection horizontale de la base aux points p et q^ qui sont rappelés verticalement en p' et en ç'. Le plan déterminé par la droite et par le sommet du cône coupe donc le cône suivant les deux génératrices {sp^ s'p'), \,sq^ s'q')^ qui renconti'ent la droite (d, rf') aux points cherchés (wi, m') et (n, n').

391. Remarque. — Nous avons vu que la détermination des points d'une surface qui ont une projection horizontale ou verticale donnée, se ramène à celle des points de rencontre de la surface avec une verticale ou avec une ligne de bout. Dans le cas particulier où la surface est un cône ou un cylindre, on pourra donc appliquer la méthode indiquée aux numéros 388 et 389. Par conséquent, dans le cas d'un cône ou d'un cylindre de révolution, il y aura avantage à substituer cette méthode à celle dont on a fait usage au n» 268.

392. Points de rencontre d'une droite et d'une quadrique de révolution définie par sa méridienne. — Il y a deux cas à examiner, suivant que la droite rencontre ou ne rencontre pas l'axe de révolution. Dans le premier cas, on opère comme pour une *irface de révo-

lution quelconque, en amenant la droite dans le plan de la méridienne connue par une rotation autour de 1 axe (278).

SECTIOiNS PLANES DES CONES ET DES CYLINDRES 313

Dans le secoDd cas, on peut ramener le problème à celui qui a été résolu au n^ 388. Supposons en effet que la surface soit un ellipsoïde de révolution aplati à axe vertical (02, oV) et imaginons le plan de bout mené par la droite donnée (d, d!). Ce plan coupe la surface suivant une conique projetée verticalement en h'l\ et les points cherchés sont les points communs à cette conique et à la droite. Mais si Ton considère cette conique comme la base d un cône de sommet donné, on peut dire aussi que les points cherchés sont les points de rencontre de ce cône et de la droite. Cela posé, considérons un parallèle quelconque [aby a'b') de la surface, et menons les droites dV et b'h! qui se coupent en *'. Comme on peut disposer du parallèle (aé, a'6'), on peut toujours le choisir de façon que le point / soit dans les limites du dessin. Supposons que le point «' soit la projection verticale d'un point (j, s!) situé dans le plan du méridien principal, et prenons le point («, s!) comme sommet d'un cône ayant pour base le parallèle (aé, a!b'). Ce cône et Tellipsoïde ayant en commun une courbe plane, se coupent suivant le parallèle (a6, alb") et suivant une deuxième courbe plane qui passe parles points (A, h') et ({, f). Mais le plan du méridien principal est un plan de symétrie commun à Tellipsoïde et au cône, de sorte que l'intersection des deux surfaces se projette sur ce plan suivant une conique, ce qui revient à dire que la projection verticale de cette intersection est une conique. Or a'b' fait partie de cette projection verticale ; donc l'intersection de rellipsoïde et du cône est projetée verticalement suivant deux droites dont Tune est a'b'^ et dont l'autre est, par suite, nécessairement h' t. Il en résulte que le plan de la deuxième courbe commune à l'ellipsoïde et au cône est le plan de bout mené par d'. Et comme cette courbe contient les points cherchés, ainsi qu'on l'a vu en commençant, on voit que la détermination de ces points se ramène à celle des points de rencontre de (rf, dU) et du cône de sommet [s, sf). Le plan mené par (d, d') et par (5, y) coupe le plan de base du cône suivant une droite projetée horizontalement en pqi la droite pq rencontre le cercle ab en deux points f et g auxquels correspondent deux génératrices du cône projetées horizontalement en fs% et en gs^. Les points de rencontre de la droite (d, d') et du cône, c est-à-dire aussi les points de rencontre de la droite (d, d') et de l'ellipsoïde, sont donc projetés en («, a') et en

SECTIONS PLAiNES DES SURFACES

393. Points de rencontre d*une surface gauche de révolution et d*une droite rencontrant Taxe de la surface. — Si l'on fait tourner la droite autour de Taxe de la surface de révolution, elle engendre un cône de révolution ayant pour sommet le point de rencontre de la droite et de Taxe. Ce cône et la surface gauche ont des parallèles communs dont les points de rencontre avec la droite sont les points cherchés. Mais pour trouver ces parallèles communs il suffit de trouver les points de rencontre du cône avec une génératrice de la surface gauche. Le problème est ainsi ramené à la détermination des points de rencontre d'une droite et d'une surface conique.

Dans répure ci-dessus, la surface gauche est engendrée par la révolution de la droite [cg^ dg') autour de l'axe vertical (oz, o'z'). La droite dont on cherche les points de rencontre avec la surface gauche

est projetée en {sa, s'a'), et on a pris comme base du cône engendré par cette droite* en tournant autour de (oz, o'z') sa trace sur le plan horizontal b'da'. Le plan mené par le sommet de ce cône et par la droite {cg, c'g') est déterminé par [cg, c'g') et par la parallèle à cette droite menée par (s, s'). Il coupe le plan de base du cône suivant la droite [bc, b'c'), qui rencontre la base du cône en deux points projetés horizontalement en d et en e, auxquels correspondent deux génératrices du cône projetées en se et en sd. On obtient ainsi en (A f) ®^ 6n {g, g') les points de rencontre du cône avec [cg, c'g'), et on en déduit les projections verticales f'm! et g'p' des parallèles communs à la surface gauche et au cône. Ces projections verticales rencontrent s'a' aux points m' et p', qui sont les projections verticales des points communs à la surface gauche et à la droite {sa, s'a') ; on en déduit les projections horizontales m ci p par des lignes de rappel.

§ II. — Le plan sécant est quelconque.

39Ï. Détermination d*un point quelconque de la section. — La

méthode générale à employer pour déterminer un point quelconque d'une section plane d'un cône ou d'un cylindre, consiste à chercher le point de rencontre d'une génératrice quelconque de la surface avec le plan sécant. Pour procéder méthodiquement, on suppose qu'un point mobile décrive une fois seulement, et dans un sens déterminé, la directrice plane ou gauche de la surface ; on mène la génératrice de la surface qui passe par ce point mobile et l'on détermine le point de rencontre de cette droite avec le plan sécant. On joint enfin les points dans l'ordre oii ils ont été obtenus et on obtient ainsi la section demandée.

Lorsque la directrice est plane, voici comment il convient de faire les constructions :

Supposons, pour fixer les idées, que la surface soit un cône et appelons S le sommet de ce cône, P le plan de sa base et Q le plan sécant ; soit d'ailleurs D l'intersection de ces deux plans. Rien n'empêche de supposer que l'on connaisse par exemple les projections horizontales du point S, de la base du cône et de la droite D ; de sorte que toutes les constructions seront indiquées dans l'espace et exécutées en projection horizontale. Les constructions en projection verticale s'en déduiront alors avec la plus grande facilité.

Cela posé, pour obtenir le point de rencontre d'une génératrice SA du cône avec le plan Q, il faut couper par un plan*auxiliaire mené par SA. Ce plan auxiliaire étant assujetti à la seule condition de passer par SA, qui est mobile, on peut l'assujettir à une autre condition. Il y a avantage à le faire passer par une droite fixe menée par le sommet du cône. Si nous déterminons alors les traces 2 et Si de cette droite

sur les plans respectifs P et Q, dès que le point A est donné sur la base, on connaît la trace SA du plan auxiliaire sur le plan de cette base. Soit (sa la projection horizontale de SA ; elle coupe d en un point b qui est évidemment la projection horizontale du point d'intersection B de SA et de D. Il en résulte que le plan auxiliaire coupe le plan Q suivant une droite SiB projetée horizontalement en cti6 ; celleKîi rencontre sa en un point m, qui est la projection horizontale d'un point de la section. On en déduit la projection verticale par des lignes de rappel.

On voit, d'après cela, l'ayantage qu'il y a à suivre la méthode que nous venons d'indiquer. Ajoutons que si la surface est un cylindre, la ligne arbitraire SS devient une droite arbitraire parallèle aux génératrices de ce cylindre et, pour le reste, il n'y a rien à changer aux développements qui précèdent.

395. Points sur les contours apparents. — On les obtient en prenant les points de rencontre du plan sécant avec les génératrices de contour apparent. En ces points les projections de la section sont tangentes au contour apparent sur le plan de projection de même nom.

396. Points à rinllnl. — Pour qu'un point de la section s'éloigne indéfiniment, il faut que la génératrice correspondante devienne parallèle au plan sécant ou s'éloigne indéfiniment. D'après cela :

l® La surface est un cylindre. — Si alors une génératrice est parallèle au plan sécant, celui-ci coupe la surface suivant des génératrices et on retombe sur un problème déjà traité (387).

Si le cylindre a des génératrices à l'infini, le point de rencontre de chacune de ces génératrices avec le plan sécant donne un point à l'infini. La direction de ce point à l'infini est donc l'intersection du plan sécant avec un plan quelconque passant par la génératrice à l'infini. Par exemple, si le cylindre est un cylindre parabolique du second degré, la direction du point à l'infini est l'intersection du plan sécant avec un plan diamétral quelconque ; si le cylindre est un cylindre du second degré à base hyperbolique, la direction d'un point à l'inlini est l'intersection d'un plan asymptote avec le plan sécant, etc.

iP La surface est un cône. — Dans ce cas, toutes les génératrices passant par le sommet du cône, qui est à distance finie, il ne peut y avoir de génératrices à l'infini ; de sorte qu'il n'y a de points à l'infini que s'il existe des génératrices du cône parallèles au plan sécant. Pour obtenir ces génératrices, on coupe le cône par le plan mené par le sommet parallèlement au plan sécant. Chacune des génératrices obtenues donne la direction d'un point à l'infini.

397. Tangente en un point. — La tangente en un point est Tintei^section du plan sécant avec le plan tangent à la surface en ce point. Gomme on connaît déjà un point de l'intersection, le point de contact, il suiHit d'en déterminer un second. Pour cela, il v a avantage à cou-

per le plan tangent et le plan sécant par un plan auxiliaire passant par le sommet du cône.

398. As>inptotes. — Quand un point s'éloigne indéfiniment sur la section, la tangente en ce point a pour limite Tasymptote correspondante. On obtient donc l'asymptote qui correspond à un point à l*infini en déterminant Tintersectiondu plan sécant avec le plan tangent en ce point à l'infini, c'est-à-dire avec le plan tangent suivant la génératrice (|ui passe par ce point à l'infini.

Lorsque la surface est un cône, l'asymptote peut être à l'infini quand les deux plans qui la fournissent sont parallèles ; la section présente alors une branche parabolique.

Quand la surface est un cylindre, l'asymptote est à Tinfini quand le plan tangent au cylindre est lui-même à l'infini : il est inutile en effet de parler du cas où le plan sécant est parallèle au plan asymptote, parce que, s'il en était ainsi, comme celui-ci est parallèle aux génératrices, le plan sécant serait lui-même parallèle aux génératrices, et nous ne nous occupons pas actuellement de l'examen de ce cas.

399. Plans limites. — Supposons que la directrice soit une courbe plane. Si A est un point de la directrice, pour avoir le point de rencontre de la génératrice SA avec le plan sécant, nous avons coupé (394) par le plan auxiliaire ASS dont l'intersection avec le plan de la directrice est la droite SA, projetée horizontalement en aa. Cette droite SA coupe en général la base de la surface en plusieurs points. Quand elle est tangente à la base, le plan auxiliaire correspondant, c'est-à-dire le plan ASS, s'appelle un plan limite. Comme on le voit, les plans limites sont variables avec la droite SS et ne sont autre chose que les plans, tangents à la surface menés par cette ligne. Il en résulte que leurs intersections avec le plan sécant sont tangentes à la section aux points correspondants. Dans l'épure du n^ 394, le point n a été déterminé au moyen d'un plan limite.

400. Tangentes à la section par un point du plan sécant. — Comme toute tangente se trouve dans un plan tangent, les tangentes demandées sont les droites d'intersection du plan sécant avec les plans tangents à la surface passant par le point considéré.

401. Tangentes parallèles à une direction donnée du plan sécaut.

— Elles sont évidemment à rintersection du plan sécant avec les plans tangents parallèles à la direction donnée.

402. Points le plus ù. droite et le plus ;\ gauche. — On appelle ainsi les points de la section où les projections de la tangente sont perpendiculaires à la ligne de terre. Mais alors les tangentes à la section sont dans un plan de profil, c'est-à-dire sont parallèles à l'intersection du plan sécant avec un plan de profil quelconque. La détermination des points le plus à droite et le plus à gauche n'est donc qu'un cas particulier du problème précédent (401).

403. Points les plus hauts et les plus bas. — Ce sont les points en lesquels les tangentes, en projection, sont parallèles à la ligne déterre. En projection verticale, ce sont les points de contact des tangentes horizontales, c'est-à-dire des tangentes parallèles aux horizontales du plan sécant. En projection horizontale, ce sont les points de contact dos tangentes parallèles aux lignes de front du plan sécant.

La détermination des points les plus hauts et des points les plus bas est donc encore une application du problème traité plus haut (401).

404. Grandeur d'une section plane. — On détermine la grandeur d'une section plane au moyen d'un rabattement sur un plan horizontal ou sur un plan de front.

§ in. — Sections planes des cônes ou des cylindres

du second degré.

405. Nature d'une section plane. — Toute section plane d'un cône ou d'un cylindre du second degré étant une courbe du second degré, on en aura la nature d'après le nombre des points à l'infini. La section est une ellipse si elle n'a pas de points à l'infini ; c'est une hyperbole si elle a deux points à l'infini ; c'est enfin une parabole si elle n'a qu'un point à l'infini, ou plutôt, si les deux points à l'infini sont confondus.

Lorsque la surface est un cylindre et que le plan sécant n'est pas parallèle aux génératrices, la section est, d'après cela :

une ellipse si le cylindre est elliptique ;

une hyperbole si le cylindre est hyperbolique ;

une parabole si le cylindre est parabolique.

Quand la surface est un cône et que le plan sécant ne passe pas par le sommet, en menant par ce point le plan parallèle au plan sécant, pour avoir les points à Tinfini de la section (396), on voit que la section est une ellipse, une hyperbole ou une parabole suivant que ce nouveau plan ne coupe pas le cône, le coupe suivant deux génératrices ou lui est tangent.

406. Sommets d*une section hyperbolique. — Lorsque la section est une hyperbole, il est aisé de déterminer soit les sommets de la courbe dans l'espace, soit les sommets de Tune quelconque de ses projections.

Sommets dans l'espace. — On détermine d'abord les asymptotes de la section (398) et on les rabat sur un plan horizontal ou sur un plan de front. On mène ensuite, dans le rabattement, la bissectrice de Tangle des asymptotes qui comprend la courbe, ce qui donne le rabattement de Taxe transverse de la section. On relève enfin cette droite et Ton détermine ses points de rencontre avec la surface (388 et 389), ce qui donne les sommets de la section.

On peut procéder autrement : on peut mener une perpendiculaire au rabattement de Taxe, relever cette droite et mener les tangentes à la section qui lui sont parallèles (401). On obtient ainsi en même temps que les sommets, les tangentes en chacun de ces points.

Sommets en projection. — Soit par exemple à déterminer les sommets de la projection horizontale. Pour cela, on commence d'abord par déterminer les asymptotes dont les projections horizontales sont les asymptotes de la projection horizontale. On mène ensuite la bissectrice de l'angle de ces projections horizontales qui comprend la projection horizontale de la courbe, ce qui donne Taxe transverse de cette projection horizontale. On cherche enfin la droite du plan sécant projetée horizontalement suivant cet axe et on en détermine les points de rencontre avec la surface : les projections horizontales de ces points sont les sommets de la projection horizontale.

Ici aussi on peut procéder autrement : on peut mener la perpendiculaire à Taxe transverse de la projection horizontale, chercher la droite du plan projetée horizontalement suivant cette perpendiculaire et mener enfin à la section les tangentes parallèles à cette droite du plan.

On peut déterminer d'une manière analogue les axes et les sommets de la projection verticale.

407. Sommet et axe d'une section parabolique. — Nous examinerons encore deux cas, suivant qu'il s'agit de la section dans l'espace ou de l'une quelconque de ses projections.

Sommet et axe dans l'espace. — La direction de l'axe étant la direction du point à l'infini, on commence par déterminer la direction de ce point (396). On détermine ensuite la direction perpendiculaire au moyen de deux opérations consécutives : un rabattement et un relèvement. On mène enfin à la section la tangente parallèle à cette direction, ce qui donne la tangente au sommet. Le point de contact de cette tangente est le sommet, et l'on obtient l'axe en menant par le sommet la parallèle à la direction du point à l'infini.

Sommet et axe en projection. — Soit par exemple à déterminer le sommet et l'axe de la projection horizontale. On mène la perpendiculaire 0 à la direction du point à l'infini en projection horizontale, on construit la droite A du plan sécant projetée horizontalement en 8, et l'on mène à la section la tangente parallèle à a. La projection horizontale du point de contact de cette tangente donne le sommet de la projection horizontale, et l'on en déduit l'axe en menant par ce point la parallèle à la direction du point à l'infini.

On opérerait d'une manière analogue pour obtenir le sommet et l'axe de la projection verticale.

408. Sommets d'une section elliptique. — Pour déterminer les sommets et les axes d'une section elliptique, on commence d'abord par déterminer deux diamètres conjugués et l'on £st ainsi ramené à un problème classique : construire les axes (Tune ellipse connaissant deux diamètres conjugués en grandeur et position. Tout se réduit donc à la construction de deux diamètres conjugués. Il y a d'ailleurs encore deux cas à examiner, suivant que l'on veut déterminer les sommets ou deux diamètres conjugués dans l'espace ou en projection.

Construction de deux diamètres conjugués dans Vespace. — On mène à la section : 1<> les tangentes parallèles à une direction du plan sécant ; ^ les tangentes parallèles au diamètre qui passe par les points de contact des deux premières. Ce diamètre et celui qui joint les

ANTOMARI. — GiOM. OESCR. 21

points de contact de deux tangentes qui lui sont parallèles forment un système de deux diamètres conjugués. Par deux opérations consécutives, un rabattement et un relèvement, on en déduit alors les axes et les sommets.

Construction de deux diamètres conjugués d'une projection. — Soit, par exemple, à construire deux diamètres conjugués de la projection horizontale. Pour cela, rappelons que la propriété de deux diamètres d'être conjugués, est une propriété projective. Il en résulte que deux diamètres conjugués dans l'espace se projettent horizontalement suivant deux diamètres conjugués de la projection horizontale. Dès lors on est ramené au premier cas examiné.

On opérerait de même pour la projection verticale.

§ IV. — Exemples de sections planes de cônes ou de cylindres.

409. Exemple I. — On coupe un cylindre à base circulaire reposant •sur le plan horizontal par un plan PaQ' ; déterminer les points les plus hauts et les plus bas ainsi que les points le plus à droite et le plus à gauche de la section.

Supposons que les génératrices du cylindre soient de front. Les points les plus hauts et les plus bas en projection horizontale sont alors confondus avec les points sur le contour apparent horizontal. On les a obtenus en cherchant les points de rencontre des génératrices de contour apparent horizontal avec le plan sécant, au moyen des plans de front qui passent par ces génératrices : ce sont, sur Tépure, les points <7, q') et (r, r').

Cherchons maintenant les points les plus hauts et les plus bas en projection verticale. Les tangentes en ces points étant horizontales, il faudra (403) mener au cylindre les plans tangents parallèles à la trace horizontale du plan sécant. Ces plans tangents coupent la base du cylindre suivant des tangentes parallèles à aP ; soient a et ô les points de contact de ces tangentes. Les génératrices du cylindre qui passent par les points (a, a') et (6, b") coupent le plan sécant aux points (c, c') et ((f, c{% qui sont les points demandés. En c et en gC les tangentes à la projection horizontale n'ont pas été figurées sur l'épure, mais elles sont parallèles à Pa.

Cherchons enfin les points le plus à droite et le plus à gauche. Il faut pour cela (402j mener au cylindre les plans tangents parallèles à l'intersection du plan sécant avec un plan de profil. Si Ton prend, par exemple, le plan de profil qui passe par (g, «'), la droite ainsi obtenue a pour trace horizontale (A, h). D'autre part, la parallèle menée par (e, é) aux ^^génératrices du cylindre a pour trace horizontale le

point (/, f), La trace horizontale du plan de ces deux droites étant hf^ les plans tangents cherchés coupent la base du cylindre suivant deux tangentes parallèles à hf. Si 9 et /; sont les points de contact de ces tangentes, les génératrices du cylindre qui passent par les points {g^ g') et (A:, A/) coupent le plan sécant aux points demandés, (iw, rn!) et (n, n'). Les diamètres (/p, l'p') et (yr, yV; sont évidemment deux diamètres

conjugués de la section ; de sorte qu'on pourrait déterminer facilement soit les axes de cette section, soit les axes de ses deux projections (408). Dans répure, on a représenté la section tracée sur le cylindre supposé plein et limité à deux plans horizontaux dont Tun est le plan horizontal de projection.

410. Exemple II. — Un plan PaQ' coupe un cône de révolution à axe vertical suivant une hypjsrbole; déterminer les asymptotes de cette hyperbole^ ses axes et sa grandeur.

Soit (^, s!) le sommet du cône. Le plan PiotiQl mené par ce point parallèlement au plan sécant coupe la base du cône en deux points a et b et, par suite, coupe le cône suivant deux génératrices (^a, si a'} et (*6, ^6% qui sont les directions asymptotiques de la section. Les asymptotes elles-mêmes sont les intersections du plan sécant avec les plans tangents au cône aux points à Tinfini sur ces génératrices, c'est-à-dire avec les plans tangents au cône suivant ces mêmes génératrices. Les traces horizontales de ces plans tangents coupant Pa aux points respectifs (c, c') et (rf, d'), en menant par ces points les parallèles aux directions asymptotiques on a les asymptotes de la section, dont le centre est d'ailleurs au point de rencontre (o, o') des asymptotes.

Pour trouver les axes et la grandeur de la section, rabattons-la sur le plan de front qui passe par l'axe du cône, en faisant tourner le plan sécant autour de la ligne de front (a/*, (t/O- Si O'j est le rabattement du point (o, 0% on obtient le rabattement des asymptotes en joignant le point O'i aux points de rencontre de la projection verticale de la charnière avec les projections verticales des asymptotes : c'est ainsi qu'on a obtenu l'asymptote q'0\. Le rabattement de la section est déterminé dès qu'on a le rabattement des asymptotes et le rabattement d'un point.

En menant les bissectrices des asymptotes rabattues, on a le rabattement des axes. Sur l'épure on n'en a figuré qu'une OiEi qui doit passer par œ'. La perpendiculaire f¥!i à cette droite menée par f est le rabattement de la trace horizontale Pa du plan sécant, et, en relevant le point rabattu en Ei, on obtient en (de, jV) les projections de l'axe rabattu en OjEi. Enfin, le plan qui passe par l'axe du cône et par (cre, ^^e') coupe le cône suivant deux génératrices («A, s!k) et (shy sfU) dont les points de rencontre (m, m') et (n, n') avec (de, ^e')

sont les sommets de la section dans Tespace. Ces sommets sont rabattus en M'j et en Nj, et, aux points (m, m!) et (w, n% les tangentes sont horizontales.

On aurait pu trouver les axes plus facilement en se servant de ce que le cône est de révolution autour d'un axe vertical. Mais nous avons préféré procéder autrement pour donner une application régulière de la méthode indiquée plus haut (406).

L'épure représente la section tracée sur le cône supposé vide et limité à deux plans horizontaux, dont l'un est le plan horizontal de projection.

411. Exemple III. — On considère le cône circonscrit à une sphère (o, o') par un point (s, ^) situé dans le plan de front du centre de la sphère. Par ce dernier point on mène le plan perpendiculaire au rayon (pa^ o'(f) d'un point de la courbe de contact et Von demande de déterminer Caxe et le sommet de la projection horizontale de la section ainsi obtenue.

Le plan sécant est défini par une horizontale (oA, o'h') et par une ligne de front (o/*, o'f^- H est parallèle au plan tangent au cône au point (a, a') ; par conséquent la section est une parabole dont l'axe est parallèle à la génératrice (sa, s!a^). Si nous menons hf perpendiculaire à «a, pour obtenir le sommet de la projection liorizontale de cette parabole il faut mener au cône les plans tangents parallèles à la droite du plan sécant projetée horizontalement en hf. La projection verticale de cette droite est h'f, de sorte qu'il faut mener au cône les plans tangents parallèles à {hf, h'f). Pour cela, et afin d'avoir des constructions dans les limites du dessin, prenons comme base du cône sa trace sur le plan de bout éV, et soit (d, d) l'intersection de ce plan avec la parallèle à (/i/*, h'f) menée par le sommet du cône. Pour mener de ce point les tangentes à la base du cône, rabattons autour de b'd sur le plan de front mené par os. Le rabattement de la base est la circonférence décrite sur b'd comme diamètre, celui du point (rf, d') est le point D', ; il en résulte que les tangentes sont rabattues en DjE'i et en DiG',. Le point E'i relevé donne un point situé sur la génératrice {sa, sfa'), ce qui fournit le sommet de la parabole qui est à l'infini. Le point G', relevé donne un point sur la génératrice {sk, s^kf)^ laquelle rencontre le plan sécant au point («i, o: ') dont la projection horizontale <r est le sommet demandé.

On a représenté, sur Tépure, le système formé par la sphère et le cône circonscrit supposés pleins, le cône étant limité à sa courbe de

contact avec la sphère. La ponctuation de cette courbe et celle de la section ont été établies d après ces hypothèses.

412. Traces d*an cône ou d'un cylindre circonscrit à une surface de révolution ; ombres portées sur les plans de protection. — On peut

3zO SECTIONS PLANES DES SURFACES

rattacher aux sections planes des cônes la détermination des ombres portées par une surface de révolution sur les plans de projection ou, ce qui revient au même, la détermination des traces, sur les plans de projection d'un cône ou d'un cylindre circonscrit à une surface de révolution.

Proposons-nous, par exemple, de construire la trace horizontale d'un cône circonscrit à une surface de révolution à axe vertical. Nous allons montrer comment on peut déterminer successivement : 1° un point quelconque et la tangente en ce point ; 2" les points en lesquels la tangente est parallèle à une direction donnée du plan horizontal ; 30 les points à l'infini et les asymptotes.

Comtruclion d'un point et de laiangenle en ce point. — Soit (oï.o'i^ l'axe de la surface dont nous supposerons connue la méridienne prin-

cipale ((«, |a'), et soit («, /) le sommet du cône circonscrit. Construisons d'abord un point {b, b") de la courbe de contact de ce cône et de

la surface au moyen du parallèle du point (a, a% puis menons la génératrice (*6, s!b') du cône. La trace horizontale (c, d) de cette droite sera un point de la trace horizontale du cône.

La tangente au point (c, d) à cette courbe est la trace horizontale du plan tangent au cône suivant («ô, s'A'), c'est-à-dire la trace horizontale du plan tangent à la surface au point (6, V). Ce plan tangent étant perpendiculaire au méridien du point de contact, la tangente demandée n'est autre que la parallèle et à la tangente en b au parallèle du point (a, a') .

Points en lesquels la tangente est parallèle à une direction donnée du plan horizontal, — Soit 8 cette direction et appelons (m, m!) le point cherché. La trace horizontale du plan tangent au cône suivant (sm, «'m'). est parallèle à 8. D'autre part, si l'on appelle N le point de contact de ce plan avec la surface, ce même plan est perpendiculaire au plan du méridien qui passe par N. Le plan de ce méridien a donc sa trace horizontale ok perpendiculaire à 8, et les points tels que N sont situés sur ce méridien. Il est dès lors facile de les déterminer (347), et en prenant la trace horizontale de la génératrice SN, on aura l'un des points demandés. On obtiendrait de même les autres.

On peut en particulier obtenir de cette manière les points les plus hauts et les plus bas, ainsi que les points le plus à droite et le plus à gauche.

Points à l'infini et asymptotes. — Un point de la trace horizontale du cône circonscrit passe à l'infini quand la génératrice correspondante est horizontale. Mais les génératrices du cône sont tangentes à la surface; donc les directions asymptotîques sont les tangentes menées du point (Sy s^ aux parallèles dont le plan passe par ce point. Si oe est la projection horizontale de l'un de ces parallèles, sf est une des directions asymptotîques cherchées. On peut remarquer que le point (/, f) est situé sur un méridien limite.

Pour avoir l'asymptote correspondante, il suffit de prendre la trace horizontale du plan tangent au point {f, f). Or, le cône des tangentes relatif au parallèle du point (/*,/*') a son sommet en (o, d). Comme le plan tangent au point (/*, f) passe par («, s!) et par (o, o'), il contient la droite (#o, tfo') dont la trace horizontale est (A, K), On aura donc Tasymptote parallèle à sf en menant du point h la parallèle à cette droite.

413. Application. — Ombres portées pir un tore à axe vertical sur les plans de projection.

L'épure ci-contre représente Tombre propre et les ombres portées sur les plans de projection par un tore à axe vertical éclairé par des rayons parallèles à la direction (8, 8'). Le contour de Tombre propre, c'est-à-dire la courbe de contact du cylindre circonscrit parallèlement à la direction (8, 8'), a été déterminé par la méthode exposée au n» 364. Pour ne pas surcharger le dessin, on a supprimé toutes les constructions qui se rattachent à la détermination de cette courbe, pour ne laisser subsister que celles qui sont relatives à la détermination des ombres portées. Quant à celles-ci, elles ont été déterminées par la méthode exposée au n* précédent. Par exemple, on a obtenu un point (ày b') de Tombre portée sur le plan horizontal en déterminant la trace horizontale du rayon lumineux qui passe par le point (a, a'} de la courbe de contact.

Pour obtenir la tangente au point 6, on a observé qu'elle est parallèle à la tangenle en a à la projection horizontale du parallèle du point (a, a'). Cette tangente at étant perpendiculaire au rayon oa, la tangente 60 au point b est perpendiculaire à oa.

Nous n'insisterons pas davantage sur l'exécution de cette épure, les développements du n* précédent nous dispensant de donner de plus longs détails.

Ajoutons seulement que, pour le tracé des contours des ombres portées, on a observé les règles habituelles de la ponctuation.

1. On considère rji y perboloïde à une nappe engendré par une droite qui tourne autour d'un axe vertical, et Ton circonscrit un cône de sommet donné à cet hy perboloïde. Trouver la trace du cône sur le plan du cercle de gorp;e de Thy perboloïde, donner la nature de cette trace, et construire la tangente en un point.

2. Deux points sont définis par leurs projections horizontales et par leurs cotes. Mener par Tun d'eux une droite passant à une distance donnée de Pautre et à une distance donnée d'une droite donnée.

3. Une parabole située dans le plan horizontal est la projection horizontale d*une section droite d*un cylindre coupé par un plan de bout ; trouver les projections du sommet de la parabole d'intersection.

4. Mener une horizontale s'appuyant sur deux droites données et faisant un angle donné avec Tune d'elles.

5. On coupe par le premier plan bissecteur le cône de révolution engendré par une droite  tournant autour d'une droite B, qu'elle rencontre. Construire un point quelconque de Tintersection et la tangente en ce point ; trouver les points le plus à droite et le plus à gauche.

6. On donne une sphère et un plan; construire la section faite par ce plan dans le cône circonscrit à la sphère par un point situé dans le plan de front du centre.

7. Construire la trace d'un cône circonscrit à une sphère sur le plan horizontal passant par le centre de la sphère.

8. La trace horizontale d'un cône de sommet donné est un cercle. On coupe ce cône par un plan déterminé par sa trace horizontale et par Tangle qu'il fait avec le plan horizontal. Trouver en quels points de la section le plan est normal au cône.

9. On donne la projection horizontale et la cote du sommet d'un cône dont la base est une ellipse donnée dans le plan horizontal. On coupe ce cône par un plan passant par une droite ÂB du plan horizontal et faisant un angle de 30<^ avec celui-ci ; trouver les points de la section en lesquels la projection horizontale de la tangente passe par un point donné du plan horizontal.

10. Un cylindre a pour base une hyperbole dans le plan horizontal et ses génératrices sont parallèles à une direction donnée. On coupe le cylindre par un plan parallèle & la ligne de terre; construire un point quelconque de rintersection et la tangente en ce point; trouver ensuite les asymptotes.

11. Une sphère étant éclairée par un point lumineux, déterminer les ombres portées sur les deux plans de projection. Construire les axes et les sommets des ombres portées, ainsi que les points où ces ombres rencontrent la ligne de terre.

12. Construire une horizontale de longueur donnée s'appuyant sur deux droites données.

13. On donne deux points M et 0. Les coordonnées du point M, exprimées en millimètres, sont : 33; 103; 40; les coordonnées du point 0 sont de même : 0; 75; 0. La verticale du point 0 est Taxe d'un cône de révolution passant par M et dont le demi-angle au sommet est de 30°. On coupe ce cône : 1° par le pian P qui passe par le milieu de la hauteur du cône et est parallèle au plan tangent en M; 2^^ par un plan Q qui passe par M, par le milieu de la hauteur et qui fait un angle de 50® avec Taxe du cône. Il y a deux plans Q répondant à ces conditions, et on choisira celui de ces plans dont les horizontales sont le moins inclinées sur le plan vertical.

Représenter la partie solide du cône située au-dessus du plan horizontal, en arrière du plan P et au-dessus du plan Q.

i4. On donne dans un plan horizontal un cercle de 50™°* de rayon. C'est la base commune à deux cônes droits de 100°^°^ et de 50™°^ de hauteur. On considère le solide annulaire compris entre les deux cônes, et une droite horizontale passant par le milieu de la hauteur du plus petit cône et inclinée à 45*^ sur le plan vertical. Par cette droite on fait passer deux plans inclinés à 45<* sur le plan horizontal. On demande de représenter la partie du solide compris entre les deux cônes et qui est située en dessus des deux plans sécants.

15 . Un cône a pour base dans le plan horizontal une circonférence (o, o')

dont le rayon est égal à 90™"; xo' = 104™°, , j5' o'o = i08°™. Le sommet (5, â') du cône est

ainsi défini : x^ = 250™», cy' = 175™™, w = 70™™.

Un prisme a pour base dans le plan horizontal un carré construit sur mn et audessous : xm' = 423™™, xn' = 203™™, "y m'm = 116™™, n'n = 78™°.

Une arête de ce prisme est la droite {nk, n'k') joignant le point (n, n') au point (A, K) situé

rtr ^

{ ù Ur'^ ' ^ ^^^^ ^® même plan de proûl que le point

\ \/ ^^^ On demande : 1° de trouver les projections

'^^ ^^ de rintersection du cône et du prisme; 2° de

de représenter le cône entaillé par le prisme et limité au plan horizontal.

(Cadre 27*^™ sur 42«™. — Ligne de terre parallèle au petit côté du cadre et au milieu.) (R. Malloizrl.)

16. On donne un cube dont une diagonale est verticale et a 120™™ de longueur. Une arête âC du cube est inclinée à 53<' sur le plan horizontal. Le point A est en arrière et à droite du point C.

Un cylindre de révolution à axe vertical a sa base située sur le plan de front du pied de la diagonale verticale du cube et à 10™°^ de ce point;

son ravon est 35"".

^^ On demande de représenter la partie

solide du cube située en dehors du cylindre.

17. Etant donné un cône oblique à base circulaire, on mène par un point de son axe SO une droite Û et par cette droite deux plans quelconques.

("lOnstruire Tintersection de ces pi uns avec la surface dudit cône.

(École des mines de Saint- Etienne, concours de 1890.)