Oa = oR, ^a' = 2R, AB = 3R
Intersection d'un cylindre oblique à ba^e circulaire avec une pyramide triangulaire droite dont Taxe rencontre celui du cylindre, et dont une face est parallèle à la ligne de terre.
Tracer les ellipses de section plane et déterminer en vraie grandeur celle de la face parallèle à la ligne de terre.
{École des mines de Saint-É tienne, concours de 189 i.)
19. Etant donné un cylindre de révolution parallèle à la ligne de terre,
déterminer son intersection avec un Irièdre dont le sommet se trouve sur la génératrice culminante du cylindre, dont une face est parallèle à la ligne de terre, la seconde face perpendiculaire au plan vertical, et la troisième quelconque. Dans le dessin ci-contre, le trièdre est représenté par la pyramide SABC.
Représenter à part le solide commun, rabattre ses trois faces planes et développer sa face cylindrique.
{ÈcoU des mines de Saint- Etienne, concours de 1894.)
20. Un cylindre circulaire droit a sa base appliquée sur le plan horizontal de projection. La circonférence de cette base touche la ligne de terre, et son rayon R vaut 4<^". La hauteur du cylindre est égale au rayon R. Un cône circulaire droit, de môme base et de même hauteur que le cylin-
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EXERCICES SpR LE CHAPITRE PREMIER 33o
dre, est superposé à ce dernier de manière que la base du cône coïncide avec la base supérieure du cylindre. L'arête SA du cône, S étant le sommet, est parallèle au plan vertical de projection. Gela posé, on demande de construire: !<> les projections de l'ensemble des deux solides ; 2° les projections et la grandeur de la section faite par un plan perpendiculaire à Taréte SA en son milieu ; 3° les parties du plan horizontal de projection cachées par l'ensemble des deux corps, Tœil étant placé sur la verticale
du point Â, au-dessus de ce point, et à une distance égale à ^-H •
{École de Saint-Cyr, concours de i874.)
21. Un cône oblique à base circulaire a pour base une circonférence
(G) de rayon égal à 35°*"*, située dans le plan horizontal de cote zéro.
Son sommet S est déterminé par sa projection s située à une distance OS = 50 du point 0 et par sa cote égale à 109
a est la projection horizontale d'un point A de cote égale à 30°*'». La distance aa au plan vertical OS est égale à 40°*", et la distance Oa à 60"°*. Mener par le point A un plan qui détermine dans le cône donné une section antiparallèle (G'). Gonstruire la projection horizontale de cette section, déterminer ses axes et les points qui se trouvent sur le contour apparent du cône.
Gonstruire les projections des sphères passant : <° par la base (G) et le sommet S; 2* par la circonférence (C) et le sommet S; 3<> par les deux circonférences (G) et (G').
Les plans d*intersection de ces trois sphères prises deux à deux se coupent suivant une même droite; la déterminer.
[École navale, concours de 1894.)
22. Un tronc de cône droit s^appuie par sa grande base circulaire sur le plan horizontal de projection. Le rayon R de cette grande base vaut 7«", et son centre G est à une distance de 8°°* de la ligne de terre. L*arète latérale du tronc de cône a une longueur égale au rayon R et fait un angle de 45^ avec le plan horizontal. Dans Tintérieur de ce tronc de cône, et sur le même axe, est placé un petit cône renversé, dont le sommet est au point Gy et dont la base coïncide avec la base supérieure du tronc. Soit AB Tarête latérale du tronc de cône qui est parallèle au plan vertical de projection, le point A étant sur la grande base, et le point B sur la petite base ; on demande : 1** de construire les projections de l'ensemble des deux corps ; 2^ de construire les projections des sections faites dans les deux corps par un plan perpendiculaire à Tarête AB, au point B ; 3*> de mener par le point où la verticale du point A perce le plan sécant, une
PÎX *--'-•*
taDgente à la section faite dans le petit cône ; 4* de trouver le point où
cette tangente perce le tronc de cône.
{Saint'Cyr, 1875.)
23. On donne un cône de révolution à axe vertical posé sur le plan horizontal de projection et un parallélépipède défini par une base rectangulaire située dans un plan horizontal et par la direction de ses génératrices. On demande de représenter la portion de ce parallélépipède comprise entre sa base et sa courbe d'entrée dans le cône.
Les cotes sont fournies par le cro- — quis ci-contre, la ligne de terre étant prise parallèlement aux petits côtés de la feuille et à mi-hauteur de cette feuille, et le point 0 étant le milieu de la ligne de terre limitée aux grands côtés de la feuille.
Les lignes inclinées à 45<^ sur la ligne de terre figurent la direction des génératrices du parallélépipède.
fi
jip..
{Ecole des Ponts et chaussées. Cours préparatoires^ concours de 1895,)
24. On donne un point S dans Tespace, situé à 45"*"^ au-dessus du plan horizontal, et à 6°°^ en avant du plan vertical de projection. Ce point est le sommet de deux cônes droits à base circulaire. Le premier de ces deux cônes repose par sa base sur le plan horizontal de projection : son axe est en conséquence vertical ; le second cône a son axe perpendiculaire au plan vertical de projection^ contre lequel il s*appuie par sa base. Le rayon de base de chacun de ces deux cônes est de SG"*™. On donne aussi un point 0, situé sur Taxe du second cône, entre la base et le sommet S, et à ii^^ de ce sommet. Gela posé, on demande: 1° de construire les projections de Tensemble des deux corps ; 2° de mener par le point 0 un plan vertical faisant un angle de 45° avec le plan vertical de projection, et de construire les projections des sections faites dans les deux cônes par ce plan ; 3° de mener, par Tun des points où la trace horizontale du plan sécant rencontre la base du premier cône, un plan tangent à ce premier cône ; K^ enfin, de mener un plan tangent au second cône perpendiculairement à
ce premier plan tangent.
(Saint Cyr, 1877.)
25. Construire la pyramide triangulaire SABC dont la base âBC est appliquée sur la partie antérieure du plan horizontal . Le dièdre ÂB vaut
ôO"*, le sommet B est sur xy et Tarête AB est perpendiculaire à cette ligne a?y. On donne : AB = il«»,l ; BC = 12««,5 ; AC = i4<^»»,l ; SB=il«»,8; SA = 12«»,i.
Un cercle situé sur le plan vertical, dans l'angle h's'c\ est tangent aux deux côtés de cet angle et a pour rayon Z^'^fi ; ce cercle est la base d'un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan vertical ; construire rintersection de ce cylindre avec la pyramide. On indiquera les tracés effectués pour obtenir un point quelconque de Tintersection et la tangente en ce point.
Dans la mise à Tencre, on représentera la pyramide supposée pleine et
existant seule, en supprimant la portion de ce corps comprise dans le
cylindre.
(Saint'Cyr, 1883.)
26. On donne dans le plan vertical de projection un cercle tangent à xy dont le rayon égale 3*^°^,! ; le pentagone régulier inscrit dans ce cercle et dont un sommet A est sur xy est la base d*un prisme droit. Un cône droit dont le sommet est situé dans le plan de profil du point A, à 8'"^, 4 audessus du plan horizontal et à 6^^,9 en avant du plan vertical, a pour base, sur le plan horizontal, un cercle dont le rayon égale 6*^".
On demande Tintersection du cône et du prisme. On indiquera le tracé des constructions effectuées pour trouver un point quelconque de Tintersection et la tangente en ce point.
Dans la mise à Tencre, on représentera la portion du prisme qui est contenue dans le cône.
(Saint'Cyr, 1884,)
27. On donne un point A sur xy^ un point S distant du plan horizontal de 7*™,8, du plan vertical de S''",! et du point A de 12*",4. Construire le tétraèdre SABC dont la base ABC est sur le plan horizontal de projection, sachant que le plan SBC est perpendiculaire à Tarête SA, et que les angles dièdres AB et AC valent chacun 68''. On aura soin de placer le point A le plus à gauche possible.
Construire Tinterseclion de celte pyramide avec le cylindre de révolution qui a SA pour axe, et pour rayon 5^°^,5.
Dans la mise à Tencre, on supposera que le tétraèdre est seul et que le solide commun au cylindre et à la pyramide est enlevé.
{Saint-Cyr, 1886.)
28. On donne un plan PaF dont les traces font avec xy (x à gauche, y à droite) deux angles Pay et P'ay égaux chacun à 45*^ ; sur la trace horizontale un point A, dont Téloignement est 4<^™, et sur la trace verticale un point B, dont la cote est 6*°^,2. La droite AB est le côté d un carré situé dans le plan PaP, à droite de AB ; ce carré est la base d*un cube situé audessus du plan donné.
ANTOMABI. — GéOM. DBSCa. 22
Déterminer Pintersection du cube avec le cylindre droit ayant pour trace verticale un cercle de 6^™,5 de rayon, situé au-dessus de œy et tangent à cette ligne au point od^ projection verticale du point A.
Représenter la partie du solide cubique comprise dans le cylindre.
{Saint-Cyr, 1889,)
29. Un cône de révolution a pour base sur le plan horizontal un cercle 0 de 50™™ de rayon, tangent à la ligne de terre, et il aune hauteurde 112"™. On mène : i^ par le milieu A de la génératrice de front (celle de gauche), le plan parallèle au plan tangent au cône suivant la génératrice opposée ; 2<^ la normale au cône en A qui rencontre le plan horizontal en B, les tangentes £G et BD au cercle 0 et enfin les plans ABC et ABD.
On demande de représenter par ses projections le solide commun au cône et au tétraèdre que forment le plan horizontal et les trois plans précédents.
[Saini'Cyr, i890.)
30. Une droite oS de Tespace a pour trace horizontale o; la cote de son point S égale 20'™ ; sa pente est i ; sa projection os est parallèle au bord inférieur de la feuille ; o est à 14'™ du bord inférieur et à 9'™ du bord de gauche.
Le point S est le sommet d*un cône ayant pour base dans le plan horizontal le cercle de centre o, de rayon égal à 8'™.
La projection horizontale os de la droite oS coupe la circonférence o en deux points m et n, le point n entre o et s. Par une droite de l'espace de pente 2, ayant sa trace horizontale au milieu de om et coupant la verticale deo au-dessus du plan horizontal^ passent deux plans P et Pi de pente 4. Parallèlement à cette même droite et par les horizontales perpendiculaires à on en 0 et en n, on mène les deux plans Q et Qt • L.es traces horizontales de ces quatre plans déterminent un trapèze isocèle qui est la base d'un prisme dont les quatre plans forment les faces latérales.
Représenter la projection du corps opaque commun à ce cône et à ce
prisme.
Mener à la projection horizontale des sections du cône par les plans P et Pi les tangentes parallèles aux côtés du trapèze de base du prisme.
Coter à Tencre rouge les points de contact de ces tangentes et les autres points remarquables.
Inutile de tracer à Tencre les lignes de construction d'un point quelconque de la section.
iSaint'Cyr, 1894.)
31. Tracer à 18*™ du bord inférieur de la feuille une droite sur laquelle on prendra sa = 10«™, sh = 25'™, sh z= 27'™, s éiant à 1'™ du bord de la feuille à droite du dessinateur, s est la projection horizontale du sommet S d*un cône de révolution ; la cote de S égale 14'™; a et & sont
les Iraces horizontales des deux génératrices du cône situées dans le plan projetant horizontalement son axe.
Un triangle isocèle cad situé dans le plan horizontal a sa base cd égale à 5<^°* ; sa hauteur relative à cd est ah. Ce triangle cad est la base d'un
prisme dont les arêtes ont une pente égale à ^ > Taréte issue de a coupant S^ entre S et s.
Représenter la projection horizontale de la partie du cône solide et opaque extérieure au prisme et comprise entre le plan horizontal et son sommet.
iSaint-Cyr, 1896.)
