CHAPITRE II
DÉVELOPPEMENT DE LA SURFACE LATÉRALE D'UN CONE OU D'UN CYLINDRE; TRANSFORMÉE D UNE SECTION PLANE
§ 1. — Développement de la surface latérale d'un cylindre,
414. Définition. — Nous avons indiqué plus haut (208) le moyen d'effectuer le développement de la surface latérale d'un prisme. On appelle développement de la surface latérale d'un cylindre la limite vers laquelle tend le développement de la surface latérale d'un prisme inscrit dont le nombre des faces augmente indéfiniment, de manière que la distance de deux arêtes consécutives quelconques tende vers zéro.
415. Transformée d'une ligne tracée sur la surface du cylindre. —
Considérons, d'après cela, une surface cylindrique, et soit <r [fig. 1) une
ligne quelconque tra cée sur cette surface.
Les arêtes d'une surface prismatique inscrite dans le cylindre rencontrent 9 en des points a, p, Y» ••• qui sontlessommetsd'une ligne polygonale tracée sur la surface prismatique et inscrite
dans la ligne j. Dans le développement, la transformée (208) de cette
Fig. 1
Fig. 2
DÉVELOPPEMENT DE LA SURFACE LATÉRALE d'oM CYLINDRE 341
ligne polygonale est une autre ligne palygonale «iPiYi... {fig- 2), qui jouit des propriétés suivantes (208) :
lo Elle a le même périmètre que la ligne a^... parce que ses côtés ont des longueurs respectivement égales à celles des côtés du polygone a?Y"- l
2® Ses côtés rencontrent les arêtes Ai»!, BiPi, ... sous des angles respectivement égaux aux angles sous lesquels les côtés correspondants du polygone apY-** rencontrent les arêtes du prisme inscrit.
Supposons alors que le nombre des faces du prisme inscrit augmente indéfiniment de manière que la distance de deux arêtes consécutives quelconques tende vers zéro. La ligne polygonale «Py... a pour limite la ligne <t et sa transformée «iPiVi--- ^ P^^r limite une ligne ai qu'on appelle la transformée de la ligne <y.
416. Propriétés du développement. — Si l'on considère deux côtés correspondants quelconques Py ®t PiYi ^® la ligne polygonale «Py--- ®* de sa transformée «iPifi..., ils sont égaux; il en résulte que ces deux lignes polygonales ont des périmètres égaux. Or, par définition, le périmètre de la ligne a est la limite du périmètre de la ligne polygonale oêY-.. inscrite quand le nombre des côtés de cette ligne augmente indéfiniment de manière que chaque côté tende vers zéro; de même, le périmètre de la ligne <ti est la limite dans les mêmes conditions du périmètre de la ligne polygonale «iPiYi...; donc les deux lignes d et (T| ont le même périmètre.
D'autre part, les angles BPy et BiPtyi sont égaux quelles que soient les longueurs des deux cordes Py ©t PiYi ; il en résulte que les limites de ces angles sont égales. Gomme les positions limites des deux droites indéfinies Py et Piyi sont les tangentes respectives aux courbes a et <xi en p et en Pi, on peut en conclure que la tangente en un point quelconque de Ji fait avec la direction des génératrices, dans le développement, un angle égal à celui que la tangente à a, au point correspondant, fait avec la génératrice du cylindre qui passe par ce point.
Nous pouvons donc dire, d'après cela :
1^ Que le développement conserve les longueurs des lignes tracées sur le cylindre ;
2» QuHl conserve les angles de ces lignes avec les génératrices et, par suite, qu'il conserve les angles de ces lignes entre elles.
£n particulier, une section droite du cylindre coupant les généra-
DÉVELOPPEMENTS ET TRANSFORMÉES
trices sous un angle droit aura pour transformée une ligne droite de même longueur que la section droite.
417. Marche à suivre pour construire la transformée d*uae ligne.
— Pour pouvoir construire la transformée d'une ligne tracée sur la surface d'un cylindre, quand on développe cette surface sur un plan, il faut savoir construire un point quelconque de cette transformée et la tangente en ce point.
Construction d'un point de la transformée. — On construit la section droite du cylindre et on la rectifie^ c'est-à-dire qu'on en détermine le périmètre. Supposons en premier lieu que l'on puisse trouver le périmètre exact de la section droite. Pour avoir alors le point Pi de <J| (fig. 2) qui correspond au point ? de (j( fig. 1), on trace une droite AiAi
Fig. 1
Fig. 2
ayant pour longueur le périmètre de la section droite ; puis, si l'on suppose le cylindre ouvert suivant la génératrice A«, et si B est le point de rencontre de la section droite avec la génératrice qui passe par p, on porte une longueur AtBi égale à la longueur de l'arc AB de la section droite, on mène la perpendiculaire Bipi à AfAi et l'on prend BiPi = Bp; on a ainsi le point Pi. On construit de la même manière autant de points que l'on veut de la transformée.
DÉVELOPPEMENT DE LA SURFACE LATÉRALE d'v^ CYLINDRE 343
Supposons maintenant, ce qui est le cas général, qu'on ne sache pas trouver le périmètre de la section droite. Alors, en se basant sur la définition de la longueur d'un arc de courbe, on inscrit dans la section droite un polygone ABC... d'un nombre de côtés assez grand pour que chaque côté puisse être considéré, sans erreur sensible, comme égal à l'arc qu'il sous-tend. On porte ensuite sur une droite indéfinie AiAt des longueurs successives AiBi, BiCi, ... égales respectivement aux côtés AB, BC, ... du polygone ABC... On a ainsi le développement approché de la section droite. Par les points Ai, B|, Ci, ... on mène les perpendiculaires à A1A2, ce qui donne les positions approchées des génératrices Aa, Bp, ... dans le développement; on porte ensuite Aiai = Aa, Bi?, = Bp, ..., de sorte qu*ona en «,, p,, yi, ... les positions approchées de «, P, y, ... dans le développement. On joint enfin les points «i, Pi, yi> ••• par un trait continu et l'on obtient la transformée approchée de <t.
Tangente en un point de la transformée. — Proposons-nous, par exemple, de construire la tangente au point Pi (jui correspond au point p. Soient pT la tangente en P à la courbe a, T le point de rencontre de cette tangente avec la tangente à la section droite au point B situé sur la même génératrice que p : BT est ce qu'on appelle la soustangente en p. Si l'on suppose le problème résolu, et si l'on appelle PiTi la tangente cherchée, les propriétés du développement (416) montrent que les deux triangles pBT et PiBiTi sont égaux. Supposons, pour fixer les idées, que le sens de B vers T soit le même que le sens de B vers C; en portant alors BiTi = BT dans le sens de Bi vers Ci, on obtient le point Ti, et il n'y a plus qu'à le joindre au point Pi pour avoir la tangente à <ii en ce point.
418- Remarqle. — D'aprè's ce qui précède, pour efTectuer le développement d'une surface cylindrique, il faut construire la section droite et la rectifier au moins approximativement, puis déterminer les longueurs des portions de génératrices.
Pour rectifier la section droite, il faut lavoir en vraie grandeur. Si on l'a par ses projections, on en détermine la vraie grandeur au moyen d'un rabattement.
Pour déterminer facilement les longueurs des portions de génératrices on amène ces génératrices à être parallèles à l'un des plans de projection par un changement de plan.
DÉVELOPPEMENTS ET TRANSFORMÉES
§11. — Développement de la surface latérale d'un cône.
419. Définition. — Nous avons donné plus haut (209) le moyen d'effectuer le développement de la surface latérale d'une pyramide. On appelle développement de la surface latérale d'un cône, la limite du développement de la surface latérale d'une pyramide inscrite dont le nombre des faces augmente indéfiniment, de manière que l'angle des deux arêtes situées dans une face quelconque tende vers zéro.
420. Transformée d'une ligne tracée sur la surface du cône. —
Considérons, d'après cela, une surface conique et soit <s {fig, 1) une ligne quelconque tracée sur cette surface. Les arêtes d'une sur-
Fig. t
Fig. 2
face pyramidale inscrite dans le cône rencontrent a en des points a,p,Y9--'quî sont les sommets d'une ligne polygonale tracée sur le cône et inscrite dans la ligne a. Dans le développement, la transformée de cette ligne polygonale est une autre ligne polygonale «,§171... (fig. 2), qui jouit des propriétés suivantes (209) :
1^ Elle a le même périmètre que la ligne a^..., parce que les triangles Siai^i, SiPiYi, ... sont respectivement égaux aux triangles Sx?, S^Y» ••• ®t ^^^9 P^^ suite, les côtés «iPi, PiYij ... sont respectivement égaux aux côtés «?, ^9 ...;
DÉVELOPPEMENT DE LÀ SURFACE LATÉRALE d'UN CONE 345
2^ A cause de l'égalité des mêmes triangles, les côtés de la ligne «1^1^!.. . rencontrent les arêtes Sia|, Si^i, ... sous des angles respectivement égaux à ceux sous lesquels les côtés correspondants du polygone a^... rencontrent les arêtes Sa, S^, ... de la pyramide inscrite.
Supposons alors que le nombre des faces de la pyramide inscrite augmente indéfiniment d'après la loi indiquée plus haut (419); la ligne polygonale 3^... a pour limite la ligne 9 et sa transformée «iPiYi... a pour limite une ligne ^t qu'on appelle la transformée de la ligne 9.
421. Propriétés du développement. — Nous avons vu que deux côtés correspondants quelconques, Piyi et Py psir exemple, sont égaux; il en résulte que les périmètres des deux lignes polygonales «py... et «iPtyi... sont égaux. Or, par définition, les périmètres de ces deux lignes polygonales ont pour limites respectives les périmètres des lignes <7 et <ri ; donc les deux lignes <t et a» ont des périmètres égaux.
D'autre part, les angles SiPiyi et SPy sont égaux quelles que soient les longueurs des deux cordes ^{ et ^iy^; il en résulte que les limites de ces angles sont égales. En poursuivant alors le raisonnement comme pour le cylindre (416), on arrive à conclure :
1® Que le développement conserve les longueurs des lignes tracées sur le cône ;
2** Qu'il conserve les angles de ces lignes avec les génératrices et^ par suite, qu'il conserve les angles de ces lignes entre elles.
En particulier, si l'on considère l'intersection du cône avec une sphère quelconque ayant son centre au sommet du cône, la tangente en chaque point de cette ligne étant perpendiculaire au rayon, la transformée de l'intersection est une ligne dont les normales passent par le point Si, c'est-à-dire un arc de cercle de centre Si et de rayon égal à celui de la sphère.
L'intersection d'un cône avec une sphère ayant son centre au sommet du cône s'appelle une section droite de ce cône.
422. Construction de la transformée d'une ligne. — D'après ce qui précède, pour construire la transformée d'une ligne «r {fig. 1) tracée sur la surface d'un cône de sommet S, on inscrit dans cette ligne une ligne polygonale d'un nombre de côtés assez grand pour que chaque côté puisse être considéré, sans erreur sensible, comme confondu avec l'arc
DÉVELOPPEMENTS ET TRANSFORMÉES
qu'il sous-tcnd; de cette manière le périmètre de la ligne polygonale donne une valeur suffisamment approchée du périmètre de la ligne <t. On joint les sommets a, ?, y, ... de la ligne polygonale ainsi obtenue au point S, ce qui donne une surface pyramidale inscrite dans le cône. On développe la surface latérale de cette pyramide en SiŒiPiYi... [fig. 2), comme cela a été expliqué au n<> 209, et Ton joint les points «19 Pi9 Yi5 ••• par un trait continu.
On obtient ainsi une ligne ^i qui est le développement approché de la ligne 9.
Habituellement, pour obtenir la transformée d'une ligne quelconque ff, on commence par construire, comme il vient d'être dit, la transformée d'une section plane P; soient B un point quelconque de
FiK. l
Fijç. 2
cette section, B| le point correspondant de sa transformée. La génératrice SB rencontrant 9 en un point p, si l'on prend dans le sens convenable Sipj = S? ou B,pi = Bp on obtient le point pi de ^i qui correspond au point p de a. On peut obtenir ainsi successivement tous les points de Ji.
Si l'on sait construire la tangente en ^ à la ligne <t, il est aisé de construire la tangente en ^i à la ligne ai : il suffit, en effet, de mener par Pi la droite PiTi telle que l'angle SipiT, soit égal à l'angle SpT (421).
Supposons construites les tangentes aux points B, p et Bi, aux lignes
POINTS d'inflexion DE LA TRANSFORMÉE D*UNE SECTION PLANE 347
P, <ï et P,, et soit T Tintersection des tangentes en B et en p. Si Ton appelle Ti le point de rencontre inconnu des tangentes en Bi et en Pi aux lignes Pi et ai, en vertu des propriétés du développement (421), les deux triangles pBT et PiBiTi sont égaux. Par conséquent, si Ton porte sur BiTi, à partir du point Bi et dans le sens convenable, une longueur BiTi égale à BT, on aura le point Ti et, par suite, on aura la tangente ^iTi à la ligne di.
Au lieu de construire d'abord la transformée d'une section plane, il est quelquefois plus avantageux de construire la transformée d'une section droite du cône. On obtient immédiatement cette transformée en observant qu'elle est un arc de cercle de centre Si et de rayon égal à celui de la sphère qui a fourni la section droite (421). En partant de c«lte transformée comme on était parti plus haut de la transformée d'une section plane, on peut obtenir successivement les points de 9i et les tangentes à cette courbe en chacun de ses points.
§ III. — Points d'inflexion de la transformée dune section plane.
423. Méthode géométrique. — La détermination des points d'inflexion de la transformée par développement d'une section plane d'un cône ou d'un cylindre est une conséquence de l'étude de la concavité et de la convexité de cette transformée. Pour faire cette étude nous indiquerons deux méthodes: une méthode géométrique et une méthode analytique. Occupons-nous d'abord de la première et examinons successivement le cas du cône et le cas du cylindre.
Cas du cône. — Soit <y une ligne tracée sur la surface d'un cône S,
et soit (Ti sa transformée.
Supposons qu'en un point quelconque, pt> la courbe (ji tourne sa concavité vers le point Si. Si, au point 3|, on mène la tangente PiTi à la courbe Ji, l'hypothèse que nous venons de faire signiiie que, dans le voisinage du point pi, la courbe et le point Si sont du même côté de la tangente; dès lors, si l'on prend deux points ai et yi dans le voisinage
348 DÉyELOPPEME>TS ET TRANSFORMÉES
du point Pi et de part et d'autre de ce point, on a
angle SiPi»! -t- angle Sif i^i < 2 dr.,
pourvu que les points ai et yi soient suffisamment rapprochés du point Pi.
Appelons «, p, y ^^ points de la courbe ? qui correspondent respectivement aux points «i, Pi, yi de la courbe ^i, et imaginons une pyramide inscrite dans le cône S et dont trois arêtes passent respectivement par a, p et Y- Par définition, le développement de la surface latérale du cône est la limite du développement de la surface latérale de cette pyramide. Les angles Si^iSi et SiPi^i sont donc respectivement égaux aux angles Spa et S^ : ceci résulte d'ailleurs aussi de la manière dont on procède (420) pour effectuer le développement de la surface latérale du cône. Donc, si au point pi la courbe ai est concave vers le point Si, en prenant les points 3 e< y suffisamment voisins du point ^ et de part et d'autre de ce point, on a
angle S^a -+- angle S?y < 2 dr.
On voit d'une manière tout à fait analogue que si au point ^i la courbe di est convexe vers le point Si, on a
angle Spa -^ angle SPy > 2 dr.,
les points a et y étant choisis comme tout à l'heure. Ces propositions étant contraires entraînent leurs réciproques.
Cela posé, supposons que la courbe <r soit la section faite dans le cône S par un plan P, et soit S la projection du point S sur le plan P. Au point p la courbe <t est concave ou convexe vers le point S'; supposons, pour fixer les idées, qu'elle soit concave, et observons : 1® que l'angle S^S est l'angle minimum de Sp avec les droites menées par le point p dans le plan P, tandis que l'angle SpS' est l'angle maximum de Sp avec les mêmes droites; 2® que si l'on fait tourner une demidroite de 360<' autour du point p dans le plan P, dans un sens quelconque, en partant de pS', l'angle de cette demi-droite avec Sp est d'abord minimum, va ensuite constamment en croissant jusqu'à ce que la demi-droite ait tourné de 180<>, c'est-à-dire soit venue coïncider avec pS', et repasse après par les mêmes valeurs dans l'ordre inverse. Si donc on mène la tangente TpT à la courbe «r, au point p, l'hypothèse que la courbe est concave vers le point S donne successivement
angle SPy < angle SpT
POINTS d'inflexion DE LA TRANSFORMÉE d'uNE SECTION PLANE 349
angle Sp» < angle S^T' et
angle SPy + angle Spa < 2 dr.,
puisque la somme des angles SpT et SpT est égale à 2 droits.
On verrait d'une manière analogue que si la courbe j est convexe vers le point S', on a
angle S^y -+- angle Sg-a > 2 dr.
En rapprochant ce résultat de celui qui a été obtenu au début on voit alors qu'au point Pi la transformée cri est concave ou convexe vers le point Si, suivant qu'au point p la courue d est concave ou convexe vers le point S,
D'après cela, le point Pi sera un point d'inflexion de <ti si la concavité au point p change de sens quand on passe du point a au point y. Or, si Ton remarque qu'il n'y a lieu d'étudier la concavité et la convexité que si le plan P ne passe pas par le sommet du cône, il ne peut y avoir changement dans le sens de la concavité au point p et quand on passe de a à Y situés de part et d'autre de ce point, que dans les deux cas suivants : 1® quand le point p est un point d'inflexion de la courbe a; 2® quand il est le point de contact d'une tangente menée à cette courbe par le point S'. D'ailleurs, dans ce dernier cas, le plantangent au cône suivant Sp est perpendiculaire au plan P; donc :
Les points d'inflexion de la transformée d'une section plane d'un cône correspondent, soit aux points d'inflexion de la section, c'est-à-dire aux points de rencontre du plan sécant avec les génératHces d'inflexion^ soit aux points de rencontre du plan sécant avec les génératrices de contact des plans tangents au cône perpendiculaires au plan sécant.
Cas du cylindre. — On peut traiter directement le cas du cylindre, comme on a traité le cas du cône. Nous nous bornerons à observer que le raisonnement est tout pareil à celui que nous avons fait dans le cas du cône, et que la seule difi'érence consiste en ce que, si l'on appelle S'S' la projection de Sp sur le plan P, le point S' doit être remplacé par le point à l'infini sur Tune des demi-droites pS' ou pS*.
Ajoutons cependant qu'il est inutile de parler du cas où la projection de pS se réduirait au point p ; car, dans ce cas, a serait une section droite du cylindre et sa transformation serait une ligne droite.
424. Remarque. — Ces conclusions sont en défaut lorsque la gêné-
330 DÉVELOPPEMENTS ET TRANSFORMÉES
ratrice Sp est la génératrice suivant laquelle la surface a été supposée ouverte, pour effectuer le développement, parce qu'alors au point p correspondent deux points de la transformée en lesquels la courbe <ft s'arrête.
Elles sont également en défaut, dans le cas du cône, quand le point S' est confondu avec le point p, c'est-à-dire quand le plan sécant est perpendiculaire à la génératrice Sp. Dans ce cas le raisonnement prouve qu'au point % la courbe est toujours concave du côté de Si.
425. Méthode analytique. ~ Cette méthode résulte de letude de la concavité ou de la convexité d'une courbe en coordonnées polaires.
On démontre en géométrie analytique que si l'équation d'une courbe
rapportée à des coordonnées polaires est — = /*(w), le sens de la
concavité en un point M de cette courbe de coordonnées r et a résulte, dans le cas général, du signe de la somme /"(a) -h /*"(«). Or, si Ton appelle D la distance du pôle à la tangente en M, on trouve facilement
et l'on a, en prenant les dérivées des deux membres par rapport à a.
Si l'on remplace ( — ) par — ^» — par /*(a) et (—7-) par /•"(a), on déduit de là
Comme -jrj est positif, le signe de A^)-l-A*) résulte de la
comparaison des signes de D' et de r' ; il est donc -f- ou — suivant que D et r varient dans le même sens ou en sens contraires dans le voisinage du point M. D'ailleurs r pouvant être supposé positif, la courbe, au point M, est concave ou convexe vers le pôle suivant que le signe est -+- ou est — , c'est-à-dire suivant que D et r varient dans le même sens ou en sens contraires.
EXEMPLES DE DEVELOPPEMENTS
Cela posé, reprenons la section a faite dans un cône S par un
plan P et sa transformée <ji. Soient p et fil deux points correspondants de ces deux courbes, ^T et ^iTi les deux tangentes, SI et Sili les perpendiculaires menées à ces tangentes par les points respectifs S et Si. En vertu des propriétés du développement, les deux triangles S^I et Si^iIi sont égaux, de sorte que Ton a SJi = SI, SiPi = s?.
Il en résulte, en vertu de ce qui précède, qu'au point pi la courbe <ti est concave ou convexe vers le point Si, suivant que SI et S^ varient dans le même sens ou en sens contraires.
Mais si Ton appelle S' la projection du point S sur le plan P, les triangles rectangles SSl et SS'^ montrent que SI et Sp varient respectivement dans le même sens que SI et que S'^. Il en résulte qu'au point Pi la courbe Ji est concave ou convexe vers le point Si, suivant qu'au point correspondant p la courbe <i est concave ou convexe vers le point S'.
On arrive ainsi aux mêmes conclusions que par la première méthode, et on achève le raisonnement de la même manière.
D'ailleurs les résultats trouvés pour le cône s'étendent au cylindre considéré comme cas limite du cône.
§ IV. — Exemples de développements,
426. Exemple I. — On coupe un cylindre de révolution à axe vertical par un plan de bout; construire la transfo^^mée par développement de la section ainsi obtenue.
Supposons que le cylindre repose par sa base sur le plan horizontal, et soit 0 le centriC de la circonférence de base ; soit d'ailleurs p^q' le plan sécant. La section du cylindre par ce plan est projetée horizontalement suivant la circonférence de base, et verticalement suivant la portion c'a! de la trace verticale du plan sécant. En outre il est inutile ici de déterminer la section droite du cylindre, puisqu'elle est confondue avec la base. Pour effectuer le développement de la surface, il ne reste donc plus qu'à chercher la longueur de la section droite.
DÉVELOPPEMENTS ET TRANSFORMÉES
Pour cela, on inscrit dans la circonférence de base un polygone convexe d'un nombre de côtés assez grand pour que Ton puisse, sans erreur sensible, considérer chaque coté de ce polygone comme confondu avec Tare de la base qu'il sous-tend. On mesure ensuite le périmètre de ce polygone, et l'on a ainsi la longueur approchée de la section droite, et cette longueur est d'autant plus approchée que le nombre des côtés du polygone inscrit est plus grand. Il y a, bien entendu, tout avantage à inscrire un polygone régulier. Dans le cas de
la ligure on a inscrit un hexagone régulier aghcdf^ pour indiquer la manière de procéder, mais cela n'est évidemment pas suffisant pour avoir la longueur suffisamment approchée de la section droite. On a alors cherché, par le procédé général, la longueur approchée de l'arc sous-tendu par un côté du polygone, et on a multiplié par 6 la longueur ainsi obtenue. C'est d'ailleurs en cela qu'il y a avantage à inscrire un polygone régulier.
Ajoutons que la section droite étant une circonférence, on peut calculer sa longueur en multipliant par 2it la longueur du rayon.
La longueur de la section droite étant ainsi obtenue, on la porte en ciCj sur une droite indéfinie, et l'on obtient ainsi la transformée de la section droite, quand on développe la surface du cylindre sur un plan. Il est aisé d'en déduire la transformée de la section obtenue en coupant par le plan p»^. Supposons en effet que le cylindre ait été ouvert suivant la génératrice du point (c, c') et que Ton fasse le développement sur le plan tangent le long de la génératrice du point (a, a'). Prenons alors le point Oi, milieu de CiCj, et portons, à partir du point ai, les longueurs successives ai/i, /"irfi, ..., «iffi? ?i^i5 •••> égales respectivement aux longueurs des arcs a/*, /if, ..., a^, g^/i, ..., de la section droite; menons par ces points les perpendiculaires à CiCj et, sur l'une quelconque.
EXEMPLES J)E DÉVELOPPEMENTS
/"i/î par exemple, de ces perpendiculaires, portons /i/> égale à la portion de génératrice du cylindre comprise entre la base et le plan ptxq\ c'est-à-dire, dans l'exemple actuel, égale à la cote du point (^/'')• Nous obtenons ainsi en f\ le point de la transformée qui correspond
au point (/*, /*') de la section. On obtient de la même manière autant de points que Ton veut de la transformée, et on obtient la transformée elle-même en joignant tous ces points par un trait continu.
Il nous reste à construire la tangente en un point quelconque de la transformée et à déterminer les points d'inflexion.
Tangente en un point de la transformée. — Cherchons par exemple la tangente au point di de la transformée. Ce point correspond au point (d, df) de la section, et la sous-tangente (417) est dt. Comme le sens de d vers t est le même que le sens de d vers c, portons dans le sens de di vers c^ la longueur ditx égale à dt et joignons le point ti au point d\. La droite tid't est la tangente demandée.
Points d'inflexion de la transformée. — Les plans tangents au cylindre perpendiculaires au plan poiq' sont les plans tangents suivant les génératrices des points (^, e') et (i, l/). Les points d'inflexion de la transformée sont donc (423) ceux qui correspondent aux points (e, ef) et (6, h') : ce sont les points ei et 6i. On obtient les tangentes en ces points, comme on a obtenu la tangente en un point quelconque, au moyen des sous-tangentes respectives en et bm.
427. Exemple II, — • Un cylindre a pour base un cercle situé dans le plan horizontal de pi^ojection. On développe la surface latérale de ce cylindre sur un plan et l'on demande de construire la transformée de la base.
▲NTOMARI. — OéOM. DESCR. 23
DÉVELOPPEMENTS ET TRANSFORMÉES
D'après la méthode générale indiquée plus haut (415), pour obtenir le développement demandé il faut d'abord construire et rectifier une section droite du cylindre. Cette section droite a été obtenue en coupant le cylindre par le plan paç', et elle est projetée horizontalement suivant l'ellipse abcd. Pour la rectifier, on Ta d'abord rabattue sur le plan vertical en aibiCidi ; on a déterminé ensuite le périmètre d'un polygone inscrit d'un nombre de côtés suffisamment grand, puis on a porté ce périmètre sur une droite indéfinie et l'on a obtenu, de <îette manière, la transformée de la section droite après le développement.
Cela posé, supposons que le cylindre ait été ouvert suivant la génératrice qui passe par le point e de la base, que l'on ait fait le développement sur le plan tangent le long de la génératrice du point /, et cherchons à construire un point quelconque de la transformée de la base, la tangente en ce point et les points d'inflexion de la transformée.
Construction (Tun point, — Cherchons, par exemple, le point de la transformée qui correspond au point (m, m') de la base. Pour cela, déterminons d'abord le point (n, n') de la section droite situé sur la même génératrice que le point (m, m'), et soit ni le rabattement du point (n, n'). Soient d'ailleurs eiCj la transformée de la section droite
EXEMPLES DE DÉVELOPPEMENTS
et ai le milieu de eiej, de sorte que le point aj est le point qui correspond au point (a, a'). Portons sur eid et à partir du point a, la longueur a,vi égale à la longueur de Tare diditii de la section droite, et, sur la perpendiculaire à etCi menée par v,, prenons vjm, égale à la
portign de la génératrice du point (m, m!) coQiprise entre ce point et la section droite; nous obtenons ainsi le point mi correspondant au point (fit, m!) de la base.
Ajoutons que les génératrices du cylindre étant de front, la longueur viiîii est égale à nW.
Tangente au point wii de la transformée. — Pour obtenir cette tangente, il faut construire le triangle de l'espace projeté liorizontalement en mnt (417). Ce triangle est rectangle dans l'espace, et le côté de l'angle droit projeté en nt est rabattu en Uiti : la longueur niti est la sous-tangente, et, pour obtenir la tangente cherchée, il n'y a plus qu'à prendre, dans le sens convenable, vi6i = nitt et à joindre le point mi au point 0,.
Points d'inflexion de la transformée. — Les points d'inflexion correspondent aux points de la base en lesquels le plan tangent au cylindre est perpendiculaire au plan de base, c'est-à-dire est vertical. Ils correspondent donc aux points ^ et A de la base, c'est-à-dire qu'ils se trouvent sur les génératrices des points (c, c') et {d, d') de la section droite. Pour les obtenir, on portera donc sur eie, les longueurs dfii et «lYi égales respectivement aux longueurs des arcs a^d^ et ajCj de la section droite, on mènera les perpendiculaires à e^e^ par les points $i et Yi ainsi obtenus et Ton prendra, sur ces perpendiculaires, lihy et y, ji égales à h'd : on obtient ainsi les points /ii et gx-
La tangente ^lei en l'un quelconque de ces deux points s'obtient encore au moyen de la sous-tangente, qui a, ici, la même longueur
DÉVELOPPEMENTS ET TRANSFORMÉES
pour les deux points; cette longueur, égale à JiA'i, a été portée en y,£|. Le développement est symétrique par rapport à a,/',, qui correspond à la génératrice du point f.
428. Exemple III. — Développer sur un plan la surface latérale d'un cône oblique à hase circulaire reposant sur le plan horizontal de pro^ jection.
Soit (*, /) le sommet du cône dont la base est une circonférence do centre 0, située dans le plan horizontal. Supposons que l'on veuille développer la surface latérale de ce cône sur le plan tangent le long do
* la génératrice projetée horizontalement en «a, la surface étant d'ailleurs supposée ouverte suivant la génératrice projetée horizontalement
EXEMPLES DE DÉVELOPPEMENTS
en sg. Appliquons la méthode générale exposée au n^ 422. Pour cela, inscrivons une pyramide dans le cône et soit abcd.., le polygone de hase de cette pyramide, polygone qui est inscrit dans la circonférence 0 et que Ton choisit de telle sorte qu'il ait un sommet en a et un sommet en g. Il est d'ailleurs inutile de figurer les projections des arêtes de la pyramide inscrite, parce qu'elles ne serviraient qu'à compliquer la figure; mais, comme nous le verrons dans un instant, il est indispensable d'en avoir les longueurs. Ces longueurs ont été obtenues en rendant les arêtes de front, au moyen de rotations effectuées autour de la verticale du sommet. On a ainsi obtenu en sfa!, s'P', «y, ... les longueurs des arêtes qui aboutissent aux points a^ by c^ ... de la base.
Cela posé, construisons, par la méthode exposée au n^ 209, le développement de la surface latérale de la pyramide inscrite. Si ^Oifi^i'-'higi est le développement ainsi obtenu, en traçant une ligne continue passant par les points gif\eid^...hig%y on a la transformée approchée de la base du cône.
358 DÉVELOPPEMENTS ET TRANSFORMÉES
On précise un peu le tracé de cette ligne en construisant les tangentes en quelques-uns de ses points et en déterminant ses points d'inflexion, quand elle en a.
Aux points a et f les tangentes à la base sont perpendiculaires aux génératrices correspondantes ; il en résulte qu'aux points correspondants fli et fi les tangentes à la transformée sont perpendiculaires respectivement à aOi et à a fi.
Déterminons la tangente en un point quelconque, d|, correspondant au point d. Observons, pour cela, que la tangente cherchée ftiit avec ddi un angle égal à celui que la tangente ds^ menée en d à la circonférence 0, fait avec la génératrice du cône qui passe par le point rf. Cet angle est situé dans le plan tangent le long de la génératrice projetée en sdy et on Tobtient en rabattant ce plan tangent sur un plan horizontal ou sur un plan de front, sur le plan horizontal de projection dans le cas actuel (*). Si Si est le rabattement du sommet, l'angle cherché est Sids. Pour l'obtenir dans le développement, on a construit le triangle rectangle o^irfj égal au triangle rectangle S|«rf.
Les points d'inflexion de la transformée sont les points qui correspondent aux points de la base en lesquels les plans tangents au cône sont verticaux. Ce sont donc, ici, les points di et Ai, qui correspondent aux points d et A, situés sur les génératrices de contour apparent horizontal. Nous venons d'ailleurs d'indiquer la construction de la tangente au point d^ et on obtiendrait de la même manière la tangente au point hi.
Il est bon d'observer qu'aux points ji et gt les angles de la transformée et des génératrices correspondantes doivent être supplémentaires.
429. Exemple IV. — Un cône de révolution à axe vertical est limité par le plan horizontal de projection et par un autre plan horizontal. On le coupe par un plan de bout et on développe sa surface latérale sur un plan ; construire les transformées des bases et de la section ainsi obtenue.
L'exemple actuel est destiné à montrer comment on construit les asymptotes d'une transformée par développement. Supposons que le cône ait son sommet au point («, sf) et soit limité
(*) On pouvait se dispenser de faire ce rabattement en obseryant que Tangle cherché est égal à s'B'y.
EXEMPLES DE DÉVELOPPEMENTS
au plan horizontal de projection et au plan horizontal dd. Soient (a6, dV) et {cd^ dd!) les deux bases du cône, poiq' le plan sécant. Le plan ef^ mené par le sommet du cône parallèlement au plan sécant coupe le cône suivant deux génératrices projetées horizontalement en sf et en se. On en conclut que la section du cône par le plan px^ est une hyperbole dont les asymptotes sont respectivement parallèles aux deux génératrices projetées en sfei en se. L'une des branches de cette hyperbole est projetée horizontalement en Ihk et verticalement
en l'h'k!; Tautre branche est, de même, projetée horizontalement en mgn et verticalement en m'rfn'. Les asymptotes de la projection horizontale, construites comme cela a été expliqué au n^ 398, sont ço-
DÉVELOPPEMENTS ET TRANSFORMÉES
et eoy et, quant aux asymptotes de la projection verticale, elles sont confondues avec la projection verticale elle-même.
Cela posé, supposons que la surface du cône ait été ouverte suivant l'arête projetée en «a, et développée sur le plan tangent le long de Farête projetée en sb.
Le développement de la nappe inférieure du cône est le secteur circulaire aicoias, dont le rayon Sia^ est* égal à ^a', et dont l'arc a^ui^a^ a même longueur que la circonférence ab. De même, le développement de la nappe supérieure du cône est un secteur circulaire d^vi^dt^ dont le rayon Sidi est égal à s'd!^ et dont l'arc ditù^d^ a même longueur que la circonférence cd.
La transformée de la branche Ihk est l'ensemble des deux arcs lxh% et hih ; de même, la transformée de la branche mgn est l'arc unique mi^ini. Aux points (^, g^ et (A, h^ la tangente à la section est perpendiculaire à la génératrice correspondante du cône; donc, aux points 9i, hi et Ai les tangentes sont perpendiculaires aux rayons respectifs ^1^19 ^lAi et Sih^.
Construisons les asymptotes de la transformée. Pour obtenir une direction asymptotique de la transformée, il suffit de prendre l'arc Oj/V
égal en longueur à Tare af et de joindre le point s^ au point /*i ainsi obtenu. Pour obtenir alors l'asymptote correspondante, on observe que l'asymptote est une tangente, et que la sous-tangente correspondante est f^, dont le sens est le sens fka. On mène donc au point fx la tangente à l'arc ai/*iu>i et, dans le sens ({k^a^y on prend /*i7i égale à fo; puis on mène ^lOi parallèle à fiSi et l'on obtient ainsi une des asymptotes de la transformée. On obtient l'autre asymptote par des constructions analogues ou par symétrie.
Ajoutons qu'il est facile de s'assurer que la transformée présente deux points d'inflexion situés sur l'arc mi^ifii.
1 . On coupe un cylindre de révolution à axe vertical par un plan de bout, et on développe la surface latérale du cylindre sur un plan ; trouver en coordonnées rectilignes l'équation de la transformée de la section plane.
2. On coupe un cône de révolution à axe vertical par un plan de bout, et on développe la surface latérale du cône sur un plan ; trouver, en coordonnées polaires, Téquation de la transformée de la section plane.
3. La base d'un cylindre est nn cercle dans le plan borizontal, et les génératrices du cylindre, inclinées à 45^ sur le plan horizontal, sont de front. On coupe ce cylindre par le premier plan bissecteur, et on développe la surface latérale sur un plan; construire la transformée de la section, et déterminer, en particulier, les points d'inflexion du développement de cette section.
4. Une sphère a son centre dans le plan horizontal. On circonscrit à cette sphère un cône ayant son sommet dans le plan de front mené par le centre de la sphère, et on développe la surface latérale de ce cône sur un plan* Construire la transformée de la trace horizontale du cône, la tangente en on point de la transformée et les points d'inflexion.
5. La surface latérale d'un cylindre circulaire droit à axe vertical ayant été développée sur un plan, on propose de construire la projection verticale de la ligne tracée sur le cylindre, et dont la transformée par développement est une circonférence donnée.
362 DÉVELOPPEMENTS ET TRANSFORMÉES
6. La surface latérale d'un cône circulaire droit à axe vertical est supposée développée sur un plan. Construire les projections de la ligne tracée sur le cône et dont la transformée par développement est une circonférence donnée.
7. Résoudre la même question quand la circonférence donnée est remplacée par une droite.
