CHAPITRE m
§ I. — Détermination des points de la section.
430. Détermiuatlon d'un point quelconque. — La méthode générale pour obtenir un point quelconque d'une section plane d'une surface consiste à déterminer les points de rencontre des génératrices de la surface avec le plan sécant. Il suit de là qu'à chaque mode de génération de la surface, on peut faire correspondre une méthode pour en déterminer une section plane. Dans le cas général, c'est-à-dire quand on n'a pas un mode simple de génération de la surface, rien n'empêche de supposer la surface engendrée par une série de sections planes définies d'après une loi déterminée, et on détermine alors les points de rencontre du plan sécant avec Tune de ces sections planes quelconque, L. Pour cela, on coupe la surface et le plan sécant par le plan auxiliaire de la section L considérée. Ce plan auxiliaire coupe la surface suivant la ligne L, le plan sécant suivant une droite D dont chaque point de rencontre avec la ligne L est un des points cherchés. A l'aide d'autant de plans auxiliaires que l'on veut, on a donc ainsi autant de points que l'on veut de la section.
A première vue, il semble que la méthode n'apporte aucune simplification au problème puisque au lieu de déterminer d'un seul coup la section faite dans la surface par le plan sécant, on commence par en déterminer plusieurs autres. Mais en réalité le problème se trouve bien simplifié; car le plan auxiliaire étant arbitraire, on peut généralement le choisir de manière à obtenir sans difficulté la section de la
surface par ce plan, alors qu'il serait généralement impossible d'obtenir cette même section si le plan était quelconque.
Si, en particulier, la surface est une sphère, on peut prendre comme plans auxiliaires, soit des plans horizontaux, soit des plans de front, soit des plans verticaux passant par le centre de la sphère, soit enfin des plans de bout passant également par le centre de la sphère.
1« Le plan auxiliaire est horizontal ou de front, — Si Ton coupe d'abord la sphère et le plan sécant par un plan horizontal, la section iaite par ce plan dans la sphère est un cercle projeté horizontalement en vraie grandeur suivant un cercle ayant pour centre la projection horizontale du centre de la sphère. De même la section de la sphère par un plan de front est un cercle qui se projette verticalement suivant un cercle de même grandeur ayant pour centre la projection verticale du centre de la sphère.
D'après cela, supposons le plan sécant défini par une horizontale ((oA, io7i') et par une ligne de front (w/*, uy'f^^ et soit (o, o') le centre de
la sphère. Le plan horizontal auxiliaire a'à' coupe le cercle de contour apparent vertical de la sphère en deux points, dont l'un est projeté en (a, a'); il coupe donc la sphère suivant un cercle projeté horizontalement suivant une circonférence do centre o et de rayon oa. Le même plan auxiliaire coupe le plan sécant suivant une horizontale projetée horizontalement en bm. Cette droite et la circonférence oa se rencontrent en deux points, et si m est l'un de ces points, le point (m, nC) est un point de la section.
En coupant de même par le plan de front cd, on voit, par un raisonnement tout pareil, que le point (n^n') est aussi un point de la section.
2® Le plan auxiliaire est vertical ou de bout et passe par le centre de la sphère. — Supposons maintenant que l'on coupe la sphère et le plan
sécant par un plan vertical ou de bout passant par le centre de la sphère. Pour fixer les idées, supposons ce plan auxiliaire vertical. Il coupe la sphère suivant un grand cercle et le plan sécant suivant une droite. Ce cercle et cette droite se projettent horizontalement sur la trace horizontale du plan auxiliaire, mais on n'a pas facilement la projection verticale du cercle. Pour obtenir, dans ce cas, les points de
rencontre de ces deux lignes, on rend le plan auxiliaire qui les a fournies parallèle au plan vertical, en le faisant tourner autour de la verticale du centre de la sphère. Comme après cette rotation la projection verticale du cercle est confondue avec le contour apparent de la sphère sur le plan vertical, on a sans difficulté ses points de rencontre avec la droite, après la rotation. On en déduit les points de rencontre, avant la rotation, par une opération inverse.
On opérerait d'une manière analogue si le plan auxiliaire, au lieu d'être vertical, était de bout. On le rendrait d'ailleurs parallèle au plan horizontal par une rotation autour de la ligne de bout passant par le centre de la spjière.
D'après cela, supposons, par exemple, le plan sécant PaQ' déterminé par ses traces, et soit (o, o') le centre de la sphère. Le plan vertical dont la trace horizontale est oa coupe le plan donné suivant une droite (aa, (/a!), qui est projetée verticalement en (T'ai, quand on Ta rendue parallèle au plan vertical par une rotation autour de la verticale du point (o, o'). Le même plan vertical coupe la sphère suivant un grand cercle dont la projection verticale est confondue avec le cercle de contour apparent sur le plan vertical, après la même rotation. La droite ^ai coupe ce cercle en deux points b'^ et c',, qui sont les projections verticales des points de rencontre après la rotation. On en conclut que les points (6, b') et (c, (/) sont deux points de la section avant la rotation.
Il est bon de remarquer que tous les plans auxiliaires analogues au plan oa passent par la verticale du point (o, o') ; il en résulte que toutes les droites analogues à (tra, a'a') passent par le point de rencontre de cette verticale avec le plan PaQ'. Il y a donc tout avantage à déterminer tout de suite ce point (j, a')» ®t c'est ce qui a été fait sur la figure au moyen du plan de front mené par le point (o, o').
Si le plan auxiliaire est de bout au lieu d'être vertical, on voit de même qu'il y a avantage à déterminer tout de suite le point de rencontre (s, sf) du plan PaQ' avec la ligne de bout passant par le point (o, o'). On voit d'ailleurs, en raisonnant comme plus haut, dans le cas d'un plan auxiliaire vertical, que le plan de bout o'e' fournit deux points (/", f) et {g, j') de la section.
431. Tangente en un point de la section. — C'est l'intersection du plan tangent à la sphère en ce point avec le plan sécant.
Autrement, si l'on mène par ce point la perpendiculaire au plan et le rayon de la sphère, la tangente est perpendiculaire au plan de ces deux droites.
De toutes façons on l'obtient donc sans aucune difficulté.
432. Points remarquables de la section. — On comprend, sous cette dénomination, les points sur les contours apparents, les points de la
section en lesquels là tangente est horizontale et les points de la section en lesquels la tangente est de front.
Points sur les contours apparents. — On obtient évidemment les points de la section situés sur le contour apparent horizontal en coupant la sphère et le plan sécant par le plan horizontal mené par le centre de la sphère.
On obtient de même les points situés sur le contour apparent vertical en coupant la sphère et le plan sécant par le plan de front mené par le centre de la sphère.
Points en lesquels la tangente est horizontale. — Si la tangente en un point À de la section est horizontale, cela veut dire que le plan tangent en A et le plan sécant se coupent suivant une horizontale. Si donc on mène par le point A le plan perpendiculaire à la tangente en ce point, ce plan est vertical ; mais comme il est perpendiculaire à une tangente en son point de contact, il passe par le centre de la sphère; enfin, comme il est perpendiculaire à une droite du plan sécant, il est perpendiculaire au plan sécant.
Ainsi, si en un point A de la section la tangente à cette ligne est horizontale, le plan mené par A perpendiculairement à la tangente est un plan vertical passant par le centre de la sphère et perpendiculaire au plan sécant. Il en résulte que les points tels que le point A sont ceux qu'on obtient en coupant la sphère et le plan sécant par le plan auxiliaire vertical passant par le centre de la sphère et perpendiculaire au plan sécant. La trace horizontale de ce plan auxiliaire est évidemment la perpendiculaire menée par la projection horizontale du centre de la sphère aux projections horizontales des horizontales du plan.
Points en lesquels la tangente est de front. — Un raisonnement analogue à celui qu'on vient de faire montre que ces points peuvent être obtenus en coupant la sphère et le plan sécant par un plan auxiliaire de bout passant par le centre de la sphère et perpendiculaire au plan sécant. La trace verticale de ce plan auxiliaire est la perpendiculaire menée par la projection verticale du centre de la sphère aux projections verticales des lignes de front du plan.
Dans l'épure ci-contre (o, o') est le centre de la sphère et le plan
sécant est déterminé par deux droites qui se coupent : l'horizontale
(u)A, co'A') et la ligne de front (ù)/; w'/^. Les points sur le contour apparent horizontal, déterminés par la méthode qu'on vient d'exposer, sont (a,o') et (*,*'); pareillement, les points sur le contour apparent vertical sont (c, c') et (d, d'). Les points en lesquels la tangente est horizontale ont été obtenus, comme cela vient d'être expliqué, en coupant par le plan vertical dont la trace horizontale est oe. Ce plan vertical coupe le plan donné suivant une droite qu'on a rendue parallèle au plan vertical par une rotation autour de la verticale du centre de la sphère, et qui est alors projetée verticalement en tfjAi (•). Les anciennes projections étant op et oy, on en conclut que les points cherchés sont (e, e') et (A-, A'). Les tangentes en ces points étant parallèles, la droite (eA-, e'k!) est un diamètre du cercle section ; de plus, comme ces tangentes sont horizontales, elles sont parallèles à (wA, co'A') ; donc, aux points e et *, les tangentes sont perpendiculaires à «A, de sorte que cette droite est l'un des axes de la projection horizontale de la section, c et A étant d'ailleurs les sommets situés sur cet axe. On a déterminé d'une manière analogue les points (/, /') et (m, mf)
(•; Accidentellement le point €\ se trouve sur la ligne de rappel du point (d, d').
en lesquels la tangente est de front. Les points V et m! sont deux sommets de la projection verticale de la section.
Pour faire la ponctuation de la projection horizontale, on observe que le point (d, d!) étant vu en projection horizontale, parce qu'il est sur rhémisphère supérieur de la sphère, l'arc adb est vu et l'arc aeb est caché.
On voit d'une manière analogue que l'arc c'cdd! de la projection verticale est vu, tandis que l'arc dmld! est caché.
§ II. — Détermination des axes "des projections de la section.
433. Première méthode. — Toute section plane d'une sphère est un cercle dont les projections sont des ellipses. Or on a vu (165) que si Ton projette un cercle sur un plan P, que nous supposons horizontal pour fixer les idées, le grand axe de l'ellipse ainsi obtenue est la projection, sur le plan P, du diamètre horizontal du cercle; quant au petit axe, il est la projection, sur le même plan, du diamètre perpendiculaire au diamètre horizontal, c'est-à-dire du diamètre qui est en même temps une ligne de plus grande pente du plan du cercle. Les tangentes au cercle aux extrémités de ce diamètre de plus grande pente étant perpendiculaires à ce même diamètre sont horizontales.
D'après cela, une première méthode pour déterminer les axes des projections d'une section plane d'une sphère résulte de la méthode suivie (432) pour déterminer les points de la section en lesquels la tangente à cette ligne est horizontale ou de front.
Soit donc (o, o') la sphère considérée coupée par le plan défini par l'horizontale (wA, u>'A') et par la frontale (o)/", to/'). Si l'on détermine, comme au n^ 432, les points de la section en lesquels la tangente est horizontale, on obtient les points (a, a!) et (6, b'). Nous avons vu (432) que ab est un axe de la projection horizontale, et nous venons de montrer que c'est le petit axe de cette projection. Pour trouver le grand axe, il faut construire la projection horizontale du diamètre horizontal de la section. Or, le centre de la section est projeté au point (», a'), milieu de (aé, a'b'); le diamètre horizontal est donc projeté verticalement en a'r/ et horizontalement suivant la perpendiculaire à ab menée par <s. Pour avoir ses extrémités, il n'y a donc qu'à couper la sphère par le plan auxiliaire <jV
ANTOMAU. — GioX. DBSCR. 24
qui donne un cercle dont la projection horizontale a pour centre le point 0 et pour rayon oc. Ce cercle rencontre la perpendiculaire à
ab menée par <r en deux points d et e, qui sont les extrémités du grand axe de la projection horizontale de la section.
On détermine d'une manière analogue, d'abord le petit axe p'q\ et ensuite le grand axe r'a' de la projection verticale.
434. Deuxième méthode. — Supposons que le plan sécant soit vertical ou de bout, par exemple de bout, et soit a!b' sa trace verticale. II n'y a pas lieu, dans ce cas, de déterminer les axes de la projection verticale, puisqu'elle se réduit à la portion de droite a'b'.
Pour trouver les axes de la projection horizontale, on observe
que le diamètre horizontal du cercle est de bout, puisque le
plan du cercle section est lui-même de bout. Mais le centre de ce cercle est le point ((T, o'), intersection du plan sécant et de la perpendiculaire à ce plan, menée parle centre de la sphère; il en résulte que le grand axe de la projection horizontale est situé sur la ligne de rappel du point (ff, </). Il ne reste donc plus, pour achever de le déterminer, qu'à trouver sa longueur. Pour cela, il suffit de remarquer que la longueur du grand axe est égale à la longueur du diamètre de la section et que, d'autre part, la projection verticale de la section est une portion de droite de même longueur que le diamètre. Si donc on prend 9c='sd= ^ 5 on obtiendra en cd le grand axe de la projection horizontale.
Il faut maintenant trouver le petit axe de cette même projection, c'est-à-dire la projection horizontale du diamètre de plus grande pente. Ce diamètre de plus grande pente est ici de front puisque les horizontales du plan sécantsont des lignes de bout, et ses projections sont ab et afb\ Il est situé dans le plan de front mené par le centre de la sphère et coupe celle-ci en deux points (a, a') et (6, 6'). Il en résulte que les points a et 6 sont les sommets situés sur le petit axe de la projection horizontale.
La construction des axes de la projection horizontale est donc immédiate dans ce cas particulier, et l'on a, bien entendu, par analogie, une construction tout aussi simple des axes de la projection verticale quand le plan sécant est vertical au lieu d'être de bout.
Cela posé, une deuxième méthode pour déterminer les axes des projections d'une section plane d'une sphère consiste à ramener le cas général au cas particulier qu'on vient d'examiner, par des changements de plans de projection.
Soit (o, o') le centre de la sphère et soient (wA, oi'A'j et (a*/*, co'/*') les deux droites qui déterminent le plan sécant. Pour trouver les axes de la projection horizontale, nous prendrons comme plan vertical de projection le plan vertical mené par le centre de la sphère perpendi-
culairement au plan sécant ; la ligne de terre sera alors la perpendiculaire abèi o»h menée par le point o. Nous prendrons de plus, comme plan horizontal, celui qui passe par le centre de la sphère et qui coupe le
plan sécant suivant la droite
^2\ .^ "yfy^l^ [cdydd!). La droite cd est la
'^' trace horizontale du plan
sécant dans le nouveau svstème de projections, et, pour avoir la trace verticale, il n'y a qu'à joindre au point a la nouvelle projection verticale d'un point du plan, par exemple du point (w, «').
On obtient cette projection verticale nouvelle en prenant aiWi, égale à la distance du point (co, u)') au plan horizontal, distance qui est mesurée par o'o". On a donc en oi^i la trace verticale du plan sécant, et on en déduit les axes ab et pq de la projection horizontale comme cela a été expliqué plus haut.
Pour trouver, de même, les axes de la projection verticale, nous prendrons comme plan horizontal de projection le plan de bout mené par le centre de la sphère perpendiculairement au plan sécant ; la ligne de terre sera alors la perpendiculaire x%yt à taf menée par le point o'. Nous prendrons de plus, comme plan vertical, le plan de front mené par le centre de la sphère et qui coupe le plan sécant suivant la droite [gk^g'k). La droite g'k est la trace verticale du pian sécant dans le nouveau système de projection, et, pour obtenir la trace horizontale, il n'y a qu'à joindre au point p la nouvelle projection horizontale d'un point du plan, du point (ru, u>') par exemple. On obtient d'ailleurs cette projection horizontale nouvelle en prenant Pitoi égale à la distance du point (o», <«>') au plan vertical, distance qui est mesurée
par oOi. On a donc ainsi en Itini la trace horizontale du plan sécant dans le système jpsJ/j, et on en déduit les axes l'm! et r^sf de la projection verticale comme cela a été expliqué plus haut.
§ III. — Points de rencontre d'une droite et d'une sphère.
435. Méthode générale pour trouver les points de rencontre d'une droite et d*une surface. — La méthode générale pour trouver les points de rencontre d'une droite et d'une surface consiste à couper la surface par un plan auxiliaire passant par la droite et à prendre les points de rencontre de la droite avec la section ainsi obtenue. La simplicité des constructions dépend évidemment du choix du plan mené par la droite.
Dans le cas particulier oii la surface est une sphère on peut prendre comme plan auxiliaire soit un plan projetant la droite, soit le plan déterminé par la droite et par le centre de la sphère. De là résultent les deux méthodes que nous allons exposer.
436. Première méthode. — Soit à trouver les points de rencontre de la droite (d, rf) avec la sphère {o^o^). Prenons comme plan auxiliaire le
plan projetant horizontalement la droite. Ce plan coupe la sphère suivant un cercle, dont les points de rencontre avec la droite sont les points demandés. Pour obtenir ces points de rencontre, rabattons le plan auxiliaire sur le plan horizontal mené par le centre de la sphère. Le cercle section se rabat suivant la circonférence décrite sur ab comme diamètre. Le point ((D, (!>') oii la droite rencontre le plan horizontal mené par (o, o') reste fixe, et, pour obtenir le rabatteme;it de la droite, il suffit d'en rabattre un pointquelconque, fc, c') par exemple. Ce point se rabattant d'ailleurs en Cu on a en a>Ci
le rabattement de la droite : il en résulte que les points de rencontre de la droite et de la sphère sont rabattus en wij et en ni. Par une opération inverse on en déduit les points de rencontre demandés (m, m') et {n^n').
437. Deuxième méthode. — Soit encore à trouver les points de rencontre d'une droite (d, d!) avec la sphère (o, o'). Prenons maintenant comme plan auxiliaire le plan déterminé par la droite et par le centre de la sphère. Ce plan coupe la sphère suivant un grand cercle dont les
points de rencontre avec la droite sont les points cherchés. Pour les obtenir, on rabat le plan du cercle sur le plan horizontal mené par le centre de la sphère ou sur le plan de front mené par le même point. Supposons que Ton rabatte sur le plan horizontal mené par le centre de la sphère. Le grand cercle se rabat suivant le grand cercle de contour apparent horizontal, et, pour obtenir le rabattement de la droite, il suffit de joindre le point (i>, qui reste fixe, au rabattement Ci d'un point (c, </). Les points cherchés sont donc rabattus en nii et en ni ; on en déduit leurs projections m, m', n, n' en relevant les points wii et ni.
438. Remarque. — Cette méthode suppose que la droite (d, rf') ne passe pas par le centre de la sphère. Si la droite passait par le centre de la sphère, il serait préférable d'employer la première méthode ou, mieux encore, d'observer que les points demandés s'obtiennent en portant sur la droite (d, d'), à partir du point (o, o') et de part et d'autre de ce point, une longueur égale au rayon de la sphère.
La méthode suivante serait encore applicable à ce cas particulier.
439. Cas où la droite rencontre le diamètre vertical ou le diamètre de bout de la sphère. — Pour fixer les idées, supposons que la droite
rencontre le diamètre vertical de la sphère. Faisons alors tourner la droite autour de ce diamètre jusqu'à ce qu'elle soit de front,
et soient mi et ni les points de rencontre de la nouvelle projection verticale de la droite avec le cercle de contour apparent de la sphère sur le plan vertical. Si Ton remarque que la sphère est de révolution autour de son diamètre vertical, comme d'ailleurs autour de tout diamètre, on en conclut que w; et n\ sont les projections verticales des points cherchés après la rotation. On en déduit les projections verticales anciennes w! et n', puis les projections horizontales m et n.
Au fond cette méthode est identique à la deuxième. Mais elle est présentée sous une forme légèrement différente et, sous cette forme, elle s'applique au cas où la droite passe par le centre de la sphère.
i . On coupe une sphère par le plan diamétral qui passe par la ligne de terre, ce qui donne un grand cercle r. Dans le plan de profil du centre de la sphère, on mène la tangente inclinée à 45<> sur les deux plans de projection, et on coupe la sphère par les deux plans menés par cette tangente et tangents au grand cercle F. Représenter le solide qui reste de la sphère quand on enlève la portion qui est intérieure au tétraèdre déterminé par les trois plans.
2. Les coordonnées du centre d'une sphère de W^^ de rayon sont : 0, 90™"», 65"™. On coupe cette sphère : I© par le plan bissecteur du premier dièdre; 2^ par un plan passant par le centre de la sphère, faisant un angle de 6C« avec le plan horizontal, et dont les horizontales font un angle de 45^ avec le plan vertical. Représenter la partie solide de ia sphère comprise dans Tun des dièdres formés par ces deux plans. Ligne de terre suivant le petit axe de la feuille.
3. Par un point a, de coordonDées i20*'", 0, 0, on mène un plan P2Q tel que Vax = 10^ et Q'oo? = 50<». Dans ce plan on prend un point
(c, c') de coordonnées 0, 78™" et 80"". Du point G comme centre on décrit un cercle de 44"" de rayon dans le plan PaQ'. Une sphère passant par ce cercle a son centre dans le plan de profil mené par le centre de la feuille. On considère le diamètre de cette sphère qui passe par le point M de coordonnées 60"", 0, 0, et on coupe la sphère par le plan diamétral perpendiculaire à cette droite. Représenter la partie solide de la sphère comprise entre le plan ainsi mené et le plan PaQ', en conservant le point le plus haut de la sphère.
4. Les coordonnées du centre [o, 0') d'une sphère sont x, 60"", 70"". La sphère a 50"" de rayon. On coupe cette sphère par un plan PaQ' {fig, du problème 3) tel que 'fax = 45<* et ^ax = 60«. La droite ?% passe par le point 0, projection horizontale du point (0, o'), ce qui détermine la yaleur de x. On coupe aussi la sphère par le plan vertical, P, mené par Pa et par le plan de bout, Q', mené par Q'a. Représenter : 1» la partie solide de la sphère située au-dessus du plan PaQ', en arrière du plan P et au-dessous du plan Q' ; 2^ la projection de ce solide sur un plan perpendiculaire à P et à PaQ'.
6. Un tétraèdre SABC a sa face ÂBG horizontale ; cette face est un triangle équilatéral de 120"" de côté, et les hauteurs du tétraèdre issues de A, de B et de G sont égales respectivement à 100"", 90"" et 80"". Une sphère est concentrique à la sphère inscrite au tétraèdre et est tangente au côté BC. Gonstruire la projection horizontale de la partie du tétraèdre située hors de la sphère.
6. Sphère et pyramide. — Une sphère de 120"" de diamètre a son centre situé À 100"" au-dessus du plan horizontal et à 90"" en avant du plan vertical de projection.
Une pyramide a son sommet situé sur la ligne de terre à 80"" à gauche de la ligne de rappel du centre de la sphère; sa base est un hexagone régulier inscrit dans le cercle d'équateur de la sphère ; un côté de cet hexagone est parallèle à la ligne de terre.
On demande de déterminer Tintersection des deux surfaces et de repré* senter la sphère seule, avec Tentaille pratiquée dans sa masse par la pyramide.
On indiquera clairement la méthode suivie :
1» Pour trouver un point couraat (m, m*) de Tintersection et la tangente en ce point (constructions à Tencre rouge} ;
2^ Pour troayer en projection horizontale et verticale les axes des
ellipses projections de Tintersection de la sphère par une des faces de la pyramide (constructions à Tencre bleue).
{Ecole des Ponts et Chaussées^ cours préparatoires ,
concours de 1894.)
7. Intersection dMne sphère de centre (0, CK) par une pyramide triangulaire ayant son sommet (S, S') sur la surface de la sphère et une face parallèle à la ligne de terre.
Déterminer complètement la section plane.
(Ecole des mines de Saint-Etienne, concours de i889.)
8. Pénétration d^une sphère par une pyramide triangulaire, ayant pour
base sur le plan de profil Q?Q' un triangle isocèle AiBiCi. L'arête se en projection horizontale passe par le point o, et s^a% s'b' passent en projection verticale par o' ; (à-Cy s'c') est horizontale.
Construire Tintersection des trois arêtes et des trois faces de la pyramide avec la sphère. Mener les tangentes en un des points dlntersection de Tarête horizontale avec la sphère.
Représenter à part le solide commun et développer ses faces planes.
(Ecole des mines de Saint-Etienne,
concours de i895.)
9. Etant donnée une sphère dont le centre se trouve dans le premier dièdre à égale distance du plan horizontal et du plan vertical (oto = o\ù = 50™") et dont le rayon R est égal à la moitié de cette distance (R = 25"™), on demande de construire les projections d'un tronc de pyramide triangulaire ABCAiBiGi satisfaisant aux conditions suivantes :
1* Les plans de base ABC et AiBiGt sont tangents à la sphère^ parallèles à la ligne de terre et font un angle de 45** avec la partie postérieure du plan horizontal ;
2^ Les arêtes AAi, BBi, i\C\ prolongées passent par le point co; elles sont tangentes à la sphère et font entre elles des angles égaux.
On placera Tarête AAi dans le plan de profil o'ioo et de manière à faire avec le plan horizontal le plus grand angle possible.
On indiquera les intersections de la sphère et des faces du tronc de
pyramide.
{Ecole navale, concours de 1885.)
10. Une sphère de rayon R = 30»" e^t tangente an plan horizontal de
cote zéro au point o. D*an point A, situé dans ce plan a une distance OA = lOu"™, on mène successivement :
i"* Les deux tangentes à la sphère faisant avec la Terticale un angle de 40° ;
2« Les deux tangentes à la sphère faisant avec Thorizontale OA un angle de 23<'.- Ces quatre tangentes étant considérées comme les arêtes d*une pyramide indéfinie de sommet A, tracer la projection du volume commun à la sphère et à cette pyramide.
{École navale, concours de 1895.)
il. Un tétraèdre SABC repose par sa hase ABC sur le plan horizontal ; Tangle trièdre S est trirectangle ; les côtés de la base sont
AB = 209»», BC = 193»» et AC = 149»».
AB est parallèle à la ligne de terre (A à droite) et à une distance de cette ligne de 22»».
Construire Tintersection de ce tétraèdre et de la sphère qui passe par le point S et par les milieux des côtés du triangle ABC.
Pour la mise à Tencre, on représentera le solide commun à la sphère et
au tétraèdre.
(École deSaint-Cyr, concours de 1892,)
12. On donne dans le premier dièdre un point A dont la cote sa est
cm
',9 ; réioignement aa^ 2«»,2 ; et un point G dont la cote 75/ est 5^»,3,
réloignement y^* 4'»,8, et dont la distance au plan de profil de A vers la droite est 5*», 2. La droite AG est une diagonale du parallélépipède rectangle dont une face est horizontale, une autre parallèle au plan vertical ; trouver : i^ les projections du parallélépipède ; 2<> celles de la sphère qui lui est circonscrite.
Parles milieux M, N, P des trois arêtes DH, BG, EF on fait passer un plan ; trouver les intersections de ce plan avec le parallélépipède, avec la sphère, et les vraies grandeurs de ces sections.
Pour la mise à Tencre, on supprimera la portion de la sphère située au-dessus du plan sécant, et la portion de parallélépipède située audessous.
{École de Saint-Cyr, concours de 1885.)
13. Un tétraèdre est placé sur le plan horizontal. Un des côtés de la base ab (a est à gauche) est parallèle à œy et distant de celte ligne de 3^»,5. Sa longueur est de 10^» ; les deux autres côtés ont pour longueurs ac = t2«»,3, bc = 1 1«». L'arête Sa = 13*^» ; Tarêle Se = 12'=m,5 ; l'an-
gie dièdre formé par les deux faces abc et Soc est de 70<>. Construire ce tétraèdre. A partir du sommet S on prend sur Sa une longueur SO = S^^™, et du point 0 comme centre on décrit une sphère passant par le sommet S. Trourer Tintersection de cette sphère avec le tétraèdre.
Dans la mise à Tencre on supposera enlevée toute la portion du tétraèdre détachée par la sphère.
{Saint-Cyr, i'« épreuve, 1887,)
14. Un tétraèdre SABC, dont la face ABC est située sur le plan horizontal, est déterminé de la manière suivante : le sommet S a pour cote ':^^ et pour éloignement 3®"^. L*aréte SA est dans un plan de profil et le point A a pour éloignement ii^^^'tS. La face SBC (B à gauche) est parallèle au plan vertical. Les faces SAB et SAC font chacune avec le plan de profil qui contient Tarète SA un angle de 45<*. Sur Tarète SB on prend, entre S et B, un point D à 2<^™ du sommet S, et par ce point D on mène un plan perpendiculaire à Tarèle SB ; ce plan coupe SC en £ et SA en F.
1<* Construire les projections du triangle DËF.
2<* On considère la sphère qui a DE pour diamètre. Représenter le solide
commun à celte sphère et au tétraèdre.
(Saint'Cyr, 1888,)
15. Un tétraèdre SABC dont Tangle trièdre S est trirectangle, a sa base ABC sur le plan horizontal. AB est sur la ligne de terre (A vers la gauche) et a pour longueur 140°^°^. La projection horizontale du sommet S est un point i dont les distances aux points A et B sont A; = 105™*^ et Bs = 49"».
Construire ce tétraèdre, puis son intersection avec la sphère ayant S
pour centre et passant par le centre de la sphère inscrite au tétraèdre.
Dans la mise à Tencre, on représentera la partie du volume du tétraèdre
extérieure à la sphère S.
(Saini'Cyr, 1891.)
16. i^ Construire un tétraèdre TABG dont la base ABC est sur le plan horizontal, connaissant les longueurs des six arêtes : BC = 200™™, CA = 189»™, AB = loi"™, TA = 113™», TB = 107™™, TC = 131™™ (BC parallèle à a?y à la distance de 30™™, B à droite, A plus éloigné que BC de xy).
2^ Construire un cône de révolution à axe vertical, dont la trace horizontale, tangente à AB, a pour centre la projection t de T, et dont les génératrices font avec le plan horizontal un angle égal à TincUnaison de la face BTC sur le plan horizontal.
3<» Construire llnterseclion de la pyramide et du cône. Tangentes aux points remarquables. Représenter la portion de la pyramide extérieure au cône, portion supposée opaque.
[Saint Cyr, 1893.)
17. Une sphère de centre 0, de rayon égal i 9**, est tangente an plan horizontal. Soit AB un diamètre horixontal de. la s[4ière, C le milieu dn rayon OA, D le point le pins éleTé de la sphère. Par les trois points B, C, D mener trois parallèles faisant des angles de 45® arec le plan horizontal et perpendiculaires à ia direction AB. Trouver la projection horizontale de rintersection de la sphère et de la surface prismatique indéfinie ayant ces trois parallèles pour arêtes latérales.
Représenter la portion (supposée opaque} de la sphère comprise dans la surface prismatique. Construire les sommets des ellipses formant la projection de rintersection, et écrire les cotes des points correspondants.
Mener les tangentes à ces ellipses en leurs points situés sur les projections des arêtes.
Construire les projections des points de HntersecUon déterminés par le plan horizontal décote 16.
Mener à rintersection les tangentes parallèles aux côtés du triangle BCD et écrire les cotes des points de contact.
(Saint-Ctfr, i895.)
