CHAPITRE IV

§ I. — Construction des points de la section.

440. Le plan sécant est perpendiculaire à Taxe. — Lorsqu'on coupe une surface de révolution par un plan perpendiculaire à l'axe, la section se compose d'un ou de plusieurs parallèles. Ces parallèles ont pour centre commun le point de rencontre de l'axe et du plan sécant, de sorte que chacun d'eux est déterminé par un point. Pour obtenir un point de chacun de ces parallèles, il suffit d'ailleurs de déterminer les points de rencontre du plan sécant avec une génératrice de la surface de révolution.

Le problème est particulièrement simple lorsque l'axe de la surface est vertical ou de bout, car l'une des projections de l'un quelconque des parallèles d'intersection se réduit alors à une droite, et l'autre projection est un cercle égal au parallèle.

441. Le plan sécant passe par l'axe* — Lorsque le plan sécant passe par l'axe la section est une méridienne de la surface, et nous avons appris plus haut (271, 272, etc.) à la constmire dans les principaux cas; nous n'y reviendrons donc pas.

442. Méthode générale pour obtenir les points d'une section par un plan quelconque. — La méthode à suivre pour obtenir un point quelconque d'une section plane d'une surface de révolution consiste à déterminer les points de rencontre des génératrices de la surface avec le

plan sécant. La simplicité des constructions dépend du choix de la génératrice et ce choix dépend lui-même de la position de Taxe par rapport aux plans de projection.

1» Quelle que soit la position de Taxe, on peut prendre comme génératrices les parallèles de la surface. Pour obtenir alors des points de la section, on prend un point quelconque A sur la directrice et on détermine les points de rencontre du parallèle de ce point avec le plan sécant. Pour cela, on construit d'abord Tintersection du plan de ce parallèle avec le plan sécant, puis on cherche les points de rencontre de la droite ainsi obtenue avec le parallèle.

D'après cela, pour obtenir tous les points de la section, il n'y a qu'à répéter les mêmes constructions en faisant décrire une fois toute la directrice au point A.

Pour tracer la courbe section, on observe qu'il y a, en général, deux points de cette ligne sur chaque parallèle. Chacun de ces points, quand le point A se déplace dans un sens déterminé sur la directrice, décrit une branche de courbe dont on obtient deux arcs en joignant les deux points aux deux points respectivement voisins obtenus quand le point A passe d'une première position à une position voisine. En procédant ainsi, de proche en proche, on obtient les deux branches de courbe décrites respectivement par les deux points et qui se rejoignent quand les deux points viennent se confondre.

2« Quand on connaît une méridienne de la surface et que l'axe est vertical ou de bout, on peut avoir avantage à déterminer les points de la section en prenant comme génératrices les méridiennes de la surface. Le plan de l'une quelconque de ces méridiennes coupe le plan sécant suivant une droite a, dont les points de rencontre avec la méridienne [A sont des points de la section. Pour déterminer ces points, on rabat le plan de la méridienne ii sur le plan de la méridienne connue, en le faisant tourner autour de l'axe; la droite a prend alors une position Al dans laquelle elle rencontre la méridienne connue en des points qui sont les positions des points cherchés après le rabattement» et il n'y a plus alors qu'à faire une opération inverse. Cette méthode a été employée dans le cas de la sphère (430, 2®).

443. Tangente en un point courant de la section. — La tangente en un point quelconque de la section peut être obtenue de deux manières : soit en la considérant comme l'intersection du plan tangent

en ce point avec le plan de section, soit en la considérant comme la perpendiculaire menée par le point au plan des deux normales. On a appris d'ailleurs à construire la normale au plan sécant (119) et la normale à la surface (337).

4^4. Parallèles Umltes. — Nous avons vu (442, 1^) que si Ton considère la surface comme engendrée par ses parallèles, sur chacun de ces parallèles il y a en général deux points de la section : on appelle parallèles limites ceux pour lesquels ces deux points sont confondus. Il est aisé de les obtenir. Pour cela, il y a deux cas à examiner suivant que le parallèle limite cherché a un rayon nul ou différent de zéro.

Lorsque le parallèle limite a un rayon nul, il se réduit à un point situé sur Taxe de la surface, et le plan sécant passe par ce point. Ces sortes de parallèles limites s'obtiennent donc en prenant, parmi les points de rencontre de Taxe et du plan sécant s'il y en a plusieurs, ceux qui appartiennent en même temps à la surface. Il est bien entendu, d'ailleurs, que l'axe et le plan sécant ne peuvent avoir plusieurs points communs que si le premier est contenu dans le second.

Supposons donc que le parallèle limite n'ait pas un rayon nul. Dans ce cas, puisqu'il a deux points communs confondus avec le plan sécant, c'est qu'il est tangent à ce plan. Appelons A le point de contact et D la tangente au parallèle en ce point. Cette tangente est évidemment contenue dans le plan sécant, de sorte que le plan perpendiculaire à D mené par A est perpendiculaire au plan sécant; mais le plan mené par A perpendiculairement à D est perpendiculaire à une tangente au parallèle limite et passe par l'axe de la surface; il est donc confondu avec le plan mené par l'axe perpendiculairement au plan sécant. D'après cela, pour obtenir les parallèles cherchés on mènera par Taxe le plan auxiliaire perpendiculaire au plan sécant, et Ton cherchera, par la méthode exposée au n^ 442, 2*, les points de la section situés dans ce plan auxiliaire. Les parallèles des points ainsi obtenus seront les parallèles limites de la deuxième espèce.

Il est bon d'observer que les points qui fournissent ces parallèles se trouvent sur la droite d'intersection du plan auxiliaire et du plan sécant, droite qui passe par les points communs à l'axe et au plan sécant. Cette droite fournit donc aussi les parallèles limites de rayon nul, quand il y en a.

Nous appellerons points limites les points de la section situés sur les parallèles limites.

4^5. Tangente en un point limite. — Appelons encore A un point limite et distinguons deux cas suivant que le parallèle du point A n'est pas ou est de rayon nul.

1° Supposons d'abord que le parallèle du point A ne soit pas de rayon nul et appelons D la tangente en A à ce parallèle. Nous avons déjà dit (444) que cette tangente est contenue dans le plan de section ; d'autre part, elle est évidemment dans le plan tangent en A à la surface; donc elle est la tangente cherchée.

^ Supposons maintenant que le parallèle du point A soit de rayon nul. Alors le point A est sur l'axe et le lieu des tangentes en A à la surface est en général un cône de révolution. Le plan sécant coupe en général ce cône suivant deux génératrices, qui sont les tangentes demandées ; de sorte qu'en général le point A est un point double de la section à tangentes distinctes.

446. Points à l'infini. — Pour qu'un point de la section soit à l'inttni, il faut que le rayon du parallèle correspondant soit infini. Si donc la méridienne n'a pas une asymptote perpendiculaire à l'axe, il faut que le parallèle qui donne le point à l'infini soit lui-même à l'infini. Mais le cône circonscrit à la surface le long de ce parallèle à l'infini n'est autre chose qu'un cône asymptote à la surface ; par suite, les points à l'infini sont les mêmes que ceux de la section des divers cônes asymptotes par le plan sécant.

Si un cône asymptote se réduit à un plan perpendiculaire à Taxe, c'est-à-dire si la méridienne a une asymptote perpendiculaire à l'axe, le plan sécant coupe le plan perpendiculaire à l'axe mené par cette asymptote suivant une droite qui est la direction d'un point à l'infini.

447. Asymptotes. — Quand un point s'éloigne indéfiniment, la tangente à la section en ce point a pour limite l'asymptote au point à l'infini correspondant. L'asymptote correspondant à un point à l'infini est donc l'intersection du plan sécant et du plan tangent en ce point à l'infini. Comme le plan tangent au point à Tinfini est tangent au cône asymptote, que d'autre part le point à Tinfini est lui-même sur ce cône, il en résulte que les asymptotes d'une section plane d'une surface

de révolution sont les mêmes que celles de la section obtenue en coupant le cône asymptote par le même plan.

448. Méridiens limites. — Supposons que pour avoir les points de la section on considère la surface comme engendrée par ses méridiennes, ce qui revient à déterminer les points de la section situés sur les méridiens successifs de la surface. Le plan d'une méridienne coupe le plan sécant suivant une droite a. Lorsque cette droite est tangente à la méridienne correspondante le plan de cette méridienne s'appelle un méridien limite.

Il est aisé d'obtenir tous les méridiens limites, quand il y en a. Observons en effet que la droite A passe par le point de rencontre S de l'axe de la surface et du plan sécant. Pour les méridiens limites les droites analogues à a sont des tangentes menées par S aux méridiennes limites. Mais le lieu des tangentes menées par le point S aux diverses méridiennes de la surface est le cône de sommet S circonscrit à la surface ; il en résulte que les droites A sont à l'intersection de ce cône et du plan sécant. L'une quelconque de ces droites et l'axe déterminent le plan d'un méridien limite.

449. Tangente en un point situé sur un méridien limite. — Lors- <|u'un point de la section est situé sur un méridien limite, la tangente à la section en ce point est confondue avec la tangente à la méridienne correspondante ; car la tangente à cette méridienne est contenue à la fois dans le plan sécant et dans le plan tangent à la surface au point considéré.

450. Remarque. — Il est bon d'observer, en terminant, que le plan mené par l'axe perpendiculairement au plan sécant étant un plan de symétrie pour la surface et pour le plan sécant est un plan de symétrie de la section. Il en résulte que la trace de ce plan sur le plan sécant est un axe de symétrie de la section.

431. Un exemple de section plane. — Comme application, proposons-nous de construire une section plane d'un tore de révolution à axe vertical. Soit (02, o'z^ l'axe du tore défini en outre par sa méridienne (t>'ci>i. Supposons le plan sécant déterminé par la droite (aA, a'b') située dans le plan horizontal coV| et par le point (0, 0') situé sur l'axe.

AirrOMAftl. — OÊOM. DE8CR. 23

Pour construire la section obtenue en coupant le tore par ce plan, nous avons à construire : !<> les points sur les parallèles limites ; 2^ les points sur les méridiens limites; 3<> un point quelconque et la tangente en ce point ; 4<> les points sur les contours apparents.

1® Points sur les parallèles limites. — Le plan perpendiculaire au plan sécant mené par l'axe (4ï4) coupe le plan sécant suivant la droite (oc^ o'd) ; cette droite amenée dans le plan de front de Taxe en (oci, oVi) rencontre la méridienne en deux points dont les projections verticale sont dt et el ; il en résulte que les points (rf, rf') et (e, e') sont les points situés sur les parallèles limites. Aux points d et e les tangentes sont perpendiculaires à oc (445), tandis qu'elles sont horizontales aux points d! et e'.

2® Points sur les méridiens limites. — On peut circonscrire à la surface deux cônes de sommet (o, o') (448). L'un de ces cônes est un cône véritable et n'est pas coupé par le plan sécant; l'autre se réduit au plan horizontal f'g' qui coupe la surface suivant le parallèle ofei le plan sécant suivant la droite (fg, f'g') ; il en résulte que les points (^ f) et {g^ g") sont les points situés sur le méridien limite, dont la trace horizontale est d'ailleurs fg. En f et en g la tangente est fg^ tandis qu'elle est f'g' en f et en 5' (449).

3^* Construction d^un point courant et de la tangente en ce point. — Pour obtenir un point quelconque de la section, considérons un parallèle quelconque de la surface projeté verticalement en h'I'. Le plan de ce parallèle coupe la surface suivant deux parallèles; il coupe le plan sécant suivant une droite (m/, m'I'). Cette droite rencontre les deux parallèles en quatre points de la section : (m, m') ; (/, /') ; (A, kf) ; {n, n'j.

Construisons la tangente au point (m ,m'). Pour cela, menons la normale (<Tm, ff'm') à la surface, la normale (mp^ m'p') au plan sécant, et menons par le point (m, m') la perpendiculaire (mf, m't') au plan de ces deux normales, en construisant d'abord une horizontale ipq^p'q') de ce plan et une frontale (r*, ?Vj. La droite (m<, m'() est la tangente demandée.

kc^ Points sur les contours apparents. — Les points sur le contour apparent horizontal s'obtiennent en coupant par le plan horizontal <dVi : on obtient ainsi les deux points (a, a!) et (6, b').

En coupant de même par le plan de front mené par Taxe, on obtient les points (w, u') et (v, v^ situés sur le contour apparent vertical.

Ponctuation.— Pour faire la ponctuation, on a représenté la section tracée sur la surface du tore supposée opaque. Le point (rf, df) situé au-dessous du plan horizontal to'w'i étant caché en projection horizontale, l'arc adb est caché et Tare amfkvenglb est vu.

Pour la projection verticale, le point (a, a') étant évidemment caché, il en est de même de l'arc u'a'm'f'kv' ; mais le point (n, n') est aussi caché par le parallèle du point (m, m') ; donc l'arc v'e!n'g[ est aussi caché. Le reste de la courbe est vu en projection verticale.

452. Remarque. — D'après la manière même dont on a construit les points, il est clair que la droite oc est un axe de symétrie de la projection horizontale.

453. Points de rencontre d*une droite et d'une surface de révolution. — Comme pour la sphère (435), on peut obtenir les points de rencontre d'une droite et d'une surface de révolution en coupant la surface par un plan passant par la droite : les points communs à la section obtenue et à la droite sont les points cherchés. On prend généralement comme plan sécant l'un des plans projetant la droite, afin de n'avoir à construire qu'une seule projection de la section.

Il y a toutefois exception quand la droite est perpendiculaire à Taxe ou rencontre l'axe. Dans le premier cas on coupe par un plan perpendiculaire à l'axe, parce qu'il coupe la surface suivant des parallèles ; dans le deuxième cas on coupe par le plan du méridien qui contient la droite.

Cette méthode est applicable à toutes les surfaces ; mais pour les surfaces particulières il y a des méthodes particulières qui seront données ultérieurement ou qui ont déjà été données.

§ IL — Sections planes des quadriques de révolution.

454. Détermination des points de la section. — On détermine les points d'une section plane d'une quadrique de révolution par Tune des méthodes générales exposées au n° 442. Toutefois, quand la quadrique est une surface gauche de révolution, il y a avantage à prendre comme

génératrices les droites ti'acées sur la surface et à déterminer, par suite, les points de rencontre de ces droites avec le plan sécant.

458. Nature de la section. — Rappelons d'abord que si la surface est un cylindre de révolution, la section par un plan est du genre ellipse quand le plan n'est pas parallèle à l'axe, et elle est un système de deux, droites parallèles à l'axe, quand le plan est lui-même parallèle à cette droite.

Lorsque la surface est un cône, la nature de la section est fournie par le théorème de Dandelin.

Quand la surface est un ellipsoïde, la section est toujours du genre ellipse; elle peut être une ellipse, une hyperbole ou une parabole dans le cas d'un hyperboloïde ; elle peut même être un système de deux droites réelles qui se coupent ou qui sont parallèles quand l'hyperboloïde est à une nappe. Enfin, quand la surface est un paraboloïde de révolution, la section est du genre ellipse si le plan sécant n'est pas parallèle à l'axe, et elle est une parabole dans le cas contraire.

Nous considérons tous ces résultats comme des conséquences de rétude analytique des quadriques. Nous voyons d'ailleurs qu'il ne peut y avoir doute sur la nature d'une section plane d'une quadrique de l'évolution que si cette quadrique est un hyperboloïde. On sait du reste, dans ce cas, que la section est de même nature que celle qu'on obtient en coupant le cône asymptote par le même plan, et on sait déterminer la nature d'une section plane de ce cône (405).

456. Axes et sommets de la section. — On peut encore trouver la nature d'une section plane d'une quadrique de révolution en déterminant ses axes et ses sommets. Nous avons vu plus haut (450) qu'on obtient un axe d'une section plane d'une surface de révolution quelconque en prenant la droite d'intersection du plan sécant avec le plan mené par l'axe perpendiculairement au plan sécant. Comme cette construction donne en même temps les points sur les parallèles limites, il y a tout avantage à l'utiliser pour reconnaître la nature de la section quand la surface est une quadrique.

Pour cela, appelons A l'axe ainsi obtenu, et observons qu'il rencontre la surface en deux points réels ou imaginaires, distincts ou confondus, à distance finie ou infinie. Supposons que le plan coupe eflTcctivement la surface ; alors :

1» Si les deux points de rencontre de ^ et de la surface sont imaginaires, la section est une hyperbole ;

2° Si ces deux points de rencontre sont rcels et distincts, la section est du genre ellipse ou hyperbole. Pour trancher la question, appelons A et B ces deux points de rencontre et observons que le milieu de AB est le centre de la section. Coupons le plan sécant par le plan perpendiculaire à AB en son milieu, et appelons Aj la droite d'intersection : cette droite est le second axe de la section. Déterminons alors les points de rencontre de ^^ avec la surface : si ces points sont imaginaires, la section est une hyperbole ; s'ils sont réels, c'est une ellipse. Dans Thypothèse que nous examinons, il ne peut pas se présenter d'autres cas.

S"» Si les deux^oints de rencontre de a et de la surface sont confondus, la section est un système de deux droites, et le plan de section est tangent à la surface, à moins que la surface ne soit un cône.

4° Si un seul point de rencontre est à dislance finie, on a une parabole ; et enfm si lesdeux points sont à Finfîni, on a deux droites parallèles.

Ajoutons que les points de rencontre de la surface avec A et avec Al sont les sommets de la section.

457. Projection de la section sur un plan perpendiculaire à Taxe. —

Supposons Taxe vertical, et cherchons la projection horizontale de la section. Nous supposerons, pour cela, que le plan sécant soit de bout, et nous étudierons successivement chaque surface.

I. — La surface est un cylindre, — La projection horizontale de la section est alors un cercle confondu avec la base du cylindre.

II. — La surface est un cône, — Quelle que soit la nature de la section, sa projection horizontale est une conique ayant pour foyer le point de rencontre de Taxe avec le plan horizontal, et la directrice correspondante est la projection horizontale de la droite d'intersection du plan sécant et du plan perpendiculaire à Taxe mené par le sommet du cône.

Soient en effet (o, o') le sommet du cône et rxq' le plan sécant coupant le plan perpendiculaire à Taxe mené par le sommet du cône suivant la ligne de bout (pq, p'q'). Soit (m, m') un point de la section ; traçons le parallèle de ce point et menons mp perpendiculaire à pq.

puis cherchons à exprimer le rapport

mo

mp

Pour cela, appelons to

l'angle de auj' avec arj/ et 6 le demi-angle au sommet du cône. On a

évidemment om = sm'i = oWi sin 8 ; d'autre part, on a

mp = mfp' = m'q' cos c» ; il en résulte

mo o'm\ sin 0

mp m'q' cos «d

Mais les deux droites parallèles m\m' et o'q' donnent

donc

oV

mo __ oa' sin 0 mp q'a' cos eu

mo

ce qui montre que le rapport ^^ est constant. Ainsi le point o est

bien un foyer de la projection horizontale, et la directrice correspondante est pq^ de sorte que Taxe focal est la perpendiculaire of menée du point 0 sur la trace horizontale du plan sécant. On peut encore démontrer cette propriété de la manière suivante : Supposons d'abord que la surface, au lieu d'être un cône, soit un hyperboloïde de révolution à une nappe et à axe vertical. Coupons la surface par un plan et, appelons A l'intersection de ce plan avec celui du cercle de gorge. En vertu des propriétés des contours apparents démontrées au n° 297, la projection horizontale de la section est doublement tangente à la projection horizontale du cercle de gorge, et la

corde de contact est la projection horizontale de a. Cette propriété subsiste évidemment quel que soit le rayon du cercle de gorge. Supposons alors que ce rayon tende vers zéro : l'hyperboloïde devenant un cône, on en conclut que toute section plane d'un cône de révolution à axe vertical est projetée horizontalement suivant une conique doublement

tangente à un cercle de rayon nul, projection du sommet du cône. La corde de contact est la projection horizontale de l'intersection du plan sécant avec le plan perpendiculaire à l'axe mené par le sommet du cône.

III. — La surface est une sphère. — Soient (o, o') le centre de la sphère et pa^ le p)an sécant. La section est un cercle projeté horizontalement suivant une ellipse dont le petit axe perpendiculaire à dp est égal à ab^ et dont le grand axe parallèle à ap est égal à a'V (434).

IV. — La surface est un ellipsoïde. — Supposons d'abord que la surface soit un ellipsoïde allongé. Figurons la méridienne principale

de cet ellipsoïde, et soient (oï, o'z') l'axe et p%q[ le plan sécant. La projection horizontale de la section est une ellipse dont l'un des axes est perpendiculaire à la trace horizontale du plan, tandis que l'autre est parallèle à cette même trace. Si d'ailleurs a! et b' sont les points de rencontre de aç' avec la projection verticale de la méridienne principale, l'axe perpendiculaire à op est égal à a6, et en outre, a et 6 sont les sommets situés sur cet axe.

Il est aisé de voir que l'axe parallèle à OLP est inférieur à a'b'. En effet, la section par le plan paqr' est homothétique à la section par le plan piXifi mené par le centre de l'ellipsoïde parallèlement à paç'. Les projections

horizontales des deux sections sont donc aussi homothétiques. Or, les axes de la section par le plsm piOL^q\ sont (ai6|,ai6i)et le diamètre de Tellipsoïde perpendiculaire à (ai6i, ai^i) dans le plan PiOiiq't. Ce diamètre est de bout et a même longueur que le petit axe de la méridienne; donc il est plus petit que a\b[. Mais la projection horizontale de ce diamètre est Taxe parallèle à «p dans la projection horizontale delà section par le plan ptOLiq'i ; de plus il est évidemment le grand axe de cette projection, puisqu'il est le diamètre du cercle de contour apparent sur le plan horizontal ; donc Taxe parallèle à «p dans la projection horizontale de la section par le plan piXi^i est le grand axe de cette projection et est inférieur à a[b\ . Il en résulte, par raison d'homothétie, que l'axe parallèle à xp dans la projection horizontale de la section "par le plan poiq' est le grand axe de cette projection et est inférieur à a'I/.

Si Ton suppose maintenant que l'ellipsoïde soit aplati, et si l'on appelle encore a'b' la corde déterminée par la méridienne principale sur la trace verticale du plan sécant, supposé de bout^ on voit par le même raisonnement que l'axe parallèle à ap dans la projection horizontale de la section est le grand axe de cette projection et est supérieur à C'A'.

En rapprochant ces résultats de celui qui est relatif à la sphère, on voit que le grand axe de la projection horizontale de la section est parallèle à ap et que, de plus :

Il est égal à a!V dans le cas de la sphère ;

Il est inférieur à a^b' dans le cas de l'ellipsoïde allongé ;

II est supérieur à a'b' dans le cas de l'ellipsoïde aplati. Ajoutons, pour généraliser, que a'b' est la corde déterminée par le plan sécant dans la méridienne dont le plan est perpendiculaire au plan sécant, et rappelons que le plan horizontal est un plan quelconque perpendiculaire à Taxe.

V. — La surface est un hyperboloîde. — Nous nous occuperons simultanément de Thyperboloïde à une nappe et de l'hyperboloïde à deux nappes, et nous distinguerons trois cas suivant que la section est du genre ellipse, du genre hyperbole ou du genre parabole.

!«' Cas. — Considérons deux hyperboloïdes conjugués de révolution autour d'un axe vertical, qui est transverse pour l'hyperboloïde à deux nappes et non transverse pour l'hyperboloïde à une nappe. Soient Hs et Hi les hyperboles méridiennes respectives de ces deux surfaces et a'b' la trace verticale du plan sécant, que nous supposons toujours de

bout. On sait que ce plan coupe les deux hyperboloïdes et leur cône asymptote suivant des coniques homothétiques et concentriques. Supposons que ces coniques soient des ellipses proprement dites, et appelons :

ol et o'i les points de rencontre de la trace verticale du plan sécant avec H| ;

b' et h\ les points de rencontre avec les asymptotes de Hi et de H» ;

d et ci les points de rencontre avec Hj.

Les trois sections étant liomothétiques et concentriques, leurs pro-

jections horizontales sont aussi homothétiques et concentriques. Or, si Ton appelle w' le milieu de Vh\^ la projection horizontale de la section dans le cône asymptote a pour centre le point w et pour foyer le point 0 (457, II), de sorte que oto est Taxe focal des trois projections, dont trois sommets respectifs sont a, b et c. D'autre part, soient f et ç> les foyers respectifs homologues à o dans les projections horizon-

laies des sections de Thyperboloïde à une nappe engendré par Hi et de rhyperboloïde à deux nappes engendré par H2. Le point w étant le centre d'homotliétie des projections liorizontales, on a

0)0 (1)/* too

iiib ci>a 'oc La comparaison des deux premiers rapports montre que wa étant supérieur à (06, on a w/' > wo ; la comparaison du premier et du troisième rapport montre de même que Ton a wo < wo. Si donc on appelle f et f les foyers de la projection horizontale de la section faite dans Thyperboloïde à une nappe, o et 0' les points analogues relatifs à Thyperboloïde à deux nappes, on voit que le point 0 est compris entre f et f\ tandis qu'il est extérieur au segment ©<p'.

2^ Cas. — Supposons maintenant que les trois sections soient des

hyperl)oles, et conservons les mêmes notations que dans le premier cas. En raisonnant encore comme dans ce cas, on a les égalités

(1)0 tùf fOO

lu 6 tua (OC

L'égalité du premier et du deuxième rapport montre alors que u)/" est inférieur à wo, tandis que l'égalité du premier et du troisième rapport montre que coo est supérieur à wo. // en résulte que le point 0 est compris entre les points o et o' et qu'il est extérieur au segment ff.

La figure suppose que la trace verticale du plan sécant coupe les deux hyperboles méridiennes. Elle coupe d'ailleurs toujours l'hyperbole Hj, mais elle peut être tangente à l'hyperbole Hi, et elle peut même ne pas couper du tout cette hyperbole. Si elle est tangente à l'hyperbole Ht, la section dans l'hyperboloïde à une nappe est un système de deux droites, et le point o est toujours situé entre les points © et o'.

Si elle ne coupe pas l'hyperbole H,, la section dans l'hyperboloïde à une nappe, projetée sur le plan horizontal, admet lao comme axe non transverse. Pour l'hyperboloïde à deux nappes, les résultats ne

changent pas.

3« Cas. — Supposons enfin que les trois sections soient paraboli ques et conservons encore les mêmes notations.

La trace verticale afb'c' du plan sécant est maintenant parallèle à une asymptote des hyperboles Hi et H2. Les projections horizontales des sections dans les deux hyperboloïdes sont deux paraboles égales ayant pour sommets respectifs a ci c. Les axes de ces deux paraboles sont encore dirigés suivant la ligne tt\ et sont de même sens.

Si Ton appelle f le foyer de la projection horizontale, et a le sommet de cette projection, les points 0, a et /* se présentent dans l'ordre

afo pour rhyperboloïde à une nappe et dans Tordre fdo ou foa pour rhyperboloïde à deux nappes.

Ces divers résultats s'obtiennent en considérant une section parabo- Ii(|ue comme la limite d'une section elliptique ou hyperbolique dans le cas de rhyperboloïde à une nappe, et de même dans le cas de rhyperboloïde à deux nappes.

VI. — La surface est un paraboloîde. — Dans ce cas, si l'on suppose toujours que le plan sécant ne soit pas parallèle à l'axe, la section est une ellipse dont la projection sur un plan perpendiculaire à l'axe est un cercle.

Soient en effet (oz, oV) Taxe de la surface, P la parabole méridienne et (/df la trace verticale du plan sécant supposé encore de bout. Construisons un point quelconque de la section au moyen du parallèle (ai, a'b% et cherchons la tangente en m à la projection horizontale de la section. Employons, pour cela, la méthode du plan

des deux normales. En p\ // menant la normale à la

méridienne P au point (a, 0% on voit que la normale à la surface au point (m, m^) est projetée en om et en o'm'. D'autre part, si Ton mène la normale au plan sécant par le point (o, 0% on voit que la tangente à la section au point (m, m') est perpendiculaire au plan des deux droites (om, o'm') et (oa>, oV).

Une horizontale de ce plan étant (mio, m'w'), la tangente en m à la projection horizontale de la section est la perpendiculaire à 711 0) menée par le point m.

Autrement dit, la droite mw est la normale en m à la projection horizontale de la section. Mais on a ooj = pw, et, quand le point (fw, m') décrit la section, pui' demeure constante en longueur; car.

paramètre de la parabole P, en vertu de la propriété de la sous-normale ; en outre, Tangle po'J est invariable, parce que les directions de ses côtés sont invariables. 11 en résulte que le triangle rectangle po'tj est de grandeur invariable et, par conséquent, que la longueur pta' est constante ; mais alors la longueur Oco, qui est égale à pui', est aussi constante et le point co est un point fixe.

Donc la normale en m à la projection horizontale de la section passe par un point lixe w ; donc, eniin, la projection horizontale de la section est une circonférence de centre co.

Le point (d est d'ailleurs distinct du point o tant que le plan sécant n'est pas perpendiculaire à l'axe.

458. Points de rencontre d*une droite et d'un paraboloîde de révolution. — La propriété qu'on vient d'établir pour les sections planes d'un paraboloîde de révolution peut être utilisée dans la détermination des points de rencontre de cette surface avec une droite. Il sulïîl de couper la surface par un plan passant par la droite et de projeter la section et la droite sur un plan perpendiculaire à l'axe. Par exemple, si l'axe est vertical, on coupe par le plan qui projette verticalement la droite, et on détermine les points de rencontre de la projection horizontale de la droite avec le cercle projection horizontale de la section. On obtient ainsi les projections horizontales des points cherchés, et on en déduit les projections verticales par des lignes de rappel.

On a vu d'ailleurs (453) que la méthode employée convient à toutes les surfaces, mais les constructions ne sont réellement simples que dans le cas du paraboloîde de révolution.

§ IH. — Surface engendrée par une conique en toiiniant

autour (Tun ojce,

459. Théorème. — La surface engendrée par une conique en tournant autour (Tun axe est en général du qnatHème ordre ; elle est du second ordre quand la projection de Vaxe de révolution sur le plan de la courbe est un axe de symétrie de cette courbe.

Supposons en eftet l'axe de révolution vertical et le plan de la conique perpendiculaire au plan vertical. Soient (os, oV) l'axe de révolution, {aby a'b') la coniijue et j>i^ son plan. Le plan mené par l'axe

perpendiculairement à pa^' coupe ce dernier plan suivant une droite de front (oe, oV), qui n'est pas, par hypothèsCj un axe de la conique (aô, a'b^; de sorte que oe n'est pas un axe de la projection horizontale ab de cette conique.

Cela posé, pour trouver le degré de la surface S engendrée par la révolution de {ab^ alb') autour de (os, oV), cherchons le nombre des

points de rencontre de cette surface avec une droite quelconque (d, d), A cet effet, faisons tourner (rf, d) autour de Taxe; elle engendre alors un hyperboloïde de révolution autour de (os, oV), et ses points de rencontre avec la surface S décrivent des parallèles communs à cette surface et à l'hyperboloïde. Nous pouvons obtenir facilement ces parallèles communs. Pour cela, coupons la surface S et l'hyperboloïde par le plan p-xq'. La section dans la surface S est la conique (aô, a!b') et la section dans l'hyperboloïde est une conique dont la projection horizontale Y> qui n'est pas figurée dans l'épure, admet oe comme axe de symétrie (450). Les deux coniques ab et y ont quatre points communs; soit c l'un de ces points. Le parallèle décrit par le point (c, c') en tournant autour de [oz^ o'z') est un parallèle commun aux deux surfaces. Il rencontre la droite ((/, d) en un point (m, m'), qui est un des points de rencontre de la droite (d, d) avec la surface S.

A chaque point de rencontre des deux coniques y et ab correspond ainsi un point de rencontre de (d, d!) et de S. Comme y et ab se rencontrent en quatre points, il en résulte que la surface S est coupée en quatre points par une droite quelconque ; donc la surface S est en général du quatrième degré.

Ces conclusions sont en défaut quand les quatre points de rencontre de ab et de y sont deux à deux symétriques par rapport à oe ; car à deux points symétriques par rapport à oe il correspond un seul parallèle commun aux deux surfaces et, par suite, un seul point de rencontre de (rf, <ï) et de S. Il en résulte que dans ce cas la surface S est du second degré.

Dire, d'ailleurs, que les quatre points communs k ab eik y sont deux à deux symétriques par rapport à oe, revient à dire que oe, qui est un axe de symétrie de y, est aussi un axe de symétrie de ab; mais alors (oe, oV) est un axe de symétrie de la conique donnée. Et comme (oe, oV) est la projection de {oz, o'z') sur le plan pay', on voit bien que la surface engendrée est du second degré quand la projection de Taxe de révolution sur le plan de la conique est un axe de symétrie de celle-ci, et dans ce cas seulement.

460. Corollaire. — Pour qu'une conique^ qui tourne autour (Tun axe^ engendre une quadrique^ il faut et il suffit que la projection de l'axe de révolution sur le plan de la conique soit un axe de symétrie de cette courbe.

C'est nécessaire d'après ce qui a été démontré au n<* 450, et c'est suffisant d'après ce que l'on vient de voir.

C'est même, si l'on veut, nécessaire et suffisant d'après la tin de la démonstration du théorème précédent.

n reste alors à déterminer la nature de cette quadrique. Pour cela, nous examinerons plusieurs cas d'après la nature de la conique génératrice et nous utiliserons les résultats obtenus au n» 457.

461. Premier cas. — La conique génératrice est du genre ellipse, — Nous supposons toujours, bien entendu, que la projection de l'axe de révolution sur le plan de la conique génératrice est un axe de symétrie de cette conique, de manière que la surface engendrée soit bien une quadrique.

Cela posé, prenons l'axe de révolution (oz, oV) vertical, le plan

Tpi(( de la conique de bout, mais ni parallèle ni perpendiculaire à

Taxe, et examinons les divers cas qui peuvent se présenter.

1® Supposons que la projection horizontale de l'ellipse soit un cercle : la surface engendrée est alors une portion de cylindre ou de paraboloïde suivant que le centre du cercle est ou n'est pas au point o. En eifet,

\o la projection horizontale de la section de la

quadrique par le plan pagr' n'est un cercle que dans ces deux cas, qui s'excluent d'ailleurs l'un l'autre (457).

2» Supposons que la projection horizontale soit une ellipse ayant

son grand axe parallèle à ajo, et soit a!V la projection verticale de cette ellipse. Dans ce cas, en vertu de ce qui précède, la surface engendrée ne peut être qu'une portion de sphère, une portion d'ellipsoïde allongé ou une portion d'ellipsoïde aplati.

C'est une portion de sphère si le grand axe cd de la projection horizontale est égal à dy\

C'est une portion d'ellipsoïde allongé si le grand axe ci est inférieur à dV ;

C'est enfin une portion d'ellipsoïde aplati si le grand axe ci est supérieur à dV, 3"" Supposons enfin que la projection horizontale soit une ellipse ayant son grand axe perpendiculaire à ap, et soient f et f les foyers de cette ellipse. Alors, en vertu des résultats obtenus plus haut (457), la surface ne peut être qu'une portion de cône ou d'hyperboloïde à une ou à deux nappes. C'est d'ailleurs, en vertu des mêmes résultats : Une portion de cône si l'un des points f ou f est en o ; Une portion d'hyperboloïde à une nappe si le point o est compris entre f çX f'\

Une portion d'hyperboloïde à deux nappes si le point o est extérieur au segment //"'.

462. Deuxième cas. — La conique génératrice est une hyperbole. —

ANTOMÀRI. — GÉOlf. DESCR. 26

Dans ce cas la surface engendrée ne peut être qu'un cône ou un hyper-

boloïde à une ou à deux nappes (457, Y, 2® cas). Pour trancher la question, prenons toujoui*s l'axe de révolution (oz, oV) vertical, le plan p%q' de la conique perpendiculaire au plan vertical, et appelons f et f les foyers de la projection horizontale. Les résultats obtenus au n* 457 nous montrent

jè\SL alors que :

j i* Si l'axe non transverse est perpen-

diculaire à oLp^ la surface engendrée est un hyperboloïde à une nappe; 2« Si l'axe transverse est perpendiculaire à «p et si, de plus, l'un des points /*ou f est en o, la surface engendrée est un cône;

3® Enfin si l'axe transverse est perpendiculaire à ap sans que le point 0 soit foyer, la surface engendrée est un hyperboloïde à une ou à deux nappes suivant que le point o est extérieur au segment ff ou compris entre les points f et /"'.

463. Troisième cas. — La conique génératrice est une jjarabole. — — Dans ce cas la surface engendrée est encore : ou une portion de cône, ou une portion d'hyperboloïde à une nappe ou une portion d'hyperboloïde à deux nappes (457). C'est d'ailleurs : un cône si lo point 0 est le foyer de la projection horizontale, un hyperboloïde à une nappe si a et f étant le sommet et le foyer de la projection horizontale, les trois points o, a, f se présentent dans l'ordre afo ; c'est enfin un hyperboloïde à deux nappes si les trois points o, o, f ne se présentent pas dans l'ordre fao ou foa.

464. Application. — Déterminer la surface engendrée par un cercle situé dans un plan de bouty tournant autour d'un ace vertical, et dont un foyer de la projection horizontale coïncide avec le pied de taxe sur le plan horizontal.

Soit poiç' le plan du cercle donné (aA, a'b'); on reconnaît d'ailleurs que (ai, a'I/) représente un cercle en s'assurant que le grand axe de la projection horizontale est parallèle à pot. et égal à a'b'. Supposons que la projection horizontale (o de l'axe de révolution soit un foyer de l'ellipse aé, et cherchons la nature de la méridienne engen-

drée par (aé, a'b') en tournant autour de la verticale du point w. Pour cela, traçons le parallèle d'un point quelconque (m, w!) du cercle générateur, et soit (wii, mi) l'un des points de rencontre de ce parallèle avec le plan du méridien principal : (mi, mi) est un point de la méridienne. Cherchons la normale à la méridienne en ce point. Pour

Tobtenir, il suffit de connaître son point de rencontre avec l'axe. Or ce point est l'intersection de Taxe et du plan normal au cercle générateur au point (m, rn!) situé sur le même parallèle que le point (m„ mi). D'autre part, ce plan normal est le plan mené par le rayon {om^ o'm') perpendiculairement au plan du cercle ; il est donc déterminé par la normale (oj, o'^) au plan du cercle et par le rayon [om^ o'm!). Le plan de front mené par l'axe coupe le plan normal suivant la droite (Ac, AV) parallèle à {og^ o'g'); il en résulte que le point (c, &) est le

40i SECTIONS PLANES DES SURFACES

sommet du cône des normales relatif au parallèle du point (m, iw'); donc la normale à la méridienne au point (m,, m\) est (cmi, (/m[). Soit (/ le point de rencontre de cette normale avec la parallèle à xy menée par o'. Nous allons montrer que le point «/ est un point fixe en prouvant que la longueur oV est constante.

Pour cela, menons {cm^ c'm'), c'est-à-dire la normale à la surface au point (m, m'), et observons que le plan normal en (m, m') au cercle générateur est aussi défini par les deux droites {om^ o'm') et (cm, cW); il est donc coupé suivant la droite (orf, o'd') par le plan horizontal oW; et comme le plan normal est perpendiculaire à la tangente (m^ m!l') au cercle générateur, il s'ensuit que od est perpendiculaire à mt, puisque (od, o'd') est une horizontale du plan des deux normales. Or, quand on amène le point (m, m') dans le plan du méridien principal, cW vient en cW et, par suite, d' vient en o'; il en résulte que oV = (od. Mais si Ton appelle /i le point de rencontre de wm avec la perpendiculaire à mt menée par le second foyer f de la projection

horizontale, on a wd = -~ ; d'ailleurs (afi est le grand axe de l'ellipse ab; donc W, qui est égale à wct, est égale au demi-grand axe de la projection horizontale du cercle générateur.

Il suit bien de là que le point o' est un point fixe, c'est-à-dire que la méridienne est une ligne dont les normales passent par un point fixe; donc la méridienne est un cercle dont le centre n'est pas sur l'axe, et la surface engendrée est un tore.

On peut voir, en outre, que le plan pa^' est un plan bitangent à ce tore. Comme la méridienne se compose de deux cercles symétriques par rapport à o', il suffit de prouver, pour cela, que a^' est tangente à la circonférence qui a pour centre o^ et pour rayon (j'mi. A cet effet, construisons la normale à la méridienne au point (n, n'). Les constructions sont analogues à celles qui ont été faites pour le point (mi, mj), et la normale cherchée est projetée verticalement suivant la perpendiculaire à oLç' menée par n'; mais cette normale passe par a', donc «/n' est un rayon de la méridienne, et ce rayon est perpendiculaire à «9'. Ceci prouve bien que la droite aq' est tangente à la circonférence de centre </ et de rayon &m\ et que, par suite, le plan pnq' est doublement tangent au tore.

On sait, du reste, que tout plan bitangent à un tore coupe cette surface suivant deux cercles.

1. Un hyperbolo!de de révolution à aie vertical est engendré par une droite. Constniire la section faite dans cette surface par un plan passant par le centre et par une droite donnée.

2. Un hyperbolblde de révolution à axe vertical est engendré par une droite (G, O- On le coupe par un plan de bout dont la trace verticale est parallèle à G'. Trouver la nature, le sommet et les foyers de la section.

3. Construire la trace sur le plan bissecteur du deuxième dièdre d*un hyperbololde de révolution à une nappe dont Taxe est une droite de front.

4. On coupe un ellipsoïde de révolution par un plan P, et Ton suppose que Ton connaisse : 1^ un axe^ A, en grandeur et position de la section ainsi obtenue ; 2^ un point de Tellipsoïde et le plan tangent en ce point : construire Tellipsoïde.

Pour construire l'ellipsoïde, il suffit de connaître la section par le plan P et Taxe de révolution. 11 y a d^ailleurs deux cas à examiner suivant que Taxe connu de la section par le plan P est ou n*est pas la projection de Taxe de révolution sur le plan P. Prenons, par exemple, le premier cas, et soit Q le plan tangent donné, dont le point de contact, également donné, est A. Le plan R mené par A perpendiculairement au plan P est un lieu de Taxe de révolution. La normale en A au plan Q rencontre R en un point 0 qui est sur Taxe de révolution. La sphère décrite du point 0 comme centre avec ÔA comme rayon est inscrite dans Tellipsolde suivant le parallèle du point A ; elle coupe le plan P suivant un cercle ayant son centre sur A et doublement tangent à la section de Tellipsoïde par le plan P, en deux points B et G, d'ailleurs inconnus; mais la section par le plan P est alors déterminée, ce qui fait connaître les points B et G. On en conclut que le parallèle du point M est Tintersection de la sphère OA par le plan ABC ; donc l'axe de révolution est la perpendiculaire menée du point 0 sur le plan ABC.

Ces indications sufRsent pour résoudre complètement le problème dans les deux cas signalés.

5. Une ellipse située dans un plan de front tourne autour d*une droite (a6, a'I/) de ce plan. Construire la section faite dans la surface engendrée, par un plan dont on donne les traces.

6. Un cercle situé dans le plan vertical tourne autour de la ligne de terre. Section du tore ainsi engendré par un plan parallèle à la ligne de terre.

7. L*axe d*un ellipsoïde de révolution est une droite du plan vertical non perpendiculaire à la ligne de terre. Ck)uper cet ellipsoïde par un plan de bout tel que la projection horizonlale de la section soit un cercle.

8. On donne les axes AÂ' et BB' d'une ellipse située dans le plan horizontal. Cette ellipse est la méridienne d'un ellipsoïde de révolution autour du grand axe A A'. Construire la section faîte dans cette surface par un plan passant par AB et coupant la verticale du point 0 à une hauteur égale à OA .

9. Cadre 27cm sur 42cm. Ligne de terre parallèle au petit côté de la

feuille.

is/ , On donne :

j /^ r' I® Un axe vertical (o, ws') ainsi défini :

2o Une circonférence située dans le plan de

f^ ^^ yf^^\ 2o Une circonférence située dans le plan de

I X^-f/é"! — ) front passant par l'axe. Le rayon de cette

circonférence est de 4^™, la projection verti- -f- — ^ i"^ ^ cale de son centre est à (J«" au-dessus du

plan horizontal et à 7'"^ à gauche de cojs'. \ Cette circonférence en tournant autour de

\ l'axe engendre un tore.

} [ — lo-j 1 — On demande de représenter la partie du

^v.^y / tore (supposé plein) comprise entre le plan

\j / bi tangent R'aS et le plan parallèle dont la

S^\ ^/ trace verticale U'V passe par le point </. Ces

"^ "^ deux plans sont perpendiculaires au plan

vertical. (R. Malloizel.)

iO. On donne deux droites D et A qui ne se coupent paH, et l'on fait tourner D autour de A. Trouver la section faite par un plan de bout dans la surface ainsi engendrée.

il. On donne un axe vertical o, a? = 0, y = lO*"», et une parabole dont la projection horizontale P a pour sommet a? = — 5«", y = 12em et pour foyer x -=. — 4, y = i2.

La projection verticale F de cette parabole est une droite passant par le point a? = — 5, ^ = 0 et par le point « = 0, s = 5.

1° Déterminer la méridienne principale de la surface de révolution engendrée par la parabole (P, P') en tournant autour de la verticale o.

20 Construire la section de cette surface par le plan de front F,

y = (iO-f-4v^2) centimètres.

3** Etablir la ponctuation de la même surface, en ne conservant que la région derrière le plan de front F et au-dessous du plan horizontal z = iO*".

k^ On établira en même temps la ponctuation de la parabole (P, P') sur

cette région de surface.

[École normale y concours de 1893.)