OU CYLINDRIQUES
Si. — Intersection de deux cônes de même sommet^ ou de deux cylindres dont les génératrices sont parallèles,
46^). Intersection de deux cônes de rndme sommet. — Lorsque deux cônes ont le même sommet, leur intersection se compose d'un système de génératrices. Appelons en eifet S le sommet commun, et soit M un point de Tintersection des deux surfaces. La droite SM étant située sur les deux surfaces à la fois, fait partie de leur intersection. Tout point de l'intersection étant ainsi situé sur une génératrice commune aux deux surfaces, cette intersection est nécessairement un système de génératrices ; de sorte qu'il suffit d'avoir un point de chaque génératrice pour connaître toute l'intersection.
Pour avoir un point d'une génératrice commune, on coupe les deux cônes par une surface auxiliaire dont l'intersection avec chacun des cônes soit facile à obtenir. Soient g et <ti les intersections respectives ainsi obtenues : tout point commun à cj et à (Xj appartient à l'intersection des deux cônes et détermine une génératrice commune.
Comme Ton sait déterminer une section plane d'un cône, on peut toujours prendre comme surface auxiliaire un plan ne passant pas par le sommet commun. Si, en particulier, les deux cônes ont leurs bases
dans le même plaii, pour avoir les génératrices communes, il suffit de joindre au sommet commun les points de rencontre des deux bases, ce qui revient à prendre le plan des deux bases comme surface auxiliaire.
On peut aussi, dans certains cas, couper les deux cônes par une sphère ayant pour centre le sommet commun, parce que l'on sait construire les points de rencontre des génératrices d'un cône et d'une sphère et par suite Tintersection d'une sphère et d'un cône.
Le problème suivant nous en fournit un exemple.
466. Problème. — Trouver les génératrices communes à deux cônes de révolution de même sommet.
On peut supposer que le plan des axes des deux cônes soit le plan horizontal de projection; du reste, on peut toujoure se ramener à ce cas par un rabattement.
Soient donc oa et ob les axes des deux cônes, que nous supposerons en outre déterminés par leurs demi-angles au sommet. Le plan horizontal coupe le premier cône suivant deux génératrices faisant avec oa un angle égal au demi-angle au sommet de ce cône : soit og l'une d'elles. Soit de même ok Tune des génératrices déterminées par le plan horizontal dans le second cône. Du point o comme centre, décrivons une sphère S de rayon arbitraire, et soient g^ g^ ^j Ai les points de rencontre avec les droites respectives og et ok. La sphère S coupe
le premier cône suivant deux cercles situés dans les plans menés par g et par ^1 perpendiculairement à oa. Si a est le pied de la perpendiculaire à oa menée par le point g^ l'un de ces cercles a pour centre le point a et pour rayon ag. En menant de même kh perpendiculaire à o6, on voit que la sphère S coupe le second cône suivant deux cercles, dont l'un^ situé dansle plan vertical kb, a pour centre le point b et pour rayon bk.
On obtient des génératrices communes aux deux cônes en joignant le point 0 aux points communs à ces deux cercles. Ces points sont projetés horizontalement à l'intersection c de ag
et de bk. Pour les déterminer, il suffit de prendre ag par exemple comme ligne de terre, ce qui revient à prendre comme plan vertical de projection le plan vertical mené par ag, La projection verticale du cercle déterminé dans le premier cône est alors la circonférence de centre o et de rayon ag. Les projections verticales des points cherchés sont (/ et ci, à Tintersection de celte circonférence et de la ligne de rappel menée par c. Quant aux génératrices communes correspondantes, ce sont les lignes qui joignent le point o aux points (c, d) et (c, ci).
En associant de toutes les manières possibles un des cerc^ déterminés dans le premier cône avec un des cercles déterminés dans le deuxième, on obtient toutes les génératrices communes. On constate sans difficulté qu^il y en a au plus quatre, deux à deux symétriques par rapport au plan des axes.
467. Intersection de deux cylindrrs dont les génératrices sont parallèles. — L'intersection de deux cylindres dont les génératrices sont parallèles est un système de génératrices. On s'en assure comme pour deux cônes de même sommet, en observant que deux cylindres dont les génératrices sont parallèles peuvent être considérés comme deux cônes ayant le même sommet à Tinfini.
On détermine d'ailleurs des points de l'intersection des deux surfaces, et par suite leurs génératrices communes, en les coupant encore par une surface auxiliaire qui est en général un plan quelconque non parallèle aux génératrices ou un plan perpendiculaire aux génératrices, comme dans le problème suivant :
468. Problème. — Trouver les génératrices communes à deux cylin" drcs de révolution dont les axes sont parallèles.
On coupe les deux cylindres par un plan ([uelconque perpendiculaire aux axes. Les sections obtenues sont deux cercles avant deux points communs, si les deux cylindres ont des génératrices communes. On obtient ces génératrices en menant les parallèles aux axes par les points communs à ces deux cercles.
Dans l'épure ci-après, le premier cylindre est défini par son axe ( j, 2% par son demi-contour apparent g sur le plan horizontal et par son demi-contour apparent f sur le plan vertical. Pareillement, le second cylindre estdélini par son axe (zi, si), par son demi-contour
412 INTERSECTIONS DE SDRFACE3
apparent g, sur le plan horizontal et par son demi-contour apparent /J sur le plan vertical. On a coupé les deux cylindres par le plan de section droite passant par le point (o, o'); ce plan, qui coupe (:■, z',) au point (m, 11'), a <^t(3 rabattu sur le plan horizontal mené par l'horizontale (oh, dU), de sorte que tes deux sections droites sont rabattues : la
première suivant une circonférence de rayon égal à celui du premier cylindre et décrite du point o comme centre; la deuxième suivant une circonférence de rayon égal à celui du secrmd cylindre et décrite du point lOi, rabattement du point lo, comme centre. Ces deux circonférences se coupent en deux points m, et p,, qui sont relevés respectivement en (m, m') et en [p, p'). Les deux cylindres ont donc deux {tt^nératrices communes qu'on obtient en menant les parallèles aux
axes par les points (m, m') et (p, p'); elles sont représentées en (7717, m'q') et en [pr^ p'r^).
^\\. — Intersection de deux cônes ou de deux
cylindres quelconques,
469. Détermlnatioii d'un point courant de rintersectlon. — La méthode générale pour construire Tintersection de deux surfaces coniques ou cylindriques consiste à déterminer les points de rencoiAe d'une surface avec les génératrices de l'autre. Si, d'ailleurs, on appelle S et Si les deux surfaces, pour déterminer les points de rencontre d'une génératrice de la surface S, par exemple, avec la surface Si, on coupe la surface Si par un plan auxiliaire passant par cette génératrice (388 et 389). Les divers plans auxiliaires que l'on emploie ainsi pour obtenir les divers points de l'intersection, passent donc par une droite lixe ou sont parallèles à un plan fixe. Si les deux surfaces sont des cônes, ils passent par la ligne des sommets; si l'une des surfaces est un cône et l'autre un cylindre, ils passent par la parallèle aux génératrices du cylindre menée par le sommet du cône; enfin, si les deux surfaces sont des cylindres, ils sont parallèles aux génératrices des deux cylindres et, par suite, au plan déterminé par les parallèles à ces génératrices menées par un point quelconque de l'espace.
470. Tangente en un point de rintersectlon. — La tangente en un point courant de l'intersection est située dans les plans tangents aux deux surfaces en ce point. On l'obtiendra donc en déterminant Tintersection de ces deux plans tangents. On a déjà un point de cette intersection, le point en lequel on veut mener la tangente; il suffit donc, pour déterminer celle-ci, d'en connaître un autre point. Il y a avantage, pour cela, à se servir d'un plan auxiliaire donnant d'autres points de l'intersection des deux surfaces.
Cette construction de la tangente n'est en défaut que si les deux surfaces ont le même plan tangent au point considéré. Nous nous occuperons plus loin (482) de l'examen de ce cas.
471. Génératrices limites. — On appelle ^^néra/rtce^ /imi^e« les génératrices de chaque surface qui sont tangentes à l'autre. La détermination de ces génératrices résulte de leur définition :
Si les deux surfaces sont descônes, on les obtient en coupant chaque cône par les plans tangents à l'autre menés par le sommet du premier ; si Tune des surfaces est un cône et l'autre un cylindre, on coupe le cône par les plans tangents au cylindre menés par son sommet, et le cylindre par les plans tangents au cône parallèles aux génératrices du cylindre; enfin, si les deux surfaces sont des cylindres, on coupe chaque cylindre par les plans tangents parallèles à l'autre. Tous ces cas rentrent d'ailleurs dans un seul si Ton considère un cylindre comme. la limite d'un cône dont le sommet s'est éloigné indéfiniment dans la direction des génératrices.
Lorsqu'un point M de l'intersection se trouve sur une génératrice limite, la tangente à l'intersection, en ce point, est confondue avec la génératrice limite. Supposons en effet que le point M soit sur une génératrice limite, G, appartenant à la surface S. La génératrice G est évidemment contenue dans le plan tangent en M à la surface S; elle est aussi contenue dans le plan tangent en M à la surface Si, puisqu'elle est une génératrice limite : elle est donc la tangente en M à l'intersection des deux surfaces.
Il y a exception quand le plan tangent en M à la surface Si est aussi tangent à la surface S au même point. Mais ce cas a été réservé plus haut (470), et nous y reviendrons bientôt (482).
472. Plans limites ; pénétration et arrachement. — Les plans auxiliaires qui fournissent les points situés sur les génératrices limites, et qui, par suite, sont tangents soit à l'une soit à l'autre surface, s'appellent des plans limites. Quand les deux surfaces sont du second degré et se coupent^ il y a deux plans limites. Si ces deux plans sont tangents à la même surface, on dit qu'il y a pénétration de l'une des surfaces par l'autre ; si, par exemple, les deux plans sont tangents à la surface Si, il y a pénétration de la surface S par la surface Si. Dans ce cas l'intersection se compose de deux parties distinctes, une courbe d'entrée et une courbe de sortie : nous verrons en effet que toutes les génératrices de Si rencontrent en deux points distincts la surface S.
Si, au contraire, les deux plans limites sont l'un tangent à la première surface et l'autre tangent à la deuxième, on dit qu'il y a arrachement ou entaille.
473. Points sur les contours apparents- — On les obtient par la
méthode ordinaire, en déterminant les points de rencontre de chaque surface avec les génératrices de contour apparent de l'autre surface.
kl\. Gonsiructlon de rintersection. — Quand on veut exécuter une épure relative à Tintersection dedeux surfaces coniquesou cylindriques, on détermine, dans Tordre indiqué ci-après : 1» les points situés sur les génératrices limites ; 2^ les points sur les contours apparents ; 3<> les points à Tintini et les asymptotes ; 4® un point quelconque et la tangente en ce point. Nous nous occuperons plus loin de la détermination des points à l'infini et des asymptotes.
Supposons que tous ces points aient été déterminés, et voyons comment on pourra construire l'intersection. Pour cela, imaginons qu'un point M se déplace sur la directrice de l'une des surfaces, et la décrive une fois dans un sens déterminé ; puis, pour chaque position du point M, prenons les points de rencontre de la génératrice correspondante, sur la première surface, avec la deuxième surface. En suivant alors les déplacements simultanés du point M et des points de rencontre ainsi obtenus, on arrive au tracé de la courbe d'intersection.
Ajoutons que l'on peut, habituellement, tracer l'une des projections de rintersection en faisant abstraction de l'autre, qui s'en déduit facilement par des lignes de rappel.
475. Cas où les directrices des deux surfaces sont des courbes planes. — Toutes les constructions indiquées plus haut s'exécutent facilement quand les directrices sont des courbes planes dont on donne les plans et les projections. Supposons, pour fixer les idées, que les surfaces soient des cônes, et proposons-nous de construire la projection horizontale de l'intersection.
Pour cela, appelons s et *i les projections horizontales des sommets, B et Bi les projections horizontales des bases et A la projection horizontale de l'intersection des plans des bases. La ligne des sommets coupe les plans des bases en des points dont les projections horizontales respectives, supposées déterminées, sont cr et ai. Il en résulte que les divers plans auxiliaires employés pour déterminer les points successifs de rintersection coupent la base du premier cône suivant des droites dont les projections horizontales passent par a, et la base du deuxième cône suivant des droites dont les projections horizontales passent par cxi.
Détermination des points de l'intersection. — Convenons de désigner l'un quelconque de ces plans auxiliaires par les projections horizontales de deux droites qui le définissent, et considérons un plan auxiliaire quelconque, sujl par exemple. Il coupe le plan de base du premier cône suivant la droite projetée en <ya et tangente à la l)ase ; il
est donc tangent au premier cône suivant la génératrice projetée en «X|. La droite va coupe A au point a ; donc le plan auxiliaire considéré coupe le plan de base du deuxième cône suivant la droite projetée en a9|. Cette droite rencontre Bi aux points «2 et a',; doncle plan
auxiliaire sv% coupe le deuxième cône suivant deux génératrices projetées en *iai et en ^ta',. Ces deux génératrices rencontrent ^a^ aux points a et a^, qui sont les projections horizontales de deux points de l'intersection. D'ailleurs, le plan s<sa est un plan mené par ^i et tangent au cône s ; donc, les génératrices projetées en soj et en sa', sont deux génératrices limites du cône *i (471 et 472), et ces projections elles-mêmes sont tangentes en a et en Oi à la projection horizontale de l'intersection.
En répétant le [même raisonnement avec les plans auxiliaires «d^, «dY, «oS, sexe, on détermine ainsi successivement tous les points remarquables de la projection horizontale de l'intersection : points situés sur les génératrices limites et points situés sur les contours apparents.
Tangente en un point, — Pour construire la tangente en un point de l'intersection, par exemple au point c obtenu au moyen du plan auxiliaire sts^y il faut construire l'intersection du plan tangent au cône s suivant s^i avec le plan tangent au cône Si suivant Si^, c'est-à-dire suivant les génératrices projetées respectivement en *pi et en Si%. A cet effet, observons que ces deux plans tangents coupent les bases respectives des cônes suivant deux droites dont les projections horizontales sont : la tangente ^1^1 à B pour le premier et la tangente ^^9 à Bi pour le second. Or, si l'on coupe les deux plans tangents par un plan auxiliaire quelconque, par le plan st^ par exemple, on obtient deux droites projetées respectivement en sti et en «i^g, car <r( rencontre ^iti au point /j, tandis que c^^^ rencontre ^s^s au point t^. Hais sti 6t Sit^ se rencontrent au point ^, qui est la projection horizontale d'un point de l'intersection des deux plans tangents ; il en résulte que la tangente en c à la projection horizontale de l'intersection est te.
Jonction des points. — Après avoir indiqué la construction des divers points et de la tangente en un point quelconque, montrons comment il faudra procéder pour joindre ces points, dans le tracé de la courbe. Pour cela, partons d'un point quelconque, ei par exemple. Ce point est le quatrième sommet d'un quadrilatère ei^isej dont les quatre côtés passent respectivement par les quatre points fixes 5, *,, a et ffi. Quand les trois sommets ei, s et e, de ce quadrilatère décrivent respectivement B, a et Bi, le point Ci décrit la projection horizontale
ANTOMAM. — 6É0M. DESCR. 27
de rintersection ; d'ailleurs tous ces points se déplacent en même temps que le point e, de sorte qu'il suffit de suivre leurs déplacements simultanés pour tracer la courbe. En remarquant alors que les plans
ae^i et 90(91 sont des plans auxiliaires limites» et en procédant comme pour l'intersection de deux pyramides (215), nous obtenons successivement les arcs Cid, da^ adt^ difi^ /*ic, ce, etc., quand le point s passe successivement de s en y? de y en a, de a en y, de y ©û ^ï de S en ^, de p en e, etc.
Ponctuation. — Pour faire la ponctuation, on a représenté l'en-
semble des deux corps. Alors, dans le cône s, la génératrice de contour apparent sej est cachée entre les génératrices de contour apparent *iYi et *iPi du cône «i, parce que les plans auxiliaires ffw, et coci sont au-dessous des plans auxiliaires crydi et apsi ; la génératrice «oj n'est cachée que du point gi à la génératrice «lys.
Pour le cône «i, la génératrice «iy» est vue du point *i au point d; là elle pénètre dans le cône s et est cachée jusqu'au point de sortie rfi. Pareillement, la génératrice Si% est vue jusqu'au point A, cachée de ^ à la génératrice *5i et vue ensuite. Habituellement d'ailleurs on ne trace pas les portions de génératrices de contour apparent d'un cône intérieures à l'autre : c'est ce qui a été fait dans l'épure.
Enfin, pour voir si un point de l'intersection est vu ou caché, on examine s'il est à l'intersection de deux génératrices vues toutes les deux : ce n'est que dans ce cas qu'il est vu. Par exemple, le point a est vu pour cette raison, mais le point ei est caché, parce que la génératrice Si^ du côqe *i est cachée. On voit, de cette manière, que les arcs dadi et batgi sont vus, tandis que les autres sont cachés.
476. Remarque I. — Les constructions restent les mêmes quand les bases des deux cônes sont dans le même plan, sauf que les points g et <Ji coïncident et que l'on peut prendre pour la droite A une droite quelconque du plan des deux bases. Il est cependant plus commode de s'en passer, comme nous le verrons bientôt (494).
477. Remarque II. — Quand les surfaces sont, l'une un cône et l'autre un cylindre, la ligne des sommets est remplacée par la parallèle aux génératrices du cylindre menée par le sommet du cône ; les autres constructions subsistent sans modifications.
478. Remarque III. — Enfin, quand les deux surfaces sont des cylindres, la ligne des sommets est à l'infini dans un plan parallèle aux génératrices des deux cylindres. On mène alors par un point quelconque de l'espace la parallèle aux génératrices du premier cylindre et la parallèle aux génératrices du second. Ces deux droites déterminent un plan P dont on construit les intersections respectives a et Ai avec les plans de base des deux cylindres : le point a du n^ 473 devient ainsi le point à l'infini dans la direction A, et le point aj devient le point à l'infini dans la direction Ai ; quant aux autres constructions, elles ne subissent aucune modification.
§ III. — Points doubles et points doubles apparents,
479. Cas où l'intersection présente des points multiples. — Considérons deux surfaces coniques ou cylindriques S et Si. L'intersection de ces deux surfaces peut présenter des points multiples dans l'un des trois cas suivants : i^ quand une génératrice de l'une des surfaces rencontre une génératrice multiple de l'autre surface ; 2** quand une génératrice de l'une des surfaces passe par le sommet à distance finie ou infinie de l'autre surface; 3<> quand les deux surfaces ont le même plan tangent en un de leurs points communs.
480. Premier cas. — // existe^ sur l'une des surfaces, des génératrices qui rencontrent une génératrice multiple de Vautre surface.
Supposons, par exemple, que la surface 5i ait une génératrice double Gi. Il est aisé alors d'avoir les génératrices de S qui la rencontrent; il suffit, pour cela, de couper S par le plan qui passe
par Gi et par le sommet de S, si cette surface est un cône, par le plan qui passe par Gi et qui est parallèle aux génératrices de S, si cette surface est un cylindre : chacune des génératrices d'intersection répond à la question.
Soit donc G une de ces génératrices rencontrant Gi au point M. Si l'on suppose, pour fixer les idées, que Gi soit une génératrice double de la surface Si, toute droite passant par M coupe Si en deux points confondus avec M; il en est de même de G. et, par suite, M est un point double de l'intersection. En ce point viennent d'ailleurs se croiser les lignes d'intersection de la surface S avec les deux nappes de Si qui passent par Gi.
Les tangentes en M à l'intersection sont contenues dans le plan tangent à S suivant la génératrice G et dans les plans tangents à S| suivant la génératrice Gi. Le premier de ces plans coupe chacun des autres suivant une droite, qui est l'une des tangentes en M à l'intersection. Le nombre des tangentes réelles ou imaginaires, distinctes ou confondues, est égal à l'ordre de multiplicité de la génératrice Gj sur la surface Si.
Le raisonnement s'applique, bien entendu, au cas où la génératrice 61. serait à Tinlini; dans ce cas le point M serait un point multiple à l'infini et les tangentes seraient les asymptotes correspondantes.
481. Deuxième cas. — // existe, sur Vune des surfaces, une génératrice qui passe par le sommet de Vautre,
Supposons, pour fixer les idées, qu'une génératrice de la surface S
passe par le point Si, sommet de la surface
\ / Si. n est clair alors que le point Si est un
^1/^^^ point multiple, réel ou isolé, de l'intersection.
^^,^-^7[y On peut d'ailleurs supposer que le point Si
Ç,^-"""'^^ / \\ ®^^ ^ distance finie, le cas où le point Si est
/ ^X \ à l'infini s'en déduisant sans difficulté.
/ 1 \ Soit alors SiM une des branches de Tinter-
/■'* 1 A section qui passent par Si et soit M un point
t \y de cette branche.de courbe. La tangente en
Si à cette ligne est évidemment la limite de SiM quand le point M se rapproche indéfiniment de Si; mais SiM est une génératrice du cône Si ; donc sa position limite sera également une génératrice du cône Si. Si donc on appelle SiG la génératrice de S qui passe par Si, les tangentes à l'intersection au point Si seront les génératrices déterminées dans le cône Si par le plan tangent à la surface S le long de SiG.
Il suit de là que le point Si est un point multiple de l'intersection d'un ordre de multiplicité égal au degré de la surface Si, si cette surface est algébrique.
Le raisonnement subsiste entièrement quand le point Si est à l'infini, et même quand la génératrice SiG est elle-même à l'infini.
Dans le cas où SiG est sur le cône Si, elle fait partie de l'intersection des deux surfaces, et les conclusions, relativement aux tangentes, s'appliquent au reste de l'intersection. Toutefois, l'ordre de multiplicité du point Sj sur le reste de l'intersection est diminué d'une unité.
482. Troisième cas. — Les deux surfaces ont le même plan tangent en un de leurs points communs.
Quand deux surfaces quelconques ont le même plan tangent en un de leurs points communs, ce point est un point multiple de leur intersection. Cette propriété des surfaces se démontre analytiquement
quand les surfaces sont quelconques,.et, pour deux surfaces coniques ou cylindriques, on peut s'en rendre compte géométriquement de la manière suivante :
Supposons, ce qui est permis, que les surfaces S et Si soient deux cônes de sommets respectifs S et Sj, que les directrices respectives D et Di soient deux courbes planes situées dans le même plan, et soit g la trace de la ligne des sommets sur ce plan. Par hypothèse les deux surfaces ont le même plan tangent au point M ; soit aÂÂi la trace de ce plan tangent commun sur le plan des bases, de sorte que le plan tangent commun est S(7AÂi. Coupons les deux surfaces par un plan SaBBi voisin du plan tangent commun . Nous obtenons ainsi dans le cône S un système de génératrices, dont deux, SB et SC, sont voisines de SA; nous obtenons de même dans le cône Si un système de génératrices, dont deux, SiBi et SiC|, sont voisines de SjAi. Ces quatre génératrices fournissent quatre points de l'intersection voisins du point M. Considérons alors les trois points B, C^ et P, comme mobiles respectivement sur D, sur Di et sur l'intersection des deux cônes. Quand le point B parcourt l'arc BAC, le point Ci parcourt l'arc CiAiB, et le point P parcourt un arc PMR de l'intersection passant par M. En considérant de même les trois points B, Bi et T, on voit que si le point B parcourt l'arc BAC, le point Bi parcourt l'arc BtAiCi, et le point T décrit un arc TMQ de l'intersection passant par le point M. Le point M est donc le point de croisement de deux arcs de l'intersection, c'est-à-dire qu'il est un point double de cette intersection.
La tangente en M au premier de ces arcs est la limite des positions de la sécante PR quand le point P et le point R se rapprochent indéfiniment du point M, c'est-à-dire quand le plan S<rB se rapproche indéfiniment du plan tangent commun SaA; de même, la tangente en M au deuxième arc est la limite des positions de la sécante QT <{uand le plan SaB se rapproche indéfiniment du plan SaA. Or dans le quadrilatère PQRTSSi la diagonale SSi est divisée harraoniquement par les deux autres, et cette propriété subsiste quand le quadrilatère est infiniment petit. Si donc on appelle E et F les points de rencontre de SSi avec les tangentes en M à l'intersection, les quatre points S, Si, E, F forment une division harmonique. En joignant le point M aux points S et Si, on voit ainsi que les tangentes au point M forment un faisceau harmonique avec les génératrices des deux surfaces qui passent par ce point.
Celte propriété des tangentes en M peut être utilisée quelquefois pour la construction des tangentes en ce point, bien qu'il ne soit en général pas possible d'effectuer exactement cette construction. Pour obtenir approximativement l'une quelconque de ces tangentes, on se sert de ce qu'on appelle une courbe d'erreur. Par exemple, si l'on veut construire approximativement la tangente en M à l'arc QMT, on
suppose qu'une tangente roule sur l'arc QMT et, pour chacune de ses positions, on détermine sa trace sur le plan des bases. Le lieu de cette trace est une ligne L qui coupe en un point I la trace du plan tangent commun; la tangente en M à l'arc QMT est alors évidemment la droite MI. Pour avoir le point I, il suffit d'ailleurs de construire le petit arc de la ligne L voisin du point I. On y arrive en prenant sur l'arc QMT quelques points de part et d'autre du point M, et en cherchant les traces, sur le plan des bases, des tangentes en ces points, ce que l'on sait faire puisque les points de contact de ces tangentes étant distincts du point M, on sait construire les tangentes correspondantes. Les traces une fois obtenues, il ne reste plus qu'à les joindre par un trait
continu pour avoir approximativement Tare qui donne le point I. C'est la ligne L qui est la courbe d'erreur de la question.
483. Définition des points doubles apparents. — Lorsqu'on projette
une courbe C d'un point 0 sur un plan P, il arrivegénéraleraent qu'il existe des projetantes telles que OAA', qui rencontrent la courbe C en deux points A et À'. La trace a de cette projetante sur le plan P est alors la projection de deux points A et A' de la courbe C; en d'autres termes, le point a est un point double de la projection c de la courbe C ; on l'appelle un point double apparent. Si le point 0 est à l'infini dans une direction perpendiculaire au plan horizontal, on a un point double apparent de la projection horizontale; s'il est à l'infini dans une direction perpendiculaire au plan vertical, on a un point double apparent de la projection verticale.
484. Ligne des points doubles. — Il est bien clair qu'il serait utile, pour l'exactitude du tracé de la courbe c, de connaître les points doubles apparents de cette courbe. Malheureusement il n'est pas possible, en général, de déterminer exactement ces points. Mais on peut, dans certains cas, construire une ligne sur laquelle ils se trouvent et qu'on appelle la ligne des points doubles.
Bornons-nous à examiner le cas où la courbe C est l'intersection de deux quadriques, et oii c est la projection orthogonale de C sur le plan P. Dans ce cas, si a estun point double apparent de c, la perpendiculaire menée par ce point au plan P est une corde commune aux deux quadriques ; soit I le milieu de cette corde. Si l'on considère, dans la première quadrique, le plan diamétral conjugué des cordes perpendiculaires au plan P, le point I est dans ce plan ; mais le point I est aussi dans le plan diamétral conjugué des mêmes cordes par rapport à la deuxième quadri({uc ; donc il est à l'intersection de cesdeux plans. D'ail-
leurs, le point I étant projeté en a sur le plan P, on voit que la projection, sur le plan P, de ^intersection des deux plans diamétraux, passe par le point a et par les points analogues. §i Ton observe maintenant que dans une quadrique le plan diamétral qui correspond à une direction de cordes n'est autre chose que le plan de la courbe de contact du cylindre circonscrit à la surface parallèlement à cette direction, on peut énoncer les deux résultats qui suivent :
1® Lés points doubles apparents de la projection horizontale de Vintersection de deux quadriques sont situés sur la projection horizontale de l'intersection des plans de contour apparent horizontal des deux surfaces : la projection horizontale de cette droite s'appelle la ligne des points doubles en projection horizontale ;
2* Les points doubles apparents de la projection verticale de l'intersection de deux quadriques sont situés sur la projection verticale de IHntersection des plans de contour apparent vertical des deux surfaces : la projection verticale de cette intersection s'appelle la ligne des points doubles en projection verticale.
485. Nombre des points doubles apparents. — Il suit de là qu'une quelconque des projections de Tintersection de deux quadriques présente au plus deux points doubles apparents. Prenons, par exemple, la projection horizontale, et soit 8 la ligne des points doubles en projection horizontale. Les cordes verticales communes aux deux quadriques étant projetées sur 8, sont situées dans le plan vertical mené par 8, et sont, par suite, deux cordes communes aux coniques déterminées par ce plan dans les deux surfaces ; mais il est bien clair que ces deux coniques ne peuvent avoir plus de deux sécantes communes verticales, et il en résulte que le nombre des points doubles apparents en projection horizontale est bien au plus égal à deux.
486. GonstrucUon des points doubles apparents. — On peut même, dans certains cas, construire ces points doubles apparents. Montrons, par exemple, comment on peut construire les points doubles apparents en projection horizontale. Pour cela, inxaginons qu'on ait pris le plan vertical mené par 8 comme plan vertical de projection, et figurons les deux coniques H et E déterminées par ce plan dans les deux surfaces. Ces deux coniques ont deux cordes communes AAi et
BBi verticales, c'est-à-dire perpendiculaires à 8. Si on coupe les deux coniques et le système de ces deux cordes par une droite D on obtient, d'après le théorème de Desargues, trois couples de points en involution, dont les projections horizontales sont aussi trois couples de points en involution : soient (a, 6), (a, a') et (p, ^') ces trois couples de points situés bien entendu sur S ; a et 6 sont justement les points doubles apparents.
Avec une deuxième droite Di on obtient trois nouveaux couples de points en involution: ce sont (a, 6), (aj, a',) et (Pi, pi). Il en résulte que les points doubles apparents, a et 6, sont les points communs à ces involutions.
Rappelons la construction classique de ces deux points. Pour cela, traçons un cercle quelconque dans le plan horizontal, prenons un point 0 sur ce cercle, joignons-le aux points a, a', p, p', etc., et cons-
tniisons les pôles b> et toi des deux faisceaux en involution ainsi obtenus. La droite oxoi coupe le cercle en deux points e et o qui, joints au point 0, donnent les rayons Oe et Oo communs à ces deux faisceaux. Les points de rencontre de o avec ces deux rayons sont les points a et b demandés.
Il est bien entendu que si Ton peut tracer les deux coniques H et E, il est inutile de recourir à ces involutions. Dans le cas contraire, la solution que nous venons de donner permet de déterminer les points doubles apparents quand on sait trouver les points de rencontre des deux droites D et D| avec chacune des deux surfaces. Au reste, les droites D et Di sont assujetties à la seule condition d'être situées dans le plan vertical mené par 8. D'après cela, quand on a à construire l'intersection de deux cônes du second degré, on saura déterminer la ligne des points doubles en projection horizontale et en projection verticale, ainsi que les points doubles eux-mêmes, dans certains cas.
§ IV. — Points à tinfini et asymptotes,
187. Points à rinfini dans l'intersection de deux cônes. — En tout point M de Tintersection de deux cônes viennent se croiser en général deux génératrices appartenant respectivement aux deux surfaces. Si donc le point M s'éloigne indéfiniment, c'est que les deux génératrices qui se croisent en ce point sont parallèles. D'après cela, pour que l'intersection de deux surfaces coniques présente des points à l'infini, il faut qu'il existe sur l'une des surfaces des génératrices parallèles à des génératrices de l'autre surface. A chaque couple de génératrices parallèles appartenant'respectivement aux deux cônes, correspond un point à l'infini de l'intersection. On obtient donc les directions des points à l'infini de l'intersection, quand il y a des points à l'infini, en prenant les génératrices du premier cône qui sont parallèles à des génératrices du second : ce sont les directions de ces génératrices parallèles qui fournissent les directions des points à l'infini, c'est-à-dire les directions asymptoliques de l'intersection.
D*ailleurs, pour trouver les génératrices du premier cône qui sont parallèles à des génératrices du second, on transporte celui-ci parallèlement à lui-même de manière à faire coïncider son sommet avec celui du premier (308). Les génératrices communes au premier cône et au second cône ainsi transporté, génératrices ([u'on sait déter-
428 INTERSECTIONS DE SUKFACES
miner (463), sont alors les génératrices du premier cône parallèles à des génératrices du second, et donnent les directions des points à l'infini. Si S est le premier cône, Si le second et SA une génératrice commune au cône S et au cône Si transporté, un point à l'infini de l'intersection est le point de rencontre à l'infini de SA et de la parallèle à SA menée par Si, parallèle.qui est bien entendu sur le cône Si.
488. Asymptotes. — Quand un point s'éloigne indéfiniment sur une branche de courbe, on sait que la tangente en ce point a pour limite l'asymptote, à distance finie ou infinie, correspondant à la branche de courbe. D'après cela, soient SA et SiAi deux génératrices parallèles appartenant respectivement aux deux cônes. Il y a, sur l'intersection, un point à l'infini dans la direction de ces deux droites, et l'asymptote correspondante, considérée comme la tangente en ce point à Tinfini, est l'intersection des plans tangents aux deux cônes suivant SA et suivant Si Ai.
Il y aura ou il n'y aura pas d'asymptote suivant que ces deux plans tangents se couperont ou ne se couperont pas.
489. Points & rinflni dans rintersection d'un cône et d'un cylindre.
— Pour qu'un point de l'intersection d'un cône et d'un cylindre s'éloigne indéfiniment, il faut : ou que la génératrice du cône et la génératrice du cylindre qui passent par ce point deviennent parallèles ; ou que la génératrice du cylindre qui passe par ce point s'éloigne indéfiniment. Dans le premier cas, il y a sur le cône une génératrice parallèle aux génératrices du cylindre, et la direction de cette génératrice donne la direction du point à l'infini de l'intersection. Dans le second cas, le cylindre ayant une ou plusieurs génératrices à l'infini est à nappes infinies. D'ailleurs, quand un cylindre a des nappes infinies, il a des plans de directions asymptotiques, et les génératrices à Tinfini sont les droites à l'infini dans ces plans ; de sorte que si une génératrice du cône rencontre une génératrice du cylindre qui est à l'infini dans un plan P de directions asymptotiques de ce cylindre, elle est nécessairement parallèle au plan P. On obtiendra donc les directions des points à l'infini de cette espèce, s'il y en a, en prenant les génératrices du cône qui sont parallèles au plan P et aux plans analogues, c'est-à-dire en prenant les génératrices d'intersection du cône avec les plans menés par son sommet parallèlement aux plans des directions asymptotiques du cylindre.
En résumé, pour obtenir les points à Tinlini de Tintersection d'un cône et d'un cylindre, on mène par le sommet du cône la parallèle aux génératrices du cylindre et les plans parallèles aux plans des directions asymptotiques de ce cylindre.
Alors les points à Tinfini cherchés sont : 1"^ sur la parallèle aux génératrices du cylindre menée par le sommet du cône, si cette parallèle est située sur la surface du cône ; 2® sur les génératrices d'intersection du cône avec les plans parallèles aux plans des directions asymptotiques, si ces plans coupent le cône.
490. Asymptotes dans rintersection d'un cône et d'un cylindre- —
Les points à l'infini étant ainsi obtenus, il reste à déterminer les asymptotes correspondantes.
i® Supposons que la parallèle sa aux génératrices du cylindre, menée par le sommet du cône, soit située sur la surface du cône. Pour trouver Tasymptote correspondante, cherchons les points de rencontre d'une génératrice, «a, du cône avec le cylindre. Coupons, pour
cela, les deux surfaces par le plan auxiliaire mené par sa parallèlement aux génératrices du cylindre, et qui est défini par les deux droites sa et SG, Soit m le point de rencontre de sa avec l'une des génératrices, 6m, déterminées par ce plan auxiliaire dans le cylindre : le point m est un point de l'intersection des deux surfaces, et la tangente en m à cette intersection est l'intersection du plan tangent au cône suivant sa avec le plan tangent au cylindre suivant bni. Quand sa se rapproche indéfiniment de w, le point m s'éloigne indéfiniment et décrit une branche infinie dont l'asymptote est la limite de la tangente en m. Or cette tangente est toujours située dans le plan langent au cône suivant sa ; d'autre part, quand sa se rapproche indéfiniment de sj, le plan tangent au cône suivant sa a pour limite le plan tangent à la même surface suivant s<j ; donc les asymptotes correspondantes sont situées
430 INTEHSECTIONS DE SCKFACES
dans le plan tangent au cône suivant se II est aisé de voir que ce sont les génératrices déterminées par ce plan dans le cylindre. Soit en effet bi^ Tune de ces génératrices. Quand sa se rapproche indéfiniment de 5(7, comme le plan asc a pour limite le plan tangent au cône suivant «a, on peut supposer que bip est la position limite de bm ; mais alors le plan tangent au cylindre suivant bm a pour limite le plan tangent à la même surface suivant 6iP. Il en résulte que bfi estl'intersection des deux plans tangents quand m est à l'infini, et, par conséquent, qu'elle est une asymptote.
On peut rattacher la question que nous venons de résoudre à celle de la détermination des points multiples de l'intersection, quand une génératrice de Tune des surfaces passe par le sommet de l'autre (481). Dire en effet que sa est une génératrice du cône parallèle aux génératrices du cylindre, revient à dire qu'il existe, sur le cône, une génératrice qui passe par le sommet (à Tinfini) du cylindre. Le point à l'infini dans la direction des génératrices du cylindre est donc un point multiple à l'infini (481)9 et les tangentes aux branches infinies qui passent par ce point, c'est-à-dire les asymptotes, sont les génératrices déterminées dans le cylindre par le plan tangent au cône suivant sa.
Ces asymptotes n'existent que si le plan tangent au cône coupe le cylindre. Quelques-unes, ou mêmes toutes, peuvent être à l'infini si le plan tangent au cône est parallèle à un plan de directions asymptotiques du cylindre.
2** La théorie est plus simple si le point est à l'infini sur une génératrice obtenue en coupant le cône par un plan mené par son sommet parallèlement à un plan m 'de directions asymptotiques. La tangente en ce point à l'infini, c'est-à-dire l'asymptote, est alors l'intersection du plan tangent au cône suivant cette génératrice avec le plan tancent au cylindre suivant la génératrice à l'infini dans le plan tst. Or, si un cylindre a une génératrice à l'infini dans un plan cv, le plan tancent suivant cette génératrice est un plan asymptote parallèle au plan m. L'asymptote cherchée est donc l'intersection de ce plan asymptote et du plan tangent au cône suivant la génératrice considérée. On obtient d'ailleurs un point de l'intersection de ces deux plans en coupant par l'un des plans auxiliaires qui ont servi à déterminer les points de l'intersection du cône et du cylindre (469).
491. Points & Tinllnl et asymptotes dans lintersection de deux
cylindres. — Appelons C et Ci les deux cylindres et écartons le cas cil les génératrices du cylindre G sont parallèles aux génératrices du cylindre Ci, cas dans lequel Tintersection des deux surfaces est un système de génératrices que nous avons appris à déterminer (468). Soient alors 6 et 61 deux génératrices appartenant respectivement aux deux surfaces et situées dans le même plan, de sorte qu'elles se coupent en un point M. Le point M est un point de Tintersection des
deux surfaces, et il est clair que tout point de cette intersection peut être considéré comme défini par la rencontre de deux génératrices telles que G et Gi, situées respectivement sur les deux surfaces. Gomme ces deux génératrices ne sant pas parallèles, leur point de rencontre, M, ne peut être à Tinfini que si Tune au moins de ces deux génératrices est à l'infini.
1® Supposons qu'une seule dç ces génératrices, G| par exemple, soit à l'infini. Le point M sera alors à l'infini dans la direction G, puisque le point M est sur G. Il en résulte que, dans ce cas, l'intersection présente un point à l'infini dans la direction des génératrices du cylindre G. D'ailleurs Gi est à l'infini dans un plan de directions asymptotiques du cylindre Ci ; et comme elle renjcontre G, le plan des directions asymptotiques qui contient Gi est parallèle à G. Donc le cas examiné ne peut se présenter que si l'un des plans des directions asymptotiques de l'un des cylindres est parallèle aux génératrices de l'autre cylindre.
Supposons donc qu'un plan de directions asymptotiques du cylindre Gi soit parallèle aux génératrices du cylindre G, et appelons encore Gi la génératrice du cylindre Gi qui est à l'infini dans ce plan. Comme nous venons de le voir, l'intersection présente un point à l'infini dans la direction des génératrices du cylindre C, ce qui revient à dire que le sommet à l'infini du cylindre C est situé sur la surface du cylindre Ci. Il en résulte (481) que les tangentes à l'intersection en ce point à l'infini, C'est-à-dire les asymptotes correspondantes, sont nécessairement des génératrices du cylindre C. Ce sont donc les génératrices du cylindre C situées dans le plan tangent au cylindre Ci suivant la génératrice Gi. Mais le plan tangent au cylindre Ci suivant la génératrice Gi est un plan asymptote; donc les asymptotes correspon-
dant aux points à Tinlini de l'espèce considérée sont les génératrices suivant lesquelles les plans asymptotes du cylindre Ci coupent le cylindre G.
Il n'y a naturellement pas d'asymptotes correspondantes si le plan asymptote qui correspond à la génératrice Gi est à l'infini.
iP Supposons maintenant que les deux génératrices G et Gi qui donnent un point M de l'intersection soient à l'infini. La première est à l'infini dans un plan de directions asymptotiques par rapport au premier cylindre, et la deuxième est à l'infini dans un plan de directions asymptotiques par rapport au deuxième cylindre. Si donc on appelle P et Pi ces deux plans, le point M est à l'infini dans la direction de l'intersection des deux plans P et Pi. Quant à l'asymptote correspondante, elle est évidemment l'intersection du plan asymptote au premier cylindre parallèle au plan P et du plan asymptote au deuxième cylindre parallèle au plan Pi. Elle est à distance finie ou infinie suivant que les deux plans P et Pi se coupent ou sont parallèles ; mais dans ce dernier cas la droite à l'infini dans les deux plans P et Pi est une génératrice commune aux deux surfaces, et le degré de l'intersection s'abaisse d'une unité.,
§ V. — Exemples d* intersections de cônes et de cylindres.
492. Nous avons donné plus haut (475) un exemple d'intersection de deux cônes. Nous ne traiterons donc ici que deux exemples relatifs, l'un à l'intersection d'un cône et d'un cylindre, l'auti'e à l'intersection de deux cylindres.
493. Intersection d'un cône et d*un cylindre. — Proposons-nous de construire l'intersection d'un cône de révolution à axe de bout, de sommet («, sf), et d'un cylindre dont la base est une hyperbole équilatère dans le plan horizontal, et dont les génératrices sont de front. La base du cône est une circonférence dans le plan vertical ; la base du cylindre a pour centre le point (to, (0% et l'une de ses asymptotes est perpendiculaire à la ligne de terre; enfin, les projections verticales des génératrices du cylindre sont parallèles à w'o', de sorte que le plan toto'o' est l'ui) des plans asymptotiques du cylindre. Gela posé, laissons de côté la construction d'un point quelconque de l'intersection, qui n'offre rien de particulier, pas plus que celle de la tangente
ANTOMARI. — OiOM. DESCR.
en ce point, et montrons comment on peut déterminer successivement : 1» les points sur les génératrices limites du cylindre ; i9 les points sur les génératrices de contour apparent horizontal du cône ; 3® les points à l'infini et les asymptotes.
Points sur les génératrices limites, — Pour trouver les génératrices limites sur le cylindre, il faut mener au cône les plans tangents parallèles aux génératrices du cylindre. Soit (*<!, sfo') la parallèle aux génératrices du cylindre menée par le sommet du cône. Les traces verticales des plans tangents cherchés sont les tangentes ac' et ^Ci menées à la base du cône parallèlement à s'o'l et les traces horizontales passent par <j ; il en résulte que les plans cherchés sont aat/ et n^[. L'un de ces plans, aac' par exemple, coupe le cylindre suivant deux génératrices projetées horizontalement en bm et en an. Ces génératrices rencontrent la génératrice («c, s^c^ du cône aux points (w, m') et («, n% qui sont deux des points situés sur les génératrices limites. On détermine d'une manière analogue les autres points (/),/?') et (?, gO- En chacun de ces points la tangente à l'intersection est confondue avec la génératrice correspondante du cylindre ; par conséquent, en projection horizontale, les tangentes sont parallèles à la ligne de terre, et elles sont perpendiculaires à sfcf en projection verticale.
D'ailleurs, il est visible que s^d est un axe de la projection verticale; car le plan de bout mené par s'a' est un plan de symétrie pour le cône et pour le cylindre. Au reste, chaque génératrice du cylindre rencontre le cône en deux points dont les projections verticales sont symétriques par rapport à s'd^ ainsi qu'il est aisé de s'en assurer en coupant le cône par le plan de front qui contient la génératrice considérée du cylindre.
Points sur les génératrices de contour apparent horizontal du cône. — Cherchons les points situés sur la génératrice (sA, sfh'). Pour cela, coupons le cylindre par le plan <r^h' qui contient cette génératrice. En opérant comme pour le plan aat/, on obtient ainsi les points (r, r^) et (^ 0- On détermine d^une manière analogue les points (p, p'j et (6, 6') situés sur la génératrice («Ai, s' Ai).
Points à Vinfini et asymptotes. — Si Ton mène par le sommet du cône les plans parallèles aux plans de directions asymptotiques du cylindre, un seul de ces deux plans coupe le cône. Ce plan œ/s' couple
le cône suivant deux génératrices {sg^ s'g^ et {sk^ s!h!)^ qui définissent les directions asymptotiques de Tintersection.
Pour avoir les asymptotes correspondantes, il faut construire les droites d'intersection du plan asymptotique correspondant, c'est-à-dire du plan oMo'o' et des plans tangents au cône suivant les génératrices qui donnent les points à l'infini. Ces asymptotes étant situées dans le même plan de bout ont la même projection verticale ^'k^g'i ; elles sont projetées horizontalement suivant les parallèles k sg Qik sk menées respectivement par les points gi et Ai.
Ponctuation, — Pour faire la ponctuation, on a représenté le cône entaillé par le cylindre en enlevant du cône les régions voisines du sommet, et on a limité le cône au plan vertical de projection et au plan de front ffi.
494. Intersection de deux cylindres à bases circulaires et à génératri ces de front. — Supposons que les bases des deux cylindres soient dans le plan horizontal, et soient (o, o') le centre de la base du premier, (oi, o[) le centre de la base du second. Les génératrices étant de front, soient o'u>' et ojw' les directions des projections verticales respectives des génératrices, les projections horizontales étant parallèles à la ligne du terre. Cela posé, cherchons comme d'habitude : l^ les points sur les génératrices limites ; 2^ un point quelconque et la tangente en ce point; 3° les points sur les contours apparents.
Points sur les génératrices limites. — On reconnaît au simple examen qu'il n'y a de génératrices limites que sur le grand cylindre (o, o'), parce que les deux plans limites sont limites pour le petit cylindre (oi, oi). Il en résulte qu'il y a pénétration du grand cylindre par le petit. On obtient d'ailleurs les génératrices limites en menant au cylindre (Oi, o'i) les plans tangents de front, ce qui fournit les points (e, e^ ; (^i»^i); ifif^'y (fu f[) situés en même temps sur les génératrices limites du cylindre (o, o') et sur les génératrices de contour apparent horizontal du cylindre (o,, o/).
Détermination (Tun point et de la tangente en ce point, — Cherchons Tun des points de rencontre du cylindre (oi, ol) avec la génératrice du cylindre (o, o'), qui passe par le point (A, h'). En coupant par le plan de front AA,, nous obtenons une génératrice (AiWi, hlm') dans
le premier cylindre et une génératrice (Am, h'm') dans le second, ce qui fournit le point (m, m!) de l'intersection.
Pour avoir la tangente en ce point, on a coupé les plans tangents aux deux surfaces par le plan de front A/, ce qui a fourni deux droites projetées verticalement en Vp' et en Vff; la tangente au point (m, m') est donc (mp, m'j>').
Points sur les contours apparents. — Il n'y a pas de points sur le contour apparent horizontal du cylindre (o, o% et on a déterminé plus haut ceux qui sont situés sur le contour apparent horizontal du cylin-
dre (oi, Oi). Pour avoir les points situés sur les génératrices de contour apparent vertical, il suffit d'observer que toutes ces génératrices sont situées dans le plan de front mené par ooi. En coupant parce plan de front, on obtient ainsi les points (a, a'), (6, 6'), (c, c'), (rf, d'),
La construction ordinaire de la tangente à la projection verticale est en défaut pour ces points ; mais si l'on considère la tangente en un
point de l'intersection comme la perpendiculaire menée par ce point au plan des deux normales, il est aisé de donner une construction convenant aux points (a, a% (^, b')^ (c, c'j, (d, d'). On observe, pour cela, que si un cercle est tracé sur une surface, la normale à la surface en un point de la circonférence de ce cercle rencontre Taxe du cercle, c'est-à-dire la perpendiculaire au plan du cercle menée par son centre. Dans le cas jactuel, par chaque point de l'intersection il passe un cercle tracé sur le premier cylindre et un cercle tracé sur le second. Ces deux cercles sont horizontaux et leur axes sont des verticales situées dans le même plan de front ; de sorte que la droite qui joint les points où ces axes sont rencontrés par les normales aux deux surfaces au point considéré est une ligne de front (iu plan des deux normales. Cherchons, d'après cela, la tangente en d' à la projection verticale de Tintersection. A cet effet, observons cjne les normales en (d, d') aux deux surfaces rencontrent les axes des cercles correspondants en des points qui sont projetés verticalement en s' et en </; il en résulte que sfa^ est la limite de la projection verticale d'une ligne de front du plan des normales, quand le point se rapproche indéfiniment de (rf, (f). Par conséquent, la tangente en d' à la projection verticale de l'intersection est la perpendiculaire à sW menée par cf.
Nature de la projection verticale, — Le plan de front mené par oOi est un plan de symétrie pour les deux cylindres qui sont du second degré ; la projection verticale de l'intersection est donc une conique. 11 est aisé de voir que c'est une hyperbole, ou, pour mieux dire, un système de deux arcs d'hyperbole.
Coupons en effet les deux surfaces par un plan horizontal quelconque ; les sections sont deux cercles dont les quatre points de rencontre sont deux à deux symétriques par rapport au plan de front ooi. Deux de ces points sont à l'iniini, et leur projection verticale est le point à l'infini sur la trace verticale du plan horizontal qui les a fournis ; il en résulte que cette droite est une direction asymptotique de la projection verticale. Mais quand le plan horizontal se déplace et passe par le point ci', intersection des projections verticales des axes des deux cylindres, les deux cercles obtenus sont concentriques ; leurs points de rencontre sont donc tous à l'infini, et il n'y a plus aucun point de l'intersection à distance finie projeté verticalement sur la trace ver-
IXTEHSECTIONS DE SL'RFÂCES
ticale du plan. Il en résulte que la parallèle à la ligne de terre menée
par (j} est une asymptote de la projection verticale de Tintersection ; donc cette projection verticale est une portion d'hyperbole, dont la deuxième asymptote se détermine du reste sans aucune difficulté.
Ponctuation. — Pour faire la ponctuation, on a représenté le cylindre (o, o') troué par le cylindre (oj, Oi), en enlevant du premier cylindre ce qui est à Tintérieur du second, et du second ce qui est extérieur au premier.
. On a représenté, d'autre part, dans une deuxième figure, le solide commun aux deux corps. Les règles de la ponctuation ne diffèrent pas, d'ailleurs, de celles qui ont été données pour les polyèdres.
i. Intersection de deux cônes ayant pour base commune une ellipse située dans le pian de deux droites données. Construire les tangentes aux points de rencontre des deux courbes d'intersection.
2. Deux cônes du second degré ont leurs bases données dans le deuxième plan bissecteur, et leurs sommets respectifs sont deux points donnés (s, s'} et (9, 9). La droite (fa, s'a) étant une génératrice du premier cône, construire l'intersection des deux surfaces.
3. Un cylindre dont les génératrices sont horizontales a pour base un cercle situé dans le plan vertical. Construire Tintersection de ce cylindre et d'un cône circulaire droit.
4. On donne deux cercles égaux situés, Tun dans le plan horizontal, Tautre dans le plan vertical. Construire Tintersection de deux cônes ayant pour bases respectives ces deux cercles et tels que «hacun d'eux ait son sommet au centre de la base de Tautre.
5. On donne deux cercles 0 et Oi situés dans le plan horizontal et une
droite (as, a! s') dont la trace horizontale (a, a') est l'un des points commans aux deux cercles. Construire Tintersection du cône de base 0 et de sommet (5, s') avec le cylindre de base Oi et dont les génératrices sont parallèles à la droite [as^ a! s').
6. Chercher s'il existe sur un hyperboloïde de révolution à une nappe, à axe vertical, des génératrices inclinées à 45® sur le plan vertical.
7. Une ellipse du plan horizontal a son grand axe de front. Cette ellipse est la section droite d'un cylindre. On considère la droite de front inclinée à 45<* sur le plan horizontal et rencontrant l'ellipse au sommet de gauche. Cette droite est Taxe d'un cône de révolution de sommet donné et dont le demi-angle au sommet est égal à 45®. Intersection des deux surfaces; branches infinies.
8. On coupe un cône quelconque, détini par sa base dans le plan horizontal et par son sommet, par un cylindre de révolution à axe vertical. Dans quel cas l'intersection présente-t-elle des branches infinies?
9. On donne un cône de révolution à axe vertical et une droite de bout sur laquelle on prend un point. On considère ce point comme sommet d'un cône de révolution à axe de bout tangent au premier. Construire ce cône et l'intersection des deux surfaces.
10. On donne deux points dans un plan de profil et une ellipse située dans un plan parallèle à la ligne de terre. Cette ellipse est la base commune de deux cônes ayant pour sommets respectifs les deux points donnés. Intersection des deux surfaces.
il. On coupe un cylindre de révolution à axe vertical par un plan défini par deux droites qui se coupent, et on prend la section comme base d'un cône de sommet donné. Construire l'intersection des deux surfaces et indiquer les particularités qu'elle présente aux points de rencontre des deux coniques d'intersection.
12. Un cône a pour base un cercle C du plan horizontal et pour sommet un point donné. On construit le cône supplémentaire de même sommet et l*on demande de trouver l'intersection de ce nouveau cône avec le cylindre droit ayant pour base le cercle C.
13. Un cône a pour base un cercle situé dans le plan horizontal et pour sommet un point S. Construire l'intersection de ce cône et du cône supplémentaire ayant pour sommet un point Si.
14. Une droite est déûnie par sa projection horizontale, sa trace horizontale et son angle ayec le plan horizontal. On donne, d'antre part, la trace horizontale et rinclinaison d*na plan snr le plan horizontal. Mener par on point donné une droite faisant des an^es donnés avec la droite et avec le plan donnés.
15. Une parahole sitaée dans le plan horizontal est la base commune à deux cônes dont les sommets sont projetés horizontalement snr la parabole. Construire llntersection de ces deux cônes.
16. On donne deox coniques situées dans le plan horizontal et tangentes en un point (a, a). Ce point est la trace horizontale d'une droite sur laquelle on prend deux points {s, /) et (?, s), sommets de deux cônes ayant pour bases respectives les deux coniques, intersection des deux surfaces; point où intersection rencontre la génératrice de contact; branches infinies.
17. Mener par un point donné une droite située à des distances données de deux points donnés.
18. SouDK COMMUN A u!f CÔNE ET A UN CYLINDRE. — Cadre : 27''" sur42<'"'. — Ligne de terre parallèle au petit côté du cadre et au milieu.
xo' = 8«»,8, oo' = l»", oa = 4«", tg a = —» <?* = 6*».
&Gi tangente parallèle kG ; b est le point de contact, c est le milieu de o6,
cK est parallèle à G. c<2 = 0«",6.
Un cylindre a pour base dans le plan
—^ ^7^~ horizontal le cercle o' et ses génératrices
cf// sont parallèles à (0,0) (l'angle de G et
/ / de G' est droit sur l'épure).
/ / Un cône a son sommet (s, s') sur la gé-
/ /f' nératrice ^Gi de contour apparent horizon-
tal du cylindre et pour base une ellipse "y située dans le plan horizontal. Cette eltipse
^ryii I passe au point 6, son grand axe est cK,un
f^ p^ ^>if^ de ses sommets est en d et la longueur 2a
\ c^^ ^j^^ ^^-^G- ^^ grand axe est 18«".
\- ^^^^ ^^^ "^ On demande de représenter le solide
^^ commun au cône et au cylindre, limité
au plan horizontal et à un plan H de cote 15*^».
On prolongera les courbes à l'encre rouge jusqu'au cadre. Y-a-t-il des asymptotes ? (R. Malloizel.)
19. Cadre : 27«" sur42«™. — Ligne de terre parallèle au petit côté du
cadre et au milieu.
Un cône de révolution a pour base dans le plan horizontal la circonférence (o, o') de 9*" de rayon ;
oo' = 11«", xo' = oV> oV = IS*"».
Un cylindre a pour base dans le plan horizontal une circonférence passant au point 0 et dont le centre, a, situé sur la ligne oa^ faisant 45<* avec œy^ est à une distance de o égale à S**'",».
Les génératrices du cylindre sont parallèles à la droite (G, G') ; G' fait 57° avec xy, G fait 45°.
On demande : 1<* les projections de Tintersection du cône et du cylindre ; 2« de représenter le cône entaillé par le cylindre et limité au plan horizontal.
(R. Malloizel.)
20. Cadre : 2'7<'™ sur 45^™. — Ligne de terre parallèle au petit côté du. cadre et à 4^1^,5 au-dessus du milieu de la feuille.
Lem
fl«o = loy, wo' = ô*", 0*0 = 16*™, 5, rayon od = 6* ,
coc' = 7"», c'c = 17"", rayon cf = o«°,5, wa = 12"™,5.
Un cylindre a pour base dans le plan horizontal le cercle od ; la projection horizontale d'une génératrice de contour apparent horizontal est la droite boLy la projection verticale de cette génératrice est parallèle à G' qui fait un angle de 45^ avec asy.
Un autre cylindre a pour base dans le plan horizontal la circonférence cf. On obtiendra une génératrice de contour apparentdelafaçon suivante : on mèneTautre génératrice dk de contour apparent horizontal du premier cylindre, par le point d on mène une parallèle à la ligne de terre qui coupe la circonférence cf au point f. Cette tangente est la projection horizontale d*une génératrice de contour apparent du deuxième cylindre. Cette génératrice coupe dk dans Tespace en un point qui se projette horizontalement en k. On demande de représenter le premier cylindre entaillé parle second. Le premier cylindre sera limité aux deux plans de projection.
On déterminera donc la trace verticale du premier cylindre, qui est une ellipse dont on trouve facilement le? axes. (R. Malloizel.)
21. Cadre : 27^'^ sar 42«<°. -- Ligne de terre parallèle au petit côté de
la feuille et au milieu.
Un cône a pour base dans le plan vertical une circonférence tangente à la ligne de terre en un point o tel que oy = l^^fi^ son rayon est de 6^°^,5. Le sommet du cône [s, s') est ainsi défini :
off = 13«", w' = 13"", <xs = IS»». Par le point (5, s') on mène une droite de front (sh, s'h') telle que <jh' = 6«* . Par cette droite on mène le plan /izP' tangent au cône, puis on trace une circonférence (i> de rayon 4«™,5 tangente à la trace ah et dont le centre est à 7®"^ de xy. Cette circonférence, située dans le plan horizontal, est la base d*un cylindre dont les génératrices sont parallèles à {sh^ s'h'), La hauteur du cylindre est \1^^, On demande : i^ les projections de la courbe d'intersection du cône et du cylindre ; 2° de représenter le cylindre entaillé par le cône.
(R. Malloizbl.)
22. Cadre 27«» sur42«"». — a^ est le grand axe de la feuille.
Un tétraèdre régulier repose par sa base ABC sur le plan horizontal ;
BC est parallèle au petit côté du cadre et à 4<"^ du bord inférieur. B^ = yG ; BC = 2o«°». On considère :
1° Le cône ayant pour base le cercle inscrit dans SAC et pour sommet B ;
2° Le cylindre ayant pour base le cercle inscrit dans SBC, dont les génératrices sont parallèles à A-^i hauteur de ABC.
Trouver la projection de Tintersection du cône et du cylindre et représenter la partie du tétraèdre supposé plein, extérieure au cône et au cylindre. (R. Malloizel.)
23. Un cône a pour base un cercle donné dans le plan horizontal et pour sommet un point donné S. On transporte ce cône parallèlement à lui-même de manière à amener son sommet en un autre point £. Construire rintersection des deux cônes S et S.
Ces deux cônes ont une courbe plane commune à rinûni ; ils ont donc une seconde courbe plane commune. Les plans des deux courbes communes forment un faisceau harmonique avec les plans passant par leur intersection et par les sommets respectifs des deux cônes. 11 en résulte que le plan de la deuxième courbe commune passe par le milieu de la ligne S!il. D'ailleurs les deux cônes ont deux plans tingents communs, et le plan de la deuxième courbe est parallèle aux génératrices de contact, ce qui achève de le définir.
24. iotersection d'un cône droit de révolulion (5, ^) avec un cylindre oblique à base circulaire (0, 0') (fig. 1 ci-dessous).
{Ecole des mines de Saint-Etienne, concours supplémentaire, 1888.)
Fig. \
25. Intersection d'un cylindre droit de révolution (aô, a'b") avec un cylindre oblique à directrice circulaire horizontale {mn, m*n') dont le centre <o,o') de la directrice est situé sur Taxe du cylindre droit (fig, 2 ci-dessus).
[Ecole des mines de Saint-Etienne, concours principal, 1888.)
Intersection d'un cylindre de révolution doht Taxe  est perpendiculaire au plan vertical, avec un cône de révolution dont Taxe est perpendiculaire au plan horizontal, une génératrice du cylindre passant par le sommet du cône et Taxe du cylindre étant situé au-dessous • de ce sommet. — Développer les deux surfaces jusqu'à la courbe d'intersection. On mènera la tangente en un point de l'intersection et la tangente au même point dans le développement.
(Ecole des mines de Saint-Etienne, concours de 1892.)
27. Intersection d'un cône et d'un cylindre. — Cône droit de révolution. Cylindre oblique à base circulaire. Les deux axes sont dans le même plan de front.
Représenter à part le solide commun. (Génératrices équidistantes sur les deux surfaces.) Développement.
(Ecole des mines de Saint-Etienne, concours de 1896.)
28. Intersection d'un cône et d'un cylindre. — A. Le cône est de révolution. Son sommet est projeté horizontalement en S et est situé à 200»»
au-dessus du plan horizontal. L'axe du cône est projeté horizontalement
suivant la droit eSO. Le point 0 en est la trace horizontale. Le demi-angle au sommet du cône est de i5<> (soit 1/6 d'angle droit).
On demande : 4* de déterminer, d'après ces données, Tellipse base du cône sur le plan horizontal.
B Le cylindre est oblique ; sa base sur le plan horizontal est un cercle dont le centre est le point C, et dont le diamètre est de 115™°^.
Ses génératrices sont inclinées à iS** sur le plan horizontal et en projection horizontale, elles sont perpendiculaires sur la projection horizontale de Taxe du cône.
On demande : 2^ de déterminer l'intersection du cône et du cylindre, et de représenter en projection horizontale seulement (une projection verticale serait inutile) le cône entaillé par le cylindre ; on suppose, par conséquent, le cylindre enlevé.
{Ecole des Ponts et Chaussées, cours préparatoires, concours de i884.)
29. i"* Un cône de révolution a pour sommet le point donné en S par sa projection horizontale. La cote de hauteur du point S de l'espace est de
L'ellipse, base du cône sur le plan horizontal, a pour grand axe la
droite ah, limitée aux points a et h.
On devra déterminer le petit axe de l'ellipse par la condition que le cône est de révolution.
%^ Un cylindre oblique a pour base, sur le plan horizontal; le cercle de centre 0 (rayon = 65™"»).
Les génératrices ont, en projection horizontale, la direction SL. Dans l'espace elles sont déterminées par la condition que le cylindre et le cône ont un plan tangent commun dont la trace horizontale est indiquée approximativement en mn sur le croquis ci-contre.
On demande do déterminer Tin tersection des deux surfaces et de flgurer, en projection horizontale seulement, Tentaille faite par le cylindre dans le cône.
Le cylindre sera donc supposé enlevé.
(Ecole des Ponts et Chaussées, cours préparatoires, concours de i885.)
Cadre 4^20*
30. lfiTBRSECTio!« DE TROIS SOLIDES (Tétraèdre, cAne et cylindre). — Un tétraèdre régulier, de 220"^°^ de côté, repose par sa base ABC sur le plan horizontal.
Soit S le sommet, lequel n*est pas sur le plan horizontal.
1<> Un cylindre a pour directrice le cercle inscrit dans le triangle SÂB de Tespace. Ses génératrices sont parallèles au côté horizontal ÂG.
2* Un cône a pour sommet le point B ; sa directrice est une hyperbole tracée dans le plan du triangle SAC, ayant pour asymptotes les deux droites SA et AG et Tun de ses sommets, réels> dans Tintérieur du triangle. Son demi-axe transyerse possède dans Tespace une longueur de 70"^°^. On demande de déterminer les intersections des trois solides en présence tétraèdre, cylindre et cône) et de figurer, en projection horizontale seulement, le tétraèdre duquel auront été enlevées les parties appartenant aux deux autres solides.
(Ecole des Ponts et Chaussées, cours préparatoires, concours de 1887.)
31. Le croquis ci-contre fait connaître au tiers de la grandeur de Tépure
à exécuter, les données du problème.
(a) Le cylindre a son axe vertical : o est le pied de cet axe ; o'o" en est la projection verticale ; le rayon de base est R.
{b) Le cône a pour sommet le point (s^ s') et son axe est la droite {sx, s'œ') ; on remarquera que cet axe ne rencontre pas celui du cylindre .
En projection horizontale, une des deux génératrices de contour apparent, sa^ du cône est tangente au cylindre ; cette condition suffit donc à déterminer le cône qui, d*ailleurs, est de révolution.
On demande de déterminer Tentaille faite par le cône dans le cylindre, c'est-à-dire : 1» de chercher Tinlersection des deux surfaces ; 2^ de représenter ensuite le cylindre seul, en supposant le cône enlevé.
Nota, — Pour trouver des génératrices du cône, on pourra déterminer une sphère inscrite dans ce cône et par le sommet [s, s') mener des droites tangentes à cette sphère. C'est une méthode ; mais on peut en employer d'autres.
{Ecole des Ponts et Chaussées, cours préparatoires, concours de 1891,)
Jtô^.
32. Intersection d'un cône ff d*un cylindre. — On prendra pour ligne de terre le petit axe de la feuille. Le cône a pour base dans le plan horizontal une parabole ayant pour sommet le point a (a? = — 4»", y = 8«"), pour foyer le point ^ (a: = — 3«™, y = 8«"). Le sommet du cône est le point (5, $') {af=z^ 4«", y = 8»», z = 4««»).
Le cylindre a pour base dans le plan horizontal une autre parabole de
sommet a{ic =z 1""», y = 10«") et pour foyer le point /* (a? = 0, y = 10*") ; la génératrice issue du sommet a passe par le point b {x =z — 4"»,
Représenter le solide commun au cône et au cylindre en supposant les plans de projection transparents.
Indiquer à Tencre la construction pour obtenir un point, la tangente en ce point, et tous les points remarquables.
(Ecole normale, concours de i89î.)
