A — A, = A— AI

(') Cette note a paru dans la Reçue de Mathématiques spéciales, 1890, p. 2U7.

INTERSECTION D'UNE DROITE ET d'uNE QUâDRIQUE 5H

Maïs en éliminant z^ entre les équations de Q et de Qi, on obtient

réquatîon

(A — A,)*» -h (A' - A;}t/2 - 2D,a? — 2Eiy 4- H — Ft = 0,

puisque Bi = 0, et on constate que cette équation représente un cercle.

Le théorème est ainsi complètement démontré.

IL — Théorème II. — Réciproquement, lorsque deux quadriques ont un plan principal commun, si leur ligne d* intersection se projette sur ce plan suivant un cercle :

i'* Leurs autres plans principaux sont parallèles ;

2<^ Un même plan P peut les couper l'une et Vautre suivant des coniques se projetant sur U plan principal commun suivant des cercles.

Les équations de Q et de Qi étant les mêmes que ci-dessus, la projection de leur ligne d*intersection sur le plan principal commun étant un cercle par hypothèse^ on devra dans Téqualion Q — Qi =0 faire B7 = 0, ce qui entraîne le parallélisme des autres plans principaux. On aura en outre A — Ai = A' — Ai.

Mais, pour la quadrique Q par exemple, un plan P répondant à la question aura une équation telle que

z =. ma?-hp ou - =: 7iy-i-p,

Les sections faites par Je premier plan dans Ies4eux quadriques sont représentées en projection par les deux équations

f(x, y) 4- [mx -h p)* = 0,

fi{^, y) -^ [^^^ -^^ P? = 0.

Pour que la première soit un cercle, il faut que m satisfasse à la relation m^-f-A = A', d*oii m* = A' — A, ce qui exige A' — A > 0, condition que nous admettons.

Mais de la condition précédente on tire

A' — A := Al — Al.

Dès lors m' = Al — Ai ou m^ 4- Ai = Al,

ce qui prouve que la seconde projection est également un cercle, puisque Bî = 0. Le théorème est donc complètement démontré.

Remarques. — En démontrant le premier théorème, on a constaté pour la quadrique Q par exemple, que :

Si une section elliptique se projette suivant un cercle sur un plan prin^ cipalj le plan de cette section est perpendiculaire à un autre plan principal.

Cette propriété peut se rapprocher de la propriété semblable concernant

les plans cycliques.

En outre, si on se reporte à Téquation

f(x, y)-+-(mxH-;};2 — q,

on voit que la projection est un cercle focal de la conique principale f[x, y) = 0.

Soit X le cylindre parallèle à Taxe des z ayant pour base ce cercle focal. La ligne d'intersection de Q et de 2: se compose de deux courbes planes, car on a

Q — 1 = ^2 — [mx 4- pT' = 0.

Le cylindre S est bitangent à la quadrique. Les points de contact des plans tangents communs sont les points de rencontre de la droite )na?-f-p = 0 et de f{x,y) = 0.

Quand m est connu, si on fait varier p on a une série de plans P répondant à la question.

III. — Problème I. — Etant donnée une quadrique , déterminer les plans de sections elliptiques qui se projettent s\ir un de ses plans principaux sui^ vant des cercles.

Prenons comme quadrique un ellipsoïde à trois axes inégaux et désignons par a, b, c les longueurs de ses demi -axes (a "> b ;;> c).

Fig. 1.

Plaçons Tellipsoïde de façon que le plan de Tellipse (a, b) soit parallèle au plan horizontal de projection (fig. i) et le plan de Tellipse (a, c] parai-