INTERSECTION DUNE DROITE ET DUNE QUADRIQUE

lè]e au plan vertical. L*axe 2a se trouve être parallèle à la ligne de terre, Taxe 2b est perpendiculaire au plan vertical et Taxe 2c perpendiculaire au plan horizontal. Les contours apparents de la quadrique sont la projection horizontale de Tellipse (a, b) et la projection verticale de Tellipse (a, c).

Si on considère un cercle focal de Tellipse (a, &), on vient de voir que ce cercle est la projection sur le plan de cette ellipse de deux sections elliptiques de la quadrique.

Parmi les cercles focaux ayant leurs centres sur Taxe 2a, choisissons celui de centre 0 et de diamètre 2b. Le cylindre 2 qui lui correspond est coupé par le plan de front de Tellipse (a, c) suivant deux génératrices qui rencontrent cette ellipse en quatre points dont les projections verticales sont f ,/*{ et /, g[. Les droites f*g* et flg[ sont les traces verticales des plans des deux ellipses qui constituent l'intersection du cylindre S et de la quadrique. Ces plans sont perpendiculaires au plan vertical, et tout plan parallèle à Tun d'eux coupe Tellipsoïde suivant une ellipse se projetant sur le plan de Tellipse (a, b) suivant un cercle focal de cette ellipse ayant son centre sur Taxe 2a.

Le plan principal de projection étant le plan de Tellipse (a, 6), il n'y a pas lieu, en descriptive^ de considérer les cercles focaux ayant leurs centres sur Taxe 26, car l'ellipsoïde est 'intérieur aux cylindres £ qui leur correspondent.

IV. — Problème II. — Construire un cône contenant une droite donnée ayant un plan principal commun avec une quadrique donnée^ et dont Vin-' tersection avec la quadrique se projette sur ce plan suivant un cercle.

Conservons comme quadrique l'ellipsoïde considéré plus haut (fig, 1] et soit {sdy s'd') la droite donnée rencontrant en (s, s') le plan de l'ellipse (a, b) qui servira de plan principal commun.

Les autres plans principaux de la quadrique et du cône devant être parallèles, ces plans seront pour le cône cherché le plan de front et le plan de profil passant par son sommet. Le plan mené par la génératrice donpée (D) et par l'axe vertical du cône le coupera suivant une seconde génératrice (A), symétrique de ^D) par rapport au pian principal commun et figurée par (^8, *'o').

Le plan de bout P, de trace verticale fg', coupe les deux génératrices (D) et (A) en (m, m') et en {l, l'). Il doit couper le cône suivant une ellipse se projetant horizontalement suivant un cercle passant par m et l et dont le centre se trouve sur sxt parallèle à la ligne de terre, parallèle par suite à Taxe 2a de l'ellipsoïde. Le cylindre ayant ce cercle pour base est coupé par le plan P suivant une ellipse qui peut servir de hase au cône de sommet {s, s') .

Le cône se trouve ainsi parfaitement déterminé.

Son intersection avec l'ellipsoïde se projettera suivant un cercle sur le plan de Tellipse (a, 6), c'est-à-dire sur le plan horizontal.

ANTOMARI. — GBOM. DESCa. 33

Remàbque. — 1^ Le cône en question peut avoir ses deux nappes de part et d'autre du plan principal commun ou de part et d*autre du plan de proûl perpendiculaire à Taxe 2a de Tellipsoîde. Mais cela n'a aucune importance, car pour l'épure on ne fait intervenir que les deux génératrices (D) et (A). 11 est donc inutile de figurer le cône.

29 11 peut arriver que les projections verticales de ces droites soient respectivement parallèles aux traces f*g' et fîg'i des plans de sections elliptiques considérés. Alors le cône est un système de deux plans dont Tun suffit pour trouver Tinterseclion cherchée.

¥. — Ces diverses questions traitées, on peut facilement résoudre le problème de géométrie descriptive que Ton avait en vue.

Supposons que la quadrique donnée soit Fellipsoîde représenté figure < de manière que deux de ses plans principaux soient parallèles aux plans de projection.

Ayant choisi pour plan principal commun à cet ellipsoïde et au cône auxiliaire le plan de Tellipse (a, b), on commence par résoudre le problème 1, ce qui fournit les traces verticales fg' et figi des plans de sections elliptiques se projetant horizontalement suivant des cercles.

A la droite donnée {sd^ ^d') perçant le plan principal commun en (5, s') on associe sa symétrique (jr8,^'o') par rapport à ce plan.

Le plan cyclique (en projection) de trace verticale f^ coupe Tellipsoide et le cône auxiliaire suivant deux ellipses dont les projections horizontales sont les deux cercles mentionnés dans le problème 11. Ces deux cercles se coupent en deux points p et q.

Un second pian de bout, de trace verticiile )Ch\ parallèle à Pg\ coupe Tellipsoïde suivant une ellipse dont la projection horizontale est un cercle de diamètre hh. Le même plan coupe le cône suivant une ellipse se projetant horizontalement suivant un cercle dont le centre est sur sxi et dont on a deux points sur ds. Ces deux cercles se coupent en p\ et ^i.

Par trois des quatre points p, 9, pi, ^i, on fait passer un cercle qui passe nécessairement par le quatrième puisque la projection horizontale cherchée est un cercle.

Ce cercle coupe sd en deux points t et t'i qui sont les projections horizontales des points de rencontre demandés. Ces points sont (t, t') et (l'i, f'I).

Les plans tangents en ces points ont pour intersection la polaire conjuguée de la droite donnée par rapport à Teliipsoïde.

Remarque. — Si sd* était parallèle à fxg'u le plan de bout de trace verticale s'd' couperait Tellipsoïde suivant une ellipse se projetant horizontalement suivant un cercle, lequel couperait sd en deux points. On aurait donc immédiatement les projections horizontales des points de rencontre demandés et on en déduirait les projections verticales.

Substitution au cône auxiliaire d'un hyperboloide

homothétique.

VI . — Si le cône auxiliaire n'est pas un système de deux plans, on peut

1WTËR8ECT1ÛN d'uNB DROITE ET d'cSE QUADHIQUE 515

lui substituer un byperboloïde à une nappe dont il soit le cane asymptote. Supposons i/ig. 2) que le plan de l'ellipse {a, b) soit dans le plan horizontal de projection et que te cône auxiliaire, ^(/j de sommet {s, s'), ait ses deux nappes de part

et d'autre ce ce plan.

Un hyperboloïde à une nappe ayant pour cône as^ptote le cône auxiliaire sera coupé par le plan principal commun suivant une ellipse de centre [s, s"), projection d'une section plane horizontale du cône.

Soit u>b>i le diamètre conjugua de sd dans trette ellipse de gorge de l 'hyperboloïde (H) . Le plan tangent à (H) au point lui le coupe suivant deux génératrices respectivement parallèles aux deux génératrices de son cône asymptote, représentées en {sd, s'd') et en (ï3, s'a').

Fig. 9 Faisons subir à l 'hyperboloïde une trans-

lation égale et parallèle à sm. Son centre s viendra en ii>; et comme le point (Oi vient en s, les deux génératrices qui se croisent en wi viendront se placer sur les génératrices correspondantes du cône.

Après ce déplacement, comme avant, le cAne, l'hyperbololde et l'ellipsoïde admettent les mêmes plans de sections elliptiques se projetant suivant des cercles sur leur plan principal commun.

Les cercles provenant de l'hyperbololde ont leurs centres sur l'axe parallèle à la ligne de terre et passant par son centre «. En outre cet hyperboloïde admet comme génératrices les droites {sd, s'd!) et (sS, j'5'1 . ■On peut donc sans le figurer l'utiliser pour résoudre te problème proposé. D'ailleurs, dans sa première position on peut lui donner comme ellipse de gorge la projection d'une section horizontale arbitraire de son cdne asymptote.

On peut donc dans sa nouvelle position supposer son centre tu sur Taxe i^ de l'ellipsoïde, sans s'astreindre à fixer la position de ce centre.

Le plan de front passant par le centre de l'ellipsoïde sera dès lors un second plan principal commun aux deux quadriques.

Les couples de cercles à tracer sur le plan horizontal auront leurs centres sur une même droite parallèle à la ligne de terre.

Telle est la solution de M, Rémoy publiée dans la Géométrie descriptive de M. Caron .

Toutefois, si le point s se trouvait sur l'axe 2a de l'ellipsoïde, l'emploi du cône serait tout indiqué.

Si la quadrique donnée est de révolution autour d'un axe vertical, par exemple, le cône auxiliaire est aussi de révolution autour d'un axe parallèle au premier. Deux sections planes horizontales suffiront pour

516 C01fPLÉ3fE5TS ET 50TES

détenriiner rintersectloa d'une droite et d'une pareille qnadriqne. Dans le cas de la surface gaache de réTolntioDf le procédé de M. Roaché peut être remplacé par la méthode da cône aiuiliaire en question, laquelle est toat k fait générale et peat s'appliquer facilement, soit à l'ellipsoïde, soit au paraboloîde de révolution .