NOTIONS SUR L'HÉLICE

Définition de Théllce. — On appelle hélice une ligne tracée sur la surface d'un cylindre et dont la transformée par développement est une ligne droite. £n d'autres termes, Thélice est la courbe en laquelle se transforme une droite d'un plan quand on enroule ce plan sur la surface d'un cylindre. Nous supposerons, dans ce qui suit, que le cylindre est un cylindre circulaire droit.

Soit alors ÂciCsCs . . . une droite d'un plan. Divisons ce plan en rectangles AÂiÂ'Ai, AiA2AÎAi, etc., tels que chacun d'eux s'enroule exactement sur le cylindre. La portion Aci de la droite considérée devient ainsi, sur la surface du cylindre, un arc de courbe A&iCi qui part du point A de la génératrice AA' et aboutit au point ci de la même génératrice. De même,

la portion cics de la droite devient un arc Cih^cty à la suite du premier, et identique au premier, et ainsi de suite. Chacun de ces arcs s'appelle une spire de l'hélice, et la longueur Aci sur le cylindre, égale à la longueur Aici Hur le plan, s'appelle lepo^ de l'hélice.

11 suit de la définition de Thélice que cette ligne est indéfinie, si la surface du cylindre est indéfinie, et qu'elle est rencontrée par chaque génératrice en une infinité de points. L'arc d'hélice compris entre deux points de rencontre consécutifs est ce que nous avons appelé une spire ; de même la portion de la génératrice comprise entre ces deux points est le pas de l'hélice.

On appelle abscisse curviligne d'un point M de l'hélice, l'arc AP de la section droite du cylindre, ou cet arc augmenté d'une fois, de deux fois, etc. la longueur de cette section droite, suivant que le point M a été obtenu en enroulant le premier rectangle, le deuxième rectangle, etc. Si

le point M a été obtenu en enroulant le premier rectangle, Tabscisse curviligne est Tare AP ; si le point M a été obtenu en enroulant le deuxième rectangle à la suite du premier, Tabscisse curviligne est égale à l'arc AP augmenté de la longueur de la section droite^ etc.

Dans tous les cas la longueur MF s'appelle l'ordonnée du point M par rapport à la section droite qui passe par le point A du cylindre : elle est égale à la distance au côté A A3 du rectangle AAsA'Aj, du point de la droite AciC^ca . . . qui est la transformée de Thélice quand on développe la surface du cylindre sur un plan.

Théorëme. — Le rapport entre Vordonnèe d*un point qtielconque de Vhélice et son abscisse curviligne est constant et égal au rapport dupas à la circonférence de hase du cylindre.

Soient M (fîg. précédente) un point de Thélice et m le point correspondant du plan quand on développe la surface latérale du cylindre sur ce plan. L'abscisse curviligne et l'ordonnée du point M sont respectivement égales à Ap et à mp. Or, les deux triangles semblables Amp et AciAi

donnent Tégalité

mp ciAi

Ap AAi '

dans laquelle ciAi est égaie au pas et AAi à la longueur de la circonférence de base. La proposition résulte évidemment de là.

Théorëme. — La tangente en un point quelconque d'une hélice fait un angle constant avec les génératrices du cylindre.

Nous avons prouvé que le développement de la surface latérale d*un cône ou d*un cylindre conserve les longueurs et les angles des lignes tracées sur cette surface. Or, la droite qui est la transformée par développement de Thélice fait des angles constants avec les génératrices da cylindre ; il en résulte que la tangente à Tbélice fait un angle constant avec ces génératrices.

Voici, au surplus, la démonstration directe de cette proposition.

Soient M et M' deux points voisins d'une hélice. Menons les génératrices MP et M'F de ces deux points ainsi que les sécantes MM' et PP' ; ces deux sécantes sont situées dans le même plan et se rencontrent en un point S, de sorte que les deux triangles semblables SMP et SMT' donnent