MP MT

arc AP ~ arc AP''

En divisant ces égalités membre à membre, il

vient

SP SF .

arc AP arc AF *

d'où, en retranchant les numérateurs entre eux et

NOTIONS SUR l'hélice 519

les dénominateurs entre eux,

SP SF corde PP^

arc AP "" arc AP' ~ arc PP'

Gela posé, supposons que le point M' se rapproche indéfiniment du

point M ; alors les sécantes MM' et PP' ont pour limites respectives la

tangente en M à Thélice et la tangente en P à la section droite, tangentes

qui se rencontrent en un point T, position limite du point S ; d*autre

part, le rapport ppp est le rapport d'une corde à son arc et a pour

limite Tunité ; il en résulte que Ton a

r SP

lim r^j = l

arc AP et, par suite,

lim SP = arc AP.

Mais la limite de SP est égale à TP, puisque le point S a pour limite le point T ; donc, en vertu de Tégalité (i) et du théorème précédent, le

rapport 7^ est constant, ce qui signifie que le triangle TMP reste semblable à lui-même et que, par suite, Tangle TMP est constant ; ce qui démontre la proposition.

Corollaire. — La sotcs-tangente en un point d'une hélice est égale à Vahscisse curviligne du point de contact de la tangente.

C'est une conséquence immédiate du théorème précédent. En effet, la sous-tangente en M, par rapport à une section droite déterminée, est la projection TP sur le plan de cette section, de la portion de la tangente en M comprise entre le point de contact et le plan de section droite*

Protection d'une hélice sur un plan parallèle à son axe. — Nous prendrons le plan parallèle à l'axe comme plan vertical de projection et nous prendrons comme plan horizontal, le plan de base du cylindre sur lequel rhélice est tracée. Tous les points de la surface du cylindre, et en particulier tous les points de Thélice, sont projetés horizontalement sur le cercle de base du cylindre ; tous les points de la surface du cylindre sont projetés verticalement à l'intérieur du rectangle a'b'c'd' ayant pour base et pour hauteur le diamètre et la hauteur du cylindre.

Cela posé, nous allons construire la projection verticale d'une spire dliélice. Pour cela, dans le plan vertical, et en prenant la ligne de terre comme base» traçons le rectangle qui représente le développement de la surface latérale du cylindre ; soit a'fgc' ce rectangle et soit a'g la diagonale dont l'enroulement sur la surface du cylindre donne la spire d'hélice dont nous cherchons la projection verticale. Partageons la base du cylindre et a'f en un même nombre de parties égales et aux points correspondants mettons les mêmes numéros. Le point de l'hélice projeté sur la division 1 du cercle de base provient du point m\ de fg ; le point projeté sur la division 2 provient du point m2, et ainsi de suite. Comme les cotes ne chan-

geai pas quand on enroole le rectangle o'/^c sar la surface da cylindre, on Toit que la projection Terticale du point de l'hélice projeté en m, sur la division I, se trouve sur la ligne de rappel menée par m et sur la parai-

lèle à xy menée par nu ; on opère d*une manière analogue pour tous les autres points, et Ton a ainsi la projection verticale a'm'p'c* demandée. L'arc a'm'p' est vu et Tare p'd est caché.

GonstmcUon de la tangente. — Construisons maintenant la tangente à Thélice en un point quelconque (m, ml ; nous allons pour cela nous appuyer sur ce que la sous'tangente en un point de r hélice est égale à l'abscisse curviligne de ce point. Or, Tabscisse curviligne du point (m, m') est ici a's ; d'autre part la sous-tangente est dirigée suivant la tangente en m au cercle de base du cylindre. Si donc, sur cette tangente, nous portons dans le sens convenable (contraire à celui de Tenroulement du rectangle a*fgc')^ une longueur mt égale à Tabscisse curviligne, c'est-à-dire à a'%^ le point (t, t^) ainsi obtenu sera la trace horizontale de la tangente en (m, m') ; les projections de la tangente sont mt et mY.

Remarque. — Le même problème, dans le cas où Thélice est tracée sur un cylindre de révolution à axe quelconque, se traite de la même façon par des changements de plans.

i. On donne deux droites D et A par leurs projections. On fait tourner D

autour de A et l'on demande de trouver les points de la surface ainsi

obtenue situés sur une verticale donnée s'appuyant sur A.

En faisant tourner la verticale donnée autour de A on engendre un cône, et on se ramène facilement k la détermination des points de rencontre de D avec ce cône.

2. Mener par un point du plan bissecteur du second dièdre un segment de droite de longueur donnée faisant un angle de 4o^ avec le plan horizontal et un angle de 60<* avec le plan vertical ; discussion du problème.

3. On considère une hyperbole équilatère et une droite ad parallèle à

Tasymptote of ; on mène les bissectrices ab, oc des angles dae et fog ; déterminer Tintersection de rhyperboloïde engendré par Thyperbole équilatère tournant autour de oc avec le cône engendré par ad tournant autour de ab ; trouver les asymptotes de Tinlersection.

4. Intersection d'un parabololde de révolution à axe vertical et d'un cylindre de révolution à axe également vertical. Pourquoi est-ce une courbe plane ?

5. Deux cônes ayant une courbe plane commune, on demande de trouver Tautre. Déterminer les points communs aux deux courbes et les tangentes en ces points.

6. Trouver la trace sur le plan horizontal du cône de sommet donné circonscrit à un paraboloïde hyperbolique engendré par une horizontale qui glisse sur deux droites données. Nature de cette courbe.

7. Contours apparents d*un hyperboloïde de révolution autour d'un axe de front engendré par une verticale.

8. Od donne deax coniques tangentes au plan vertical de projection au même point. La première conique est la base d'un cylindre tangent au plan vertical ; la seconde conique est la base d'un cône. On suppose que les deux surfaces sont tangentes au point où les deux coniques touchent le plan vertical et que Ton donne une asymptote de l'intersection. Où est le sommet du cône ? On se donne le sommet du cône, trouver un point quelconque de Tinterseclion et la tangente en ce point.Trouver les asymptotes.

9. Un hyperboioïde de révolution à axe vertical est défini par son axe et par une génératrice de front. On le coupe par un plan de bout et on prend la section comme base d'un cône de sommet donné ; trouver le contour apparent horizontal de ce cône.

10. On donne un point (a, a') et une droite (A, A') passant par ce point. Mener par (A, A') un plan faisant un angle donné avec le plan qui passe par la ligne de terre et par le point (a, a').

il. On donne une circonférence dans le plan horizontal et deux points (a, a') et (o, o') . £xiste-t-il une quadrique passant par {a, a') et par la circonférence et ayant pour centre le point (o, o') ? Trouver le plan tangent au point (a, a') et les sections circulaires de cette surface.

12. On mène une droite A parallèle à une génératrice G d'un hyperboioïde de révolution à axe vertical, et on fait tourner G autour de A. Intersection de l'hyperboloïde et du cylindre ainsi engendré.

13. On considère toutes les horizontales qui s'appuient sur deux droites de front données. Lieu des projections d'un point donné sur ces horizontales.

14. On donne deux droites Sa, Sb faisant entre elles un angle de 60<> ; elles représentent la méridienne d'un cône de révolution autour de la bissectrice de l'angle aSb, On considère, d'autre part, un cylindre de rayon donné ayant pour axe la perpendiculaire à celte bissectrice dans le plan aSb, Intersection des deux surfaces. Points remarquables avec leurs tangentes.

15. On fait tourner une droite D autour d'une autre droite A. Section de la surface obtenue par le plan bissecteur du second dièdre.

16. Lieu des sommets des cônes passant par une conique donnée dans le plan horizontal et par deux points donnés. Tangente en un point du lieu. Si le cône passe par trois points donnés, combien y a-t-il de sommets?

17. Contour apparent horizontal du cône de sommet donné ayant pour base la section faite dans une sphère par un plan donné. ;

18. Lieu des pieds des perpendiculaires menées par un point donné sur les plans tangents à un cône de sommet donné, ayant pour base un cercle donné dans le plan horizontal.

19. Soit A une génératrice principale d'un hyperboloïde de révolution à axe vertical. Dans un plan horizontal on considère une circonférence rencontrant A et on prend cette circonférence comme base d'un cylindre passant par A. Trouver les plans tangents communs à Phyperboloïde et au cylindre.

20. On donne un cylindre vertical ayant pour base dans le plan horizontal une ellipse dont le grand axe est parallèle à la ligne de terre. Trouver Tinlersection de ce cylindre avec une sphère ayant son centre dans le plan de front du grand axe de cette ellipse et dont le contour apparent vertical est tangent à celui du cylindre.

21. On donne un ellipsoïde de révolution allongé à axe vertical et un ellipsoïde de révolution aplati à axe vertical, ayant même plan méridien principal. Intersection de ces deux surfaces ; points remarquables et tangentes en ces points. Nature de la projection verticale.

22. On considère la surface de révolution engendrée par une courbe gauche donnée par ses projections tournant autour d'un axe quelconque. Section de cette surface par le pian bissecteur du second dièdre.

23. Intersection d'un cône de révolution à axe de front et d'une sphère ayant son centre dans le plan de front de l'axe du cône.

24. Déterminer l'axe et le sommet du contour apparent horizontal d'un paraboloïde hyperbolique engendré par une horizontale qui s'appuie sur deux droites quelconques.

25. Les bases de deux cylindres sont deux hyperboles conjuguées situées dans le plan horizontal, intersection de ces deux surfaces.

26. intersection d'un tore à axe vertical et d'un cylindre de bout ayant pour base la demi-méridienne principale du tore. Que peut-on dire de la nature de cette courbe et de ses projections ?

27. Mener par un point les plans tangents à un cylindre dont la base est donnée dans le second plan bissecteur. Reconnaître si les génératrices de

contact sont vues en projection verticale. Trouver la trace de ce cylindre sur l'autre plan bissecteur. Que faut-il se donner pour définir le premier plan bissecteur ? Pourquoi n'est-il pas besoin de la ligne de terre pour définir le second ?

28. On donne le contour apparent vertical d*un cône de révolution ; on donne de plus une génératrice de contour apparent horizontal ; on demande de déterminer Taxe et le contour apparent horizontal de ce cône.

29. On donne lé contour apparent vertical d*un cône de révolution à axe de front. On donne aussi un cylindre de révolution dont l'axe est situé dans le même plan de front et est perpendiculaire à celui du cône, intersection des deux surfaces. Nature et sommets de la projection verticale.

30. On donne un cercle dans le plan horizontal et l'on considère le carré

oAB^ ; on prend le point (s, ^} dont la cote est égale au rayon du cercle ; c'est le sommet d'un cône dont la base est ie cercle considéré. On donne, ensuite, dans ie plan horizontal, une parabole dont Taxe est BÂ, le sommet ((2, d) et le foyer ie milieu de BA. Cette parabole est la base d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à (ds, dW). Déterminer un point de l'intersection des deux surfaces et la tangente en ce point. Nature des branches infinies. Nombre des points doubles en projection horizontale.

31. Une ellipse dans le plan vertical est une section principale d'un ellipsoïde dont les sections horizontales sont des cercles. Montrer que la surface est déterminée et trouver ses points de rencontre avec une droite.

32. Normale commune à un cylindre parabolique et & un cône, la base du cylindre étant dans le plan horizontal et celle du cône dans le plan vertical.

33. On donne la méridienne d'un tore à axe vertical et on considère la sphère qui a pour grand cercle une circonférence tangente intérieurement à une demi-méridienne et extérieurement à l'autre. Intersection des deux surfaces.

34. On donne une verticale et deux droites de front; l'une d'elles en tournant autour de la verticale engendre un hyperboloïde ; toutes les deux sont directrices d'un paraboloïde hyperbolique dont un plan directeur est horizontal, intersection des deux surfaces. Branches infinies.

35. On considère un paraboloïde de révolution à axe vertical ; on Téclaire

par des rayons de front venant de gauche et d'en haut. Le paraboloïde est limité par un plan horizontal. Trouver les ombres propres et portées. L'ombre propre est une parabole égale à la parabole méridienne. Pourquoi le foyer de Tombre portée est-il Tombre du sommet du paraboloïde ?

36. Dans le plan horizontal on donne une ellipse et une droite. L'ellipse est la méridienne d'un ellipsoïde de révolution et la droite est la trace horizontale d'un plan dont on donne l'angle avec le plan horizontal. Mener à l'ellipsoïde un plan tangent parallèle au plan donné.

37. On donne deux paraboles dans le plan horizontal. Les axes de ces paraboles sont les projections horizontales de deux cylindres ayant pour bases les paraboles correspondantes. Intersection des deux surfaces. Nature de la projection horizontale.

38. On donne deux coniques dans deux plans différents, l'une dans un plan horizontal, l'autre dans un plan de front. Peuvent-elles être les perspectives d'une même conique par rapport à deux points de vue différents ?

39. On donne un cône de révolution par son sommet et par sa base qui est un cercle du premier plan bissecteur, une droite quelconque parallèle à la ligne de terre et un point a de la ligne de terre. Mener par le point a une droite s'appuyant sur la droite donnée et sur le cône.

40. Par deux points donnés mener un plan dont les traces sur les plans de projection fassent un angle donné.

41. On prendra comme origine le centre de la feuille, comme axe des x ou ligne de terre le petit axe de la feuille, comme axe des y une ligne de bout, l'axe des z étant vertical. On donne :

{^ Un hyperboloïde de révolution S à axe vertical o (a; =: 0, y = 10'^™) ayant pour génératrice principale la droite ÂÂ' passant par (a, a') [a? = 0, y = 14, s = 10] et par (a, a') [a? = — 10, y = 14, j = 0] ;

â** Un hyperboloïde Si ayant pour directrices: 1<> ÂA'; 'i"" BB' qui passe par (o, o') [» = 0, y = 10, j = 10] et par (P, p') [x = 10, y = 10, s = 0] ; 3« la ligne de bout (G, G') [a? = — 2, ;s = 6].

Représenter la surface opaque de l'hyperboloïde de révolution S contenue dans l'hyperboloïde Si.

On vérifiera numériquement les directions des asymptotes de l'intersection en calculant les angles de leurs projections horizontales avec la ligne de

terre. .

{École normale j concours de 1896.)