I. — École Polytechnique
1864. — Le problème consiste à représenter la surface engendrée par la révolution d'une ellipse autour d'une droite située hors du plan de cette courbe.
L'axe de révolution est la droite verticale {o, o'z). L'ellipse génératrice est donnée dans sa position initiale par ses projections (ÂBCD, M'N') et par les traces LG, GH de son plan ; ce plan est perpendiculaire au plan vertical.
Le grand axe de l'ellipse ABCD passe par la trace horizontale o de l'axe de révolution. On tracera le contour apparent de la surface sur chacun des plans de projection. Les deux courbes méridiennes situées dans le plan vertical OL seront entièrement construites, et on distinguera par la ponctuation celles de leurs parties qui sont vues de celles qui sont cachées. Ellipse ADCD : grand axe AC = QG""»; petit axe BD = 44™™. oo' = 72"», OL = 68»™, 01 = 15™»,
ÂOL = 45% yGÔ = se».
La droite OL est parallèle à la ligne de terre et le point 1 est le centre de l'ellipse ABCD.
1865. — On demande de représenter par ses contours apparents un solide terminé par un hyperboloïde de révolution et par deux plans : l'hyperboloïde a pour axe de révolution l'horizontale (AB, A'B') et pour génératrice la droite (CD, CD') parallèle à la ligne de terre xy\ les plans sont perpendiculaires à l'axe (AB, A'B') et également distants du centre de l'hyperboloîde. On supposera tracées sur ce solide 12 génératrices d'un même système; la génératrice donnée (CD, CD') est Tune de ces douze droites. Ces génératrices, également espacées, seront représentées en tenant compte des parties vues et des parties cachées.
Les arcs d'hyperbole qui appartiennent aux contours apparents du solide seront simplement tracés tangentiellement aux projections de ces génératrices.
On achèvera de déterminer le contour apparent du solide sur le plan
CONCOUBS d'admission A l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 527
vertical de projection en construisant quelques génératrices du système qui ne renferme pas la génératrice donnée; ces droites seront tracées comme lignes de construction.
A'B' et CD sont à 100°»° de la ligne de terre «y, CD' est à 25»^» de A'B'.
AB et CD comprennent un angle de 40''.
Les plans qui terminent le solide sont Tun et Tautre à 70»i>^ du centre de rhyperbololde.
xy est parallèle aux petits côtés de la feuille de dessin et à égale distance de ces côtés.
1866. — On donne une sphère pleine ; on la coupe par un cône. On enlève de la sphère la partie qui est dans Tintérieur du cône. On demande de représenter par ses projections la sphère solide dans laquelle on a pratiqué ainsi une entaille conique. Le centre de la sphère est projeté en (o, o'). Les points o' et o sont à 100°™ de la ligne de terre. Le rayon de la sphère a 90mm dg longueur. La surface conique de Tentaille est engendrée par la droite A'B' qui tourne autour de Taxe EF
Ces deux droites sont dans le plan mené par le centre de la sphère parallèlement au plan vertical de projection.
Pour les déterminer, on donne les dimensions suivantes :
ok = 60«»°, oB = 30°°, o'D' = 30°°, o'C = 45°°.
N. B. — Prendre pour xy une droite parallèle aux petits côtés de la feuille et à égale distance de ces côtés.
1867. — Deux cônes sont circonscrits à une sphère ; ils se coupent par conséquent suivant deux courbes planes. L'un de ces cônes est solide. On demande de représenter par ses projections la portion de ce cône solide qui est renfermée dans l'autre.
Le centre de la sphère est projeté en (o, o') ; les points o' et o sont à 120°° de la ligne de terre. Le rayon de la sphère a 60°° de longueur.
Les cônes touchent la sphère suivant des petits cercles projetés verticalement en A'B', CD'.
Pour déterminer ces droites, on donne les dimensions suivantes : o'E' = 25°°, o'G' = 40°°, o'H' = 10°°, L'H' = 40°°.
1868. — On demande de représenter par ses projections le corps engendré par un triangle équilatéral qui tourne autour d*un de ses côtés.
On construira directement les lignes de contour apparent, sur le plan horizontal, des surfaces coniques qui terminent ce corps. Ces droites serviront à tracer avec plus d'exactitude la projection de la circonférence décrite par le sommet opposé au côté qui sert d'axe de révolution.
Ce côté est projeté en {ab, a'b'). Pour déterminer les points a, a', 6, b' on donne
pq z=z 7«°, o'p = 14«°, b'q =z 10«°, ap = 15«°, bq = 5«°.
On prendra la ligne de terre parallèlement aux petits côtés de la feuille de dessin et à égale distance de ces côtés.
Nota. — Pour construire les deux ellipses sur le plan horizontal et sur le plan vertical, on les considérera comme étant les projections d*un cercle de rayon connu tracé dans un plan donné.
1869. — Représenter le solide commun à une sphère et à un cône définis de la manière suivante :
La sphère est inscrite dans un cube ayant 15^™ de côté; la face inférieure du cube est dans le plan horizontal de projection et la face postérieure est dans le plan vertical.
Le cône est de révolution; il est tangent au plan horizontal, son sommet est le centre 0 de la face ÂBGD du cube, et son axe passe par le sommet (Â, Â') du cube.
Prendre la ligne de terre à égale distance des petits côtés de la feuille.
1870. — Intersection d'une sphère et d*un cylindre. Représenter par ses projections le solide qui reste après que Ton a enlevé de la sphère la portion qui se trouvait à Tintérieur du cylindre. La trace horizontale du cylindre est un cercle; les génératrices sont parallèles au plan vertical. On adoptera les données suivantes :
Rayon de la sphère = 8'°^; distance des projections du centre à la ligne de terre = 11«".
Rayon de la trace horizontale du cylindre = 6^°^ ; distance du centre à la ligne de terre = 1^^; distance du même point au plan de profil qui passerait par le centre de la sphère = 9'°^.
Angle des génératrices du cylindre avec le plan horizontal = 60<*.
1871 . — Un triangle équilatéral de Ji^^ de côté est situé dans un plan horizontal élevé de 6^°^ au-dessus de la ligne de terre : un des côtés est parallèle au plan vertical et à 6'°* de ce plan.
On considère trois sphères ayant leurs centres aux points a, &, c et un rayon commun de 5*^°.
io Construire Tintersection de ces trois sphères;
2^ Représenter à part, sur la môme feuille, le solide commun aux trois corps.
1872. — Trouver Tintersection d'une sphère et d'un cylindre de révolution définis de la manière suivante :
La sphère est tangente aux deux plans de projection et a 10®"^ de rayon.
Le cylindre a 7^™ de rayon ; son axe passe par le point le plus haut de la sphère^ est parallèle au plan vertical et fait un angle de 45o avec le plan horizontal.
On représentera le solide commun au cylindre et à la sphère.
CONCOURS d'admission A l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 529
1873.— On donne un cylindre à bases parallèles ; la base inférieure est un cercle situé dans le plan horizontal de projection ; son axe est à 5^°^ en avant de la ligne de terre et son rayon est 4'^°'. Ses génératrices sont parallèles au plan vertical et font un angle de 45° avec le plan horizontal; sa hauteur au-dessus du plan horizontal est de 14^™.
Une sphère de Y^ de rayon ayant pour centre le milieu (1, ï) de l'arête (AB, Â'B') du cylindre parallèle au plan vertical et la plus rapprochée de ce plan, coupe le cylindre .
Représenter le corps qui subsiste quand on détache du cylindre le volume commun à ce cylindre et à la sphère.
1874. — On donne un tétraèdre régulier ABCD dont le côté est égal à i2<*'' et dont la base ABC est située dans le plan horizontal de projection . On demande :
i^ De trouver la projection horizontale de Tintersection de la sphère décrite sur BD comme diamètre et du cône ayant pour sommet le point A et pour base le cercle inscrit dans le triangle BGD;
2® De représenter, en projection horizontale, le tétraèdre ABCD, en supposant enlevées la partie de ce corps située dans le cône et la partie située dans la sphère.
1875. — Sphère et prisue. — Ligne de terre parallèle aux petits côtés de la feuille et à i8«"^ au-dessus du bord inférieur.
Sphère. — Le centre de la sphère est au milieu de la largeur de la
feuille^ en (o, o'j.
o'ui = 00) = 85"".
Rayon de la sphère = 80™"*.
Prisme, — On mène par o une droite oa faisant un angle de 45<^ avec la ligne de terre. On prend oa = 45"". Le point a étant la projection d^un point de la sphère, on cherchera sa projection verticale a\ On mènera en ce point une tangente à la sphère, tangente projetée horizontalement en oa. Cette tangente sera une arête d'un prisme à section carrée, dont un des plans diagonaux sera vertical et aura sa trace horizontale confondue avec oa. Le côté du carré est égal à 105"". On demande de représenter par ses projections la portion de la sphère supposée solide contenue dans le prisme, c'est-à-dire le soHde commun aux deux corps.
1876. — Représenter par ses projections le solide commun à un cône et à un hyperbololde ayant une génératrice commune. Les deux surfaces recouvrent des corps solides. Ligne de terre à 25°" au-dessus du bord inférieur de la feuille.
Hyperboloïde de révolution : axe vertical au milieu de la feuille ; centre en (0, 0'), Oa = 120"", O'a = 7U""; rayon OD du cercle, trace horizontale de la surface = 110°^"; rayon OB du cercle de gorge = 45"™.
ANTOXARI. — GÉOX. DESCR. * 34
La génératrice ABS, A'O'S' parallèle au plan vertical est la génératrice commune.
Cône : cône oblique à base circulaire dans le plan horizontal. Le sommet est en (S, S') sur la génératrice commune, aS = 180™™ ; le centre de la base est en C, CA = 100™", CS = 120™™; le cercle de base doit passer par le point A, son rayon est donc égal à iOO™™.
Nota. — Pour la représentation du solide commun, on ne considérera que la nappe du cône située entre le sommet et le plan horizontal, mais on prolongera un peu la courbe d'intersection pour bien montrer sa forme.
1876 {Paris*), — On donne dans le plan horizontal de projection un triangle rectangle ABC : A = 90% AB = 0™,08, AC = 0™,06.
Le cercle horizontal ayant A pour centre et AC pour rayon, engendre un tore en tournant autour de la parallèle à AC menée par le point B.
Construire l'intersection de ce tore et de la sphère qui, ayant un rayon égal à 0™,09, touche le pian horizontal de projection au point 1^ milieu de BC.
On placera la ligne de terre xy suivant le petit axe de la feuille, et Pon disposera le triangle ABC de manière que AB et xy soient parallèles et à la même distance du point C.
On représentera la sphère supposée pleine et existant seule, en supprimant la portion de ce corps comprise dans le tore.
1877. — On donne deux points A et B situés sur une verticale; le point A est à 6^™ au-dessus du plan horizontal de projection, et le point B à S*"™ au-dessus du point A.
La verticale AB est Taxe d'un hyperboloïde de révolution; le cercle de gorge a pour centre le point A et pour rayon 4*"™; le parallèle P, qui a pour centre le point B, a son rayon égal à 5'™.
On prend sur le cercle P un point C tel que le rayon BG soit incliné À 45° sur le plan vertical de projection; puis on décrit une sphère de centre C et de 8<=™ de rayon.
Représenter le solide compris entre la surface de Thyperboloîde, le plan du parallèle P et le plan horizontal de projection, en supposant enlevée la partie de ce corps qui est comprise dans la sphère.
1878.— On donne un losange ABCD dont la diagonale AOC est égale à 20^™, et la diagonale BOD à 12*"™. Le plan du losange est horizontal et situé à 3^™ au-dessus du plan horizontal de projection. Le côté AB est situé dans le plan vertical de projection.
Le losange en tournant autour de la diagonale AC engendre un double cône. Le cercle circonscrit au triangle COD, en tournant autour de AB, engendre un tore.
(*) La question précédente avait élé annulée pour les candidats de Pans.
CONCOURS D*ADMISS10N A l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 531
On demande de représenter le double cône, supposé plein et existant seul, en supprimant la partie de ce corps située au-dessous du plan horizontal de projection, ainsi que la partie comprise dans le tore.
1879. — On donne un cube ABCDEHKl dont le côté est égal à 12«b ; la
base inférieure ABGD est située dans le plan hori- JL^^^ ^ zontal ; le sommet A est sur la ligne de terre XY
et le côté AB fait avec XY un angle de 30°. La ver-
ticale menée par le centre du cube est Taxe d'un
hyperboloïde de révolution dont la droite BK est " ^ une génératrice. Le point E est le sommet d*un cône
de révolution dont la surface contient le milieu de KH et dont Taxe passe par le milieu de KG. On demande : i*' De construire Tintersection du cône et de Thyperbololde ; 2° De représenter Thyperboloïde supposé plein existant seul, en supprimant la partie de ce corps comprise dans le cône, ainsi que les parties situées au-dessous du plan de la base inférieure et au-dessus du plan de la base supérieure du cube.
1880. — On donne un tétraèdre régulier ABGD dont le côté est égal à i9'm Qi (Jqdi ]|| f^(.e ^3Q est située dans le plan horizontal de projection. Le point A est le sommet d*un cône qui a pour base le cercle inscrit dans le triangle BGD. L*arête BD est parallèle aux génératrices d'un cylindre dont la trace horizontale est le cercle décrit du point B comme centre avec un rayon égal à 6^™.
On demande de représenter en projection horizontale le corps lorsqu'on supprime dans le tétraèdre la partie comprise dans le cône et la partie comprise dans le cylindre.
On indiquera à l'encre rouge la construction faite pour trouver un point de rintersection du cône et du cylindre et la tangente en ce point.
1881. — On donne un tétraèdre régulier ABGD dont le côté est égal à {9<"" et dont la face ABG est située dans le plan horizontal de projection. Le point A est le sommet d'un cône qui a pour base le cercle inscrit dans le triangle BGD. Le point B est le sommet d*un cône qui a pour base le cercle inscrit dans le triangle AGD.
On demande de représenter en projection horizontale le corps qui reste lorsqu'on supprime dans le tétraèdre tout ce qui est compris à l'intérieur des cônes.
On indiquera à l'encre rouge la construction faite pour trouver un point de rintersection des deux cônes et la tangente en ce point.
1882. — Intersection d'un cylindre de révolution dont l'axe est vertical ET d'un torb dont l'axe EST HORIZONTAL. — L'axe du cylindre se projette horizontalement en un point c situé à 65°"°* en avant de la ligne de terre.
532 COMPLÉMENTS ET >'OTES
Le rayon da cercle de base est de 38**. Le centre da tore se projette horizontalement en un point o sitaé à 58** en avant de la ligne de terre et verticalement en o' sitné à 78** au-dessus de la ligne de terre. La ligne de rappel (m/ est à droite de c à une distance de 44**. La projection horizontale de Taxe du tore rencontre la ligne de terre en un point situé à 54** à droite du point de rencontre de la ligne de terre avec oo'. Le rayon du cercle générateur du tore est de 22** et la distance du centre de ce cercle à Taxe est de 51**. On demande :
1« De représenter ce qui reste du tore entaillé par le cylindre, de tracer les parties vues et les parties cachées des contours apparents ;
2* De développer sur la droite de Tépure la portion de surface cylindrique qui limite le corps ;
Z^ D'indiquer à Tencre rouge les constructions nécessaires pour déterminer un point de Tintersection et la tangente ; un point du développement de la courbe d'intersection tracée sur la surface du cylindre et la tangente au développement en ce point ; un point du contour apparent vertical du tore et la tangente en ce point.
Les tangentes seront tracées en rouge. — On prendra la ligne de terre parallèle aux grands côtés de la feuille, à 130** du bord inférieur.
1883. — On donne un tétraèdre régulier ABCD dont le côté a 12«*. La face ABC est horizontale ; le sommet D est au-dessous de ABC.
Soit P le cône qui a pour sommet le point A et pour base le cercle inscrit dans le triangle BCD. Soit Q le cylindre de révolution qui a pour axe la droite fiC et pour rayon 5'*.
On demande la projection horizontale du solide formé par ce qui reste du tétraèdre quand on a supprimé la partie de ce tétraèdre qui est comprise dans le cône P et celle qui est comprise dans le cylindre Q.
1884. — Représenter par ses projections le solide commun à un cône et à un cylindre pleins, tous deux de révolution.
Les axes sont de front et se coupent à angle droit au-dessus du plan horizontal ; leur plan est à 10^* en avant du plan verticaL
Le cône est tangent au plan horizontal ; son demi-angle au sommet est le quart d'un angle droit.
Le cylindre a 5*"* de rayon ; son axe rencontre le plan horizontal à 16'* du sommet du cône.
N.-B. — On prendra la ligne de terre perpendiculaire aux grands côtés du cadre et à égale distance des autres côtés.
1885. — Un cercle de lO^'* de diamètre, situé dans un plan de front P, se projette horizontalement sur une parallèle au petit côté et à li** du bas de la feuille. Son centre se projette verticalement sur la ligne qui divise la feuille en deux parties égales dans le sens de sa longueur, à 28'* du bas.
CONCOURS d'admission A l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 533
On le prend comme cercle générateur de deux tores pleins ayant pour axes les tangentes à la circonférence en son point le plus à gauche et en son point le plus haut.
1° On tracera complètement Tintersection des deux surfaces en indiquant les constructions effectuées pour en obtenir un point quelconque et la tangente en ce point.
2<> On représentera par ses projections le solide commun aux deux torest en retranchant la partie de ce solide située en arrière d*un plan de front placé lui-même à 2^"^ en arrière du plan P.
1856. — D*un cylindre de front supposé plein, limité par le plan horizontal et par une section droite, on enlève la portion située à l'intérieur d*un cône de révolution dont Taxe est perpendiculaire au plan vertical. Représenter par ses projections le solide ainsi obtenu^ en indiquant les constructions pour déterminer la tangente en un point quelconque de l'intersection des deux surfaces.
La trace horizontale du cylindre est un cercle de V^ de rayon dont le centre est à S*'"' en avant de la ligne de terre et à 3«"> à gauche de la ligne qui joint les milieux des petits côtés du cadre. Les génératrices sont inclinées à 45^, et on 8*élève sur chacune d'elles en allant de gauche à droite. Le centre de la section droite qui limite le cylindre est à 15<"* au-dessus du plan horizontal.
Le sommet du cône est à 5'"^ à droite du centre de la trace horizontale du cylindre, à 16<>™ en avant du plan vertical, et à 9^™ au-dessus du plan horizontal. La génératrice horizontale du cône qui a sa trace verticale à gauche de celle de Taxe, est contenue dans le plan tangent au cylindre, mené par le sommet du cône, qui laisse le cylindre à sa droite.
On fera passer la ligne de terre par les milieux des grands côtés du cadre.
1857. — D'un quart de tore supposé plein^ on enlève la portion comprise à l'intérieur d'un cône donné. Représenter, par ses projections, le solide ainsi obtenu.
L'axe du tore est vertical. Le plan de front et le plan de proGi de cet axe limitent le quart de tore, lequel est situé en avant du premier plan et à droite du second.
Le cône a son sommet sur l'axe du tore. Pour définir sa directrice, imaginons la sphère dont un grand cercle coïncide avec le cercle de front qui limite le quart de tore ; prenons, par rapport à cette sphère, le plan polaire du sommet du cône ; enfin^ menons, & égale distance de ce plan et du sommet du cône, un second plan parallèle au premier : ce second plan coupera le quart de tore suivant la directrice qu'il s'agissait d'indiquer.
Le rayon du cercle générateur du tore sera de %^^.
La distance du centre de ce cercle à l'axe sera de 17«"^.
La hauteur du sommet du cône au-dessus du centre du tore sera de 4<*"^.
S3i COMPLÉMENTS ET NOTES
La projection horizontale du centre du tore sera à 4<^» et la projection verticale à i3<^°* au-dessus du centre du cadre, sur la parallèle aux grands •côtés menée à 12°™ à gauche de ce point.
En dehors des constructions relatives aux points remarquables, on ne laissera subsister, dans le tracé à Tencre, que celles qui se rapportent à la détermination d'un point de chaque courbe et de la tangente en ce point.
1888. — Représenter par ses projections le solide qui reste quand, d'une portion de cône supposée remplie, on enlève ce qui se trouve à Tintérieur d*un cylindre donné.
Le cône est de révolution et a son axe vertical ; Tangle au sommet est droit. La portion remplie va du sommet au plan horizontal mené à 12«"^ plus bas.
Le cylindre est aussi de révolution. L'une de ses génératrices coïncide avec celle des génératrices de front du cône qui est située à droite sur la nappe inférieure. Son axe est en avant de celui du cône ; la perpendiculaire commune à ces deux droites rencontre la seconde à 9®°' au-dessous du sommet ; elle a S**™ de longueur.
On placera la projection horizontale du sommet du cône à 1^^ plus bas, et la projection verticale à I9<>'" plus haut que le centre du cadre, sur la parallèle aux grands côtés menée par ce poinL
En fait de constructions autres que celles qui se rapportent aux points remarquables, on ne laissera subsister dans le tracé à Tencre, que la détermination d*un point quelconque de chaque courbe, et celle de la tangente au même poinL
1889. -- L'axe vertical d'un cône de révolution se projette horizontalement en un point situé à 92™™ du grand côté inférieur de la feuille placée horizontalement (l'en-téte à gauche) et à 96'"™ à droite du trait noir qui la limite : sa hauteur est de 109™™, et le rayon de son cercle de base est de 55™™ ; une distance de 85™™, comptée parallèlement aux petits côtés de la feuille, sépare la projection horizontale du centre de ce cercle de sa projection verticale.
L*axe horizontal d'un cylindre de révolution de front est à il™™ de Taxe du cône : il se projette horizontalement entre le pied de cet axe et le grand côté inférieur de la feuille, et verticalement à 49™™ de la base du cône du côté du sommet ; son rayon est tel qu*il passe par le point situé à la même cote (49™™) sur celle des génératrices de profil du cône dont la trace est la plus éloignée du grand côté inférieur de la feuille.
On demande :
De représenter par sa projection horizontale, par sa projection sur un plan vertical parallèle aux génératrices du cylindre et par ses contours apparents, ce qui reste, entre le sommet et la base, du cône solide entaillé par le cylindre ;
De développer, à droite et à la partie supérieure de la feuille, la portion
coifCOURs d'admission a l'école polytechnique 535
de sarface conique qui limite le corps, cette surface étant fendue suivant la génératrice de profil dont la trace est la plus éloignée du grand côté inférieur de la feuille ;
D*indiquer les constructions nécessaires pour déterminer : 1* un point quelconque de Tintersection et la tangente en ce point; 2* les points situés sur les contours apparents du cône et du cylindre ; 3® un point quelconque du développement et la tangente en ce point. «
Les constructions, les tangentes et les parties enlevées seront tracées en rouge continu ; la représentation du corps sera seule en noir, trait plein pour les parties vues, points ronds pour les parties cachées.
1890. ^ Un cube de t5'"^ de côté a Tune de ses trois directions d'arêtes verticale, et une autre perpendiculaire au plan vertical.
Dans la face postérieure, considérons Tarète de gauche, Taréte inférieure et le sommet situé à Tintersection des deux autres arêtes.
La droite passant par ce sommet et par le sommet opposé du cube engendrerait, si elle tournait successivement autour des deux arêtes considérées, deux hyperboloïdes qu'on suppose remplis.
Représenter, par ses projections, le corps formé par la partie commune aux deux solides ainsi obtenus, en le limitant en haut et en bas par les plans des deux faces horizontales du cube, et en arrière par celui de la face postérieure.
On placera au centre du cadre de Tépure la projection horizontale du point de rencontre des axes des deux hyperboloïdes, et^ à un centimètre au-dessus, sur une parallèle aux petits côtés, la projection verticale du même point.
En fait de constructions, et en dehors de celles qui se rapportent aux points remarquables, on ne laissera subsister, dans le tracé à Tencre, que la détermination d'un point de chaque courbe et celle de la tangente en ce point.*
On n'indiquera aucune asymptote.
1891. — D'un cylindre de révolution supposé plein, limité par deux plans de profil, on enlève la portion située à Tintérieur d'un byperboloïde de révolution à une nappe dont l'axe est vertical. Représenter par ses projections le solide obtenu.
La distance entre les plans de profil est de 23*™.
Le centre de Thyperboloïde se projette horizontalement à 13^"* du plan de profil de droite, à 10^>° au-dessus du bord inférieur de la feuille, et à 2icm au-dessous de sa projection verticale ; les génératrices rectilignes font un angle de 45° avec le plan horizontal ; le rayon du cercle de gorge est de 3»«.
Le cylindre a 6^™ de rayon ; son axe est de front et sa pente est de 3 de base pour i de hauteur ; on s'élève sur cet axe en allant de droite à gauche,
et il rencontre Taxe de Thyperbololde à 1^™ au-dessous du plan du cercle de gorge.
On indiquera seulement les constructions nécessaires pour déterminer : 10 un point quelconque de Tintersection et la tangente en ce point ; 2^ les points remarquables de l'intersection et les tangentes en ces points.
Les constructions, les tangentes et les parties enlevées seront en trait rouge continu ; la représentation du solide sera seule en noir, trait plein pour les parties vues, points ronds pour les parties cachées.
1892. — Le rayon de la sphère est de 80"*™. Le centre a sa projection horizontale à 90™™ du bord inférieur de la feuille, à i35™™ du bord de gauche, et à 220™™ de la projection verticale.
La trace horizontale du cylindre est un cercle de 60™™ de rayon, et dont le centre est à 140™™ du bord inférieur de la feuille et à s 20™™ du bord de droite. Les génératrices sont de front, inclinées de 60^ sur le plan horizontal, et s'élèvent de droite à gauche au-dessus de ce plan.
On demande de représenter par ses projections le solide qui reste après que Ton a enlevé de la sphère la portion qui se trouve à Tintérieur du cylindre ; les parties cachées seront tracées en points ronds.
On indiquera en traits rouges la construction d*un point quelconque et des points remarquables de Tintersection, ainsi que celle des tangentes en ces points.
1893. — On donne un cube de 16^™ de côté : sa face postérieure est dans le plan vertical ; Tarète inférieure de cette face est sur une ligne parallèle aux petits côtés de la feuille, à 21<'™,5 du bord inférieur, et Textrémité droite de cette arête est à 2<'™,5 du bord droit de la feuille. Une .sphère est inscrite dans ce cube.
Un cône de révolution^ tangent à la face inférieure du cube, a son sommet au centre de cette face, et son axe passe par le sommet antérieur de gauche de la face supérieure du cube.
On demande de représenter :
1<^ Le solide commun au cône et à la sphère, en trait noir plein pour les parties vues, et en points noirs ronds pour les parties cachées ; on indiquera en traits rouges la construction d*un point quelconque de Tintersection et des points remarquables, ainsi que celle des tangentes en ces points ;
2^ La projection en trait noir plein de la courbe d'intersection du cône et de la sphère sur un plan vertical parallèle à Taxe du cône et situé à 12o™,5 du centre de la sphère.
1894. — On donne un cube ABGDÂ'B'C'D', dont la base ABCD est horizontale. La diagonale AC, en projection horizontale, est parallèle aux grands côtés du cadre et à 130™™ du bord de gauche; le sommet B est à sa droite.
CONCOURS d'admission A l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 537
Les sommets C et A sont respectivement à 130»" et à 180™"' du bord inférieur du cadre ; la projection verticale du centre du cube est à 345™™ de ce bord.
La diagonale GB' de la face GBG'B' est prise comme génératrice : 1° d*un cylindre de révolution dont Taxe passe par le centre de la base supérieure A'B'G'D' ; 2° d'un hyperboloïde de révolution, dont Taxe est vertical et passe par le centre du cube. On demande de représenter par ses projections la partie de Thyperboloïde, supposé plein^ qui est comprise entre les plans des bases supérieure et inférieure du cube et à Tintérieur du cylindre.
On représentera les lignes d'intersection en traits noirs pleins pour les parties vues, et en points noirs ronds pour les parties cachées.
On indiquera en traits rouges la construction d'un point quelconque de Tinterseclion de Thyperboloïde et du cylindre et de la tangente en ce point.
1895. — Un tore à axe vertical a son centre : i^ à 140™™ du bord droit de la feuille ; 2^ à 180™™ du bord inférieur en projection horizontale, et à 310™™ du même bord en projection verticale. Le cercle méridien a 28™™ de rayon, et son centre est à 68™™ de distance de Taxe du tore.
Une sphère de 24™™ de rayon touche l'axe du tore à 40™™ au-dessus du centre de celui-ci. En projection horizontale le centre de cette sphère est sur la bissectrice de l'angle de deux droites issues du centre du tore. Tune de front dirigée vers la gauche, l'autre de bout dirigée vers le haut de la feuille.
A cette sphère est circonscrit un cône dont le sommet est sur Taxe du tore, à 93™™ au-dessus du centre de celui-ci.
On demande de représenter par ses projections la partie du tore supposé plein qui est intérieure au cône. La courbe d*intersection des deux surfaces sera en traits noirs pleins pour les parties vues, en points noirs ronds pour les parties cachées.
On indiquera en traits rouges la construction : 1« d'un point quelconque de la courbe et de la tangente en ce point ; 2^ d'un point de la courbe choisi sur chacun des contours apparents circulaires du tore ; 3» de la sphère, ainsi que les parties du tore et du cône en dehors de l'intersection.
1896. — On donne : 1° un parabololde de révolution à axe vertical, ayant son foyer à 57™™ au-dessous du sommet, lequel a ses projections horizontale et verticale à 170™™ et à 375™™ au-dessus du bord inférieur de la feuille, et à 220™™ du bord gauche ; 2<* un cône de révolution, dont une section méridienne se compose de deux lignes droites : l'une, parallèle aux deux plans de projection et passant par le sommet du parabololde ; l'autre, verticale se projetant à 100™™ du bord gauche de la feuille. On ne considérera que la nappe de ce cône qui se projette verticalement au-dessous de la première des deux lignes indiquées et à droite de la seconde.
La courbe d'intersection de ce cône et du parabololde sert de directrice à un second cône ayant même sommet que le parabololde.
On demande de représenter, par ses projections, le solide commun aux deux cônes supposés pleins, et limités inférieurement par un plan horizontal H, silué à 54™™ au-dessous de leurs sommets.
On tracera en traits pleins noirs les lignes d'intersection des deux cônes et du plan H.
On indiquera en traits rouges le contour apparent vertical du parabololde et la construction : P des points les plus hauts et les plus bas de la courbe d'intersection des deux cônes limitée au plan H ; 2^ d'un point de la trace du cône de révolution sur le plan H et de la tangente en ce point.
