CONCOURS D ADMISSION A L ECOLE CENTRALE
4^ De mener une tangente à la courbe en un point quelconque. R = 50"", R' = 40™», a'w = 100»», t\o = 60»", olt! = 150»».
1879 (i*^* session). — Hyperboloïde de révolutiom entaillé par un cône. — L'axe {z, 2') de Thyperboloîde est vertical, à 0^,100 du plan vertical et au milieu de la feuille; le cercle de gorge (c, c') dont la cote vaut Om,080, a O»,030 de rayon, et les génératrices rectilignes de la surface font avec rhorizon un angle de 45°.
Le cône, dont le sommet (5, 6') se trouve dans le plan de profil conduit par Taxe (j, z'), à 0»,050 en avant de cet axe et à 0»,040 au dessus du cercle de gorge, a pour trace horizontale le cercle m décrit du point z comme centre, avec un rayon égal k 0»,070.
On demande de représenter Thyperboloïde, supposé plein, et limité, d'une part, au plan horizontal P', à la cote 0»,i90, de Fautre, au plan horizontal de projection, en supprimant la partie de ce corps comprise dans le cône. On indiquera à Tencre rouge les constructions employées pour déterminer un point quelconque de l'intersection des surfaces données et la tangente en ce point.
Placer la ligne de terre parallèlemeat aux petits côlcs du cadre, k 0»,228 du petit cOté supérieur.
1879 (2^ session), — Solide commun a deux cônes de révolution. — Les angles générateurs des cônes sont égaux entre eux et valent 45<^. L'axe de la
première surface est vertical et au milieu de la feuille : la cotedu sommet est égale à 0»,1 1 5 et Taxe est à 0»,105 en avant du plan vertical. Le second cône a pour axe Tune des génératrices de front du premier, et pour cote du sommet 0»,15S.
On demande de représenter le solide commun aux deux cônes, en limitant ce solide d'une part au plan horizontal P', à la cote 0»,195, de Tautre au plan horizontal de projection.
On indiquera à Tencre rouge les constructions relatives à la détermination d'un point quelconque de la ligne commune aux deux cônes et de la tangente à cette ligne au même point.
Placer la ligne de terre parallèlemeat aux petits côléâ du cadre, à 0»,222 du petit côté inférieur.
1880. (/''« session). — Sphère entaillée par un double cône. — Une sphère donnée, dont le rayon est égal à 0»,090, touche les deux plans de projection à 0»,100 du bord gauche du cadre.
Or
Dans le plan du petit cercle de front, distant de 0"^,120 du plan yertical
de projection, à la droite du centre de ce cercle et à une distance de ce centre égale à la moitié du rayon du même petit cercle, on mène une verticale : sur la partie de cette verticale comprise entre son point supérieur de rencontre avec la sphère et le plan horizontal de projection, on construit un triangle équilatéral. Ce triangle, en tournant autour de cette verticale, engendre un double cône. -- On demande de représenter la sphère donnée, supposée pleine et opaque, en supprimant la partie de ce corps comprise dans le double cône.
On indiquera à Tencre rouge les constructions employées pour déterminer un point quelconque de la ligne commune à la sphère et à Tun des cônes et la tangente en ce point.
Placer la ligne de terre parallèlement aax petits côtés du cadre, à 0">,190 du petit côté inférieur.
1880 (2« session), — Tores concentriques. — Par un point (co, tu) situé
dans le premier dièdre, à iOO™°^ de chacun des plans de projection et au milieu de la feuille, on conduit une parallèle à la ligne de terre et une verticale. La parallèle à la ligne de terre est Taxe d*un tore dont le cercle méridien tangent à cet axe en (o), w') a 45™™ de rayon. La verticale est Taxe d*un autre tore concentrique au premier dont le rayon du cercle méridien, égal à celui de son collier, vaut 30™™.
On demande de construire les deux projections de ^intersection des surfaces ainsi définies. Dans la mise à l'encre, on représentera le corps constitué par Tensemble des deux tores et on indiquera les constructions employées pour déterminer un point quelconque de Tintersection avec la tangente en ce point.
1881 (/■''' session), — Une sphère donnée dont le rayon est égal à 0™,090 touche les deux plans de projection à 0™,100 du bord gauche du cadre. Dans le plan du petit cercle de front distant de 0",120 du plan vertical de projection, à la droite du centre de ce cercle et à une distance de ce centre égale à la moitié du rayon du même petit cercle, on mène une verticale; sur la partie de cette verticale comprise entre son point supérieur de rencontre avec la sphère et le plan horizontal de projection, on construit un triangle équilatéral. Ce triangle, en tournant autour de cette verticale, engendre un double cône. On demande de représenter la sphère donnée, supposée pleine et opaque, en supprimant la partie de ce corps comprise dans le double cône.
On indiquera à Tencre rouge les constructions employées pour détermi-
CONCOURS d'admission A L*ÉCOLE CENTRALE 541
Der an point quelconque de la ligne commune à la sphère et à I^un des cônes^ et la tangente en ce point
Placer la ligne de terre parallèlement aux petits côtés du cadre, à 0»,190 du petit côté inférieur.
1881 (2* session). — Par un point (tu, o/) situé dans le premier dièdre, à 0^,100 de chacun des plans de projection et au milieu de la feuille, on conduit une parallèle à la ligne de terre et une verticale. La parallèle à la ligne de terre est Taxe d'un tore dont le cercle méridien tangent à cet axe en (a>, a#') a 0*,045 de rayon.
La verticale est Taxe d'un autre tore concentrique au premier, dont le rayon du cercle méridien, égal à celui de son collier, vaut O'^yOdO.
On demande de construire les deux projections de Tintersection des surfaces ainsi définies.
Dans la mise à Tencre, on représentera le corps constitué par Tensemble des deux tores, et Ton indiquera les constructions employées pour déterminer un point quelconque de Tintersection , avec la tangente en ce point.
Placer la ligne de terre parallèlement aux petits côtéà du cadre, à 0^,235 du petit côté supérieur.
1882 (/■^ session), — Htperboloïde a une nappe entaillé par quatre SPHÈRES. — L'hyperboloîde a son axe (7,«') vertical, à 0™,105 du plan vertical et au milieu de la feuille; la cote de son centre est 0'^,087; les rayons de son collier (r, r') et de sa trace horizontale (6) ont respectivement 0^,008 et 0^,095 de longueur. Les sphères dont les centres sont dans le plan du collier (r, r'] touchent le plan horizontal aux extrémités (ai, a\)f [a^, a'^) (^3* a'i), (^4, a^) des deux diamètres du cercle (0) respectivement parallèle et perpendiculaire à la ligne de terre.
On demande de construire les projections des intersections de Thyperboloïde avec les sphères.
Dans la mise à Tencre, on représentera les parties de la surface de rhyperboloïde qui, placées à Textérieur des sphères, sont comprises entre le plan horizontal de projection et le plan horizontal P', à la cote 0°>,17i. On indiquera à l'encre rouge les constructions employées pour obtenir un point quelconque de Tune des lignes dMntersection et la tangente en ce point.
Placer la ligne de terre parallèlement aux petits côtés du cadre, à 0°*,220 du petit côté Inférieur.
1882 {2* session). — Intersection de deux cônes. — Les cônes dont les sommets (s, s'), («, ^) ont respectivement pour cotes 0"*,OoO et 0"»,080, touchent, suivant deux génératrices verticales distantes de O'^fOTO, un même plan de front F dont Téloignement égale 0'^,035. Les sections de ces cônes par un plan horizontal à la cote 0°',090, sont deux cercles égaux (ï» y^ (t«> ïi) dont les rayons ont 0",042 de longueur.
On demande de construire les projections du corps constitué par la
Si2 COMPLÉMENTS ET NOTES
partie du cône de sommet (5, s') qui. placée de part et d'autre de ce sommet et à l'extérieur de Tautre cône, se trouve comprise entre : lo un plan de front, dont Téloignement est 0™,020; 2° un plan horizontal à la cote 0°',230; et 3"^ le plan horizontal de projection.
On indiquera à l'encre rouge les constructions employées pour déterminer un point de la courbe commune aux cônes et la tangente en ce point.
Placer la droite (5, $'] à égale distance des graods côtés du cadre, et la ligne de terre à 0™,170 du petit côté inférieur.
1883 (/'• newton). — Htperboloïde de révolution a une nappe entaillé PAR QUATRE CÔNES. — L'hyperboloïdc a son axe (2, 5') vertical à 0",HO du
plan vertical et au milieu de la feuille; sa trace s, horizontale 0 touche la ligne de terre; la cote de
son centre est 0",103 et ses génératrices recti-
s! / \^ ^ lignes font un angle de 4oo avec le plan horizon-
^'^X I tal. Les quatre cônes sont parallèles au cône
^r^Vy asymptote de Thyperboloïde ; leurs sommets projetés horizontalement aux extrémités (^1,52,^3,54) de deux diamètres du cercle 0 respectivement parallèle et perpendiculaire à la ligne de terre, "'- — ^^'^ j /fi ont pour cote commune 0»,08u.
"^"«7'' On demande de construire les projections du
corps constitué par la partie de Thyperboloïde (supposé plein et opaque) qui, placée à l*extérieur des quatre cônes^ se trouve comprise entre le plan horizontal de projection et le plan bissecteur du dièdre antérieur supérieur.
On indiquera à Tencre rouge les constructions employées pour obtenir un point quelconque des différentes lignes d'intersection et les tangentes en ces points. Ces constructions seront successivement expliquées à l'aide d'une légende placée au bas de l'épure.
1883 (2° session). — On donne un carré, dont le centre est à 0",ilO des deux plans de projection, dont les diagonales [bd^ b'd'), (ac^ a'c') ont 0n»,088 de longueur, et sont respectivement verticale et parallèle à la ligne de terre. Dans le plan de ce carré, du point (c, c') comme centre, avec un rayon égal au côté du carré, on trace un cercle ; ce cercle, en tournant autour de la diagonale verticale (ôd, h'd')^ engendre un tore, et le côté (ôc, h'c*) prolongé engendre, en tournant autour de (ad, a'd% un cylindre.
On demande de représenter la partie, supposée opaque, de la surface du tore comprise dans le cylindre.
On indiquera à l'encre rouge les constructions relatives à la recherche d'un point quelconque de la ligne commune au tore et au cylindre et de la tangente à celte ligne.
Ces constructions seront succinctement expliquées à l'aide d'une légende placée au bas de Tépure.
CONCOURS d'admission A l'ÉCOLE CENTRALE 513
i8S4 (/'• session). — Intersection de deux cônes. — Une droite de front (sdf s'd'j dont l'éloignement est égal àO^^^OSO, dont la trace horizontale 6 se
trouve à 0™,050 de la projection horizontale s de son
-^ — 7^ — -, point de rencontre (s, s') avec le plan bissecteur du
xV* y premier dièdre, engendre, par sa rotation autour de la /iN^^ verticale du point (s, s'), un premier cône.
/^\'y>^ Un second cône a pour sommet le milieu (a, a') dti la
( ! ! ! V ' y droite («6, s'Q') ; sa trace horizontale est un cercle, dont
le centre c se trouve en avant de la droite ^0, dont le rayon est égal à la longueur de cette droite et qui passe P par les extrémités s, 6 de cette même droite.
^^ — ''^^ On demande de construire les projections de la par-
tie supposée solide et opaque des deux nappes du premier cône, qui, placée à Textérieur des deux nappes du second cône et derrière le plan de front F, dont Téloignement est 0°^,140^ se trouve comprise entre le plan horizontal de projection et un plan horizontal P' à la cote 0«»,12o.
On indiquera & Tencre rouge les constructions d'un point quelconque de rintersection, de la tangente en ce point, et celles des points et des droites remarquables. Ces constructions seront succinctement expliquées à l'aide d'une légende placée au bas de l'épure.
Piacer la ligne de terre parallèlement aux petits côtés du cadre, k 0°*,180 du petit côté inférieur, et le point (5, i) au milieu de la feuille.
1884 {2^ session). — Intersection d'un cône et d'un ctliiNdre. — Dans un plan horizontal P', à la cote 0^,042, on trace deux cercles : le premier (w, tu') est la directrice d'un cône, il a 0™,050 de rayon et son centre (o, o')
se trouve à 0°^,06^ en avant du plan vertical ; le (p ~y sj'cond (wi, tu'j) est la directrice d'un cylindre; il
passe par le centre (o, o'), par le point (t?, v') le plus
"^N. ^î^^ voisin du plan vertical et par le point le plus à
p'__,^^i^i?' '^-^ droite (d, d!) du premier cercle. Le sommet («, s')
\ j 1^ I j ^ du cône a pour cote 0",075 et les génératrices du
* ~i~^^T7|^T nI ^ cylindre sont parallèles à la droite Ud, s' à'),
'/ \\ >J On demande de construire les projections du corps
\ ^ S^/ constitué par la partie des deux nappes du cône,
o)'^. ^"^ supposées pleines et opaques^ placée à l'intérieur
du cylindre et comprise entre un plan horizontal Q', ayant une cote de 0™,143, et le plan horizontal de projection.
On indiquera à l'encre rouge les constructions d'un point quelconque de l'intersection, de la tangente en ce point, et celles des points et des droites remarquables. Ces constructions seront succinctement expliquées à l'aide d'une légende placée au bas de l'épure.
Placer la ligne de terre parallèlement aux grands côlés du cadre, à O°^,llo du grand côté inférieur, et la droite (s, s') au milieu de la feuille.
1885 (l" session), — Intersection d'un cône et d'un cylindre. — Un cylindre de révoiation, dont le diamètre d est de 0^,080, touche les deux plans de projection.
Un cône, aussi de révolution, a pour trace horizontale un cercle tangent à la ligne de terre, dont le diamètre est égal à 2dy et pour cote de son
sommet 1 d.
On propose de construire :
[^ Les deux projections et le développement de la
^^Z. J^^'l" partie S de la surface du cylindre comprise dans les
^^^^^1$;^^^ "^i deux nappes du cône; 2o la projection horizontale de
^ ; /^'^ i "^v I I y la surface S avec un plan perpendiculaire au plan ver-
'/ I \ ^ tical, incliné de 45^ sur le plan horizontal et passant
\ \^^^ ~ y par le sommet du cône.
'<s.^ ^^y On indiquera à l'encre rouge les constructions em-
ployées pour obtenir un point quelconque des projections et du développement des lignes d'interseclion et les tangentes en ces points. Ces constructions seront succinctement expliquées à l'aide d*une légende placée au bas de Tépure.
Placer la ligne de terre parallèlement aux grands côtés du cadre, à 0™,170 du grand cdté inférieur, et les projections du sommet du cône à 0°^,130 de la parallèle aux petits côtés du cadre qui passe au milieu de la feuille.
iZ^S [2^ session) , — On demande de construire les projections et le développement de la partie de la surface des deux nappes d*un cône de
révolution comprise entre la surface d*un cube V ./ et celle de la sphère inscrite dans ce cube ; le
r'^^-'T^'N"'» ^^^^ ®^ ^* sphère sont supposés transparents.
|/^ y'' \ '\i Le cube, dont le côté a 0«n,100, est situé
i / :<>' \ j dans le dièdre antérieur supérieur et deux de
Ix i >'; ses faces sont dans les plans de projection.
Le cône a son sommet au point le plus haut de la sphère inscrite, son axe est parallèle à
i , ^ la ligne de terra et son angle au sommet est
» ^ ^ ' '• de i20<>.
On indiquera à Tencre rouge les constnico.ioo ->>-j' tions employées pour obtenir un point quel-
conque des projections et du développement des lignes d'intersection et les tangentes en ces points.
Ces constructions seront succinctement expliquées à Taide d*une légende placée au bas de Tépure.
Placer la ligne de terre à égale distance des grands côtés de la feuille, et les projections du centre du cube à 0™, 100 du bord gauche du cadre.
1886 (/»•• session). — Intersection d'un cône kt d*un ctundre. — On donne un triangle horizontal {abc^ a'b'c^)^ à la cote 0^,065, rectangle en (a, a') et isocèle, dont le côté (ab, a'b') est perpendiculaire au plan vertical et dont
CONCOURS d'admission A l'ÉCOLE CENTRALE
les sommets (a, a'), {b, b') sont respectivement à 0°*,080, 0^,140 de ce plan.
Le cône a pour directrice le cercle horizontal décrit de (&, b') comme centre avec ba pour rayon ; son sommet, projeté horizontalement en c, a pour cote 0",102.
Le cylindre a pour directrice le cercle circonscrit au triangle (abc, a'b'd) et pour direction de ses génératrices la droite qui joint le centre (o, o') de ce cercle au sommet (c, s') du cône.
On propose de construire les projections de la partie I, supposée opaque, du solide commun aux deux nappes du cône et au cylindre, comprise entre deux plans horizontaux, équidistants du plan du triangle donné, dont Tun est le plan horizontal de projection. Les parties du cylindre et du cône extérieures à 2) seront supposées enlevées.
On indiquera à Tencre rouge les constructions d*un point quelconque de Tintersection, de la tangente en ce point, et celles des points et des droites remarquables. Ces constructions seront succinctement expliquées à Taide d*une légend^e placée au bas de Tépure.
Placer la ligne de terre parallèlement aux petits côtés du cadre, à 0'^,2dO du petit côté inférieur et les droites ad ^ C(f à égale distance des grands côtés de la feuille.
» ojy.
ai29
1886 (2^ session). — 1ntersectio?i d^un cônb et d*cn ctundre. — On donne un triangle oser rectangle en s et isocèle, situé dans le plan horizontal de
projection, dont les sommets s et a, les plus voisins du plan vertical^ se trouvent sur une parallèle à la ligne de terre, à 0°^,065 de cette ligne, et, respectivement, à O^jlSS, 0™,nO du bord gauche du cadre.
^ Le cylindre situé dans le dièdre antérieursupérieur a pour projection horizontale de son axe la droite S9 et touche les deux plans de projection.
Le cône a pour sommet le point de Taxe du cylindre projeté en s ; sa trace horizontale est une hyperbole équilatère ayant un sommet réel en <;, pour centre o et pour une de ses asymptotes os.
On demande de construire Tintersection des surfaces données, puis, après avoir enlevé le cylindre, de représenter la partie, supposée opaque, de la surface des deux nappes du cône intérieure au cylindre et comprise entre deux plans de profil P, Q, placés à 0°^,125 du point s.
On indiquera à l'encre rouge les constructions d'un point quelconque de Tintersection, de la tangente en ce point et celles des points et des droites remarquables.
Prendre la ligne de terre perpendiculaire aux grands côtés du cadre, et à égale distance des deux autres côtés.
ANTOMAU. — GKOM. DBSCB.
1887 (Jf® session), — On donne un cylindre C dont les génératrices sont
parallèles au plan vertical de projection, et un plan PaP' perpendiculaire à ce même plan vertical.
Le cylindre a pour trace horizontale un cercle a> de 0™,060 de rayon, dont le centre 0 se trouve à 0",170 en avant du plan vertical et à O^jOÔS du bord droit du cadre ; ses génératrices forment un angle de 60° avec le plan horizontal, et* on s'élève sur chacune d'elles en se déplaçant de droite à gauche. Le plan PaP' forme de même un angle de 60<» avec le plan horizontal et est incliné de manière à couper le cylindre. Sa trace horizontale aP se trouve à gauche de 0, à une distance de ce point égale au diamètre du cercle (o. Ceci posé, on demande :
1° de construire la projection horizontale e de l'intersection (s, s') du pian et du cylindre ;
2° de construire les contours apparents en projection de la surface de
révolution S engendrée par la rotation de la courbe (e, e') autour d'un axe
vertical mené par le foyer f de Tellipse e le plus voisin du plan vertical ;
3*^ de construire les projections de Tinterseclion de la surface S et du
cylindre C.
Dans la mise à Tencre, on supposera le cylindre C et le plan PaP' enlevés, et on représentera la partie de la surface S extérieure au cylindre, en indiquant les constructions pour déterminer un point quelconque, sa tangente et les points remarquables de Tintersection de ces deux surface*. Ces constructions seront succinctement expliquées dans une légende placée
au bas de la feuille de dessin.
Prendre la ligne de terre parallèle aux petits côtés du cadre, à 0°^^240 du petit côlé inférieur.
1887 (2" session), — On donne un tétraèdre régulier ÂBCD dont la base ABC repose sur le plan horizontal de projection en avant du plan vertical.
Le côté AB de cette base est parallèle à la ligne de terre ; le sommet C est en avant de AB par rapport à la ligne de terre. Le sommet D du tétraèdre est situé au-dessus de la base de ce tétraèdre.
L'arête du tétraèdre a une longueur de 0°',150, le côté AB de la base est à O^'.OSO de la ligne de terre.
On considère les deux cônes suivants :
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i^ Un cône ayant pour sommet le point  et pour base le cercle inscrit dans le triangle BGD ;
2° Un cône ayant pour sommet le point B et pour base le cercle inscrit dans le triangle A CD.
Ceci posé, on demande de déterminer les projections de Tintersection de ces deux cônes.
Dans la mise à Tencre, on supposera que le tétraèdre est opaque et que Ton enlève toute la partie de ce corps intérieure au premier cône et aussi toute celle intérieure au deuxième cône.
On indiquera les constructions nécessaires pour déterminer un point quelconque de Tintersection, sa tangente et les points remarquables d& cette intersection. Ces constructions seront succinctement expliquées dans une légende placée au bas de la feuille de dessin.
iS88 {1^* session), — Lntersection de deux surfaces coxiques. — On donne dans le plan horizontal une droite (AB, A'B') de iOO°*™ de longueur, faisant un angle de 4o° avec la ligne de terre. Par le point A on mène une droite [Ac, k'c') également inclinée sur les deux plans de projection; puis ensuite on mène la bissectrice (Ad, k'd) de l'angle (cAB, c'A'B'). Par le point (B, BOi dans le plan des deux droites (AB, A'B), (Ac, AV), on mène une droite (Be, BV) faisant avec (AB, A'B') un angle (eBA, e'B'A') de 30°,
. j ZJJ.
• 2JJi
On considère maintenant la surface conique engendrée par la droite (Ac, k'c*) tournant autour de (AcZ, A'd'), puis la surface conique engendrée par la droite (AB, A'B') tournant autour de (Bc, BV) et Ton demande de déterminer Tintersection de ces deux surfaces coniques.
Dans la mise àFencre on supposera que la surface conique ayant comme sommet (B, B') n'existe pas et que de l'autre surface (supposée opaque) il n'existe que la partie comprise entre le sommet (A, A') et Tinterseclion des deux surfaces coniques.
On indiquera à l*encre rouge les constructions d*an point ^pirlmnqne de l'intersection et de la tangente en ce point, celle des points remarqoables et des tangentes en ces points. Ces constructions seront sucdDctenient expliquées à Taide d'une légende placée dans la partie gandie de répare.
Oq prendrt It ligne de terre parallèle aux pands c^tés du cadre et i M»»» d& e&lé inférieur du cadre. La projection verticale A' du sommet A se trouve sar la t^fb^ et tore à égale distance des deux petits côtés du cadre.
''4KtU
é,ft0
1888 {2* session). — On donne : 1® un cylindre de réT^^otîoii F dont Taxe est la droite de front (cd, c^d'); cette droite, qui foit on anfle de 60* avec le plan horizontal, est éloignée de 0",13 du plan Tertical de projection; la trace horisontale c est à 0^,070 du c6té yerticil de droite dn cadre; le rayon du cylindre est de (»^,03; 2» une sorfoce de réTolotioo H
j^, engendrée par une hyper-
bole tonmant antoar de laxeTertical G, 07^ situé dans le mèoie plan de front que Taxe dn cylindre; le point 0 est i égale distance des denx côtés rer- Ucaux dn cadi«. Lliyperbole génératrice est située dans on plan PzF perpendiculaîre an plan rertical Y et faisant un angle de 60*
avec le plan horizontal.
Ce plan renoontre Taxe de la sor&ce en un point dont la oole est 0*,t3.
L'axe de lliyperhole est nntersedMMi dn plan Pz?* et dn plan de front qui I passe par Taxe de la sur-
face de rèTolntion. La projection hoiùontale de lliypeihole a le point O pov na de ses foyers, le point a pour sommet oorrespondanL» le point f» povr centre; la distance Oa est de O'^^iX^S et la distance «e» de <^/*10. Les points « et «• sont tous deux à gauche dn point O.
i>ci posé, on demande de trouTcr les projecXîons de rintersection des surfaces F et H.
Dans la mise à Tescre^ on représentera le cylindre comaae si c^élait un rorjis plein et existant s«ul, en snpprîount la pulie de ce corps comprise dans la siuface H. On limîtera le cylindre par le pUa koriiontal de projfirlk^n et par un antre plan horizontal $iliié an-de^os el à 0"J60 du premier. On indiquera à Tencre rmaise les CMi$<rDCtiMksd>att point quelconque de Tintersection^ de la tangente en ce point, et celles des points remar-
CONCOURS d'admission A L'ÉCOLE CENTRALE
qaables. Ces constractions seront succinctement expliquées à Taide d*une
légende.
Prendre la ligne de terre parallèle aux petits côtés du cadre et à égale distance de ces deux côtés.
1889 (/" session). — Cylindre troué par un cône. — Placer la ligne de terre parallèlement aux grands côtés du cadre, à 171™" du grand côté supérieur.
Le sommet {s,s^) du cône est à 81°^"^ au-dessus du plan horizontal et à 12°^™ en avant du plan vertical : la ligne de rappel ss^ est à 93™°^ à partir du côté droit du cadre.
Ce cône est circonscrit à une sphère dont le centre (o, o') est à 81™™ au-dessus du plan horizontal et à 39™™ en avant du plan vertical ; la ligne de rappel oo' est à 147™™ à jpartir du côté droit du cadre et la sphère est tan-
gente au plan de front qui passe par le sommet du cône. On ne considère que la nappe du cône qui s'étend du sommet vers le côté gauche du cadre.
Le cylindre est de révolution, et son axe, parallèle à la ligne de terre, est à 54™™ au-dessus du plan horizontal et à 48™™ en avant du plan vertical; ce cylindre passe par le sommet du cône.
On demande de représenter par ses deux projections le cylindre supposé plein et limité d*une part au plan de profil ss\ d*autre part au côté gauche du cadre, en supprimant la partie de ce corps comprise dans le cône.
On indiquera à Tencre rouge les constructions employées pour déterminer:
lo Un point quelconque de Tintersection des deux surfaces et la tangente en ce point ;
2® Les points de Tintersection situés sur les contours apparents des deux surfaces;
3<» La tangente en (s, s^) à Tintersection;
4^ L*asymptote de l'intersection .
1889 {2^ session). — Intersectio!! D't:i tore et d*u?i côxe. — Placer la ligne de terre parallèlement aux petits côtés du cadre, à 180** du petit côté supérieur.
L'axe du tore est vertical et se projette en o, à égale distance des grands
côtés du cadre et à 135"* en avant de la ligne de terre. Le centre du tore est à 50™* au-dessus du plan horizontal. Le centre du cercle générateur du tore est à 85** de Taxe et le rayon de ce cercle est de 45**. Le sommet du cône est sur Taxe du tore à 135** au-dessus du plan horizontal. La directrice du cône est la section faite dans le tore par un plan perpendiculaire à la ligne de terre et situé à droite de Taxe à une distance de cet axe égale à 85**.
On demande de représenter par ses deux projections le tore supposé plein, en supprimant la portion de ce corps comprise à Tintérieur du cône.
On indiquera à Tencre rouge les constructions employées pour déterminer un point quelconque de Tintersection des deux surfaces et la tangente en ce point.
1890 (ï^ session). — 1*«tersection de deux cô?(es. — Placer la ligne de terre parallèlement aux petits côtés du cadre, à 255** du petit côté supérieur.
Les bases des cônes sont des cercles dont les rayons sont égaux à 80** et dont les plans sont perpendiculaires à la droite (ab, a'b') qui joint leurs centres (a, a') et (6, h').
La ligne de rappel aa' est à 120** du grand côté gauche du cadre, et la ligne de rappel hb* à 145** du même grand côté. La cote et Téloignement du point (a, a*) sont égaux à 80** ; la cote du point (fr, b') est de 145** et son éloignemeat de 105**.
On prend les diamètres horizontaux des cercles de base, on joint les extrémités de ces diamètres voisines du grand côté gauche du cadre et, sur la droite ainsi obtenue, on prend le point dont la cote est égale à 248** ; c'est le sommet du cône qui a pour base le cercle (a, a'). On joint les secondes extrémités des diamètres horizontaux des cercles de base, et, sur la droite ainsi obtenue, on prend le point dont la cote est égale à 3** ; c'est le sommet du cône qui a pour base le cercle (6, V).
On demande de représenter par ses deux projections le corps solide
CONCOURS d'admission A l'éCOLE CENTRALE 531
formé par l'ensemble des deux cônes supposés pleins et limités chacun à son sommet et à sa base.
On indiquera à Tencre rouge les constructions employées pour placer les données et pour déterminer :
1<* Un point quelconque de chacune des bases et les tangentes en ces points ;
2<» Un point quelconque de la trace de chaque cône sur le plan de base de Tautre et les tangentes en ces points ;
3^ Un point quelconque de Tinlersection des deux cônes et la tangente en ce point ;
4<* Les génératrices de contour apparent des deux cônes et les points des bases, des traces sur les plans de base et de Tinterseclion, situés sur ces génératrices.
On n'indiquera pas d'autre construction.
1890 {2^ session). — Intersection db deux cônes de révolution. — Placer la ligne de terre parallèlement aux petits côtés du cadre, à 0^^,255 du petit côlé supérieur.
La ligne de rappel oo' du centre du cercle de base du premier cône est à égale distance des grands côtés du cadre. La cote du point (o, o') est \QQmm et SOU éloignement 93™™. La ligne de rappel ss* du sommet du premier cône est à 87""" de oo' vers la droite. La cote du point (*, s') est 21 0"** et son éloignement 162™™. Le rayon du cercle de base est de 80™™.
On prend le diamètre horizontal de ce cercle de base et on fait tourner de 00° le premier cône autour de cette horizontale, de manière que la cote du sommet reste supérieure à celle du centre de la base ; on a ainsi le second cône.
On demande de représenter par ses deux projections le corps solide formé par l'ensemble des deux cônes supposés pleins et limités chacun à son sommet et à sa base. On indiquera à l'encre rouge les constructions employées pour placer les données et pour déterminer :
i^ Un point quelconque de chacune des bases et les tangentes en ces points ;
2° Un point quelconque de Tinterseclion des deux cônes et la tangente en ce point ;
3° Les génératrices de contour apparent des deux cônes et les points des bases et de l'intersection situés sur ces génératrices. On n'indiquera pas d'autre construction.
1891 (/«•• session), — Cylindre limité par une surface gauchb. — Placer la ligne de terre parallèlement aux grands côtés du cadre, à 0™,10 du grand côté inférieur. Porter, sur cette ligne, k partir du petit côté gauche du cadre, 0™,19. Le point obtenu est la proîection horizontale de Taxe vertical d'une surface gauche de révolution. Le cercle de gorge, qui a
AS
.iZ^vX--
0"»,03 de rayon, est projeté verticalement à 0"»,08 au-dessus de la ligne de terre. La droite de front, qui engendre la surface gauche, est projetée en avant do la ligne de terre et a sa trace à horizontale 0",03 du petit côté
gauche du cadre^ de sorte que sa pente est -•
Par la trace horizontale de cette génératrice, on fait passer un cercle
de 0"^,04 de rayon, dont le centre est à 0»,05 en avant de la ligne de terre et est plus rapproché de Taxe de la surface gauche que ne l'est la trace horizontale de la génératrice. Ce cercle est la base d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la génératricede front donnée de la surface gauche de révolution. Représenter, par ses projections et ses contours apparents, la portion du cylindre, supposé plein et opaque, comprise entre le plan horizontal de projection et le plan horizontal situé à 0™,16 au-dessus de celui-ci, et extérieure à la surface gauche.
L'extérieur de la surface gauche est la portion de l'espace où n'est pas situé Taxe de révolution. On n'indiquera à l'encre rouge que les constructions nécessaires pour déterminer un point quelconque de la courbe d'intersection des deux surfaces et la tangente en ce point, les points extrêmes, les points situés sur les contours apparents, les asymptotes.
1891 (2*' sessiofC). — Intersection de deux cônes de révolution. — On donne deux cônes de révolution. Les deux axes (02, o'i') et (cof, co't') sont de
front, inclinés à 45o stir le plan horizontal et perpendiculaires entre eux. Le plan de front qui les contient est à 0"^,!! en avant du plan vertical. La cote du sommet (0, 0') est de O"^,!! ; celle du sommet (cu^ eu'] est de 0"*,08 ; la distance ow est de O^^yOG ; le milieu de ocû est à égale distance des grands côtés du cadre ; le demi-angle au sommet de chacun des cônes est de 45<*.
On demande de représenter par ses projections, ses contours apparents et leur ligne d'intersection, l'ensemble des deux cônes terminés d'une part au plan horizontal de projection et d'autre part au plan horizontal dont la cote est O"*,!?.
On n'indiquera à l'encre rouge que les constructions nécessaires pour déterminer un point quelconque de l'Intersection des deux cônes et la tangente en ce point, un point quelconque de chacune des sections planes qui limitent les cônes et les tangentes en ces points.
Placer la ligne de terre parallèlemeat aux petils côtés du cadre k 0"',24 du petit cdt6 inférieur.
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1892. (1^^ session), — Assemblage de deux cônes. — Dans un pian de front, dont la trace horizontale aob est à 0^^128 en avant de la ligne de
terre, on donne un triangle rectangle dont Thypoténuse a'b' est horizontale et à 0^,01 au-dessus de la ligne de terre^ son extrémité gauche a! étant à O'^fiSS du côté gauche du cadre et son extrémité b' étant à 0°>,17 du même côté du cadre. L*angle en a' est de 30°.
On fait tourner ce triangle successive-
vement autour de chacun des côtés de
l'angle droit, de manière à engendrer deux
'^ c/ £? cônes, et Ton demande de représenter par
ses deux projections le corps solide formé par l'ensemble de ces deux cônes
supposés pleins et limités chacun à son sommet et à sa base.
On indiquera à Tencre rouge les constructions employées pour déter • miner : i^' un point quelconque de chacune des bases et les tangentes en ces points; 2° un point quelconque de Tintersection des deux cônes et la tangente en ce point.
On n'indiquera pas d'autre construction.
On pourra, à l'aide d'encre de couleur, tracer un certain nombre de génératrices de chacun des cônes; les génératrices vues en trait plein, les génératrices cachées en trait discontinu.
Le cadra a 0™^45 sur 0™,27; la ligne de terre est parallèle aux petits côtés do cadre à
0i>>,19 da petit côté supérieur.
1892 (2« session). — Sphère entaillée par UN CYLINDRE. — On doune une sphère pleine^ on la coupe par un cylindre, on enlève de la sphère la partie qui est dans l'intérieur du cylindre, ob demande de représenter par ses projections la sphère solide dans laquelle on a pratiqué ainsi une entaille cylindrique.
Le centre de la sphère est projeté en (o, o') ; les points o et o' sont à 0"',102 de la ligne de terre et la droite oo' est au milieu de la feuille; le rayon de la sphère a 0*,092 de longueur.
La surface cylindrique de l'entaille est engendrée par la droite {ab, a'b') qui tourne autour de l'axe (cd, &d'). On a oa = 0"»,061, ob = od •= 0«>,03l .
On indiquera à l'encre rouge les constructions employées pour déterminer :
i^ Un point quelconque de l'intersection et la tangente en ce point; 2® Les points situés sur les contours apparents de la sphère et du cylindre;
Soi COMPLÉMENTS ET NOTES
3° Le potnl le plus haut en projection verticale ; 4<^ Le point le plus à droite en projection verticale.
Le cadre s 0™,45 sur 0™,27. La ligae de terre est parallèle anx petits côtés da cadre et h 0™,2u5 da petit côté inférieur.
1893 (/•■• session). — Cône entaillé par un cyllndre. — L*axe d'un cône de révolution supposé plein est situé dans le plan horizontal de projection ; on considère les deux demi-nappes de ce cône situées au-dessus du plan horizontal et limitées à des plans parallèles; on les coupe par un cylindre oblique à base de cercle; on enlève du cône les parties situées dans l'ntérieur du cylindre. On demande de représenter par ses projections le demicône solide dans lequel on a pratiqué ainsi une entaille cylindrique. L'axe du cône est la bissectrice de l'angle s du triangle asb.
Le côté ab coïncide avec la ligne de terre, cl Ton a
a;a = 0°»,076, a6 = 0n»,129, 6y = 0in,065,
as = 0",U9, bs = 0»,179.
Les plans parallèles qui limitent le cône sont les suivants :
1^ Le plan mené par la ligne de terre et dont la partie supérieure fait avec la partie antérieure du plan horizontal un angle de 60^; 2^ Le plan parallèle au précédent dont la trace horizontale cd est déterminée par se = 0",070.
La base du cylindre est un cercle de Om^60 de rayon, situé dans le plan vertical de projection au-dessus de la ligne de terre et langent en & à cette ligne; les génératrices horizontales du cylindre sont parallèles à sb.
On indiquera à Tencre rouge les constructions employées pour déterminer :
i^ Un point quelconque de l'intersection et la tangente en ce point; 2*^ Un point quelconque de Tune des bases du cône et la tangente en ce point ;
3<* Un point quelconque de la trace du cylindre sur l'un des plans de base du cône et la tangente en ce point.
Le cadre a 0^,430 sur 0°^^270. La ligne de terre est parallèle aux petits côtéà du cadre k U°',26d du petit côté inférieur et k O'^yiSl du petit côlé supérieur.
1893 (2® session). — Intersection d'un tore et d'un cônk. — Placer la ligne de terre parallèlement aux petits côtés du cadre^ à ISO"*'" du petit côté supérieur.
L'axe du tore est vertical et se projette en o, à égale distance des grands côtés du cadre et à 145°"° en avant de la ligne de terre.
Le centre du tore est à 50™™ au-dessus du plan horizontal. Le centre du cercle générateur du tore est à 85™™ de l'axe et le rayon de ce cercle est de 45™™.
CONCOURS d'admission a l'école centbale 55^
Le sommel du cône est sur Taxe du tore à 135™™ au-dessus du plan
horizon lai. La directrice du cône est la section faite dans le tore par un plan bitanj^ent perpendiculaire au plan vertical et incliné dans le sens qu'indique la figure.
On demande de représenter par ses deux projections le tore supposé plein, en supprimant la portion de ce corps comprise à Tintérieur du cône.
On indiquera à Tencre rouge les conslructions employées pour déterminer un point quelconque de Tintersection des deux surfaces et la tangente en ce point. Le cadre a 0",450 sur 0™,270.
1894 (/"» session), — Intersection d'us paraboloIde et d*un cône. — La ligne de terre œy étant tracée parallèlement aux grands côtés du cadre à une distance de GO™™ au-dessous du milieu du cadre, on considère, dans le plan vertical, une parabole dont Taxe est la verticale aa! placée au milieu du cadre, dont la directrice est la ligne de terre et dont le sommel a'
est à 30™™ au-dessus de la ligne de -?---f -- terre : cette parabole, en tournant au-
tour de son axe, engendre un paraboloïde. On considère, d'autre part, un cône de révolution ayant pour sommet
^ le sommet (a, a') de la parabole et pour axe une parallèle (afr, a'b'j à la ligne de terre ; Tangle des génératrices de ce cône avec son axe est supposé égal à 45<*.
1« Construire les projections de Tintersection de ces deux surfaces, et représenter leur solide commun, en supposant le cône prolongé de part et d'autre de son sommet.
2° Construire la projection de Tinterseclion sur un deuxième plan vertical ayant pour trace horizontale la perpendiculaire en a à la ligne de terre.
On indiquera à Tencre rouge la construction d'un potnt et de la tangente en ce point à la parabole et à chacune des projections de l'intersection.
1894 (2° session). — Intersection d*un cône et d'un cylindre. — La ligne de terre xy étant tracée au milieu du cadre, parallèlement aux petits côtés, on décrit dans le plan horizontal deux cercles égaux A et B de 9«™ de rayon, tangents â la ligne de terre et ayant leurs centres respectifs a et ^ à 3°™ de part et d'autre de la ligne médiane gh du cadre. Soient (p, p') le point d'intersection de ces deux cercles le plus rapproché de la ligne de terre, (5, s') le point dont la cote est 18®™ et dont la projection horizontale s est à l'Interscclion du cercle B et de la parallèle à la ligne de terre menée par p.
On considère :
1° Un cône dont la base est le cercle â dans le plan horizontal et dont le -sommet est le point («, s'} ;
2^ Un cylindre dont la base est le cercle B dans le plan horizontal et dont les génératrices sont parallèles à la droite (pt,p's^).
Construire la partie de la projection horizontale de Tintersection de ces deax surfaces comprise entre les bords du cadre, et la partie de la projection verticale située au-dessus de la ligne de terre jusqu'aux bords du cadre.
On indiquera à Tencre rouge la construction des points et droites remarquables.
On supposera les deux surfaces
opaques.
1895 (/'''' session). — Tronc de côtie entaillé par une sphère. — On considère une sphère décentre 0 dont la cote et Téloignement sont fîxés à 90"''°, le rayon de la sphère R = 80""™, et un cône de révolution dont le sommet (s, s') est ainsi défini : la projetante de ce point se confond avec la tangente commune aux deux contours apparents de la sphère vers la gauche, la projection horizontale de S est située sur le contour apparent de la sphère et la cote de ce point est de 230"^"^ au-dessus du plan horizontal de projection. L*axe de ce cône est une droite de front {ss, s' s") qui rencontre le diamètre de la sphère parallèle à la ligne de terre en un point (;, 2') situé à droite de 0 et à une distance de 25"'°'. hn génératrice de front {sG, s^G') du cône s'obtient en menant de (5, /) une tangente au grand cercle de front de la sphère dont le contact a lieu en (M, M ') .
Cela étant, on demande :
l** De déterminer Tintersection du cône et de la sphère. On aura soin de déterminer, outre un point courant et sa tangente, les points et tangentes remarquables;
2^ De représenter le tronc de cône limité par les sections droites des points (A, Â') et (B^ B') où Tintersection rencontre le contour apparent vertical de la sphère en supprimant de ce tronc de cône la portion comprise dans la sphère.
1895 (2< session) . — Dans le plan de bout FaQ incliné à 45» sur le plan horizontal on considère un cercle de 60"'"' de rayon tangent au plan horizontal ; le centre de ce cercle est éloigné de 90""' du plan vertical. Ce
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sr>7
cercle est la directrice d*un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la ligne de terre.
On considère d'autre part un cône de révolution dont le sommet {s, s')
est placé sur l'axe de ce cylindre. La projetante de (s, ^) se confond avec aQ et Taxe de ce cône est perpendiculaire au plan FaQ.
Le i /2 angle o) au sommet du cône est de 45<>. Ceci posé, on demande :
]o De déterminer complètement la courbe d*intersection du cylindre avec les deux nappes du cône ;
2° De représenter le solide formé par le cône et le cylindre en limitant ce solide aux deux plans de bout symétriques FaQ et R'aQ.
Le cône sera limité à sa partie supérieure par le plan horizontal H' tangent au cylindre suivant la génératrice culminante.
Les deux plans FaQ et R'aQ ainsi que les surfaces du cône et du cylindre sont opaques, le plan H' horizontal supérieur sera seul considéré comme étant transparent.
Observations. — Dans le tracé à l'encre, les portions de la courbe d'intersection du cône et du cylindre qui sont extérieures aux deux plans FaQ et R'aQ seront tracées à l'encre bleue.
On indiquera à l'encre rouge les constructions employées pour déterminer un point quelconque de la ligne d'intersection ou des sections planes et les tangentes en ces points. Le tracé au net devra faire ressortir les constructions des points ou droites remarquables.
Placer la ligne de terre parallèlement aux petits côtés da cadre, k 0>^,210 da edté supérieur.
1896 (1^ session). — Intersection d'un htperboloïde de révolution et d'un CÔNE. — On considère :
i° Un hyperboloïde de révolution à axe vertical (oz, oV) dont le cercle de gorge situé dans le plan horizontal de cote iGO"^™ a 00™"^ de diamètre. Les génératrices de cet hyperboloïde font avec le plan horizontal un angle de 45^. L'axe de la surface est à itOmm en avant du plan vertical.
2» Un cône à base horizontale circulaire défîni de la manière suivante : Le sommet (s, s') du cône est situé dans le plan de front de l'axe (oz, o'ï) de l'hyperboloïde. La cote de ce point est fixée à 200»». L'une des génératrices de front du cône est la verticale (sa, s'a') qui passe par l'extrémité de gauche du rayon du cercle de gorge, l'autre génératrice de front est la droite (se, s'b') inclinée à 45^ sur le plan horizontal.
Cela posé, on demande :
i^ De Iracer les projections de rinterseclion du cône et de Thyperboloïde,en ayant soin de déterminer les points et tangentes remarquables des courbes ainsi obtenues;
2° De définir la direction des plans donnant des sections anti-parallèles à la base du cône;
3o De représenter complètement le solide formé par le cône et l'hyperboloïde, les deux surfaces étant limitées de la manière suivante :
(a) au plan horizonlal de projection;
{b) au plan horizontal passant par le sommet du cône;
(c) au plan tangent au cône suivant la génératrice (sb, s'b'}; (d) au plan de section anti-parallèle à la base passant par le point (a, a') trace horizontale de la génératrice verticale du cône.
Cadre de 0,27 sur 0,45. Ligne do terre parallèle aux petits côlés da cadre et au milieu de la feuille.
La droite o'z' est à 110°^™ du côté gauche du cadre.
1896 (-2» session). — On considère : 1® un cône de révolution à axe vertical (oj, o'z').
La ba?e du cône dans le plan horizontal est un cercle de 80"° de
- rayon. La cote du sommet du cône est de 210""; 2° un ellipsoïde de révolution à axe de front (ck, </k') dirigé perpendiculairement à la génératrice de front (sb, s'b') et rencontrant Taxe du cône en h' {dh! =z 25™", o'k' = 80""). Le centre de Tellipse méridienne est en (c, c'). Les demi-axes de cette ellipse sont respectivement cV = 110"" et c'y = 60"". On demande : [^ de tracer les contours apparents des deux surfaces; 2^ de déterminer les projections de Tintersection de ces deux surfaces en ayant soin d'indiquer les constructions nécessaires pour obtenir les points et les tanjgentes remarquables de ces courbes ; 3«» de représenter Tensemble formé par le cône et l'ellipsoïde, en supprimant de cette dernière surface les parties extérieures aux deux plans tangents au cône suivant les génératrices de front [sa, s'a') et [sb, s'b').
Nota. — Les portions des coatours apparents extérieures au solide représenté se Iracernol en traits bleus.
G'idre de 21 <^™ sur io"^. xy parallèle aux petits côlés du cadre et au milieu. oV parallèle aux grands côtés et au milieu de la feuille.
