CENTRES DE SIMILITUDE
Jki s'il est externe , et au milieu de la droite qui joint deux points homologues ft^il est interne.
ScOLiB IL — Pour deux polygones semblables donnés de position sur un pUo, etdoot les côtés homologues sont parallèles, on obtient immédiatement le centre de similitude en /o^^iMnf deux couples de sommets homologues, et ^rplof^oni les deux droites de jonction jusqu^à leur point de rencontre.
Mais on peut arriver au même résultat, en ne considérant qu'une de ces
droites [ Atf, par exemple] : et pour cela, il suffit de déterminer ( n^ 965 ,
N. B.) sur cette droite, les deux points conjugués qui la divisent dans le rap-
port de similitude des deux polygones. — Le point extérieur de la droite Aa
ainsi divisée est pour le cas où les cAtés sont parallèles et de même sens ;
et le point intérieur, conjugué du premier, est pour celui oii les côtés sont
de sens contraire. f^'J^^
et Qo5 bis.
Théoréhs vil ( Fig. ao5 et 3o5 bis. )
N° 14. — Lorsque trois polygones semblables , P, P', P", situés dans un même plan , ont leurs aiptés homologues parallèles > les trois centres de similitude sont sur une mène droite.
Il ne peut se présenter que deux cas : — ou bien , les trois centres sont externes {Jig. 3o3); ou bien , Pun étant externe, les deux autres sont in- Fie. ao3 bis. ternes {fig. qo3 bis). Mais la démonstration est la même pour les deux cas.
[Nous n'avons d'ailleurs figuré que trois-des triangles qui constituent les polygones , parce que cela suffit.]
Désignons par C, O', O, les centres de similitude de P et P', P et P'', P et P' ; et appelons X le point du polygone P qui est l'homologue du point O , centre de similitude de P, P''. La droite OX est une ligne homologue dans les deux polygones P', P" ; donc (n^ ifi) elle doit passer par le point O', centre de similitude de ces deux polygones ; mais comme étant aussi une ligue homologue dans les deux polygones P, P, elle doit passer par O", centre de similitude de ces deux polygones ; donc , les points O , O', O'', sont en ligne droite j C. Q. F. D.
Thèobéhb VUI. ( Fig, ao6. ) Fie. ao6.
N** IK. — Deux polygones [directement] semblables, étant situés d'une manière quelconque dans un même plan , ont toujoui's un point homologue commun {*).
On doit entendre par \k qu'il existe dans le plan de ces deux polygones un point tel, que si on le joint aux sommets des deux polygones, les droites homologues de jonction sont entre elles dans le rapport de similitude des polygones, et que les angles formés par ces lignes sont égaux chacun à chacun. — On peut dire aussi que c'est le point qui , pris pour centre de pivotement de l'un des polygones considérés, a la position indiquée par l'une Fto. ao4 des àeaxfytres ao4 ou !io4 bis. O" ^<>4 *"•
(*) Ce théorise est dû à M. Cbailks. (Vojci le Bulletin dtt Sciencts mntJtdmnlitjntt tic féru* MU, fKisr t8)o, t. lUV, p. 3ii •)
S80 APPENDICE. nCT. t. § I.
Cala po««, Toici la coastraction «u mojeade Uquella od panïcat itur ■a posilion [l'ana^rie éuax aoua-eotendue). Fia. aoG. SiRTataE. — Soient ABCDE, oiedE (j^.ao6), IsadauipolygoosidaniMt, et N le point oà, lei daui c6téa AE, afr, prolongea al oela eat nécetum, ae reDcontrant : [ cei deux polT^nea tont tBreelemeni aemblablaa ; ar ■> aimple /uvoumeM autour du point a paranemple, luIBralt pour raudrelesn eâléapanillèlea].
l>^(er7Rùiaiu(no i8l,30) le polntPtiil i|DePA = Pa =:PN, et l«polDlQ tel que QB = Q& = QK ; lirou la droite PQ, et déUmiimu [a' 4 , App.) k ajmélrlque 0 du point N par rapport à FQ : La point O aeni Is point demandé.
Ed effet, joignoDa la point P ani pointa N et O: — l«a dent Mia- 1
glaa APN, APO, tont iaaacâlet, et donnent ongle PAN = amgUmA, j
et angle PAO t^ angle POA ; d'où l'on dédoit {of ttS] ^
NPA' = arAN, OPA' = aPAOi '
ou, retranebint eei deux ëgatiléa membre à membre,
KPO = aNAO, B'eal-à dira ^"PO = aBAO. Pareillement, laa deux trianglea lioscètea aPN, iiE>0, donneraiiint NP0 = 3Nd0, ou MPOsaftiO;
donc d^Jà Ira angles BAO, baO, «ont égaux.
En raisonnant aur lei quatre points Q, B, ft, N, comme on a raisoBné anr les quatre points P, A, d, lî , ou démonirerail de mtme nao les uglea ABO, otO, sont égaux.
Ainsi lea deux triangles OAB, Ont, sont sambtihlca, et donnent
OA:Od :: 01i:0i :: AB : d&.
Il en «aralt de même quel que lit le nombre des triangles. JV. B. — Faisoas ;>rVDi<rr la ligure Oahcde autour du point O, de manlin que Od tienna ■''appliquer, toit sur OA , snit sur son psoloogement : il (M ftciledeToirqud leBcOtéaAlt etai, AE etoe, EDet ^,... deviendroulpanL lèlei deux à deux, de mtme sens ou de sens contraires ; en sorte que, dau le premier cas, le point O sera un centre de simililuda externe, et dam It aaeond, ce sera un centre de similitude inurne.
OUK I. — Le point O eat le seul point homolague comnuianux deui pones Bcmblables proposé! ; et toute droite qui ; passa est use li^ •logue commune, — utrùciproquemcnt.
igéncralitant ladtSnUionquiiiélédnanéeci-deaaua(D° li, App., Koi), eut nommer aussi centre de limilituda des deux poljgonei, leur poâu •l<^ue conrnum.
CiisM encore, pour déterminer ce point, un autre mojeade conatnicqol semble même plus naturel que le précédent : kerminea (n» 384) la circontérence de cercle dont tous les pointa aonl , que les distançai de chacun do ces pointa ï deux sommets bomologuK
GBNTEBS DE SIMILITUDE.
A I a, soient entre elles dans le rapport de similitude; répètes la même conitruction pour deux autres points homologues , B , & :
L'un des points où les deux circonférences se coupent , est le point cherché.
HoM n'insisterons pas sur ce moyen qui exigerait une discussion spéciale.
ScouE II. — On peut, dans le théorème précédent , supposer que les deux polygones semblables deviennent égaiix entre eux. Alors ^ le point O n'est autre que Piniersection des perpendiculaires élevées sur les milieux des droites qui joignent les divers couples de points homologues : les perpendiculaires ainsi élevées , quel qu'en soit le nombre , concourent donc en un même point.
Centres de similitude des cercles-
THÉoaiMi IX, {Fîg, 1 13.) ^- ' *^-
No 16. — Deux cerclesOfCy [ainsi que deux polygones réguliers d'un même itonhre pair de côtés parallèles deux à deux] , ont toijjours à la fois deux centres de similitude, l'un externe, l'autre interne.
D'abordy quand les deux cercles sont extérieurs, comme dans la âgure actaelle, les points C et C où les tangentes communes rencontrent la ligne des centres, sont des centres de similitude, puisque ces points divisent harmoni^uement (d9 878) la distance OO', dans le rapport des rayons R et R'.
Lorsque deux cercles se touchent extérieurement {fg. 85), leur point de Fie. 85. contact est un centre de similitude interne; et s'ils se touchent intérieurement (Jîg. 87), le point de contact est un centre de similitude externe. Fus. 87.
Mais, en général, on obtient ces deux centres de similitude, en divisant hermoni^uement la distance OO' des deux centres dans le rapport des rajons A et R'.
Il existe d'ailleurs plusieurs autres cas particuliers remarquables ; ainsi :
Pour deux cercles concentriques, les centres de similitude se réunissent au centre commun ;
Pour deux cercles égaux , le centre de similitude interne est au milieu de la Hgoe des oentred, et le centre externe est situé à l'infini (voyes le scolie I, ifi 15, App.)\ — e«c.
On reeonoalt aussi facilement , — i^ — que quand un des cercles dégénère en une ligne droite, les centres de similitude sont aux extrémités du diu' mitre de l'autre cercle, perpendiculaire à la droite; — a^ — que si l'un des cercles se réduit à un point, ce point est à la fois le centre de similitude inicme et externe.
Observons encore qu'en généralisant , comme au n^ IK, App,, scol., 00 trouverait une infinité d'autres centres de similitude des deux cercles, c'est-à-dire ana infinité de points homologues communs.
Scolie. — Lorsque trois cercles sont situés sur un même plan, ce qui donne iix centres de similitude, — - 1<^ — les trois centres de similitude <>x-. teme$, — ao — un centre externe et deux internes, — sont sur une même ligne ^oite; — eeqai donne en tout ^itafre droites passant par les six points combinés trois à trois.
iSt, APPENDICK. — SKCT. I. § I.
Nous nous dispenserons de donner ici la démonstration de celte profM»ition, parce qu'^elle est, en.tons points', semblable a celle du d9 14, Âpp.
Des axes radicaux et du centre radical (*).
N^ 17. — Définitions. — On nomme axe radical de deux cercles tram sur un même plan , le lieu des points par chacun desquels ou peut meocr à ces cercles des tauf^entes égales.
Soient R, R', les rayons de deux cercles O, CK (J!g. ^07), que noos sapporic. 307. jj^jjjg d'abord, pour fixer les idées , extérieurs l'un à l'autre. — DétermiDotb (n^ 28IS) sur la ligne des centres , un point D tel que Ton ait la]relatioD
