CT = CT' = CT* = CT

Donc le point C est un centre radical commun aux quatre cercles pris troUà trois; C. Q. F. D.

N. B. — En considérant le centre de similitude interne C, on obtiendrait quatre autres cercles ayaut le point C pour centre radical commun.

Ces cercles sont dits réciproques des cercles O et O', par rapport au centre de similitude qui leur correspond.

ScoLU. — Ob peut supposer que les deux sécantes CA, CB (fig, 309 Yk, aoo et 209 bis)f Tiennent à se réunir en une seule; alors les deux cercles réci- et ooQ bts, proqnes ABa'&', A'B'ai , se réduisent à cette sécante elle-même. — Quant aux deux autres, A6'a'&, A' hab'y ils deviennent à la fois tangents aux deux r«reles O , (V, Pnn en A , a', Tautre en A', a.

Réciproquement : — Tout cercle qui en touche & la fois deux autres est un de leurs cercles réciproques par rapport au centre de similitude externe ou în> ti^nie, suivant que le contact est de même espèce [ ^.n^r/eur on intérieur h la fois 1 , ou d^espècc diiTérentc ; d^où Ton déduit que

286 AFPENDIGV. SKCT. I. § U.

Les deux points de contMCt sont en ligne droite avec le centre de simiiitMàe correspondant.

ScouB GKMËRAL. — On peut pressentir dès à présent dé quelle utilité peut èire , dans la résolution des problèmes sur les contacts des circonféreocei de cercle, la considération des centres de similitude, des axes et des centra radicaux.

Le plus souvent , tout se réduit à déterminer la position des centm de similitude, des axes et des centres radicaux, pour des cercles donoè, | questions que nous savons déjà résoudre.

§ II. — Théorie des transversales. — Faisceaux harmoniques. —

Pâles et polaires.

On comprend sous la dénomination générale de théorie des trmm»ersétt, Pensemble dos relations métriques que présentent des systèmes quelooS' ques de lignes qui se coupent suivant des lois dtfterminées. — Quelques-unes des propositions relatives aux lignes proportionnelles et à la similitnde des figures sont dos cas particuliers de cette théorie. Noua allons nuintênant en démontrer plusieurs autres qui sont d^un usage asses fréquent.

Transversales rectilignes.

F"0- o- TiUoREMB 1. (Fig. aïo )

N^ 29. — Toute transversale XY détermine sur les trois côtés d'un tna^ ABC, ou sur leurs prolongements » six segments tels, que le produit

A(/ X BA' X CW

de trois sefpnents non consécutifs est égal au produit des trois autres,

En effet, menons par un <iue1conque des sommets du triangle, I^ pv exemple , la droite BK parallèle h. la transversale et terminée en K , au c£t< opposé AC. Les deux couples de triangles semblables ABK, AC'B', «( CA'B", CBK, donnent

AC : CB :: AB' : B'K, d'où AC x B'K = CB x AB';

et BA' : A'C :: B'K : CB'; d'où BA' x CB' = A'C x B'K.

Multipliant ces deux cgalilés membre à membre et supprimant le factesr commun B'K, on obtient

AC X BA' X CB' = CB X A'C x B'Aj C. Q. F. D.

iV. B. — La transversale peut passer dans Tintérieur du triangle ou être

TMRSVKRSALES RECTILIGNE5. 28^

lont entière située au dehors ; mais , quelle que soit sa position , les points de division A% fi', C% sont toujours en nombre pair [o ou a] sur les côtés német dn triangle , et en nombre impair [i ou 3] sur les prolongements.

RÉa?i00DCMEiiT : — Trois points étant distribués sur les trois côtés d'un triante ou sur leurs prolongements (co qui donne six segments) , de manière qu^il y ait un seul point sur chaque droite, et que le nombre des points situés 8or les cotés eux-mêmes soit pair, si le produit de trois segmenu non consécutifs est égal au produit des trois autres, les trois points Mont en ligne droite.

C'est ooe conséquence nécessaire du principe établi au ifi 81 ) page i5.

TBÉoaiMi n. {Fig. an.) Fie. au.

No 25. — Trois droites AA', BB', CC, menées des trois sommets d'un triante à an même point O [ intérieur ou extérieur au triangle], déterminent sur les côtés opposés BC , AC , AB, six segments tels ifue le produit B A' X CB' X AC de trois segments non consécutifs est égal au produit A'G X B'A X C ' B des trois autres.

Eo effet, les deux triangles ABA', ACA', coupés par les transTersales respectjres COC', BOB', aux points C, C, O, et B', B, O, donnent (no Sfi, App. ) les deux relations

AC'xBC xA'O =C'BxCA'xOA,

et AB'xCBxA'O =B'CxBA' xOA,

d'où y raoitipliant en croix membre à membre, et supprimant les facteurs communs CB, A'O, OA,

AC X CB' X BA' = C'B X B'A x A'C ;

N. B. — Il est à remarquer que , quelle que soit la position du point O dans le plan du triangle, les points de dlTision sont en nombre impair sur les cotés eux-mêmes, et en nombre pair sur les ^ofoi^^m^ntr.

RâcipaoQilBaiifT : — Trois points étant distribués sur les cotés £un triangle ou sur leurs prolongements, un à un , et de manière quMI y ait un nombre im» pair de points SUT les cStés eux-mêmes, si le produit de trois segments non consécutifs est ^al au produit des trois autres, les droites menées de chaque point ée diviùon à Van^ opposé concourent en un mAne point.

CotOLLAlSEs. — 1® — Les trois droites menées des sommets étun triante aux cotes opposas (n<>96, fig. 63), concourent en un mfme point, — puisqu'elles p.^ ea déterminent six segments égaux deux à deux, ce qui donne

AC X BA' X CB' = CB X A'C x B'A.

a^ — Les\bisteetrices des trois^angles d*un triangle {n9 91S , fig, 6o) concou' rent en un wméne point : — car on a (n® 908) les proportions ^•^ "®«