AC : C B :: AC : BC, BA' : A'C :: AB : AC , CB' : B'A :: BC : AB

288 APPMTDICE. — SBCT. î. — § ÎI.

d'où Ton déduit

ACxBC = C'BxAC, BA' X AC = A'C X AB, CB'x AB=B'AxBC;

puis, en multipIiaDt membre à membre, et omettant les facteurs eommiiB,

AC X BA' X CB' = C'B x A'C xB'A.

3P, — On démontrerait d'une manière analogue que les perj^emèuadàm

FiG. Gl. abaissées det trois sommets sur les côtés opposés {n^ 95 > J^. 6a) coneoorcBi

en un même point : — il suflit de comparer les couples de triangles rectifi-

gles, tels que ABA' et CBC, qui sont évidemment semblables , cequidoB-

nerait trois relations d''oîi il serait facile de déduire ensuite

AC X BA' X CB' = CB X A'C x B'A.

N<> S4. — ScoLiB. — En un mot , les deux théorèmes précédents et leon réciproques donnent lieu à une foule de conséquences formant autant àt propositions nouTelles.

FiG. ai I. Ainsi, par exemple , si dans la relation du n^ 25 ( fig* an)

AC X BA' X CB' = C'B x A'C x B'A,

on suppose BA' n= A'C, elle se réduit &

AC'x CB' = C'B X B'A, d'où AC : CB :: B'A : CB';

donc (no 163) la droite B'C est parallèle à BC. Réciproquement : — Si B'C est parallèle à BC , on a la proportion

AC : C'B :: B'A : CB' ; d'où AC x CB' = C'B x B'A,

et, en vertu de la relation du n<> 25 , BA' = A'C ; Ce qui donne lieu au théorème suivant : Fio ai a ^^* ^ partir du sommet A d'un triangle ABb ( fig. ai3) , on Swse les M adjacents AB , Ab , en parties proportionnelles , et que des extrémités b, B,ic la hase, on mène des droites aux points de £vision P, Q, R ,. . . , p, q , r,. . r toutes ces droites se couperont deux à deux sur la droite AK menée du somKi au milieu de la base ; — et réciproquement.

N, B. — On déduit de là, comme cas particulier, que — Damsuntrepèst quelconque, la droite qui joint le point de concours des deux côtés latérea au point de rencontre des diagonales, passe par les milieux des deuxhasei.

IS^ 5i5. — Des faisceaux harmoniques, — Nous avons d^à vu (n<^ 908) Qi^ Fig. i3o. *' ^"^ droite BC {fg. i3o) est divisée en un point D dans un rapport doDn^> il existe sur le prolongement de cette droite un second point D', tel qiw l'on a la proportion