BD'— BC = CD', BO— BD=DC
U proportion ci -deiaus^ott CD' : DC :: BD' : BD,
JfTieal liO' » BC : BC -^ BD :: BD' : BD ;
• oi-a-dire ijue les dikUn. > s BD', BC , BD, ; ont ra prop )rti in barmoDi(jue ; et il tn aérait '-.r mûnc des aistancr» D' B, O' D, «t D' C. '
L» série dea fractions 1, i-, i-, j, j, -j, jt • •■• «•* <*'»« urw progression harmonique, parce •.w, romme on peut le vérifier |jitil«ment , trois consccuiifa (juclcoaques de Nts termes TornxBt «ne proportion harmOBÎi{UC.|
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APPENDICS. SECT. I, — § II-
Fio. ai 3 bis. THËflftàn UI. (Fi^» a 1 3 bis.)
Jio 2Q, — Dans tout faisceau harmonique O ABCD, une droite queUonqu.- EF, meiiM parallèlement à Vun des rayons, OD par cxeniple, est dî^nsée o deux parties é^les par les trois autres^
En eflfet, lirons par le point B la droite lEK parallèle à OD , ellermiDCf aux rayoïiB OA , OC. — Les deux couples de triangles semblables BCi et OCD, AIE et AOD, donnent les proportions
BK : OD :: BC : CD, et IB : OD :: AB : A ;
mais, puisque tes quatre points A , B , C , D , forment un système harœooique, on a (n^* 25} App.)
AB : BG :: AD : CD. on BC : CD :: AB : AD; donc aussi BK : OD :: IB : OD,
et par conséquent , BK = IB .
Or, les deux droites EF, IK, étant p^allôles , sont coupées en partie» proportionnelle» par les trois droUes OA , OB , OC ( n« 201) ; donc enlia
BG = GF; CO.f.D
RéCIPROQCEUbiit '.^Si quatre droites OX, OY, OZ, OV, partant d'un mtrti point O, sont telles qu'une droite IK menée parallèlement à Vune des quHrpremières, OV par exemple, soit Svisée en deux parties égales par les ir^i» autres, les quatre droites f ornant un faisceau harmonique.
Menons par le milieu B do la droite IK une transversale quelcooqar ABCD. — Les deux couples de triangles semblables ABI et ADO, BCK ti OCD , donnent les proportions
AD : AB :: OD : IB, et DC : BC :: OD ; BK; d^où, à eause deIB=:BK, AD : AB :: CD : fiC.
Donc les quatre poinu A, B, C, D, sont conjugués deux à deux, et K^ quatre droites partant da point O forment un faisceau harmonique.
ScOLiB. — Cette réciproque fournit un moyen de — Déterminer un des rejoti OV ipar exemple, d'un faisceau harmonique connaissant les trois autres, — puisqu^il suffit , après avoir tiré par un point quelconque B du rayon 0\. une droite IK qui soit divisée en deux parties égales par les deux autres.. 0% , OZ (n^ 867, eoroL)i de mener ensuite par le point O une parallèle à IK
F.c. jrS. Théorème IV. {Fig. ai3.)
PJ^ 27. — Dans tout faisceau harmonique OABCD, les points d'intersection é. quatre rayons avec une transversale quelconque forment un système harmonique
En effet , — d^abord , la proposition est évidente pour toute droite mn parallèle à AD| en vertu de la propriété du n^ SOI.
Ensuite, pour une transversale quelconque liN , si Ton conçoit par U peint F une droite EF parallèle àOD, olle sera divisée en deux parties ^^Ic?
DU QUADmiIATiBS GOMYI.BT. ^1
an points Ë, F, d'tprèa le théovème préeédent ; et il rémlle de la démonstration emplcyyée pour la réciproque, que la droite MN passant par le point P sera diTisée harmonfquement en M, P, Q, N.
Enfin, toute droite parallèle à MN , étant divisée par les rayons du faisceau de la même manière que MN , sera aussi divisée barmoniquement par les mêmes rayons ; C.Q.F.D.
N^'SS.— Du quadrilatère complet. — On nomme ainsi la figure ACBFDE (j^. 3 14) déterminée par quatre droites indéfinies, AB, AC, BC, F£, qui se Fio. ai^. coupent deux à deux en six points différents, A, B,C,D,£,F;en sorte que par chacun des points dHntersection , il ne puisse passer plus de deux des quatre droites données.
La raison de cette dénomination , e^est que Ton trouve dans la figure ACBFDE :
i*' — Le quadrilatère ordinaire ou convexe BCED (n^' 57), dont les dia* gonalea sont CD et BE ;
!• — Le quadrilatère aiu'-coficape, ou À un seul angle rentrant, ABFE, dont les diagonales sont AF et BE ;
S» Enfin, — le quadrilatère bi-coneape ACBFD, formé de deux triangles opposés ABC, DBF: — ses diagonales sont AF et CD.
D*où il soit que le quadrilatère complet a trois diagonales, savMr: deux intérieures, BE, CD, et une extérieure, AF.
Le quadrilatère complet jouit de plusieurs propriétés fort curieuses auxquelles ofi est conduit , soit par la théorie des transversales , soit au moyen de la considération des faisceaux harmoniques (*).
TaMoaiMB V. (F%r. ai4.) Fie. ai4,
fio S9. Bans tout quadrilatère complet ACBFDE, éhaeune des diagonales est dirisêe karmoniquement par les deux autres [c'est-à-dire que Ton a
AI:1F::AK:FK, EO:OB ::EI :BI, et CO:OD:: CK: DK].
En effet, tirons la droite KE; et, après avoir prolongé AD jusqu'à sa rencontre en D' avec RE, déterminons le point M tel que Ton ait
