CO:OD::CR:DK
Maintenant, la figure AKDOC étant aussi un faisceau harmonique, il
(*) L« ^ludriUtire complet cet le pin* ûmple des polyfoaet k angfet rentrants, polygone* ^ae M. Votmam contidêre eomme étant d'ordre rapêrienr, et anxiiuel!! ^e rattaebe la théorie de» p^fygomês fioilés. — ( yojrn le Mémoire de M. Pot RtOTt ^*ni le Journal de fFcoU Polj- •ecfcwaif* , to* ealner, t. fV, p. 6 et raÎT. — Vojt% aoaù un Mémoire de M. CAOcsTf méoM , t€* caàicr, t. IX , p. 77.)
2ga tPPBTDICS. SKCT. t. — § U.
s'uoiuit que le rajrou AO al la conjugué ds AK ou AF. Ainii AU ri IM sont coi^juguéa du in£inc raTon AF, el par contéqaenl, sa confondcnl.
Or.'Ja figure EIL DOC eti elte-mèine un faitceaa harmonique, eliteui lu" 37, App.) , par nppoK k la traniTertale AK païaanl par la point K, AI : IF :: AK : FR.
ËpGn, le fa iaeeau harmonique AKD'ME donne encore, par rapporlil iraniTcnale El patunl par le point E,
EO : OB :: El : DI ; et le* troia proportions éaanctes te tronrent ainii démontréei ronpiil'-
Il résulte (Tailleun, de tout ce qui a été dit précMemmenl sur lei tsiictiu harniomquea, que les autrei droilei AD', AM, F'C, FE, te trooienl tlletn>ïoies dirUéci harmonlqurmenl.
NoSO.-'ScouEcAitUL sur Icaraiaeeaui harmoDiqnea. — i)« ^wlsri^ polairei dana les Sgures rwtilignes.
On Tient de voir que, dana le qiiadrllatireconplet ACBFDE, la dralleqii Joint le point A au point de rencoalre des deux diagonalea inlêrieBm, ni coqiuguéadeladroiteAF par rapport OUI deui autres droite* AD, AE. Ot ceci nous conduit i une prepriéLâ asseï importante. S. Soit un point P quelconque {jig. 3r5J donné dans lo plan d'on angle ÏOX. Oe ce point, meuoni une série do droite* qui rencontrent les cd:à de cet angle, aux points A et n, B eti , C etc, Det J,..,, ce qnt délenniiieda quadrilatères complets OïDAoP, DcCAsP, OdD.\aP,... Celapoié, lou l« poinu, p, p',p't d'interiectïoa Jet diagonale! iaUrieimt da ce* qaadrililtni ^ se (ron Tant situés tvr une aUtaie droite pattant par leionmmei Oj et cette dreiu n'est autre que IcntroR conjugua du rayon OP^r rapport ule ^«ucâleiér l'aide ÏOS.
On exprime cette propriété en disant qoe le point P est un pile par npport kla droite Op, qui est elle-mAme dite la ^o/m'/'e du point P.
Remarquons en outre: — i" — que, pour tout autre point P'pris tnrb
droite OP, U même proprlétL* a lieu, e'eal-à-dire que Op serait encore b
polaire du point P'; — 3° — que cette propriété ealnécesnairementriViprgfsr
pour les deui rayona conjuguéi OP, Op, par rapport aui droite* OT, 0\,
ont aussi des rayons ooqjuguéi j — dès Ion , nous seroos eanduiu >
conscquenee générale :
ns tout faiaceau harmonique, chacun dea rajons est aiie polairtfit >rt k chaque point de son conjuQué j et chaque point de celni-ei tfi ■■ [Mr rapport au premier.
ua terminerons ceqnia rapport an qusdrllatâre complet, parla énoD- B deui théorèmes dont les démonstrations sont faciles 1 déduire il(l> ie des traDirersaleB.
— Lei iHiIieaxV,Q,R(^. ai^),Jet troiâ diagoiialei d'mu laadriltii" fer, tout liiaii nt une même ligne droite.
TBAHSVEBSâLES OONSIUI&BÈES DARS LE CERCLE. 298
ao - Si deux triangles, ABC, A'B'C ( j^. aifi), ont leurs sommr ts FiG. ai6. ^lacci deux à deux sur trois lignes droites concourantes [eo un point O], les trois points de concours^ o, 0% o", des côtés correspondants pris deux à deux, sont en ligne droit^,
Trnwersales considérées dans le cercle, — Points conjugués. — Pôles et polaires.
I^'^Sl. — Des poitus conjugués. — Nous avons tu, au n^S76y que, si une droite AX {fy. 184) est divisée harrnoniquement aux points Â, C, B, C, la Fie. 184* circnnféreoce décrite sur ce comme diamètre est telle, que les distances de ehacun do ses points, N, aui deux points A et B, sont entre elles dans un rapport constant, celui des deux droites AC , CB.
DsDs renoncé de ce théorème, le cercle est donné de position par rapport aux points A et B supposés connus ; mais on peut aussi avoir à résoudre cette question :
Étant donnés un cercle et un point P [JSg. 217), déterminer le point Q con- Fie. 217. fugué de celui-ci. ^
(Nous donnerons au cercle OA le nom de cercle régislateur,]
Oq doit avoir, par hypothèse,
QA : AP :: QB : PB, M bien QB : QA :: PB : PA;
O') la figure donne saccessiTement QB = 0Q-+-OA, QA=OQ-OA, PB = OA-+-OP, PA = OA-OI';
ainsi , la proportion devient
OQh-OA:OQ-OA ::0A^0P: OA-OP}
d^où, en faisant la somme et la différence des deux premiers termes, la tomme et la diSérenee des deux derniers, puis réduisant,
OQ : OA:: OA :0P;
donc (I) 0Px0Q=0A«;
