OP :0A::OA:0Q
conduit, par dei tniiuririnatloiH lii>er>a> de celles qui ont été (ailua- i decani, à l« propoHIon QB : QA :: PB : PA, ou QA : AP :: QB : PB, ob eil en droit d'en conclure que ;
diamètre f uJ lei conliait, un ffilime harmonique.
a" — 1^1 ditiaacet de chacun det potnu de ta circoiffifreiKe rtgutMtrict <v deux paiau cenjuguéi, V et Q, lOHt entre ellei dant un rapport coiuuai, M" • lui de QA à AP (a* S7S, uoi.).
PauoDit d'antrea propriéWi dea poinla coojugiti^i.
F,G. 3)8 TstoalMi VI. (Fig. aiS et iiS iU.)
«I 3i8 hu.
N°SS. — Lei cordei de eonlaet, Bfm, M' m',. . , de tous lei uiigki cire»*terlu dOKl Ui tommeli tout plaeét inr une mena drailt U/, eomeommu <» m méine point P; el ce point ett lecomjagui dupia^Q de U perpendiculaire eiàtlée dm centre du cercle tur la droite LL'.
Il peut le préaenier deui cai principsai : ou la droite eat snA-ievdb circontérenee régulatrice, ou bien elle ust locaux. — Eumiaoeaceedeai eu
Fn. 3i8. Piiwu eu l fig. 3i8]. — CoiuUlénitis deux point* de la droite iX', aaiolr 1 le pied Q delà perpendiculaire aliaiaaM du point Oauroelie dniïH^ et UD point quelconque Q'j loienl QM et Qni, Q'M' et Q'm', le* tangtulc* correapondantea , et P, P', les points ai les EOrJei de contact rmeoDlrml OQ, OQ'. — Ces pointa sont (n« 31, i4/>/>.) les conjugués des points Q,Q', " -'-nuent les relations OA' = OP x OQ, OA* =OP' x OQ';
ir conséquent la proportion Of : OP' :: UQ' : OQ.
la posé , si nous jolgooua le point P' au point P, nous iormcroos liati i triangles OQQ', OPV, aomblsbles entre eui comme ajant un angle O compris entre côtés proportionneli. Or, le triangle OQQ' at race au point Q ; donc le triongle OPP' est aussi rectangle «n point P. — l'on toit qne la droite PP' se conrond a*sc lu corde do contact M'ai': , las cordes Hv , M' m', passent par le même point F. i raisonnement semblable pourrait s'appliquer i tout autre anglecira» dont le sommet serait GuQ', Q",. . - sur la droite LL'j donc , etc.
MRD us {fg. 3i6Uf). — Dans ceca>,lepoint Pcoojngaé du point 0 ient «n meaiat an point H ta tan^ntc MP,]usqn'àsi
DES PÔLES ET DES POLAlEkS DANS LE CEECXE. 2g5
OA prolongé; et le point P' est d^aUleura, comme ci - dessus , le point de reoeoDtre de la corde M' m' aTec OQ' ; ce qui donne encore la proportion
OP : OP' :: OQ' : OQ.
En joignant le point P' au point P, nous obtenons deux triangles OPP', OQQ^f semblabips entre eux comme ayant un angle égal O compris entre eAt«s proportionnels ; mais le triangle OQQ' est rectangleau point Q; donc auui le triangle OPP' est recungio en P'» et par conséquent la droite P' P se eoofond aTee la corde de contact M'm'.
On démontrerait de même que , ptiur toot autre point Q^f Q^y . . de la droite LU y la corde de contact correspondante passe par le point P; donc, etc.
Ainsi la proposition est démontrée.
Les deu;i^figures^tg et a 19 lis donnent une idée nette de la nature de cette ^ propriété.
N. B. — Dans le eas particulier {fg. ^119 ter) où la droite lAJ est tan- Fie. 219 (er. geote k la eireooféreoce régulatrice, les deux pointa conjugués se confondent avec Pextrémité A du diamètre.
fiifaniOQDKMSMT : -~ Si , d^un point quelconque P , intérieur {fg. 219) ou Fie. 219. extérieur {Jig. iig bis) k ItL circonférence régulatrice, on mène des droites Fie. 219 hit, eo nombre quelconque, qui rencontrent la circonférence chacune en deux IK)iots, et que par ces points on mène des tangentes, les sommets de tous tes angtes circonscrits ainsi formés par les diverses couples de tangentes, seront sUu^'s sur une méhte droite ÎAj' passanfpar te point conjugué du premier, et perpendiculaire à la droite OP menée du centre au point donné.
Le premier cas de cette réciproque se démoaire facilement au moyen du principe sur les réciprot/ues (d9 21), et du second cas de la proposition direcie; — et vice versa.
N*^ 35 — Des pôles et des polaires dans le cercle. — Ces deux propriétés fort curieuses des points conjugués P et Q, ont fait donner le nom de pôle au point P, et de polaire à la droite LL'.
Ainsi, \epôle étant donné, on peut déterminer facilement sa polaire; — «i réciproquement ( Yc^es n^ 51 , Af^, ).
ThMobèmb Vil. ( Fig. aao. ) Fie. 220,
No 54. — > Toute corde EF mf:née dans une circonférence par un point P , fit divisée karmoni^uement par le point et par sa polaire LL'.
En effet , les points P et Q étant deux points conjugués , on a ( n** 31 ) la proportion PA. : AQ :: BP : BQ; donc, si Ton Joint les points P, A, Q,B^ àun point quelconque N delà circonférence, on obtient un faisceau harmonique dans lequel la transversale EF passant par Puil des points P, <«t divisée karmani^uemeni ( n» 97, Àpp. ).
I UMTHUCB. SKCT. I. — ^ U.
TBb»l« Vm. IFig.m.)
0 38. — La polaire du icmmet P d'ut am^e •/meUon^ue AVB (ponr dd
le doDiM], eu la droite ^ai jaint tel pôlct dei deux tSiét,
a olfal, il par la puiotH, où la cOté PA rcacouUe !■ cireonCèrMec
latrioa , on mine ans UngenU proloDgée Ju>qn't M rmeontiv en G
. la porpendiciiliira OG «IaU*4e du poini O «or et cAté , la point G ap-
ieodra à la polaire du point P {a' 3fi , ricip.). ~- Par la mémo niaon ,
alnt K 0(1 la laogeato sd H' qui eormpaïul «a aacond cAlé PB, na-
Te la p«ip«ndlinl*lre OK abaluéo du point Oaur ca e0t4, apparUani t
llalr« du point P. ~ Donc GK «t catta poUIre elle-iobne.
. Jt. — Le point Q où la droite GK reneontm la droite OP prttloDgëe,
long le point conjugua du poiat P.
laoLUIlE. — & deux palxfionei ^ueUan^aet ABCD, EFGK (,^|-a2^3.'i
Uh^ueUi iommeuE,T,G,K, du leeoad, nient Ui pilei retpeenji
càUi AB, BC, CD, AD, du premier [pour on Mf«le donné], r^iptr-
HtiU, tel HUmmeli Je eeluï-ti teront, Iri palet dtî côiét du ircoud.
o effet, pnliquele point E eti la p4le de AB.et le point P la pAta de
, fi a'eniuU que £F eat la polaire du tommet de l'angle ABC ; en d'aa-
termea , le point B eat le pAIe de EP. — On démontnnit do mime qna
oint C eat le pAla deFG. — Etainil de mite.
coua. — Cette dernière pcoBriotë a (ait donner aui tftui poljcofte*
CD, EFGH,lenom àefialalrei rieiprotiuet , en raiton de ce quecbacna
■omnuita duprenîar eat le p4lede chaque edtédu aeeond, et vice «erU.
TnïoUw IX. (F^. 333)
\i>9é. — ÙaiuteatiinadnlaliftAVCD,iiaa-ilaaeert!ie, le peint 4e coa- -il deidiageitalet AC,BD, et lei peinti de comobti P,Q,da câiA op- II, AB et CD, AD el BC.pHi deux à deux, forment an triangle IPQ daai }ue tetnmet eit le pôle du cité opposa,
0 effet, lea droite* PQ, PA, PI, PC, forment un Ihitccaii hannantque S9, ^p-)', ainii, lei droites AD, BC, lont diriiëca harmoniquemenl , romtèreauiporuuQ, E, et la aecondsauipoinuQ, F. — Deli, il rca que lea pointa E , F, appartiennent toui deux k la polaire du point Q, |ue, par eonaéquant, cette polaire n'eat autre que la droite PI.
ar nne raiaon tonte aemblable, Ql eit la polaire du point V. tuant an trolaièma ««té PQ, aon pôle dnit ae trouveE i la foia anr la >lre du point P et sur celle du point Q; donc ce p4le eat le point 1 M,*.,.)-
1 eilale nne foule d'nutrea propriétci daa IraniTaraales conaidéréea dana «relej maia ooui noua bornaroua A citer encore lea dcui suiianlsi ;
o — Daat tout hexagone iiuenl au cercle. Ici point! d'illtertc<tioa dt.t fi oppoiét, pris deux n ilgitr, tont ti/ut troit en ligne drotic ;
GOHSIOÉEATIOVS OiHÉKALBS SUR LES COUEBES.
0 — Dams tout hexagone inscrit au cercle, les diagonales menées par les mets opposés , pris deux à deux, concourent toutes trois en un même point. 'm théorèmes donnent d^aillenn Heu à des conséquences plus ou moins K>rUntes sur les pentagones et quadrilatères inscrits et circonscrits ( ^ ).
