SECONDE SECTION

§ V, — Considérations générales sur les courbes.

- t tangentes et des normales aux courbes. — Courbes polaires réciproques.

^ 57. — En étendant aux courbes , en général , ce que nous avons dit

la ligne circulaire comparée aux polygones réguliers (n^* 94^, nous

loirons une courbi quelconque , un polygone, ou plutôt , une ligne brisée

* 12) d'un nombre infiii de côtés infiniment petits; — chaque portion in-

iment petite est dite alors un élément de la courbe.

Celte définition étant admise, la tangente en un point donné est Vêlé-

mtdela courbe en ce point , prolongé indéfiniment dans les doux sens ; et

Ite Donrelle manière d^enWsager la tangente s^accorde avec la définition

A nous en avons donnée au n^ 110; car, on disant que la tangente est

« sécante dont deux points d^in ter section avec la courlie viennent à se

mur en un seul, nous exprimons Pidée que la corde qui joint ces deux

liots est infiniment petite, et par conséquent se confond avec rélément de

courbe. Quant h la première définition donnée au n^' 108 , do la tangente an

9c1e, elle ne saurait évidemment être admise que pour les courbes de la

ature des lignes convexes, c*est-à-dire de celles qui ne peuvent être ( n* 36)

SDcontrécs par une droite qu^en deux points, tandis qn^il résulte de la

ouvelle définition, qu^une tangente en un point peut être en même temps

étante en un ou plusieurs autres points. — Nous verrons même bientôt

{«''une droite peut en même temps toucher et couper la courbo en on môme

Joiot donné.

Nous nommerons d^ailleurs normale h une courbe la droite menée par le point de contact , perpendiculairement k la tangente.

K^ 38. — La considérai ion des éléments des courbes est de la plus haute importance dans la théorie de ces lignes ; car, en les regardant comme de

(*} f'ojvt BQCfe kccoade édition , p. it4i si5, ai6, ainsi que le» AnnaUs de Mathémaù^ues , m divers cndi^is, et aotnmawBt t< XlVf p. 3^ et f>iiiv. ; ro^fs aussi la C^rrespondanu sur

agS 4ppBirDiGs. — smt. ii. — § i.

véritables polygODee, on est coi^uit à celte oob&équenoe, que umteprofnéië ffénérale démontrée pour une ligne brisée, indëpeDdamment du nombre^ de la grandeur, et des incliaafeooa mutuelles de ses eôCés, appartient per eek mène à la ligne courbe , qui peut en ôtre coosidérée (u« S44} comme b limite.

C^est aHisi, par exemple, que la propositioo établie sur les polaires rreiprotfues ( n^ Stf , corol, , App. ) , ctant vraie que! que soit le nombre ds côtés'des deux polygones , Test encore lorsque le nombre des côlés dcTiest iufioi ; et Pon est conduit & ce théorème remarquable :

Si deux courbes tracées sur un même plan sont telles ifue chaque poiat à l'une soit le pâle d'un élément (ou d^ine tangente) de Vautre l pour un cork donné], réciproquement, chaque point de la seconde est le pôle d'un élàaaa de la première; et les deux courbes sont dites alors des polaixes uaFRogcis.

D^où il résulte nécessairement que — Le nombre tles intersections de l'a» des courbes avec une droite quelconque est égal au nombre des tangjenÈei ^ Von peut mener k Vautre courbe , par le pôle de cette droite.

Du cercle osculateur et du rayon de courbure»

FiG. 3^4. ^*^ 39. — En un point M donné sur une courbe AB {J!g. 3^4) y on pcsi toujours meuer une inflnité de cercles ayant en ce point pour tangente commune, la tangente même , SX, de la courbe j d''où il résulte que ces eer des sont eux-mêmes tangents à cette dernière, puisquUls ont «yec elleia élément commun. Or, il est bien clair que, parmi ces cercles, il en est os qui se rapproche plus de la courbe, dans les environs du point de eootaci M, quo tous les autres, c^est-à-dire qui tend plus que tous les autre, dans rétendue d'un petit arc pris de part et d^autre de ce point, à se coo* fondre sensiblement avec la courbe. — Ce cercle unique se nomme lecucu osccLATBUR de la courbe au point M ; or la considération des éléments noas fournit le moyen d^en donner une définition plus précise et tout à fait géométrique.

Pour cela, rappelons-nous qu^il faut trois points ( non en ligne droite; pour déterminer une circonférence de cercle (u» iS7;; d'où il réaulte que h circonférence qui approchera plus de la courbe que toutes les autres^ dtos les environs du point M, sera celle qui aura avec cette courbe , de part et d^autre et infiniment près de ce point , doux autres points eommoss, c'est-à-dire enfin , qui aura avec la courbe deux éléments consécutifs communs, PuQ d'un cet*; du point M, Tautrc de Pautre.

Cela posé, la construction du cercle osculateur en un point donne M FiG. aa^. (J^- ^^) ^ réduit à la suivante : — En supposant la courbe décomposer en éléments, soient LM, MN , les deux éléments consécutifs qui doivent appartenir au cercle cherché ; — par les milieux , e,/, de oes éléments , éU' vons des normales : elles se rencontrent (n<^ IfO) on un point O; ce point e»t le centre du cercle osculateur i et les rayons sont d'ailleurs OL, OM,0N> ou bien Oc, O/, qui n'en diifèrent pas sensiblement.

CONSIDÉRATIONS t>£N£AALES SUR LES COURBES. 299

^o 40. — Le cercle osculateur, dont nous Tenons de donner la construc- UoD générale, jouit de plusieurs propriétés aussi importantes que curieuses ^ nous allons examiner les principales.

Prolongeons d^abord les éléments LM , MN ; il en résultera deux tangentes consécutives LT, MU, faisant entre elles un angle infiniment petit TBflI que Ton nomme l'angle de contingence, — Or, il est clair que plus cet angle est grand , plus la courbe s'écarte , au point M , de sa tangente LM ; et par conséquent , plus elle est courbe, — LVngle de contingence est donc propre À faire connaître ce qne Ton nomme la courbure d'une courbe en un point donné; c'est pourquoi on le nomme encore angle de courbure.

De plus, l'angle TMU étant évidemment égal & l'angle eO/, puisqu'ils ont l'an et l'autre pour supplément l'angle LMN (n^ 70) , on tire de là un seeond moyen propre à apprécier le degré de courbure d^une courbe donnée , moyen qui offre même plus de commodité que le premier, en ramenant cette évaluation à celle de la courbure du cercle osculateur, laquelle est d'autant plus considérable [en un point donné de la courbe] {voyes le n° 262), que le rayon du cercle est moindre, ce rayon diminuant évidemmeut à mesure que l'angle de contingence augmente , et vice versa.

De lÀ vient que le cercle osculateur reçoit encore le nom de cercle de courbure, sou centre O celui de centre de courbure, et enfin son rayon celui de rayon de courbure.

T\°4I. — Maintenant, supposons que l'on effectue, pour tous les points de h courbe AMB {^Jig. aa6) , la construction que nous avons indiquée ci-des- Piq, 3a0* •as pour le point M : il en résultera une autre courbe POQ, qui sera le lieu géométrique des centres de courbure de la courbe ÂB. — De sorte que si , de chacun des points [O] de la ligne PQ, on décrivait avec le rayon de courbure correspondant O^ , un petit arc de cercle [e My] , la courbe entière AB pourraitètre considérée comme composée de tous ces arcs élémentaires. — Or,. cette description peut s'^exécnter fort simplement par un moyeu tout à fait mécanique, c''cst- à-dire par un mouvement continu.

Pour cela, admettons que l'on ait tendu le long de la courbe PQ, supp<»8ée loïide, un Jil flexible qui s'appuie exactement sur toute l'étendue de son contour, et qui le dépasse seulement, au point P, d'une longueur PA égale an rayon de courbure du point A. Il est clair que, dans cette hypothèse, si Ton détache successivement les divers éléments du fil PQ [en commençant sa point P], des éléments qu'ils recouvraient respectivement sur la courbe solide PQ, le fil entier restant toujours tendu, rextrémilô A décrira succefcsiveroent les divers éléments de la courbe AB.

La courbe PQ est dite, en raison de cette propriété, la développée de la eoarbe AB; et réciproquement celle-ci est la développante de la courbe PQ. — La développée d'un cercle se réduit à un point unique qui est son centre; et la développée dHino courbe quelconque est, par rapport à cette courbe, ce qn est le centre par rapport au cercle. La développée est, en quelque sorte, un centre variable correspondant à un rayou variable qui est celui du cercle osculateur; et la développante peut être considérée comme décrite d'une

300 ilPPRlfDlCK. — SKCT. U. — § I.

manière analogue à la deacrtption du cercle , au moyen de ce centre ei de or rayon qui varient en même temps.

De môme qu^uo cercle n^a qu^un seul centre , mais qu^un même point peit être le centre de dirers cercles , de même aussi , une déTeloppante l'i qu''une seule développée , tandis qu^une même développée peut avoir on? infinité de développantes différentes. Il est clair, en effet, que si, à partir da point Â, Ton prend sur le fil APQ, d^un côté ou de Tautre du point A, use certaine longueur AÂ' tout à fait arbitraire , le même mouvement par leqoel le point A décrit la courbe AD , suffira pour que le point A' engendre iik courbe équidistanta de la première , ei parallèle à celle-ci.

Nous remarquerons enfin que tous les rayons de courbure sont taugam la déi'eloppée, puisquMIsen sont les éléments [prolongés], et de plus, «ormaux aux éléments de la développante.

De la eouvexité et de la concavité des courhcM, -- Points singuiiers.

N*^ 42. — Nous allons maintenant tâcher de donner des notions précisa sur les diverses formes que peut affecter une courbe tracée sur un plan.

Or, dans les spéculations de la Géométrie et des parties élevées d» Bialhématiques, on est ordinairement conduit à considérer deux sortes priacipalos de courbus: les unes sont des courbes rentrantes et fermées ABCD, Fio. 337. A' \V C D' £' (fig. 337), comme le cercle; les autres sont des courbes qsi s^étendent indéfiniment dans les deux sens, comme la ligne droite : telks» FiG. 2:18. sont les courbes MNP ou M' N' P' Q' R' S' [fg. a^8 ). — Quelqueroisaossi, elles se composent de diverses parties dont les unes sont fermées, et les aaties sont indéfinies.

Mais il arrive rarement qu^nne ligne courbe, considérée comme un hn géométrique , s^arrête brusquement en un point sans bo continuer au delà d^une manière quelconque.

D^un autre côté , chacune des deux sortes de courbes dont nous venons de parler, se subdivise en deux espèces : les unes, telles que AfiCD {fg. 307} al MNP(J^. aa8), sont coque Ton nomme des lignes connexes; les autres, tellei que A'B'C'D'ET' (fg. aa?) et M'N'FQ'R' {fg, 028), ont âa» sinuosités.

Pour distinguer ces deux espèces, remarquons que, comme la ligne

droite, toute ligne courbe divise en deux régions {nP 11) le plan sur lequel

elle est tracée.

Fie. 227. Si la courbe est rentrante et fermée ( fig. aa;), Tune des régions, dite mté-

rieure, est un espace limité; tandis que Tautre région est indéfinie. — Usas

Fig. aa8. le cas de la fig, aa8 , les deux régions sont indéfinies.

Cela posé, le caractère véritablement essentiel d^une courbe convexe foutre ceux qui résultent (n^ 36} de leur assimilation avec les polygones coo vexes (n<^57, App.) ], consiste en ce que les centres de courbure de la eonrbe sont tous situés dans la méhte région ; — on dit alors que la courbe tourne sa eauea ('ii<? vers les points de cette région, et sa convexité vers les points opposa.

Lorsqu'au contraire la courbe a des sinuosités , certaines parties de U

CONSIDÉRATIONS OiNiEALES SUA LES COUBBES. 3oi

Eourbe ont leurs centres de courbure situés dans uue région; et ceux des

iDtres parties sont situes dans la région opposée. Ainsi, dans la^. 3^7, la Fie. 027.

>artie F'A'BT/D' est telle, que ses centres de courbure appartiennent à la

«gion intérieure , tandis que la partie D'E'F' a tous ses centres de courbure

lituét dans la région extérieure.

N^ 45. — Tout point tel que F', commun à deux parties dont les centres le courbure appartiennent à deux régions différentes , se nomme un point Vinflexion. — En passant par ce point, la courbe, de convexe qu^elle était «r rapport à une région, devient concwe par rapport à la même région , !t vice versa.

Un autre caractère distinctif du point d'inflexion, c^est qu^en ce point, les lirections de deux éléments consécutifs de la courbe viennent se confondre; «sorte que la tangente peut, pour ce point, être considérée comme une étante dont trois points d'intersection tnec la courbe se r^unûieiix en unseuL

On Toit même ( fig 237 his) qu'en ce point , A , la tangente PQ coupe la Fie. 237 hi$, «urbeen même temps qu^elle la touche, ainsi que nous Tavions annoncé m qo 57. Enfin, la tangente en ce point est telle, que les deux parties de a courbe se trouvent situées dans deux régions différentes par rapport à «tte tangente.

N^44. — Il peut arriver que la courbe passe plusieurs fois par le même point A, ou B, ou C (Jig. 139) : ce point se nomme un point multiple; son Fie. 339. Etractère principal est quUI existe généralement en ce point, autant de tan- ;ntes quMl y a de branches qui s^y réunissent ; cependant il peut se faire lœdeux ou plusieurs tangentes viennent à se confondre. — La môme chose I Heu pour les centres de courbure qui correspondent à ce point.

Quelquefois encore, la courbe retourne brusquement sur elle-même après ilre arrivée en un certain point A (fig. iio) : — ce point est dit alors Fie. 33o. npmnt de rebroussement.

Les deux ares de courbe qui se réunissent en un point de rebroussement , ioivent y avoir Xmméme tangente : et c'est ce qui le distingue du point mutile, où les tangentes ne se confondent f\\î^ accidentellement.

On distingue deux espèces de points de rebroussement, suivant que les deux «a de eourbe AB et AC, ou bien AB et AD, sont situés de côtés différents, » du même cêté par rapport à la tangente {*).

Lm points d'inflexion, de rebroussement, et les points multiples, sont commis sovs la dénomination générale de points singuliers, — Ce sont, dans les Mvbes, des points de division naturels des diverses parties dont elles se «nnposent.

^^ 4^.— Enfin , lorsqu'^une branche de courbe, telle que ABC (Jig. 33i), Fig. a3i.

(.*]' V.Frtmxrar a proposé Icvdéaonûnationii de cértUolda et de rhamphouU, ponrcaravli- Mrr les dcai apèccs : le premier mot «gniGe srmklahU a une comt , et Tautrc , stmhUihU n

■• he€ d'aistam.

3o2 APPESDIGE. — SBCT. II. — § î.

B^étend indéfiniment , en se rapprochant sans cesse et autant qae l'om vtÊt d'une droite TS située dans son plan , sans pouvoir jamais la reneontrer, h droite est dite une asymptote par rapport & la courbe; et la courbe dle-mène est asymptote de la droite. — La considération des asymptotes est d'o» très-grande importance dans les courbes dont une ou ploaieurs branebu s^étendent indéfiniment.

N<> 46. — Deux courbes [ou deux arcs de courbe], qui ont un point oob* mun , sont dites tangentes en ce point si elles y ont un élément commun, et par conséquent nno tangente commune; elles sont simplement séeaataidsii le cas contraire, quand bien môme ce point commun serait une extrémUe commune à deux arcs de courbe. — Du reste , deux courbes peoTeot aussi « couper et se toucher à la fois en un nombre quelconque de points.

N° 47. — Nous STons maintenant à dire quelques mots sur ce que Tes nomme la loi de continuité dans les courbes.

Pour qu^une courbe soit continue entre deux de ses points, il fiiat qa^eslrt ces limites , les directions de sa tangente et de sa normale varient ^or ^îi;^ insensibles, ainsi que les valeurs de son rayon de courbure; de sorte qu-eott deux éléments consécutirs, Pangle de contingence (n^ 40, App,), et par smM la différeoce des deux rayons de courbure correspondants, ne soit nulle part appréciable. — Lorsque ces conditions ne sont pas remplies j la coorfae est discontinue, et ne doit plus être considérée que comme un assemblage de courbes diflerentes.

Les arts , et surtout Varchitecturc , présentent de nombreuses applieatio&s

FiG. aSa. des lignes discontinues. Nous donnerons, comme exemples, la ro«are(J%.a5^

FiG. a33. c^ Vogive ( fig. a33) , également composées d'arcs de cercle qui se coupent; le

FiG a3d. '^'^" U%> ^^4) ®^ ^* doucine {Jig, ;x35J, composés d'arcs de cercle tangent»,

FiG. âS. et généralement , les profils de toutes les sortes de moulures, — Noos che-

roDS encore les courbes en ovales, composées do quatre arcs de cercle iss-

FiG. a36. gents deux à deux , BA , A(^ , CD , D6 (jpg. a36; , et ordinairement nommé»

anses de panier.

II est bien clair que ces sortes de courbes sont discontinues, puisque, les

4^"iG. a36. rayons de courbure ( Jig. a36) n'étant autre chose que les rayons des ar»

AB, BD, DC, CA, qui composent la courbe, il en résulte que la oourboK

est constante pour toute retendue de chacun de ces arcs , et varie bnu^c

ment aux points de raccordement A, B, D, C

Nous terminerons ces considérations par une proposition générale sur ie» lignes convexes enveloppées par d'autres lignes.

Fio. a37 TnÉORiHE. ( Fig. a37 et aSS.)

^ si38.

N© 43, — Une ligne convexe fermée ABCD A, brisée, courbe, ou mûete, est moindre qu'une ligne quelconque PQRSTP (convexe ou concave; qui l'emvrlopperait de toutes parts.

Fio. aSy. Considérons d'abord le cas où la ligne enveloppée est un polygone O^.^S;},

COSSIDKAATIONS GÉNÉRALES SUU LES COURBES. 3o3

et prolongeons tons ses cdtés AB, BC, CD, DÂ , dans 1« même 6ens(n<> 87, note), jâsqn'à lear rencontre en a, 5, c, d, avec la ligne enveloppante.

Cela posé, nous aurons, en vertu de la définition de la ligue droite, cette soit6 d^îoégalltés

AB -t-Ba< Ad -+-<£?-+- PQ H- Qa ,

BC -i-C*<Ba -i-flR-f- R&,

CD -+-Dc<C6 -4-6S -f- Se,

DA-+-A<i<Dc-+-cT-+- Trf,

>tt, en ajoutant membre à membre, ot supprimant les termes qui se détruisent ,

AB -+- BC -+- CD4-DA<P9-t-QK -+- RS -*- ST h- TP, )u simplement ABCDA < PQRSTP.

Si la ligae enveloppée est une ligne courbe [ou mixte] ABCD ijtg» 338} , es côtés du polygouc ABCD [Jîg., a37) se trouveront remplacés [op tota- '\ie ou en partie] par les éléments de la courbe ; et , en supposant tous ces tem<>nts prolongés dans un môme sens suivant leurs tangentes respectives , I démonstration précédente sera applicable à la nouvelle hypothèse. Donc. ) proposition est vraie dans tous les cas possibles où la ligue enveloppée si convexe.

On peut d^ailleurs démontrer directement la proposition par rapport aux oarbcs, de la manière suivante :

Menons en un point quelconque A (Jig. aS8) de la courbe enveloppée , la pi^. 333. logenle M AN. — Nous aurons d'abord MN < MPQN (n» 6) ;

où MNRSTM <MPQNBSTM.

Par le point M , menons encore la tangeate MCS ^ nous aurons la nouvelle

Mçiliié MS<MTS, d*où MNRSM<M1SRSTM.

£n continuant ainsi de mener des tangente! & la courbe ABCD, on obient une série de lignes , toujours enveloppantes par rapport à ABCD, "Sis enveloppées par rapport aux précédentes ; et ces lignes [mixtes] dei<^finent de plus en plus petites à mesure que leur contour se rapproche, aTantage de la ligne ABCD ; done celle-ci , qui en est la limite, est plus etiie que toutes celles dont nous venons de parler, et, à plus forte raison, [ne la courbe PQHSTP.

^couB I. — Les diverses propositions établies aux n^' 243, 5268,..., ne ont que des cas particuliers de la proposition précédente.

ScoLiK II. — Il est bien clair que cette proposition est applicable au cas û la lï.'rne enveloppée ABCD et la ligne enveloppante AECD {Jig. 239) Fie. 239, oC une partie commune ADC, ou des points communs, pourvu que la ârtie enveloppée , ABC , soit convexe et tourne sa convexité vers la ligne meloppante (n® 49, App.),

3o4 APPENDICE. — SECT. II. — ^ §11.

§11. — De quelques courbes les plus simples. — ÈUipse^hperboU , Parabole. — Construction de leurs tangentes et éî leurs normales.

Nous nous proposons , dans ce paragraphe, de faire conuaiue quelqiounes des courbes les pins simples parmi celles qii^>n peut décrire beileraent , soit par points , soit d^un mouvement continu (comme le cercle),am le secours de la règle et du compas.

F,c, ^^o. ^°' lEllipsb. {Fig. 240.) .

N^ 49. — On nomme Elupsb une courbe plane, telle que la tomme ia astances de chacun de ses points. M, à deux points Jixes , F, V, soit cowutatlf f( €'gale à une ligne donnée Qa [plus (jrande nécessairement que la distance FF des deux points fixes].

LVUipse, ainsi définie, renferme le cercle comme ca« particalier, poisqu^il suffit de supposer que les deux pointa F, F', se confondent en ud seol; ce qui donne alors FM-l-F'M=:!iFM = aa; d'où FM = «. l

II résulte d^abord de cette^ définition , que si , sur la droite indéfinie , XT. I qui joint les points F, f, on prend, à partir du milieu Ode FF', deusdii* tances OA , OB , égaies k <i [cç qui donne FA = F'B], les deux poinu A,^, ainsi déterminés , appartiendront à la courbe.

£n elTety on aura diaprés cette construction,

FA -4-F'A = FA -f-FF'H-F'B = 0AH-OB =in, F'B-4-FB =FB-f-F'F-hFA =0B-f.0A=2fl.

En outre , si des points F y F', comme centres , af ec le même rayon < [ >0F, OF'l, on décrit des arcs de cercle qui se couperont nécéssairenfen^^ en deux points C , D , situés sur la perpendiculaire ZtJ , élevée par le point 0. ces nouveaux points aj^rtiendront à la courbe :

Caronauta FC-+-F'C = 2a, FD-hF'D=:îii».

Pour obtenir d'dutres points de la courbe, martjuons sur AB un poisil quelconque [situé toutefois entre les points O et F'] ; puis des points F, F, 1 comme centres , avec les rayons respectifs AI , 16 , décrivons des arc» à: cercle qui se coupent en deux points M , M' : ces points appartiennent à h courbe; — car on a FM-hF'M= AI-+-IB = art.

N. R. — Tant que le point I est situé entre O et F', il en résulte

AI— IB, ou FM— F'M<FF'j

et comme on a dcjàFM-i-F'M, ou a«>FF', les dem arc» déeriis s coupent nécessairement (n^ 145).

IjCs points N , N', symétriques {ti9 4, App.) des poinU M , M', par rapport à ZU, \)enveut ôirc construits avec les mêmes rayons AI, IB(tvj»r.- ^ n« 167).

DE L*HLLIPSE. 5o5

On pbinra donc, de eeite manière, obtenir autant de points qae Ton voudra de la coarbe cherchée; et en liant tous cee points par une ligne eontimie, on aura Tellipse demandée.

N® i$0. — Description par an mouvement eontirm: — Après vioït fixé aux points F y F', les deux extrémités d^nn fil dont la longueur soit égale à aa , tendez ce fil par le moyen d*un style armé d^un crayon ou d'une plume; puis faites tourner ce style autour des points F, F' [ en tenant toujours le fil tendu] f de manière que la pointe vienne tomber successivement aux points A, B, de la droite XY : le style, dans son mouvement, décrira la courbe demandée {*).

^o tti. — Définitions, — Dans rellipsc, les deux droites, XT, ZU, sont éTÎdemment deux axes de symétrie (n<* 4, ^p')\ ce qui a fsit donner le nom d^axes de la courbe aux deux droites AB , CD. — L« plus grand , AB, s^appelle le grand axe, et Pautre, CD, se nomme le petit axe.

Le point O , qui est lui-même un centre de symétrie , est dit le centre de U courbe.

Les poinu F, F', qui ont servi à la description de la coarbe , se nommei;it Infor ers; et les distances FM , F' M , FN , F' N , sont dites les rayons vecteurs de la courbe.

TB<oRàiiE.(Fi^. a4i.)

N<^ 59. — Dans toute ellipse, l'angle formé par l'un des rayons vecteurs, F'M, mené en un point quelconque M de la courbe, et le prolongement MK, de l'autre rayon vecteur, FM , est divisé en deux parties égales par la tangente SMT en ce point,

Arant de démontrer cette proposition , il est nécessaire d^observer que, la eoarbe éuot tracée, on a pour tout point Y extérieur {fig. a4o),FPH-F'P>afl, Fie, aio. et au contraire, pour tout point P' intérieur k\^ courbe, FP'+F'P' < aa.

En effet, dans le premier cas, joignant au point F le point M où F'P rencontre la courbe , on a {n9 58)

FPh-PF'>FM-+-MF'; mais FM-+-MF' = a4f ; donc FP-hF'P>a«. j

Dans le second, prolongeant FP' jusquVn m, et menant mF', on a ^

FP' -H P' F < Fm -H mF' < atf .

Cela posé, considérons un point quelconque M {fig. ^i) de la courbe. Fie. a4i. Menons les rayons vecteurs FM, F'M, et prolongeons FM en K; puis divisons Tangle F'MK en deux parties égales : je dis que la bissectrice SMT est tangeole à la courbe ; et la démonstration se réduit à faire voir que tout point N de cette droite, autre que le point M , est situé hors de la courbe.

(*) La c««rbe ic aoAVC o^alt au jardinier 4">b<1 «Ue • M tracée «ur le terrais psr ub «•• vcMicmt •■alogne e« précédent , en moyen de deux piquets et d'uu cmrdfom .

3€f6 APPENDICE. SECT. TI. — § II.

Or, si nouf prenoo* sur MK , MG = MF', et que nous tiriooe les drait» F'G, NG, NFS NF, il en résulte FI ::= IG (n» 61), et NP' = NG {tfi 40\ On a d^silleurs

FN -h NG > FG, ou FN h- NF > FM -h FTtf:

mais FM + F'M =: sa;

doDC NF -4- NF' > aa.

Ainsi le point N est situé hors de Is courbe.

Comme le même raisonnement s^appliquerait à tout autre point de li droite SMT, il s^ensuit que cette droite est Ungente; C. Q. F. i>.

N. B. — Nous nommerons cercle directeur (*) un cercle décrit du poislF ou F' oomroe contre avec le rayon aa : — Tout point M de la courhe est également distant du second ftijer, F' ou F f et de la circonférence direetriee.

N^ 1(5. ^ ScoUB I. ~ Cette propriété de la tangente fovmit on moyco simple de — Mener une tangente à l'ellipse, — i<* — par un point M dcmê sur la eoùrhe, — a^ — par un point N donné hors de la eomrhe.

Fie. Slii. ^^vi** c^*- {^' ^i*} ~ Menez le rayon FMG du eerele directeur; ;'«'• gnet MF'; puis diuises Tangle F'MK en deux parties égales : — toiis obtoMi ainsi la tangente demandée.

Fie ail his. Second cas. ^(Fi^. a4i his,) — i» — Du point N comme centre, atee vn rayon égal à la distance de ce point au point F', décrives un arc de ceide qui coupera la circonférence directrice en deux points G, G'; — i9— joignes te point F aux poinu G, G': les droites FG,FG', rencontrent U courbe aux points M , M'; ~ 3^^ — tires NM , NM' : — tous obtenea ainsi Wi deux tangentes que Ton peut mener du point donné.

N. B, — Tant que le point N sera extérieur k la courbe, les deux circonférences NF' et aa, se couperont; car, d'abord, le point F' est intérieur à It circonférence directrice; ensuite, si Ton tire FN, et qu'on prolonge cette droite jusqu'*à sa rencontre en L aveccfrr. NF, comme on a FNh-NF'>m* — I — ■ ■ — - - —

C) - Indépendammeot des àru% droite* directricct- , dit M. jtkel Tnuuon {Jourtml de X*thématiq^cr At M. ùiou¥illf , tosie IV, pnge 4^7) « • il existe pour tonte Motion coniqae •(«■■i

• cercle* qu'on pent à bon droit appeler ilirtctaurs. Je vcn« parler de ces devs eetdcsqoi m* - Icati centrrc respectif emeat aux deax foyen, et qui ont toui drus pour rayon anc !•$* " égale k Faite principel. On sait tuse% combîea la considératioB de ces ccrelc* apportr ^

• Ikeiltté dAOïi la coniitruction de la phipart de* problème* qni «c rapportent au s aecci***

• eoniquet, cic. •

B« «flkt , M. IVaseon a tiré un tièt bon parti des oercict direeteuf», et a ta v«ntablc«Mi »e le* approprier par Tbabilrté avee laqnelle il en a développé U théorie. Aaa»i , je D'cnlètc* rai rjcn au mérite de aon travail en reTendiquanl ici , puiiqve l'occeaioD l'en présente, ce f» d'ailleurs ne m'avait pa«^mblé valoir la peine d'une réclamation spéciale , en revendiqaaat« dia-jc , Mtle petite invention qui a été annuelUment développée dans tou.* le» C>nre que j'ai fait* depuik vingt ans au collège de Reims , puis fc celui de Rollin , et eafin an collège i* Sai'nt-Lonts. AH reste, je le fépiie, cette rémî«i!«en«c , en inppoMBlt qne cVn soit une, ne diminue Bb»ohf ment en rien .1 me» t'ui te mérfte du travnCl en qnestsen.

il en résulta aoMi FN ■+- NL > a^ , ou FL > aa ; ainsi le point L est e:rrérteur à Is eirconférence directrice. Donc (n» 186) les deux ciroonférenoes se eoQpent; et le problème admet deux solutions.

N^84- — ScoLic II. — Dans les constructions précédentes, nous avons reconnu que la droite F'G (fg 2\i et ^4^ *") ^^ divisée en deux parties ^^^' ^t^ égale» par la tangente ST ; c^est-à-dire qne F'I= IG. D'après celte remar- ^' que , si nons joignons le point O au point I , nous formerons deux triangles semblables FTG , F'Ol , puisque F'F = aF'O , et F'G = aF'I. — Or on a

FG = FM -f- MF' = aa ;

donc 01 = =s a:

ce qui. démontre que

La circonférence décrite sur AB='aa comme diamètre, est le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du/borer F' sur les tangentes,

N. B» — La même propriété s'applique au point F , oomme on peut facilement le reconnaître.

^ious pourrions encore , en nous fondant sur les seuls principes de la Géométrie élémentaire, démontrer une foule d'^aatres propriétés ; mais cela nous entraînerait trop loin.

Dr l'Htpihbole. ( Fig. a4a. } ^^ ^^^

N° 5iS. — L^HTPEaaoLB est une courbe plane, telle ^ue la différence des distances de chacun de ses points, M , à deux points Jixes, F, F', est constante et égale à mie ligne donmée an. — [Ici il est évident que y pour rexistence de la courbe, la condition aa < FF' est nécessaire.]

De la relation FM — F'M = aa , on tire

FM=F'M-i-afl;

ainsi, F'M peut recevoir une valeur aussi grande que Ton veut: il en résulte totqour* une valeur oorrespondante pour FM. — D'où l*on voit que la courbe doit s^étendre indéflniaMnt.

Si, sor la droite indéfinie XT qui joint les deux points F, F', on prend , à partir du milien O de la droite FF', deux distances OA =s OB s a , les points A et B appartiendront à la courbe.

Car on a FA — FA = F'B -h AB — FA = AB = aa,

t% FB — F'B = FA H- AB — F'B = AB :=r aa.

Pour obtenir d'antres points de la courbe , il suffit de décrire du point F' comme centre, avec un rayon queloonque F'M [plus grand toutefois que F'B], un arc de cercle; puis du point F comme centre, avec le rayon F'M -f- aa, un autre arc de cercle. Ces deux arcs se coupent en deux points M , M' [ symétriques par rapport à XY ] ; et ces points appartiennent à la courbe.

£b faisant un écliange des deux rsyons F'M, FM (vqr^x le nP i6T), on

3o8 APPENDICB. — SBCT. II» § II.

peut obtenir deux autres points M*» M'^, symétriques des points M, ff, par rapport à la perpendiculaire ZU élevée dn point O sur la droite X^. D^où il suit que la courbe est composée de demx hranehes distinctes Mfill'. JVfAM*', égales et opposées, qui s^étendent indéfiniment, à droite et i gauche de la droite ZU, au-dessus et au-dessous delà droite X'ï.

Les deux droites XY, ZU, sont encore, comme pour rellipse, iemxexei d^ V^métrie, et le point O un centre de ^métrie, — Ce qui dislingue Icbdeu axes de Tellipse de ceux de lliyperbole, c^est que, dans la première, la axes sont rencontrés par la courbe en quatre points , tandis qoe, dans rhyperbole, un seul des deux axes est traTcrsc par la oourbci.

Aussi le premier, XY , ou plutôt la partie AB de cette droite, se noane Vaxe transversc, ou le premier axe de Thyperbole; Pautre se nomme Ytir non transverse , ou le second axe.

Les points F, F', sont encore dits les foyers de la courbe; et les lifntt FM, F' M , font les rayons vecteurs,

L^hyperftwle peut également se décrire d^un mouTcment contimu^ aa moito d^un Jil et d'une rèf^ que l*on fait pivoter autour de Tnn des foyers ^ mû les détails de cette description nous entraineraient trop loin.

Il serait Cicile de prouver :

\^ — Que pour tout point P intérieur à la courbe, on a

FF — F'P>aii; qo . QuQ pour lout point P' extérieur, on a au contraire

FP'-F'P'<aa.

£nAn , ainsi que dans PelUpse , un cercle décrit dn point F ou du poist F' comme centre , avec le rayon a« , est dit le eereie direetemr de Phyperbole.

Cela posé , la tangente à Phyperbole jouit d\me propriété analogue ri oelk de Tellipse.

Fie. a4a. TetfORiMB. {Fig. a4i.)

N*' HG. — La tangente à l'hyperbole en un point quelconque M, divise en dm parties égales l'angle formé par les deux reyons vecteurs FM, F'M.

En eifet, divisons Pangle FMF' en deux parties égales; je dis qae b hissecu ice SMT est telle que tout point N de cette droite , autre que le poial M, est situé hors de la courbe.

Pour le démontrer, prenons sur MF, MG = MF', puis tirona lea droitei F'G, NF',NF,NG. On a, d'après la construction, F'I=1G (n» 61 , NF' = NG , MF' =1 MG {p9 40) ; d'où MF — MG = a*. — D'ailleurs , le triangle NFG donne (noftS) NF—NG <FG, et par conséquent

NF-NF'<!ia;

«inhi le point N est situe hors de la courbe. — Donc, etc.

Scoua L — De là résulte le moyen de — Mener une tangente, — i« — par «n point M donné sur la courbe ; — 79 — par un point N donné hors de ta courbe.

DB LA FAAABOLE. So^

PuMiift cis. {Fig, 14).) — Divises l'angle FMF eo deux parties égales; et Fie. a4^. tous obtenez ainsi la tangente demandée.

Sicom CAS. {Fig. ^^bis,) — Ou point N, comme centre, et avec un rayon Fie. 34^ hi$. «gai à N F\ décrives un arc de cercle qui coupe en deux points , G, G', la cîT' cohérence directrice décrite du foyer F comme centre [avec le rayon 3a] ; UresFG, FG', et prolonges ces droites jusqu'^à leur rencontre en M , m, avec la courbe, puis traces les droites MM, Mm: — vous obtenez ainsi les deux tangentes qo^on peut mener du point N à la courbe.

N.B. — Le problème est toujours possible tant que le point N est situé da côté de la convexité de la courbe, ce qu^on peut Caire voir &cilement , comme pourlVIlipse, en montrant que le cercle MF' a un point extérieur it DD point intérieur à la eiroonférence a«.

Scout II. — Quant aux nomtaies h Pellipse et à Phyperbole, comme elles ne sont antres que les perpendienlatresauz tangentes , menées par les points de contact, il serait facile de reconnaître que

i<^— Doju l'ellipse, la normale est la bissectrice de Vangle des deux rttyons \

vecteurs, — et la tangente est la bissectrice de son adjacent,

30 — Dans Vhyperbole , la tangente est la bissectrice de Vangle des deux r^ons vecteurs; — et l« normale est la bissectrice de son adjacent,

ScouE III. — Enfin, dans Hyperbole comme dans l'ellipse, la eirconfé» renée décrite sur taxe transverse AB comme diamètre, esê'le lieu des pieds des ^rpendiculaires abaissées de chacun desjçyers sur les tangentes,

Da LA Paiabols. (Fig. ^X) p,g ^^^

N^ IS7. — La pAaABOLi est une courbe dont chaque point est également distat d'un point fixe F, nommé roTsa , et d*une droite fixe LL', nommée Diaicmet.

Abaissons du point donné F une perpendiculaire XY sur la directrice LL', SI prenons FA égale à la moitié de la distance FD ; le point A sera un point de la courbe : car, d'après cette construction , la distance du point A au point F est égale à sa disUnce à la directrice LL'.

Pour obtenir d'autres points , prenons un point quelconque P sur XY, et derons la perpendiculaire indéfinie PK ; puis du point F comme centre , ivee un rayon égal à PD, décrivons une circonférence qui rencontre la droite PK, sa deux points M, H' : ces points appartiennent à la courbe.

En eOet, on a FM = PD = MG;

linsi le point M eet à égale distance du point F et de la droite LL'.

Comme le point P peut être pris partout où Ton veut sur la droite XY (pourvu toutefois que le point A soit entre D etP], il s'ensuit que la OMrbe s'étend indéfiniment du côté de F, tant au-dessus qu'au-dessous ie XY, qoi la partage symétriquement.

La droite XY, étant le seul axe de symétrie de la courbe , se nomme Vaxe de U parabole ; le point A en est dit lo sommet.

3lO APPENDICE. SKCT. II. § ff.

^»c- 2>45. TmîoiiMB. ( Fig. 043. )

N® ^. — I»a tangente ST à la parabole divise en deux parties égales l'tngU formé par le rayon vecteur FM et une parallèle k Vaxe menée par le j^w»l de contact M.

Il est d^abord £icilo de prouver que , pour lout point pits intérieurement k la parabole, la distance au point F est moindre que la distance à Is directrice; et qu^au contraire la distance d\in point extérieor au point F est plos grande que sa distance h la directrice.

Cela posé , considérons un poént quelconque M de la eourbe ; et , après arolr tiré le rayon rectenr FM et la droite MG perpendiculaire sur LL'. divisons Tangle FMG en deux parties égales: je dis qoe la bissectrice ST a tous ses points N , autres que le point M , situés hor» de la ooorbe , et lii est par conséquent tangente.

Cor, si Ton Ure FG, NF, MG, et NH perpendiculaire aur LL>Da IF =IG (n»^6i), NF = NG (n^W). Mais NF ou NG> NH; donc le point N est situé hors de la courbe.

Même raisonnement par rapport à tout autre point de la droite ST; dooc ST est une tangente.

ScoLiB I. — Pour mener d^abord une tangente à la parabole par un pobi M donné sur Iftcourbe , il svflSt de diviser Tangle FMG en deux parties égales^ Fio. 343 bis* En second lieu, soit un point M (fig, a4^ bis) donné hors de la courbe; du point N comme centre, arec le rayon NF, décrivons un arc de cercle qei rencontre LL' en denx poinU G, G'; tirons GE, G'E', parallèles à XT,ei joignons le point N aux points M, M', où ces parallèles rencontrent U courbe.

Nous obtenons ainsi les deux tangentes qu'on peut mener du point ^ a la courbe , tant que ce point est extérieur.

La discussion de ce second cas n offre aucune difficulté , et n'^us ne dou> y arrêterons pas.

ScOLlB 11. ^ La normale à la parabole divise en deux parties égsdes Vawe^ formé par le prolongement du rayon vecteur et la parallèle à l'axe,

ScoLiK III. — De ce que Ton a FI = IG, PA = AD, il en résulte qu« le point I se trouve sur la tangente AB perpendiculaire à Taxe ; ce qui démontra que , — Dans la parabole , la perpendiculaire élevée à l'axe par le jonmvc, fsi le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du ftxyer sur les tangentes.

ScoLiE cÊKÉRAL. ~ Lcs trols courbes dont nous venons de (aire conntitre la nature et quelques-unes des propriétés principales , jouent un très-çranl rôle dans toutes les parties des mathématiqnee , même dans les sciences physico-mathématiques .

Elles portent coigointement le nom de sections coniques, parce que ce sont les courbes qui résultent de Tinterseetion dVn cône par un plan , atnst que nous pourrons le voir dans le second appendice.

VIH. DE LA PREMlÈaE PARTIE.